重難點(diǎn)專題43圓錐曲線與四心二十一大題型匯總

題型1圓錐曲線重心與離心率........................................................1

題型2圓錐曲線重心與直線...........................................................3

題型3圓錐曲線重心與面積...........................................................4

題型4圓錐曲線重心與坐標(biāo)...........................................................5

題型5圓錐曲線重心與軌跡方程......................................................6

題型6圓錐曲線外心與離心率........................................................8

題型1圓錐曲線外心與坐標(biāo)...........................................................9

題型8圓錐曲線外心與軌跡方程.....................................................10

題型9圓錐曲線外心與求值..........................................................12

題型10圓錐曲線內(nèi)心與離心率......................................................13

題型11圓錐曲線內(nèi)心與內(nèi)切圓半徑..................................................15

題型12圓錐曲線內(nèi)心與直線（曲線）................................................16

題型13圓錐曲線內(nèi)心與面積........................................................17

題型14圓錐曲線內(nèi)心與軌跡方程....................................................18

題型15圓錐曲線內(nèi)心與求值........................................................20

題型16圓錐曲線垂心與離心率......................................................21

題型17圓錐曲線垂心與直線（曲線）...............................................23

題型18圓錐曲線垂心與面積........................................................25

題型19圓錐曲線垂心與坐標(biāo)........................................................25

題型20圓錐曲線垂心與軌跡方程....................................................27

題型21四心綜合....................................................................29

題型1圓錐曲線重心與離心率

中F期重點(diǎn)

一、三角形重心的定義

三角形的重心：三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就是三角形的重心.

二、三角形重心常見結(jié)論

（1）G是"8C的重心og5+或+元=6;重心坐標(biāo)：6（心+；+/+;+為

（2）G為"BC的重心，P為平面上任意點(diǎn)，則而=上同+而+定）；

（3）重心是中線的三等分點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比是2:1;

（4）重心與三角形的3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形的面積相等，即重心到3條邊的距離與3

條邊的長成反比.、

【例題1】（2019上?江蘇?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)4,尸分別為橢圓。《+看=1（a〉b>0）

的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，Bi,&為橢圓C短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若點(diǎn)F恰為44當(dāng)&的重心，則橢圓C

的離心率的值為

【變式1-111.（2020下?浙江?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知％、?2為橢圓《+看=l（a>6>0）

的左、右焦點(diǎn)，P的橢圓上一點(diǎn)（左右頂點(diǎn)除外），G為為重心.若NFiG&w|兀恒成

立，則橢圓的離心率的取值范圍是（）

A.（O,1]B.（O,|]C.[|,1]D.[1,I）

【變式1-112.（2018?貴州貴陽?高三階段練習(xí)）在雙曲線C：g-g=l（a>0,b>0）的右

支上存在點(diǎn)力，使得點(diǎn)4與雙曲線的左、右焦點(diǎn)％,92形成的三角形的內(nèi)切圓P的半徑為。，

若ZMFF2的重心G滿足PG〃F/2,則雙曲線C的離心率為

A.V2B.V3C.2D.V5

【變式1-1]3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓l（a>b>0為勺左右焦點(diǎn)為

F1、F2,點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn),的重心、內(nèi)心分別為G、I,若花=2（1,0）0力0）,

則橢圓的離心率e等于（）

A△.12BD-返2CJ工45D遮2t

【變式1-114.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線。f|=l（a>0,b>0）在左右焦點(diǎn)

分別為％,出,若在曲線C的右支上存在點(diǎn)P,使得△「？】七的內(nèi)切圓半徑a,圓心記為M,

又△「％出的重心為G,滿足"G平行于x軸，則雙曲線C的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【變式1-1】5.（2020?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C:§+g=1（a>b>0）

的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P為橢圓C上不與左右頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)I,G分別為

△PF1F2的內(nèi)心和重心.當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化時(shí)，橢圓C的離心率

為

題型2圓錐曲線重心與直線

【例題2】（2020下?河北石家莊?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線=8%的焦點(diǎn)為F,P1（

肛打）島02，丫2）島03/3）為拋物線。1的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)其中久1<%2<乂3且>2<。，若F為△P/2

P3的重心，記△P1P3P3三邊P1P2Plp3產(chǎn)2P3的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離分別為心扉2,距,

且滿足di+d3=2d2,則P1P3所在直線的斜率為（）

A.1B.|C.2D.3

【變式2-1】1.（2019?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線=4x上有三個(gè)不同的

點(diǎn)4BC直線力B,BC,4C的斜率分別為膜B，/CBC，膜c若滿足：kAB+kAC=。.且44BC的重心在直

線y=-1上.則=（）

A.-2B.C.-|D.-|

【變式2-1】2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:f+y2=l

FI

的左右焦點(diǎn)分別為Fi,F2I過且斜率不為0的直線1與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，若△ABF?

