第01講二次函數(shù)

產(chǎn)知識(shí)點(diǎn)梳理

1.二次函數(shù)的概念

一般地，形如yuax\bx+c（aWO,a,b,c為常數(shù)）的函數(shù)是二次函數(shù).

若b=0,則y=ax?+c；若c=0,則y=ax?+bx；若b=c=O,則y=ax）

以上三種形式都是二次函數(shù)的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a#0）是二次函數(shù)的一般式.

二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①1y=（aWO）；②1y=（aWO）；③尸=（a=0）；④

3

y=a（x-A）+無（aWO）,其中々=,k=;⑤1y=ax'+6x+c（a*0）.

2a4a

要點(diǎn)：

如果y=ax?+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）,那么y叫做x的二次函數(shù).這里，當(dāng)a=0時(shí)就

不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時(shí)都為零.a的絕對(duì)值越大，拋物線的開

口越小.

2.二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，。中0）；

2.頂點(diǎn)式：y=a{x-li）2+k（a,h,左為常數(shù)，。片0）；

3.兩根式：y=a{x-xl）{x-x2）（,xt,x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）（或

稱交點(diǎn)式）.

要點(diǎn)：

任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫

成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即后一4收20時(shí)，拋物線的解析式才可以用交

點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

2.確定二次函數(shù)解析式常用待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的步驟如下

第一步，設(shè)：先設(shè)出二次函數(shù)的解析式，如y=ax?+6x+c或y=a（x-/z）2+左，

或y=a（x-xj（x-x2），其中aWO；

第二步，代：根據(jù)題中所給條件，代入二次函數(shù)的解析式中，得到關(guān)于解析式中待定系

數(shù)的方程（組）；

第三步，解：解此方程或方程組，求待定系數(shù)；

第四步，還原：將求出的待定系數(shù)還原到解析式中.

要點(diǎn)：

”在設(shè)函數(shù)的解析式時(shí)，一定要根據(jù)題中所給條件選擇合適的形式：①當(dāng)已知拋物線上的

三點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)函數(shù)的解析式為了=以2+法+。；②當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸

或最大值、最小值時(shí).可設(shè)函數(shù)的解析式為丁=。@-丸）2+左；③當(dāng)已知拋物線與x軸的兩

個(gè)交點(diǎn)（X1,0）,（X2,0）時(shí)，可設(shè)函數(shù)的解析式為y=a（x-xJ（x-X2）?

例1下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（）

A.y=3x-1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2-2t+lD.y=x2+—

x

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可.

解：A、y=3x-l是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，不符合題意；

B、y=ax2+bx+c,當(dāng)a=0時(shí)，不是二次函數(shù)，不符合題意；

C、s=2t2-2t+1是二次函數(shù)，符合題意；

D、y=N+』中1不是整式，故產(chǎn)N+工不是二次函數(shù)，不符合題意.

XXX

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的定義.二次函數(shù)定義：一般

地，把形如丁=依2+法+。（°、b、c是常數(shù)，且。*0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為

二次項(xiàng)系數(shù)，%為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng).尤為自變量，y為因變量.

，1例2.函數(shù)丫=欣4a是關(guān)于尤的二次函數(shù)，則相的值是（）

A.3B.-1C.-3D.-1或3

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的定義條件列出方程與不等式即可得解.

解：???函數(shù)y=是關(guān)于龍的二次函數(shù)，

m2—1m—1=2,且，

由蘇—2機(jī)—1=2得，MI=3或〃z=-1,

二》的值是3或-1,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的定義、解一元二次方程等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的定

義列出方程與不等式.

3.下列函數(shù)關(guān)系中，是二次函數(shù)的是（)

A.在彈性限度內(nèi)，彈簧的長(zhǎng)度y與所掛物體質(zhì)量x之間的關(guān)系

B.當(dāng)距離一定時(shí)，火車行駛的時(shí)間t與速度v之間的關(guān)系

C.等邊三角形的周長(zhǎng)C與邊長(zhǎng)a之間的關(guān)系

D.半圓面積S與半徑R之間的關(guān)系

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的定義，分別列出關(guān)系式，進(jìn)行選擇即可.

