重難點(diǎn)專題40圓錐曲線二級(jí)結(jié)論之第三定義與中點(diǎn)弦十一大題型匯

總

fllnii

題型1第三定義之離心率問題........................................................1

題型2第三定義之斜率問題...........................................................3

題型3第三定義之定點(diǎn)定值問題......................................................6

題型4第三定義之軌跡方程問題......................................................6

題型5中點(diǎn)弦之離心率問題...........................................................7

題型7中點(diǎn)弦之直線或曲線方程問題..................................................9

題型8中點(diǎn)弦之弦長(zhǎng)問題............................................................10

題型9中點(diǎn)弦之斜率相關(guān)問題.......................................................10

題型10中點(diǎn)弦之軌跡方程問題......................................................12

題型11中點(diǎn)弦之定點(diǎn)定值問題......................................................12

題型1第三定義之離心率問題

駟』1重點(diǎn)

一、圓雉曲線第三定義（僅限于橢圓和雙曲線）

平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)4（—a,0）,42（a,0）（或公（0,—a）M2（0,a））的斜率乘積等于常數(shù)

e2-l的點(diǎn)的軌跡為橢圓或雙曲線.其中兩定點(diǎn)為橢圓或雙曲線的頂點(diǎn).當(dāng)0<e2<l時(shí)為橢

圓，當(dāng)e2>l時(shí)為雙曲線.

【例題1】（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）橢圓《+f|=l（a>b〉0）,過原點(diǎn)的直線交橢圓于

P,4兩點(diǎn)，其中p在第一象限，過p作久軸的垂線，垂足為c,連4C,并延長(zhǎng)交橢圓于B,若

PALPB,求橢圓的離心率.

JA

【變式MJ1.（2020下?西藏拉薩?高三拉薩中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)a>。為常數(shù)，動(dòng)點(diǎn)M（x,y）

（yK0）分別與兩定點(diǎn)Fi（-a,0）,尸2（氏0）的連線的斜率之積為定值4,若點(diǎn)M的軌跡是離心率

為板的雙曲線，貝氏的值為（）

A.2B.-2C.3D.V3

【變式1-1】2.（2020?全國(guó)?校聯(lián)考一模）已知4B是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，若橢

圓C上存在點(diǎn)P,使得直線P4PB斜率的絕對(duì)值之和為1,則橢圓C的離心率的取值范圍

是.

【變式1-113.（2019?四川成都?統(tǒng)考一模）設(shè)橢圓'=l（a>6>0）的左，右頂點(diǎn)為

4B,P是橢圓上不同于4B的一點(diǎn)，設(shè)直線力P,BP的斜率分別為機(jī),4則當(dāng)？+ln|m|+ln|可取得

最小值時(shí)，橢圓C的離心率為

A-IB-TD-T

【變式1-1】4.（2017?湖北武漢?校聯(lián)考一模）已知4B分別為橢圓9+，=1（0<b<3）

的左、右頂點(diǎn)，BQ是橢圓上的不同兩點(diǎn)且關(guān)于%軸對(duì)稱，設(shè)直線4P,BQ的斜率分別為g電

若點(diǎn)a到直線y=71二^久的距離為1,則該橢圓的離心率為

A.|B.C.|D.f

27

【變式1-1】5.（2017下?浙江紹興?高三諸暨牌頭中學(xué)校考期末）已知4B是橢圓會(huì)+:

=l（a>b>0）長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,N是橢圓上關(guān)于光軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線力MBN的斜率分別

為初七,且卜水2手0,若同+|6|的最小值為1,則橢圓的離心率為

A.|B.孝C.空D.日

【變式1-116.（2018?全國(guó)?校聯(lián)考一模）已知平行四邊形4BCD內(nèi)接于橢圓25+'=1

（a>6>0）,且AB,4D斜率之積的范圍為1）,則橢圓。離心率的取值范圍是

A.（瀉）B,停考C.（瀉）D,（1,0

題型2第三定義之斜率問題

wwwwwwwww/wwwwwwvwwwwwwwwwwwww*zwwvwwwwvwwwww/wwwwvwwwwwwwwwws

卻）:一知#6

【結(jié)論1】4,B為橢圓C:《+=l（a>b>0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上異于4,B的任一點(diǎn),

則有演4,kpB=e2—1=—^.