的重心為G,且|OG|=,則直線/的方程為

【變式2-1】3.（2020?浙江?校聯(lián)考三模）已知橢圓。9+3=1的右焦點(diǎn)為F（l,0）,上頂

點(diǎn)為B,則B的坐標(biāo)為，直線MN與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，且△BMN的重心

恰為點(diǎn)尸，則直線MN斜率為

【變式2-1】4.（2020?上海?高三專題練習(xí)）已知直線L交橢圓"+卷=1于M、N兩點(diǎn)，

橢圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)B,若4BMN的重心恰好落在橢圓的右焦點(diǎn)F上，則直線L的方程

是

【變式2-1】5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:f+y2=l

的左右焦點(diǎn)分別為％,F2,過6且斜率不為0的直線1與橢圓C交于4,B兩點(diǎn)，若△ABF?

的重心為G,且|OG|=],則直線/的方程為

題型3圓錐曲線重心與面積

【例題3】（2020?吉林?統(tǒng)考三模）設(shè)點(diǎn)P為橢圓C：||+f|=l上一點(diǎn)，F(xiàn)i、尸2分別是橢圓C的

左、右焦點(diǎn)，目4PFF2的重心為點(diǎn)G,如果|PFJ|PF2l=2：3,那么/GPFi的面積為（）

A.苧B.2V2C.竽D.3V2

【變式3-1】1.（2020下?重慶九龍坡?高三重慶市育才中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)點(diǎn)P為橢圓：

總+芻=1上一點(diǎn)，F(xiàn)i，尸2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，G為4PFF2的重心，且PF1IPF2,那

么4GPF2的面積為

【變式3-1]2.（2019上?上海浦東新?高三上海市建平中學(xué)校考期末）已知拋物線產(chǎn)=8%

的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)A、B、C在拋物線上,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)F為AABC的重心,AOF4、"FB、^OFC

面積分別記為Si、S2、S3,則S/+S22+S32的值為

A.16B.48C.96D.192

【變式3-1】3.（2022?四川資陽統(tǒng)考二模）設(shè)F為拋物線產(chǎn)=4%的焦點(diǎn)，4SC為拋物線

上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)F是AABC的重心，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，△。凡4、AOFB、=FC的面積分別為

Si、52、S3,則望+S,+S,=

A.9B.6C.3D.2

【變式3-1】4.（2020上?浙江?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知％（—1,0）,尸2（1，0）,M是第一

象限內(nèi)的點(diǎn)，且滿足|MFi|+|MF2l=4,若/是△MF1F2的內(nèi)心，G是△MF1出的重心,記

△/FF2與△GFi”的面積分別為S-S2,則（）

A.Si>S2B.Si=52C.Si<S2D.Si與S2大小不確定

題型4圓錐曲線重心與坐標(biāo)

【例題4】(2019?甘肅校聯(lián)考一模)已知人B分別是雙曲線C：久2—9=1的左、右頂點(diǎn)，P

為C上一點(diǎn)，且P在第一象限.記直線24,PB的斜率分別為七，k2l當(dāng)2的+6取得最小值

時(shí)，△P4B的重心坐標(biāo)為()

A.(U)B.(1肌(Q)D.(捐)

【變式4-1]1.(2019?河北衡水?統(tǒng)考一模)已知拋物線產(chǎn)=4x上有三點(diǎn)4B,C,AB,BC,CA

的斜率分別為3,6,-2,則2MBe的重心坐標(biāo)為

A.(5,1)B.40)C.點(diǎn)0)D.募1)

【變式4-1]2.(2020下?重慶沙坪壩?高三重慶南開中學(xué)校考期中)拋物線。產(chǎn)=2PMp>0)

的焦點(diǎn)為F,48是拋物線C上兩點(diǎn)，且|AF|+|BF|=10,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若404B的重心為

P,貝如=()

A.1B.2C.3D.4

【變式4-1】3.(2018?福建莆田?統(tǒng)考一模)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線=8%的焦

點(diǎn)，過F作直線與C交于4B兩點(diǎn).若|4B|=10,則40AB重心的橫坐標(biāo)為

A.IB.2C.ID.3

【變式4-1】4.(2020?陜西?統(tǒng)考二模)已知拋物線「：步=2「久(p>0),從點(diǎn)M(4,a)

(a>0)發(fā)出，平行于久軸的光線與r交于點(diǎn)4經(jīng)r反射后過廠的焦點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)B,

若反射光線的傾斜角為g,MN|=2,則的重心坐標(biāo)為()

A.(2,-V3)B.(|,0)C.(3,—9D.(2,—學(xué)

【變式4-1】5.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知SBC是橢圓?+\=l(3>b>0)的內(nèi)接

三角形，F(xiàn)是橢圓的上焦點(diǎn)，且原點(diǎn)。是AABC的重心.求A,B,C三點(diǎn)到F距離之和

為

【變式4-1]6.（2016上?湖南?高三階段練習(xí)）設(shè)直線Z：x—2y—m=0與橢圓C：9+必=1

相交于4B兩點(diǎn)，M為橢圓C的左頂點(diǎn)，若/48M的重心在y軸右側(cè)，則小的取值范圍

是.