A選項(xiàng)為，=履+萬，是一次函數(shù)，錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)為r=士不是二次函數(shù)，錯(cuò)誤；

V

C選項(xiàng)為C=3a,是正比例函數(shù)，錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)為S=g;rR2,是二次函數(shù)，正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)定義，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

4.在半徑為4cm的圓中，挖去了一個(gè)半徑為xcm的圓面,剩下一個(gè)圓環(huán)的面積

為ycjrf,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（

A.y=-7TX2+16TTB.y-TTX2-4C.y=^2-xfD.y=-(x+4)2

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出原來的圓的面積，再用x表示挖去的圓的面積，相減得到圓環(huán)的面積.

解：圓的面積公式是5=萬/,

原來的圓的面積=萬-42=16%，

挖去的圓的面積="犬2,

圓環(huán)面積y=16xr-^x2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的列式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意用工表示各個(gè)量，然后列出函數(shù)關(guān)系式.

例5.當(dāng)函數(shù)y=（〃-1優(yōu)+6尤+<?是二次函數(shù)時(shí)，a的取值為（）

A.a=lB.ci=—1C.QW—1D.awl

【答案】D

【解析】

【分析】

由函數(shù)是二次函數(shù)得到a-l#O即可解題.

解：：y=（。-1）丁+6x+c是二次函數(shù)，

.'.a-1^0,

解得：a，l,

故選你D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的概念，屬于簡(jiǎn)單題，熟悉二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

例6.二次函數(shù)3=x：-2x+3,當(dāng)函數(shù)值為2時(shí)，自變量的值是（）

A.x=-2B.x="2"C.x=lD.x=-l

【答案】C

【解析】

試題分析：把j=2代入二次函數(shù)J=、二-？、一3，即可求得結(jié)果.

由題意得--3=2>解得1=1

故選C.

考點(diǎn)：函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)評(píng)：解方程的能力是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中極為重要的基本功，在中考中極為常見，在各種題型

中均有出現(xiàn)，一般難度不大，需特別注意.

■］例7.函數(shù)y=ax?+bx+c（a,b,c是常數(shù)）是二次函數(shù)的條件是（）

A.a^O,b#0,c加B.a<0,b^O,#0

C.a>0,屏0,#0D.a^O

【答案】D

【解析】

試題解析：根據(jù)二次函數(shù)定義中對(duì)常數(shù)a,b,c的要求，只要#0,b,c可以是任意實(shí)數(shù),

故選D.

已知二次函數(shù)y=aN+4x+c,當(dāng)x等于-2時(shí)，函數(shù)值是-1；當(dāng)％=1時(shí)，函

數(shù)值是5.則此二次函數(shù)的表達(dá)式為（)

A.y=2x2+4x-1B.y=x2+4x-2

C.y=-2x2+4x+lD.y=2/+4x+l

【答案】A

【解析】

【分析】

將2組尤、y值代入函數(shù)，得到關(guān)于“c的二元一次方程，求解可得函數(shù)表達(dá)式.

4a—S+c=—l

解:根據(jù)題意得

a+4+c=5

a=2

解得:

c=-l

，拋物線解析式為y=2x2+4x-1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)二次函數(shù)經(jīng)過的點(diǎn)的信息，求得函數(shù)中的位置參數(shù).

例2已知二次函數(shù)y=ad+6x+c的>與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

X-2026

y-6262

當(dāng)尤=8時(shí)，y的值是()A.-6B.-2C.2

D.6

【答案】A

【解析】

【分析】

運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再把x=8代入求出y的值即可.

解：把(2,-6),(0,2),(2,6)三點(diǎn)坐標(biāo)代入y二辦？+a+0,得

4〃—2b+c=-6

<c=2

+2Z?+c=6

1

a=—

2

解得，b=3

c=2

???二次函數(shù)解析式為y=-^x2+3x+2

當(dāng)尤=8時(shí)，y—-+3x8+2=—6

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答

本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答..

一、一

、例1°.若拋物線經(jīng)過(0,1),(-1,0),(1,0)三點(diǎn)，則此拋物線的表達(dá)式為()

A.y=—x-+1B.y——-1C.y=+1D.y—x~-1

【答案】A

【解析】

【分析】

利用交點(diǎn)式設(shè)出拋物線解析式再計(jì)算即可.