證明：設(shè)a（—a,O）,8（a,O）,PQo,y（））（yoAO）,^]kPA-kPB=^7,

又嗯+第=1，二五=/（1力）=嗎咨,

代入上式可得演4?加8=券=以守=

【結(jié)論2】a,8為橢圓噂+g=i（fl>b>O）的短軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上異于a,B的任一點(diǎn),

則有凝4,kpB=e2—1=—^7.

【結(jié)論3]A,8為橢圓+意=l（a>6>0）的長(zhǎng)軸（或短軸）兩端點(diǎn)，P是橢圓上異于4,

B的任一點(diǎn)，則有除4-8=62—1=—壓

【結(jié)論4]A,B為雙曲線-^=l（a>0,b>0）的實(shí)軸（或虛軸）兩端點(diǎn)，P是橢圓上異

于4,B的任一點(diǎn)，則有34.kps=e2—1=5.

a乙

【結(jié)論5]在橢圓C：《+=l（a>6>0）中，A,8是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上異于

4,8的一點(diǎn)，右女尸/存在，則有：kpA，kpB=e-1=——.

【結(jié)論6]在橢圓+冬=l（a>6>0）中，A,B是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上異于

2

4,8的一點(diǎn)，若口存在，則有：kPA-kPB=e-l=-^.

【結(jié)論7】在雙曲線定=1（（1>0,》>0）中，48是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是雙曲線

上異于4,B的一點(diǎn)，若kpA,kpB存在,則有：kpA-kpB=e2—1=誓

CL￡

【結(jié)論8】在雙曲線。《—餐=1俗>0,6>0）中，4B是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是雙曲線

上異于A,B的一點(diǎn)，若kpA,kpB存在,則有：kpA-kpB=e2_L=q

【例題2】（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）橢圓C，+9=l的左、右頂點(diǎn)分別為M、N,點(diǎn)P在C

上，且直線PN的斜率為-尢則直線PM斜率為（）

A.1B.3C.D.-3

【變式2-1】1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）橢圓C5+q=l的左、右頂點(diǎn)分別為兒4,

點(diǎn)P在C上且直線242的斜率的取值范圍是[-3,-1],那么直線P41斜率的取值范圍是

（）

A.6,|]B.[1,|]C.[|,1]D.1,1]

【變式2-1]2.（2020下?江西宜春?高三校考階段練習(xí)）"過原點(diǎn)的直線/交雙曲皖-看=1

（a>0,6>0）于4,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上異于A,8的動(dòng)點(diǎn)，若直線PA,PB的斜率均存在，

則它們之積是定值口類比雙曲線的性質(zhì)，可得出橢圓的一個(gè)正確結(jié)論：過原點(diǎn)的直線/交

橢圓《+餐=1（。>6>。）于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上異于4,8的動(dòng)點(diǎn)，若直線24,P8的斜

率均存在，則它們之積是定值（）

A.-§B.—^C.D.g

bzazazbz

【變式2-1]3.（2013?全國(guó)?高考真題）橢圓C:9+?=1的左右頂點(diǎn)分別為公,出，點(diǎn)P

在C上且直線P42斜率的取值范圍是[-2,-1],那么直線P公斜率的取值范圍是

A.靛B.設(shè)]C,[|<1]D.[J1]

【變式2-1】4.（2021上?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓C：琶+看

=1,Fi,尸2分別為它的左右焦點(diǎn)，A,B分別為它的左右頂點(diǎn)，已知定點(diǎn)Q（4,2）,點(diǎn)P是橢

圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是（）

A.存在點(diǎn)P,使得NFiPF2=120。B.直線24與直線PB斜率乘積為定值

C.兩y+而才有最小值彳D?|PQ|+|PFj的范圍為[2717,12]