【變式4-1】7.（2020?吉林長春?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線。爐=軌的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P、

Q、R在C上，目4PQR的重心為F,則|PF|+|QF|的取值范圍為

A.（3.1）ug,5]B.[4.1）ug,5]C.（3,4）u（4,鄉(xiāng)D.[3,5]

題型5圓錐曲線重心與軌跡方程

焦點(diǎn)三角形重心軌跡方程：

22

①設(shè)點(diǎn)G為橢圓/+底=l（a〉b>0）的焦點(diǎn)三角形PF/2的重心,則點(diǎn)G的軌跡方程為m+

證明：如圖1,設(shè)PQo,yo）,則有yo力0（否則不能成為三角形），橢圓左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)為

%（—c,0）,F2（c,0）,APF1&由重心為G（x,y）,由三角形重心坐標(biāo)公式，有％=血蟲產(chǎn)=

==即"0=3久,yo=3y,代入橢圓方程，可得管+誓=1,化簡可得

工2y2汽2y2

甘+甘=1,又?.?見大0,.?.yKO,于是其重心的軌跡方程為甘+窗=l（yK0）,即以

原橢圓的長軸長的《為長軸，以原橢圓的短軸長的g為短軸的橢圓（頂點(diǎn)除外）.

圖1圖2

②設(shè)點(diǎn)G為雙曲圖—居=l（a>0,6>0）的焦點(diǎn)三角形PF#2的重心，則點(diǎn)G的軌跡方程為

證明：如圖2,設(shè)P（x0,yo）,則有加力0（否則不能成為三角形），雙曲線左、右焦點(diǎn)坐標(biāo):

+（；）+c

為尸1（—c,0）,F2（C,0）,APF#2由重心為GO,y），由重心坐標(biāo)公式,有久=久。=詈,y=

”^=生即孫=3久,y°=3y,代入雙曲線方程，可得誓一誓=1,化簡可得自一百

_,............一x2y2__...

=1,又yo。。，???y。0,于是其重心的軌跡方程為可—m=l（y。0）,即以原雙曲線

的實(shí)軸長的內(nèi)為實(shí)軸，以原雙曲線的虛軸長的內(nèi)為虛軸的雙曲線（頂點(diǎn)除外）.

【例題5】（2018上?重慶?高三重慶一中校考期中）已知P是以％尸2為焦點(diǎn)的雙曲線看-看

=1上的動(dòng)點(diǎn)，貝必尸/2P的重心G的軌跡方程為（）

A.誓-y2=l（y40）B.誓-％2=l（y力0）

C.誓+y2=i（y大o）D.誓+/=l（y40）

【變式5-1]1,（2022上?福建福州?高三校考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)p（-|,o）,

Q（|,。），點(diǎn)G與P,Q兩點(diǎn)的距離之和為2,N為一動(dòng)點(diǎn)，且G為△PQN的重心

⑴求點(diǎn)N的軌跡方程C；

（2）設(shè)C與x軸交于點(diǎn)A,B（A在B的左側(cè)），點(diǎn)M為C上一動(dòng)點(diǎn)（且不與4,B重合）.設(shè)直線

AM,久軸與直線％=汾別交于點(diǎn)R,S,取僅2,0）,連接ER,證明：ER為NMES的角平分線.

【變式5-1】2.（2022上?廣東揭陽?高三揭東二中校考階段練習(xí)）已知用、尸2是橢圓C：9+

9=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（m,n）5力0）是橢圓上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求△PF1&的重心G的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)Q（s,t）是△PF1出的內(nèi)切圓圓心，求證：m=2s.

【變式5-1】3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）點(diǎn)Ng,%），B（X2,yi）是拋物線=2y上的

不同兩點(diǎn)，過4B分別作拋物線。的切線，兩條切線交于點(diǎn)P（&,yo）.

(1)求證：“0是X1與X2的等差中項(xiàng)；

(2)若直線XB過定點(diǎn)M(0,l),求證：原點(diǎn)。是△P4B的垂心；

(3)在(2)的條件下，求△P4B的重心G的軌跡方程.

【變式5-1]4.(2020?浙江?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知O是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C:久2=4y

的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M,△04B的重心為G.

(1)求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程；

(2)設(shè)(1)中的軌跡與y軸的交點(diǎn)為D,當(dāng)直線AB與x軸相交時(shí)，令交點(diǎn)為E,求四邊

形DEMG的面積最小時(shí)直線AB的方程.

題型6圓錐曲線外心與離心率

!:均＞占

f.壬?、、、

一、三角形外心的定義

三角形的外心：三角形外接圓的圓心，稱為外心，三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，就是

三角形的外心.