:拋物線經(jīng)過(-L0),(1,0)

設(shè)拋物線解析式為y=?(x+D(x-i)

把(0,1)代入得：

1=4(0+1)(0—1)

a=-l

?1.拋物線解析式為y=-(x+l)(.x-l)=-x*12+1

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)已知條件選擇合適的方法是解題的關(guān)鍵.

'潮U.拋物線>=/+公+0過三點(diǎn)(0,4),(1,3),(-1,4),求拋物線的解析式

【答案】'=-〈龍+4

22

【解析】

【分析】

把三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解即可.

解：將(0,4),(1,3),(-1,4)代入拋物線丁=以2+法+。中，得

c=4

<a+b+c=3,

a-b+c=4

1

a=—

2

解得<b=,

c=4

拋物線的解析式為y=-g/-g尤+4.

故答案為：尸一3/一夫+牝

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握待定系數(shù)法.

［例12.一個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)自變量x=o時(shí)，函數(shù)值y=-l,且過點(diǎn)（-2,0）和點(diǎn)g,o1,

則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為.

［答案］y=x2+^x-l

【解析】

【分析】

利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式.

解：依題意，設(shè)函數(shù)解析式為y=°（x+2）卜-

:當(dāng)自變量x=o時(shí)，函數(shù)值y=-i

.?.0（0+2）（0-；］=一1,解得a=l

???函數(shù)的解析式為y="+2）（苫一；］=/+|^—1

故答案為：y=x2+—X—1.

【點(diǎn)睛】

本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，掌握待定系數(shù)法的解題步驟準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵.

金跟蹤酬瀛

1.下列函數(shù)是y關(guān)于x的二次函數(shù)的是（

A.y=-x

C.y=(x+2)(x-2)y=ax'-3x+2

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：“形如丁=辦2+法+。（其中a、b、C為常數(shù)，且。片0）”的

函數(shù)叫做二次函數(shù)，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行一一分析判定即可.

【解析】解：由二次函數(shù)的定義："形如y=o^+bx+c（其中a、枚c為常數(shù)，且。彳0）”

的函數(shù)叫做二次函數(shù)

A.y=-x,是一次函數(shù)，沒有二次項(xiàng)，故選項(xiàng)A不正確；

B.y=2x+3,是一次函數(shù)，沒有二次項(xiàng)，故選項(xiàng)B不正確；

C.y=（x+2）（x-2）=x2-4,是二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)不為0,故選項(xiàng)C正確

D.y=以。-3x+2,當(dāng)a=0時(shí)，是一次函數(shù)，當(dāng)今0時(shí)，是二次函數(shù)，不能確定y=依?-3x+2

是一次還是二次函數(shù)，故選項(xiàng)D不正確.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的識(shí)別，掌握二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

2.下列實(shí)際問題中的y與尤之間的函數(shù)表達(dá)式是二次函數(shù)的是（）

A.正方體集裝箱的體積ym3,棱長(zhǎng)xm

B.高為14m的圓柱形儲(chǔ)油罐的體積ynP,底面圓半徑xm

C.媽媽買烤鴨花費(fèi)86元，烤鴨的重量y斤，單價(jià)為x元/斤

D.小莉駕車以108km/h的速度從南京出發(fā)到上海，行駛xh,距上海ykm

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【解析】解：A.正方體集裝箱的體積ym3,棱長(zhǎng)xm,則y=R,故不是二次函數(shù)；

B.高為14m的圓柱形儲(chǔ)油罐的體積ynP,底面圓半徑xm,則》=14玄2,故是二次函數(shù)；

C.媽媽買烤鴨花費(fèi)86元，烤鴨的重量y斤，單價(jià)為x元/斤，則丫=生，故不是二次函數(shù);

X

D.小莉駕車以108km/h的速度從南京出發(fā)到上海，行駛xh,距上海ykm,則>=南京與上

海之間的距離-108x,故不是二次函數(shù).

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，

利用二次函數(shù)的定義去判斷.

3.已知y=（〃2+l）x'/+i+2x-3是二次函數(shù)，則機(jī)的值為（）

A.0B.1C.-1D.1或一1

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義：形如y=?2+bx+c（aw。）的函數(shù)叫二次函數(shù)，從三個(gè)方面：

①含有一個(gè)未知數(shù)；②所含未知數(shù)的最高次數(shù)為2次；③是一個(gè)整式理解即可得到答案.