【變式2-1]5.（2019上?河南商丘?高三商丘市第一高級(jí)中學(xué)校考期中）設(shè)P為橢圓C:§+

g=l（a>6>0）上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)i,尸2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，/為△PFJ2的內(nèi)心，

則直線/Fi與直線1尸2的斜率積（）

A.非定值，但存在最大值且為-與B.是定值且為-品

C.非定值，且不存在定值D.是定值且為-品

27

【變式2-1】6.（2021上?安徽?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線廣久=與與雙曲線C表—襄=1

相交于M、N兩點(diǎn)，雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,若直線AM與BN相交于點(diǎn)P,

則下列說(shuō)法正確的有（填寫正確命題的序號(hào)）

①實(shí)數(shù)Xo的取值范圍為x<-a或x>a;②直線AM與直線BN的斜率之積為定值；③點(diǎn)P

在橢圓/+§=1±；④三角形PAB的面積最大值為ab.

【變式2-1】7.（2021上?江蘇?高三校聯(lián)考期末）已知雙曲線C:§-§=1（a>0,b>0）

的上、下頂點(diǎn)分別為公，冬，點(diǎn)P在雙曲線C上（異于頂點(diǎn)），直線P&,P4的斜率乘積為

1則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=±B.丫=±爭(zhēng):C.y=±竽^D.y=±2x

【變式2-1】8.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓/+/=1（。>6>0）長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)分

別為人B,點(diǎn)C為橢圓上不同于4B的任一點(diǎn)，若將44BC的三個(gè)內(nèi)角記作人B、C,且滿

足3tanA+3tanB+tanC=0z則橢圓的離心率為（）

A.亨B空C.D.|

題型3第三定義之定點(diǎn)定值問題

【例題3】（2018上江蘇蘇州高三階段練習(xí)）橢圓E:9+?=1的左頂點(diǎn)為4,點(diǎn)B,C是橢

??4-D

圓E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線4B/C的斜率乘積為定值-￡則動(dòng)直線BC恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)

為

【變式3-1】1.（2020?高三課時(shí)練習(xí)）過拋物線儼=4x上一點(diǎn)P（4,4）作兩條直線PA,

PB（點(diǎn)A,B在拋物線上），且它們的斜率之積為定值4,則直線AB恒過定點(diǎn).

【變式3-1]2.（2022?河南鄭州?統(tǒng)考三模）設(shè)4、B分別為橢圓唁+g=l（a>h>0）的

左、右頂點(diǎn)，設(shè)M（0,—1）是橢圓下頂點(diǎn)，直線M4與MB斜率之積為-

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若一動(dòng)圓的圓心Q在橢圓上運(yùn)動(dòng)，半徑為等.過原點(diǎn)。作動(dòng)圓Q的兩條切線，分別交橢圓

于E、F兩點(diǎn)，試證明|0E『+|0F|2為定值.

題型4第三定義之軌跡方程問題

【例題4】(2021上?北京海淀?高三校考期末)設(shè)點(diǎn)4(-點(diǎn)0),S(V3,0),M為動(dòng)點(diǎn)，已知

直線4M與直線的斜率之積為定值1點(diǎn)”的軌跡是()

A.y-y2=l(y*0)B.^-x2=l(y^0)

C.y-y2=l(y*0)D.y-%2=l(y*0)

【變式4-11(2021上福建廈門?高三廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)校考階段練習(xí))已知點(diǎn)4(-2,0),

5(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足直線P4與PB的斜率之積為-｝記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E.

⑴求曲線E的方程；

(2)過點(diǎn)(1,0)作直線1交曲線E于&D兩點(diǎn)，試問在x軸上是否存在點(diǎn)M,使就?而為定值？若

存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及該定值；若不存在，試說(shuō)明理由.