二、三角形外心重要結(jié)論

(1)。是△力BC的外心=|就|=|礪|=|覺|(或就2=而2=反2)；

(2)若點(diǎn)。是△4BC的外心，貝+詁)?通=二（礪+玩）?前=畫+反）?AC=0.

(3)若。是△48C的外心，則sin22?Dl+sin2B,OB+sin2C?。。=6;

⑷斜三角形外心坐標(biāo)：。(鈣尸祟鏟,y/sin2A+yBsin2B+ycsin2C、.

\sm2i44-sin2B+sin2Csin2i4+sin2B+sin2C）'

（5）多心組合：△ABC的外心0、重心G、垂心，共線，即加II而；

【例題6】（河北省衡水市2019屆高三下學(xué)期五月大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）已知坐標(biāo)平面久Oy

中，點(diǎn)尸1,七分別為雙曲線C核—產(chǎn)=1（a>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線C的左支上，

MF2與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)D,且。為MF?的中點(diǎn)，點(diǎn)/為△。〃尸2的外心，若。、人

。三點(diǎn)共線，則雙曲線C的離心率為（）

A.V2B.3C.V5D.5

【變式6-1】1.（2020?湖北宜昌?統(tǒng)考一模）設(shè)F（c,0）為雙曲線E：/—3=1似>0力>0）的

右焦點(diǎn),以F為圓心,。為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,線段FP的中點(diǎn)為。,/POF

的外心為/,且滿足加=4萬（％力0）,則雙曲線E的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【變式6-1]2.（2018上?湖南長沙?高三寧鄉(xiāng)一中階段練習(xí)）匕尸2分別為雙曲皖—看=1

（a,6>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，滿足布?麗=0,若4PFF2的內(nèi)切圓半徑與

外接圓半徑之比為亨，則該雙曲線的離心率為

【變式6-1】3.（2020?山東泰安統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)乙,&分別為雙曲線。：§-g=l

（a>0,6〉0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A,B在C的右支上，且點(diǎn)尸2恰好為△F〃B的外心，若（方

+/）?4%=。，則C的離心率為

題型7圓錐曲線外心與坐標(biāo)

【例題7】（2022?全國?高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中直線y=x+4與拋物線C:/

=4y交于A,B兩點(diǎn).若D為直線y=x+4外一點(diǎn)，且△2BD的外心M在C上，則M的

坐標(biāo)為

【變式7-1】1.（2019?浙江?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓卷+?=1的下頂點(diǎn)為4若直線

%=以+4與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N,貝！]當(dāng)七=時(shí)，4ZMN外心的橫坐標(biāo)最大.

【變式7-1】2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，橢圓G：J+y2=i,拋物線C2：久2

=2py（p>0）,設(shè)3、C2相交于人B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).若△AB。的外心在橢圓上，則

實(shí)數(shù)P的值；

【變式7-1]3.（2022全國高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓C，+9=1的右焦點(diǎn)為F,過尸的直線/

??4-D

與c相交于48兩點(diǎn).設(shè)過點(diǎn)小乍X軸的垂線交C于另一點(diǎn)P,若M是△P4B的外心，則湍的

值為

【變式7-1】4.（2022全國高三專題練習(xí)）已知橢圓C:9+9=1的左、右焦點(diǎn)分別為

??4-D

Fi,F2,過F2的直線1交橢圓C于4B兩點(diǎn)，過4作x軸的垂線交橢圓C與另一點(diǎn)Q（Q不與4B

重合）.設(shè)△力BQ的外心為G,則搭的值為

【變式7-1】5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系“Oy中，已知橢圓C的方程

為9+必=1,設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P（2,0）的直線1交橢圓C于4,B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q（m,0）.設(shè)點(diǎn)F為橢圓C的左

焦點(diǎn)，若點(diǎn)Q為的外則實(shí)數(shù)小的值

題型8圓錐曲線外心與軌跡方程

(6)焦點(diǎn)三角形外心軌跡方程:

①動(dòng)點(diǎn)P為橢圓a+f?=l(a>6>0)上異于橢圓頂點(diǎn)(±a,0)的一點(diǎn)，％,&為橢圓的左、

右焦點(diǎn)，設(shè)焦點(diǎn)三角形PF1&的外心為心則外心E的軌跡方程為x=0(yN聯(lián)或yW

爭

②動(dòng)點(diǎn)P為雙曲線》一起=l(Gt>0,b>0)上異于雙曲線頂點(diǎn)(士a,0)的一點(diǎn)，Pi,&為雙曲

線的左、右焦點(diǎn)，設(shè)焦點(diǎn)三角形PF1&的外心為民則外心E的軌跡方程為x=0.

證明：只證雙曲線情形.如圖1,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為PQo，yo),則有火中。，.?點(diǎn)E在//2的垂直

平分線上，.??可設(shè)伏0,月).“生的垂直平分線的方程為y—芋=一發(fā)氣―警)，而點(diǎn)E

在其上，因此為=誓+岸"在雙曲線上，襦―*=1,?=薨—梟由于y°e

(-oo,0)u(0,+co),yiG/?,因此點(diǎn)E的軌跡方程為X=0.同理可證橢圓情形.