【解析】解：.丫=（〃?+1對(duì)/+1+23_3是二次函數(shù)，

:.m+l^=0,m2+1=2,解得m=l,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義，從三個(gè)方面：①含有一個(gè)未知數(shù)；②所含未知數(shù)的最高

次數(shù)為2次；③是一個(gè)整式去理解概念是解決問題的關(guān)鍵.

4.設(shè)丫=丫1-丫2,yi與x成正比例，y2與Xz成正比例，則y與x的函數(shù)關(guān)系是（）

A.正比例函數(shù)B.一次函數(shù)

C.二次函數(shù)D.以上均不正確

【答案】C

【分析】設(shè)yi=kix,y2=k2x2,根據(jù)y=yi-y2得至！Iy=kix-kzx?,由此得到答案.

【解析】解：設(shè)yi=kix,y2=k2X2,

則y=kix-k2X2,

所以y是關(guān)于x的二次函數(shù)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查列函數(shù)關(guān)系式，正確理解正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

5.對(duì)于尸aN+bx+c,有以下四種說法，其中正確的是()

A.當(dāng)6=0時(shí)，二次函數(shù)是y=o%2+cB.當(dāng)c=0時(shí)，二次函數(shù)是丫="2+法

C.當(dāng)。=0時(shí)，一次函數(shù)是y=6x+cD.以上說法都不對(duì)

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義和一次函數(shù)的定義判斷即可.

【解析】A.當(dāng)6=0,存0時(shí).二次函數(shù)是y=o%2+c,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.當(dāng)c=0,存0時(shí)，二次函數(shù)是廣辦2+灰，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.當(dāng)a=0,厚0時(shí).一次函數(shù)是產(chǎn)bx+c,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.以上說法都不對(duì)，故此選項(xiàng)正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的定義，注意二次函數(shù)尸依2+bx+c的二次項(xiàng)

系數(shù)awO,一次函數(shù)>=區(qū)+。的一次項(xiàng)系數(shù)％w0.

6.在拋物線丁=/-3式+1上的點(diǎn)是()

A.(0,-1)B.(2,-3)C.(-3,1)D.(3,1)

【答案】D

【分析】分別計(jì)算自變量為0、2、-3和3時(shí)的函數(shù)值，然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特

征進(jìn)行判斷.

【解析】解：：當(dāng)x=0時(shí)，y=jc2-3x+l=l；

當(dāng)x=2時(shí)，y=%2-3x+l=-1；

當(dāng)尤=-3時(shí)，y=x2-3x+l=19；

當(dāng)x=3時(shí)，y=x2-3x+l=1；

.,.點(diǎn)(3,1)在拋物線y=/-3x+l上.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征:二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式,

解題的關(guān)鍵是正確的計(jì)算.

7.在二次函數(shù)y=-x?+5x-2中，a>b、c對(duì)應(yīng)的值為（）

A.a=1,b=5,c=-2B.a=-1,b=5,c=2

C.a=-1,b=5,c=-2D.a=-1,b=-5,c=-2

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的相關(guān)定義進(jìn)行辨別即可.

【解析】解：:丫=-x2+5x-2,

?\a=-1,b=5,c=-2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)定義，理解二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

8.已知拋物線丁=辦2+灰+0（，"0）經(jīng)過點(diǎn)42,力，B（3,t）,C（4,2）,那么a+b+c的值

是（）

A.2B.3C.4D.t

【答案】A

【分析】把點(diǎn)A（2,力，BG,0,C（4,2）代入拋物線，解三元一次方程組即可求解.

【解析】解：；拋物線，=依2+法+￡：（。/0）經(jīng)過點(diǎn)水2,力，BQ,t）,C（4,2）,

1I

ct=1—t

4〃+2Z?+c=￡2

9a+3b+c=t,角犁得，＜b=-t-5

2

16〃+4Z?+c=2

c=6-2t

〃+Z?+c=l—tH—t——5+6——2t=2,

22

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與三元一次方程組的綜合，掌握二次函數(shù)的代入法，解三元

一次方程組的方法是解題的關(guān)鍵.