題型5中點(diǎn)弦之離心率問題

【結(jié)論1】為橢圓C:《+真=l(a>6>0)的不平行于對(duì)稱軸的弦，P(x0,yo)為線段4B的

中點(diǎn)，。為原點(diǎn)，貝U岫P，用48=—次,即膜8=—

證明：設(shè)4Qi,yi),B(x2,y2)(xi#42,月)、2)，則)+n=1①,:+哈=1②，

由點(diǎn)差法，兩式相減得3+X警1F)+.+"乎》)=0由線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

,一丫2yo_b2

f%l+x2=2%o,.2%0。1一久2),2yo(yi-y2)

+、2=2yo，--~，x-i-x2x0

爐久0

a2yo

【評(píng)注】此方法稱之為點(diǎn)差法，設(shè)點(diǎn)作差，設(shè)而不求.

同理可證如下結(jié)論：

【結(jié)論2]48為橢圓+真=l(a>6>0)的不平行于對(duì)稱軸的弦，P(x0,處)為線段4B的

中點(diǎn)，。為原點(diǎn)，則C0P/4B=一條，即膜B=一念.

【結(jié)論3]4B為雙曲線嗒—居=l(a>0,b>0)的不平行于對(duì)稱軸的弦，P(功,%)為線段

4B的中點(diǎn)，。為原點(diǎn)，則c”?膜B=?即%B=鬻.

【結(jié)論4]AB為雙曲線—篙=l(a>0,b>0)的不平行于對(duì)稱軸的弦，P(x0,%)為線段

4B的中點(diǎn)，。為原點(diǎn)，則c”?膜B=ff,即右B=急.

【結(jié)論5]已知直線/與拋物線=2PMp>0)相交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(M,y0)為線段4B的

中點(diǎn)，。為原點(diǎn)，貝!!3=2.

【結(jié)論6]已知直線與拋物線C：y2=-2px(p>0)相交于a,B兩點(diǎn)點(diǎn)PQo,如為線段4B的

中點(diǎn)，。為原點(diǎn),則k?B=—。

【結(jié)論7]已知直線/與拋物線C：久2=2py(p>0)相交于4,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P0o,y0)為線段4B的

中點(diǎn)，。為原點(diǎn)，貝11膜8=彳.

【結(jié)論8]已知直線與拋物線。K2=—2py(p>0)相交于4,B兩點(diǎn)點(diǎn)Pg,處)為線段4B的

中點(diǎn)，。為原點(diǎn)，貝收48=—彳.

【例題5】(2021?陜西咸陽(yáng)?統(tǒng)考一模)已知雙曲線C：《—f|=l(a>0,b>0)上存在兩點(diǎn)A,

8關(guān)于直線y=x-6對(duì)稱，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(2,—4),則雙曲線C的離心率為().

A.V2B.V3C.2D.V5

【變式5-1]1.(2021上?西藏昌都?高三校考期末)已知橢圓+著=l(a>6>0),D(2,l)

是橢圓M的一條弦4B的中點(diǎn)，點(diǎn)P(4,-1)在直線4B上，求橢圓M的離心率()

A.yB.|C.|D.辛

【變式5-1]2.(2021下河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知雙曲線I—f|=l(a>O,b>0),

斜率為第勺直線/交雙曲線于M、N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為MN的中點(diǎn)，若。P的斜率為2,則雙曲

線的離心率為()

A.V2B.V5C.2V3D.4

【變式5-1】3.(2023上?陜西西安?高三統(tǒng)考期中)不過原點(diǎn)的直線

l-.y="+m(k<0,m豐0)與雙曲線E:菖-g=l(a>0,/)>0)交于4B兩點(diǎn)，”為4B的中點(diǎn),

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線0M的斜率小于則E的離心率的取值范圍為()

A.(1,2)B.(2,+oo)C.(V2,2)D.(VI+8)

【變式6-1】4.(2023上?云南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知橢圓，點(diǎn)F為左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為下

頂點(diǎn)，平行于FP的直線/交橢圓于4B兩點(diǎn),且4B的中點(diǎn)為則橢圓的離心率為

()