圖1

【例題8】(2022?全國?高三專題練習(xí))已知點(diǎn)4(2,0),5c在y軸上，且|BC|=4,則△??

外心的軌跡S的方程；

【變式8-1】1.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)點(diǎn)M、N分別是不等邊△力BC的重心與外

心，已知4(0,1)、5(0,-1),SMN=^AB.則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E；

【變式8-1】2.(2022?全國?高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)4在圓。：x2+y2

=5上，直線久=2與圓。交于E,尸兩點(diǎn)(E點(diǎn)在久軸上方)，點(diǎn)P(E)(0(根<3是拋物線

、2=2%上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為4「石尸的外心，則線段。Q長度的最大值為，當(dāng)線段。Q長度最

大時(shí)，則△PEF外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【變式8-1】3.(2021?河北石家莊?統(tǒng)考一模)已知坐標(biāo)原點(diǎn)為。，雙曲線C：《—3=1

(a>0,b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為伍離心率為四

(I)求雙曲線的方程；

(n)設(shè)過雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P(%o，yo)的直線久ox-等=1分別交雙曲線的兩條漸近線于4B兩

點(diǎn)，求△40B的外心M的軌跡方程.

【變式8-1]4.(2021?全國?模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的

坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),平面內(nèi)兩點(diǎn)G,M同時(shí)滿足以下3個(gè)條件：①G是AABC三條

邊中線的交點(diǎn)：②M是AABC的外心；③GM〃AB

(1)求AABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)若點(diǎn)P(2,0)與(1)中軌跡上的點(diǎn)E,F三點(diǎn)共線,求|PE|?|PF|的取值范圍

題型9圓錐曲線外心與求值

【例題9】(2022?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知橢圓r：9+9=1,過其左焦點(diǎn)Fi作直線I交

4-D

橢圓r于p,A兩點(diǎn)，取P點(diǎn)關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)B.若G點(diǎn)為APAB的外'則措=()

A.2B.3C.4D.以上者B不對

【變式9-1】1.(2023下?廣東清遠(yuǎn)?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知雙曲線C*-左=1

9>0力>0)的右焦點(diǎn)為尸(2,0),過點(diǎn)F的直線/與雙曲線C的右支相交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)

于V軸對稱的點(diǎn)為P.當(dāng)麗-MP=。時(shí)，|MN|=竽.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若△MNP的外心為Q,求居1的取值范圍.

【變式9-1]2.(2020下?福建?高三統(tǒng)考階段練習(xí))設(shè)橢圓+?=1的右焦點(diǎn)為F,過F

的直線1與c相交于4B兩點(diǎn).

(1)若麗=2而，求珀勺方程;

(2)設(shè)過點(diǎn)a作X軸的垂線交c于另一點(diǎn)P,若M是△PA8的外心，證明:揣為定值.

【變式9-1】3.(2021?四川眉山?仁壽一中校考模擬預(yù)測)已知橢圓C：，+，=l(a>6>0)

的左右焦點(diǎn)分別是Fi，F(xiàn)2,P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(與左右頂點(diǎn)不重合)，已知△PFF2的內(nèi)切圓半

徑的最大值是看橢圓的離心率懸.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過"(4,0)作斜率不為0的直線1交橢圓于4B兩點(diǎn)，過B作垂直于x軸的直線交橢圓于另

一點(diǎn)Q,連接4Q,設(shè)△ABQ的外心為G,求證：搭為定值.

題型10圓錐曲線內(nèi)心與離心率

B,已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若/。48的內(nèi)切圓的半徑為鋁a,則雙曲線C的離心率為()

A.竽B.V3+1C.竽D.竽或2

22

【變式10-1]1.（2020?浙江紹興?統(tǒng)考二模）雙曲線C1表—左=l（a>0,b>0）的漸近線與

拋物線。2：久2=2「3/3>0）交于點(diǎn)4。方，若拋物線。2的焦點(diǎn)恰為440B的內(nèi)心，則雙曲線的

的離心率為（）

A.IB.gC.華D.空

【變式10-112.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)尸是雙曲線嗒—著=1（a>。力〉0）的右

焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過尸作C的一條漸近線的垂線，垂足為“，若△F。”的內(nèi)切圓與x軸切

于點(diǎn)B,且而=2赤，則C的離心率為（）

A3+V17g4+V17^3+3VI7口3+3V17

?4,4,84

27

【變式10-113.（2021?遼寧?統(tǒng)考二模）已知雙曲線a―左=1的左右焦點(diǎn)為鼻/2,。為它

的中心，P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，4PFF2的內(nèi)切圓圓心為/,且圓/與X軸相切于4點(diǎn)，過92