9.拋物線,=?2+法+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)％、縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表所示：

X-10123

y0-4-6-6-4

從上表可知，x=4時(shí)，y的值為（）

A.-3B.-2C.-1D.0

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，然后把尤=4代入解析式，即可

得出答案.

【解析】解：把％=—1,＞=。、x=0,y=-4和％=i,y=—6代入＞=。%2+"+。，

a-b+c=O

可得：＜c=-4,

a+b+c=-6

a=l

解得：。=-3,

c=-4

拋物線解析式為y=x2-3x-4,

當(dāng)x=4時(shí)，y=42—3x4—4=0,

.?.當(dāng)x=4時(shí)，y的值為0.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式、求函數(shù)值，解本題的關(guān)鍵在正確得出

二次函數(shù)解析式.

10.已知函數(shù)尸辦2+bx+c,其中a,b,c可在0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)中取值，則不同的二次

函數(shù)的個(gè)數(shù)共有（）

A.125個(gè)B.100個(gè)C.48個(gè)D.10個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義得到aw0,依據(jù)a、b、c的選法通過計(jì)算即可得到答案

【解析】由題意。彳0,

，a有四種選法：1、2、3、4,

：b和c都有五種選法：0、1、2、3、4,

共有4x5x5=100種，

故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的定義、=62+法+0（°工0）,有理數(shù)的乘法運(yùn)算，根據(jù)題意得

到a、b、c的選法是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.下歹！J函數(shù)①V=5x-5；②y=3x?-l；③丫=4/一3/；@y=2%2-2x+1；⑤y=3.其

X"

中是二次函數(shù)的是.

【答案】②④/④②

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，函數(shù)式為整式且自變量的最高次數(shù)為2,二次項(xiàng)系數(shù)不為0,

逐一判斷.

【解析】解：①y=5x-5為一次函數(shù)；

②y=3d_l為二次函數(shù)；

③y=4/—3/自變量次數(shù)為3,不是二次函數(shù)；

④y=2/一2%+1為二次函數(shù)；

⑤y=［函數(shù)式為分式，不是二次函數(shù).

X

故答案為②④.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義，能夠根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷函數(shù)是否屬于二次函數(shù)是

解決本題的關(guān)鍵.

12.如果函數(shù)y=(^-3)*3+2+履+i是二次函數(shù)，那么女的值一定是.

【答案】0

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可.

【解析】:?函數(shù)y=(左-3)J-3&+2+日+1是二次函數(shù)，

Ak2-3k+2=2,k-3^0,

解得k=Q.

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，形如y=o?+bx+c(a,b,c是常數(shù)，且。力0)的

函數(shù)叫做二次函數(shù)，正確把握二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

13.已知函數(shù)〉=(w-2)x2+twc-3(%為常數(shù)).

(1)當(dāng)相時(shí)，該函數(shù)為二次函數(shù)；

(2)當(dāng)初時(shí)，該函數(shù)為一次函數(shù).

【答案】#2=2

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的定義，二次項(xiàng)的系數(shù)不能為0,列出不等式，求解得出力的

取值范圍；

(2)根據(jù)一次函數(shù)的定義，一次項(xiàng)的系數(shù)不能為零，且二次項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)該為0,據(jù)此求解

得出機(jī)的值；

【解析】解：(1),函數(shù)y=(m-2)x2+mx-3為二次函數(shù)，

:.m-2#0,

m=/=2.

(2)\?函數(shù)y=(m-2)/+必-3為一次函數(shù)，

m-2=0,m^O,

m=2.

故答案為：(1)力2；(2)=2

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義，一次函數(shù)的定義，利用函數(shù)的定義建立方程或不等

式是解本題的關(guān)鍵.

14.已知函數(shù)＞=(%2一2)/+(陰+0?+8.若這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)，求加的取值范圍

【答案】m于6旦m于一啦

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，即可得不等式/-2。0,解不等式即可求得.

【解析】解：函數(shù)y=O2-2)f+(利+血)％+8是二次函數(shù)，

機(jī)2—2w0,

解得mw±A/2，

故答案為：m豐6且m于一6.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握和運(yùn)用二次函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.

15.已知二次函數(shù)y=當(dāng)x=-3時(shí)，函數(shù)＞的值是.