A返B」C-D—

A.22J452

題型7中點(diǎn)弦之直線或曲線方程問題

【例題7】(2014?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知橢圓E：§+g=l,。>6>0的右焦點(diǎn)為尸

(3,0),過點(diǎn)F的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程

為

【變式7-1]1.(2021上福建龍巖?高三統(tǒng)考期末)過點(diǎn)P(l,l)的直線與雙曲線/=1

交于M,N兩點(diǎn),且點(diǎn)P恰好是線段MN的中點(diǎn)，則直線1的方程為

【變式7-1】2.(2012?高三課時(shí)練習(xí))已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為F(0,同)的橢圓被直線

l-.y=3%-2截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程.

【變式7-1]3.(2021上河南駐馬店?高三統(tǒng)考期末)已知雙曲線喏—/=l(a>O.b>0)

的離心率為I，直線1與C交于4,B兩點(diǎn)，若線段4B的中點(diǎn)為P(4,3),則直線珀勺方程為()

A.5%+3y—29=0B.5%—3y—11=0

C.3%—5y+3=0D.3x+5y—28=0

【變式7-1】4.(2023?陜西寶雞?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線E:§-g=l(a>0,b>0)

的右焦點(diǎn)為F(5,0),過點(diǎn)F的直線交雙曲線E于A、B兩點(diǎn).若4B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(6,-2),則E

的方程為()

A光—藝=1B身一些=1

?520169

尤_正=亡一此=1

j9161510

【變式7-1]5.(2023?貴州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知橢圓+g=l(a>fo>0)的右焦點(diǎn)為F

(4,0),過點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓于4B兩點(diǎn).若4B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1),則E的方程為

()

A.丘45++出29_=11B0—36十+^20=1

蘭+#=1D身+尤=1

c3216248

題型8中點(diǎn)弦之弦長(zhǎng)問題

【例題8](2021上?貴州貴陽(yáng)?高三統(tǒng)考期末)過拋物線y2=4%的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于

A,B兩點(diǎn)，若4B的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則|4B|等于()

A.4B.6C.8D.10

【變式8-1]1.(2019?湖北武漢?統(tǒng)考一模)過點(diǎn)P(4,2)作一直線AB與雙曲線C:9-

y2=1相交于A,B兩點(diǎn)，若P為線段AB的中點(diǎn)，則|AB|=()

A.2V2B.2V3

C.3V3D.4V3

【變式8-1】2.(2021上?全國(guó)?高三階段練習(xí))已知點(diǎn)4,B在雙曲線必=4上，線段的

的中點(diǎn)”(3,1),貝！]|4B|=()

A.V2B.2V2C.V5D.2V5

題型9中點(diǎn)弦之斜率相關(guān)問題

【例題9](2020下?河北石家莊?高三石家莊二中校考開學(xué)考試)過橢圓?+y2=4(4>1)

上一點(diǎn)P作圓C:(x—1)2+*=1的切線，且切線的斜率小于0,切點(diǎn)為M,交橢圓另一點(diǎn)Q,

若M是線段PQ的中點(diǎn)，則直線CM的斜率（）

A.為定值苧B.為定值VR.為定值2魚D.隨4變化而變化

【變式9-1】1.（2019?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，P為橢圓EiA+\=l（a>b>0；LWq

一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓&5+蕓=4（。<4<1）的兩條切線PA,PB,斜率分別為的，%若

H??為定值，則"（）

A.IB.C.|D.f

【變式9-1】2.（2020上?安徽安慶?高三安慶一中校考期末）已知三角形力BC的三個(gè)頂點(diǎn)

都在橢圓：9+9=1上，設(shè)它的三條邊力B,BC,AC的中點(diǎn)分別為D,E,M,且三條邊所

在線的斜率分別為H,k2,七，且七，k2,電均不為0。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線。，OE,OM

的斜率之和為1.則看+上+看=（）

A.*B.-3C.—居D.—|

【變式9-1】3.（2017?全國(guó)校聯(lián)考二模）已知4B,P為雙曲線/—9=1上不同三點(diǎn)，且滿

^PA+PB=2PO（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線P4PB的斜率記為犯凡則加+［的最小值為

A.8B.4C.2D.1

【變式9-1】4.斜率為k的直線I交橢圓9+9=1于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為

4-j

>0）,F是橢圓右焦點(diǎn).