作直線P/的垂線，垂足為B,若雙曲線的離心率為e,則

A.\OB\=\OA\B.\OB\=e\OA\C.\OA\=e\OB\D.|OB|與|0"關(guān)系不確定

【變式10-1]4.（2019下?福建南平?高三統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)P為雙曲線'

=l（a>0力>0）右支上一點(diǎn)，點(diǎn)F1,F2分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)I是APF1F2的內(nèi)心

（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有—SAIPFZ>爭A/FFz成立，則雙曲線的離心率取值

范圍是（）

A.（1,V2）B.（1,2V2）

C.（1,2V2]D.（1,V2]

【變式10-1】5.（2019上河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過雙曲穌—\=1（（1>6>0）右焦

點(diǎn)F的直線交兩漸近線于4B兩點(diǎn)，若西?而=0,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△04B內(nèi)切圓半徑為

與匕，則該雙曲線的離心率為

A.竽B.gC.竽D.V3+1

題型11圓錐曲線內(nèi)心與內(nèi)切圓半徑

、L：

戔"重占

f.豐?、、、<

三角形內(nèi)切圓的半徑求法：

①任意三角形：「=爭(其中品為△ABC的周長，SA為△48C的面積)；

^-石，通但中卜力吉隹、力力鐘力)

②直角二角形：7=二—(其中a,b為直角邊，c為斜邊)；

【例題11】(2022?全國?高三專題練習(xí))已知雙曲線■—著=1(a>0,b>0)的兩條漸

近線與拋物線產(chǎn)=20比(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線C的離

心率為2,4408的面積為遙，則4408的內(nèi)切圓半徑為()

A.—1B.+1C.2->j3—3D.2V+3

【變式11-111.(2017?江西撫州?統(tǒng)考一模)點(diǎn)Fi、電分別是雙曲線了—9=1的左、右

焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，貝必的內(nèi)切圓半徑「的取值范圍是

A.(0,V3)B.(0,2)C.(0,V2)D.(0,1)

【變式11-1]2.(2023?全國?模擬預(yù)測)如圖,已知雙曲線謂一1=l(a>0,b>0)的左、

右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn)，且F2P的延長線交y軸于點(diǎn)4,且Fm-F2P=0,

△4PF1的內(nèi)切圓半徑為4,△PF1&的面積為9,貝山1&1仍/2|=()

A.18B.32C.50D.14

【變式11-113.（2021?云南昆明?昆明一中校考模擬預(yù)測）已知橢圓C:琶+著=1的左、

右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)M在橢圓C上，當(dāng)AMF1F2的面積最大時(shí)，AMF1F2內(nèi)切圓半

徑為（）

A.3B.2C.|D.

29

【變式11-1】4.（2023?湖南邵陽?邵陽市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)橢圓也+標(biāo)=1

（a>6>0）的左右焦點(diǎn)分別為％和&,離心率為手，過左焦點(diǎn)Fi且傾斜角為60。的直線與橢

圓交于4B兩點(diǎn)，且線段力B=5,則△ABF2的內(nèi)切圓半徑等于

【變式11-1】5.（2023上?廣東廣州?高三廣東廣雅中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓。蚤+3

=l（a>b>0）的右頂點(diǎn)為4,上頂點(diǎn)為B,。為坐標(biāo)原點(diǎn),且直線力B的方程為gx+2y-2V3

=0.

⑴求橢圓C的方程；

（2）f為橢圓C的左焦點(diǎn)，直線及橢圓C于M,N（不與點(diǎn)4重合）兩點(diǎn)記直線AM,AN,1的

斜率分別為七，電，k,滿足：的+七=一★記△FMN的內(nèi)切圓半徑為r,求r的取值范圍.

題型12圓錐曲線內(nèi)心與直線（曲線）

【例題12]（2018?河北石家莊?統(tǒng)考一模）已知F1,F2分別為雙曲穌—1（?>06>0）

的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過F2的直線I與雙曲線的右支交于A,B兩點(diǎn)，AAF1F2的內(nèi)切圓半徑

為r1,ABF1F2的內(nèi)切圓半徑為r2,若r1=2r2,則直線I的斜率為（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【變式12-1】1.（2016?福建漳州?統(tǒng)考二模）已知雙曲線C:5-g=l（a>0,b>0）的左、

右焦點(diǎn)為％,F2,P為雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，△PF/2的內(nèi)切圓與工軸切于點(diǎn)

（1.0）,且P與點(diǎn)Fi關(guān)于直線>=-與對稱，則雙曲線方程為

【變式12-1】2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）點(diǎn)P是雙曲線C：卷—著=1的上支上的一點(diǎn),

F1,F2分別為雙曲線的上、下焦點(diǎn)，則APF1F2的內(nèi)切圓圓心M的坐標(biāo)一定適合的方程是

()

A.y=-3B.y=3C.x2+y2=5D.y=3x2-2

【變式12-1】3.（2020?山西?統(tǒng)考三模）已知橢圓喏+餐=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分