【答案】-1

【分析】將x的值代入y=g尤2+x-l計(jì)算即可；

【解析】解：當(dāng)x=-3時(shí)

11°

y=-x2+x-l=-x(-3)'+(-3)-l=-l

故答案為：-1

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的值，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

16.已知點(diǎn)(3,a)在拋物線y=-2%2+2x上，則。=.

【答案】-12

【分析】把點(diǎn)(3,a)代入解析式即可求得。的值.

【解析】解：：點(diǎn)(3,。)在拋物線y=-2x2+2x上，

.*.a=-2x32+2x3=-18+6=-12,

故答案為：-12.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)適合解析式是解題的關(guān)

鍵.

17.若二次函數(shù)y=-1的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,1),則代數(shù)式2018-2a+6的值等于.

【答案】2017

【分析】由題意可把點(diǎn)(2,1)代入二次函數(shù)解析式得l=4a-26-1,則有2a-b=l,進(jìn)而整體

代入求值即可.

【解析】解：：二次函數(shù)丁=依2_法_1的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,1),

l=4a-26—1,

2a—3=1,

2018-2a+&=2018-(2a-Z?)=2018-1=2017；

故答案為2017.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

18.定義：由a,b構(gòu)造的二次函數(shù)丫=依2+(。+6)X+6叫做一次函數(shù)y=ax+6的“滋生函

數(shù)”，一次函數(shù)y=ax+6叫做二次函數(shù)y=*+S+b)x+6的“本源函數(shù)”(a,b為常數(shù)，且

"0).若一次函數(shù)y=ax+b的“滋生函數(shù)"是、=以2-3尤+0+1,那么二次函數(shù)

y=ax2-3x+a+l的“本源函數(shù)”是.

【答案】y=-2x-l

【分析】由“滋生函數(shù)”和“本源函數(shù)”的定義，運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)＞=以2-3》+。+1的

本源函數(shù).

[-3=a+b

【解析】解：由題意得一

[a+l=b

[a=-2

解得八.

[b=-1

/.函數(shù)y=加-3x+a+]的本源函數(shù)是y=-2x-l.

故答案為：y=-2x-i.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算下的一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是充分理解新定義

“本源函數(shù)

三、解答題

19.下列式子哪些是二次函數(shù)？如果是，請(qǐng)指出其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

⑴y=-x+I；

V2

⑵J=

2

(3)y^-+x-2；

x

1,

(4)y=-x+2x-3；

(5)y=ax2+bx+c?

(6)y=m2x2+4x-3(加為常數(shù)).

【答案】(i)y=-%+i不是二次函數(shù)，是一次函數(shù)

Y21

(2)y=-、，是二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)是一萬、一次項(xiàng)系數(shù)是0,常數(shù)項(xiàng)是0

2

(3)y=二+%-2不是二次函數(shù)

(4)y=；f+2X-3,是二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)是g、一次項(xiàng)系數(shù)是2,常數(shù)項(xiàng)是-3

(5)q=0時(shí)，y=at?+6x+c不是二次函數(shù)

(6)m=0時(shí)，y=Mx?+4%-3不是二次函數(shù)

【分析】(1)觀察函數(shù)解析式，不含二次項(xiàng)，不是二次函數(shù)；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的定義即可判斷；

(3)根據(jù)二次函數(shù)的定義即可判斷；

(4)根據(jù)二次函數(shù)的定義即可判斷；

(5)根據(jù)二次函數(shù)的定義即可判斷；

(6)根據(jù)二次函數(shù)的定義即可判斷.

【解析】(1)>=-x+l不是二次函數(shù)，是一次函數(shù)；

r21

(2)y=-—,是二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)是-：、一次項(xiàng)系數(shù)是0,常數(shù)項(xiàng)是0；

22

2

(3)y==+x-2不是二次函數(shù)；

x

(4)y=1x2+2x-3,是二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)是:、一次項(xiàng)系數(shù)是2,常數(shù)項(xiàng)是-3；

(5)a=0時(shí)，y+bx+c不是二次函數(shù)；

(6)m=0時(shí)，y=加2%2+4%—3不是二次函數(shù).

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的識(shí)別，掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.二次函數(shù)的定義:

一般地，形如>=以2+"+。(〃、從。是常數(shù)，。。0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).