別為Fi,F2,P為C上一點(diǎn)，若/為△PFF2的內(nèi)心，S.SAPF1F2=3SAIF1F2,則C的方程可能

是

A.1+y2=iB.9+y2=i

c比+比=1Dg+比=1

3243

【變式12-1】4.（2015?浙江杭州?統(tǒng)考一模）已知橢圓C:§+g=l（a>/）>0）,F1,F2

為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2,g）在橢圓C上，aFiPF2的重心為G,內(nèi)心為/,且有歷=4瓦瓦（A

為實(shí)數(shù)），則橢圓方程為（）

A.餐+/=1B.[+4=1

86164

c比+比=1D正+比=1

927105

題型13圓錐曲線內(nèi)心與面積

【例題13】（2019?安徽?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)P為橢圓4?+?J=1上任一點(diǎn),

c

F1,&為其左右兩焦點(diǎn)，△0％七的內(nèi)心為I,則就之二（）

【變式13-1】1.（2020上?貴州貴陽高三貴陽一中校考階段練習(xí)）雙曲%-普=1的左、

右焦點(diǎn)分別為Fl,F2,p為雙曲線右支上一點(diǎn)，1是4PF1F2的內(nèi)心，且以/PF2=S〃P%—4

S4/F/2,則"=（）

A.B.—C.|D.

【變式13-1】2.（2020上?浙江?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知％（—1,0）,F2（1，0）,“是第

一象限內(nèi)的點(diǎn)，且滿足|MFi|+|MF2l=4,若/是△MF1F2的內(nèi)心，G是△MF*?的重心，

記△/FiFz與AGFiM的面積分別為Si,S2,則（）

A.Si>S2B.Si=S2C.Si<S2D.Si與S2大小不確定

【變式13-1]3.（2012?浙江?校聯(lián)考一模）已知點(diǎn)P為雙曲舞一餐=l（a>0,b>0）右支

上一點(diǎn)，％,尸2分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且仍1尸2|=會為三角形PFF2的內(nèi)心，若S〃PF]=

S4/PF2+4S〃F/2成立，則加勺值為

A.2V3-1C.V2+1D.V2-1

【變式13-1】4.（2019下?河南洛陽?高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線—9=1的左，右焦

點(diǎn)F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線上左支上動(dòng)點(diǎn)則三角形PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為G,若AGPF]

與△GF/2的面積分別為SS,則翔值范圍是

題型14圓錐曲線內(nèi)心與軌跡方程

IWbI

那卜堂重點(diǎn)

（6）焦點(diǎn)三角形內(nèi)心軌跡方程：

①設(shè)點(diǎn)M為橢圓今+餐=l（a>6〉0）的焦點(diǎn)三角形嗎尸2的內(nèi)心，則點(diǎn)M的軌跡方程為：f

+（±）2=l（y士0）,其中。=7蟆—b?.1

證明：如圖1,設(shè)M（%,y）,P（%o，yo），連結(jié)PM交直線于點(diǎn)。（打，0）,由三角形內(nèi)角平

aEXi

分線定性質(zhì)知盟=制=嵩H2又■■■\PFi\=+V'\FiD\=x1+c,

~c^'

又由|MP|=?|M0|,得%o=上,y（）=延/，嚏+*=1,4+建1=l（y力0）

圖1圖2

②設(shè)點(diǎn)/為雙曲穌—l(a>0,6>0)的焦點(diǎn)三角形PF/2的內(nèi)心，則有：

(1)當(dāng)P在雙曲線右支上時(shí)，點(diǎn)/的軌跡方程為x=a(|y|<6,yK0)；

(2)當(dāng)P在雙曲線左支上時(shí)，點(diǎn)/的軌跡方程為x=—a(|y|<b,yA0).

證明：(1)當(dāng)P在雙曲線右支上時(shí)，如圖2,設(shè)圓/與P%,PF2,F#2分別相切于點(diǎn)4,B,C,

則有四*=|FiC|,\PA\=\PB\,\F2B\=\F2C\.?.?在雙曲線右支上，；.|PFi|-\PF2\12a,

即嗎如—M2BI=2?又|FiC|—|F2c|=2a,設(shè)C(/,0),則有/—(—c)—(c—/)=2a,

化簡，有才=a.從而知總圓/與無軸相切于點(diǎn)C(a,0),又久軸，故點(diǎn)/的軌跡方程為

x=a.

設(shè)/的縱坐標(biāo)為y,NPF/2=a,則有a=tan^<干=彳，；?|y|<b且y*0.

C

綜上所述，點(diǎn)/的軌跡為％=a(|y|<b,yH0).

(2)仿照(1)的證明可證得：當(dāng)P在雙曲線左支上時(shí)，圓/總與x軸相切于點(diǎn)C(-a,0),點(diǎn)

/的軌跡為％=-a(|y|<b,y00).

【例題14】(2018上?浙江金華?高三校聯(lián)考期末)已知%尸2為橢圓C：9+?=l的左、右焦

點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上移動(dòng)時(shí)，/PF/2的內(nèi)心/的軌跡方程為

【變式14-1】1.(2019上四I成都高三成都七中校考期中)點(diǎn)M為橢圓著+9=1上一

點(diǎn)，F(xiàn)1，尸2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則△F1MF2的內(nèi)心軌跡方程為

【變式14-1】2.（2022上?全國?高三階段練習(xí)）若雙曲線C:9—9=1,F-F2分別為左、

右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P是在雙曲線上且在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)/為APFF2的內(nèi)心，4（0,4）,則下列

說法正確的是（）

A.雙曲線C的漸近線方程為；±（=0

B.點(diǎn)/的運(yùn)動(dòng)軌跡為雙曲線的一部分

—>>*o

C.^\PF1\=2\PF2\,PI=xPFr+yPF2,則y—x=§

D.不存在點(diǎn)P,使得|P*+|PFi|取得最小值

【變式14-1】3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓5+\=1（口>。>0）左、右焦點(diǎn)分

別為％,F2，P為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，aPFFz的內(nèi)心為/,求點(diǎn)/的軌跡方程.

題型15圓錐曲線內(nèi)心與求值

【例題⑸（2018上河北石家莊?高三辛集中學(xué)階段練習(xí)）已知“是橢圓+藉=1上一點(diǎn)，

Zblo

Fi,尸2是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)/是4MF/2的內(nèi)心，延長M/交線段于M則制的值為

（）

A.|B.|C.|D.1

【變式15-1】1.（2017?湖北襄陽?襄陽四中校考一模）橢圓/+5=1（￡1>6>0）的兩焦點(diǎn)

是、為橢圓上與鼻、不共線的任意一點(diǎn)，/為的內(nèi)心，延長交線段

FiF2IM/2△MF*?M/

尸1尸2于點(diǎn)N,則舊勺值等于（）

.aa_bfC

A?石B.7C.-D.-

【變式15-1】2.（2016上?湖南衡陽?高三統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)M在橢圓：，+，=l（a>6>0）

上，%、F2為左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)T是內(nèi)心，連接MT并延長交線段于N,則黑的

值為

22baDz

A.y/a—bB.7d-b2

-b-Va2—b2c.yJa2—b2?a

【變式15-1】3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓9+必=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，

F2,M是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，^F1MF2=26,△MF1F2的內(nèi)心為I,則|M/|cose=

（）

A.2-V3B.IC.孝D.三

【變式15-1]4.（2019上?云南昆明?高三云南師大附中校考階段練習(xí)）設(shè)FI,F2為橢圓C:9

+必=1的兩個(gè)焦點(diǎn).M為C上點(diǎn)，4M%F2的內(nèi)心?的縱坐標(biāo)為2—8，貝此尸1“92的余弦

值為

題型16圓錐曲線垂心與離心率

【例題16]（2017?云南紅河?高三階段練習(xí)）已知%,&分別是雙曲圖—看=1Q>0,b>0）

的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)Fi且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于4B兩點(diǎn)，若

坐標(biāo)原點(diǎn)。恰為△ABF?的垂心（三角形三條高的交點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）

A.亨B.魚C.V3D.3

【變式16-1】1.（2019?四川廣元統(tǒng)考二模）平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線g:

=l（a>0,b>0）的兩條漸近線與拋物線C：x2=2py（p>0）交于O,A,B三點(diǎn)，若AOAB

的垂心為C2的焦點(diǎn)，則Ci的離心率為（）

A.V2B.|C.2D.|

【變式16-1】2.（2020?全國?高三專題練習(xí)）已知雙曲線J:§-g=l（a>0,b>0）的

漸近線與拋物線C2：/=2py（p>0）交于點(diǎn)0、4B,若404B的垂心為拋物線C2的焦點(diǎn)，

則雙曲線Ci的離心率為（）

A.|B.平C.乎D.2V3

zZZ

22

【變式16-1]3.（2017?河北衡水?校考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C點(diǎn)—方=1

（a>0,6>0）的漸近線與拋物線。2：7=2px（p>0）交于點(diǎn)。、A、B,若△04B的垂心為

的焦點(diǎn)，則Ci的離心率為（）

A.|B.而C.竽D.當(dāng)

【變式16-1】4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1:§-

，=1（a>0,b>0）的漸近線與拋物線C2:x2=2py（p>0）交于點(diǎn)。，A,B,若&OAB的垂

心為C2的焦點(diǎn)，則C1的離心率為（）

A.|B.C,1D.2

【變式16-1】5.（2023?河北衡水彳箕水市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，

橢圓E以兩坐標(biāo)軸為對稱軸，左，右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P為第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn),

P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q,過P作橢圓的切線。若Z14P,且的垂心恰好為坐標(biāo)原

點(diǎn)0,記橢圓E的離心率為e,貝監(jiān)2的值為

題型17圓錐曲線垂心與直線（曲線）