20.圓的半徑是1cm,假設(shè)半徑增加xcm時(shí)，圓的面積增加yen?.

(1)寫出y與x之間的關(guān)系式；

(2)當(dāng)圓的半徑分別增加1cm,J5cm,2cm時(shí)，圓的面積各增加多少？

【答案】(1)y=+27Vx；(2)3^-cm2,2(1+V2)^cm2,81cm2

【分析】(1)根據(jù)圓的面積公式S=可得產(chǎn)m(x+iy-?xF,再整理即可.

(2)分別把犬=1,也,2代入可得了的值.

【解析】解：(1)由題意得：y=7T'(X+1)2-XI2=^-x(x+2)=7TX2+271X;

(2)當(dāng)x=l時(shí)，y=3〃；

當(dāng)％=42時(shí)，y=(2+20)乃；

當(dāng)尤=2時(shí)，y=8?.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的面積公式.

21.已知y關(guān)于x的函數(shù)y=(m2+2m)x2+mx+m+i.

(1)當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，此函數(shù)是一次函數(shù)？

(2)當(dāng)初為何值時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)？

【答案】(1)m=-2;(2)n#-2且n#0

【分析】(1)根據(jù)一次函數(shù)的定義即可求解；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的定義即可求解.

【解析】(1).函數(shù)y=(m2+2m)x2+mx+m+l,是一次函數(shù)，

.'.m2+2m=0,m^O,

解得：m=-2；

(2))函數(shù)y=(m2+2m)x2+mx+m+l,是二次函數(shù)，

.'.m2+2m^0,

解得：n#-2且m^O.

【點(diǎn)睛】此題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟知各函數(shù)的特點(diǎn).

22.一個(gè)二次函數(shù)y=Ot—l)/23+4+2x_L

(1)求上的值.

(2)求當(dāng)x=3時(shí)，y的值？

【答案】(1)k=2；(2)14

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的定義列出關(guān)于人所滿足的式子，求解即可；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，先求出二次函數(shù)解析式，然后代入尸3求解即可.

(左2_3左+4=2

【解析】解：(1)依題意有，，c，

"一1wO

解得：k=2,

”的值為2；

(2)把g2代入函數(shù)解析式中得：y=x2+2x-\,

當(dāng)x=3時(shí)，＞=14,

.力的值為14.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義，以及求二次函數(shù)的函數(shù)值，理解并掌握二次函數(shù)的基本

定義是解題關(guān)鍵.

23.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0)、。,9),求這個(gè)二次函數(shù)解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】二次函數(shù)解析式為y=4/+5x,頂點(diǎn)坐標(biāo)為

【分析】設(shè)二次函數(shù)的解析式為。=依2+為+。再把(0,0)、(T-l)、(L9)分別代入得到

關(guān)于a、b,c的方程組，解方程組求出。、6、c的值，從而得到二次函數(shù)的解析式和頂點(diǎn)坐

標(biāo).

【解析】設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=o^+bx+c,

c=0

由題意得＜a-b+c=-l,

a+b+c=9

a=4

解得，b=5.

c=0

故二次函數(shù)的解析式為y=4x2+5x,

y=4x2+5x=4卜=4［尤+g),

頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

\°Io?

【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求

解二次函數(shù)表達(dá)式.

24.二次函數(shù)y=分+桁-3中的x,y滿足下表:

X-10123

y=ax1+Z?x-30-3-4-3m

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

(2)求機(jī)的值.

【答案】⑴y=--2x-3

(2)0

【分析】(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)待定系數(shù)法求解析式即可求解.

(2)根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性即可求解.

【解析】(1)解：根據(jù)表格可知對(duì)稱軸為直線無=1,且*=1時(shí)丫=々，即頂點(diǎn)為(LT),

設(shè)解析式為y=q(x-l)2-4,當(dāng)x=0時(shí)，y=-3,

即a—4=—3,

解得a=l,

22

???這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：y=(x-l)-4=x-2x-3f

即y=x2-2x-3

(2)解：:對(duì)稱軸為直線x=l,

.?.當(dāng)x=3與x=-l時(shí)的函數(shù)值相等，

m=0

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性求函數(shù)值，掌握二

次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.某工廠計(jì)劃為一批長(zhǎng)方體形狀的