⑴證明：/c<-1.

（2）點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)且/+而+而=。，證明：|可|,|屈|,|而|成等差，并求出公差.

【變式9-1】5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是

橢圓?+?=1的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P,4兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過P作

X軸的垂線，垂足為c,連接AC,并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B,設(shè)直線P力的斜率為k

⑴若直線P4平分線段MM求k的值；

（2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線的距離d;

（3）對(duì)任意k>0,求證：PA1PB.

題型10中點(diǎn)弦之軌跡方程問題

【例題10】（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）直線運(yùn)久—y—（a+5）=0（a是參數(shù)）與拋物線

=（x+l）2的相交弦是4B,則弦的中點(diǎn)軌跡方程是

【變式10-1】（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓9+*=1,求斜率為2的平行弦中點(diǎn)的

軌跡方程.

題型11中點(diǎn)弦之定點(diǎn)定值問題

【例題11】（2018?上海浦東新?統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，M、N是雙

曲線9-9=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足加=2OM-ON,直線。M與直線ON斜率之積為

2,已知平面內(nèi)存在兩定點(diǎn)％、尸2,使得IIPF1I-仍尸2||為定值，則該定值為

【變式11-111?（2020下?上海青浦?高三校考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)

原點(diǎn)，M、N是橢圓9+￡=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足而=2而—而，直線。M與直

線。N斜率之積為-2,已知平面內(nèi)存在兩定點(diǎn)Fi、F2,使得|PFI|+IPF2I為定值，則該定值

為

【變式11-1】2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）拋物線產(chǎn)=4乙過點(diǎn)（2,0）的直線AC

和BD相互垂直（斜率均存在），M、N分別是AC和BD的中點(diǎn).求證：直線MN過定點(diǎn).

【變式11-1】3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）雙曲線著=1,過點(diǎn)P（5,0）的直線

AB和CD相互垂直（斜率存在），M、N分別是線段AB和線段CD的中點(diǎn).求證：直線

MN過定點(diǎn).

【變式11-1】4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）橢圓?+9=1,過點(diǎn)F（l,0）的直線4B和CD

相互垂直（斜率存在），M、N分別是4B和CD的中點(diǎn).求證：直線MN過定點(diǎn).

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1.(2021?吉林長(zhǎng)春統(tǒng)考一模)雙曲線E:放-標(biāo)=l(a>0,b>0)被斜率為4的直線截得的弦4B

的中點(diǎn)為(2,1),則雙曲線E的離心率為()

A.V2B.V3C.2D.

2.(2017?吉林?統(tǒng)考三模)已知48是橢圓券+居=1和雙曲線《―\=1的公共頂點(diǎn)，其中

a>b>0,P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn),M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)(P,M都異于4B),且滿足而+PB=A(MA

+MB)(Ae/?),設(shè)直線力P,BP,AM,的斜率分另U為姮,電上3比4,若的+?=遮，則電+

3.(2022遼寧遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)4(-2或,0),B(2VX0),Q(2,0),動(dòng)點(diǎn)P與

點(diǎn)4B連線的斜率之積為過點(diǎn)Q的直線(交點(diǎn)P的軌跡于C,D兩點(diǎn)，設(shè)直線4C和直線BD

的斜率分別為七和七，記血琥

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程

⑵小是否為定值?若是，請(qǐng)求出該值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.(2022?重慶?統(tǒng)考二模)已知橢圓噂+g=l(G>/)>0)的左焦點(diǎn)為F(—2,0),不過坐標(biāo)

原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸的直線I與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段4B的中點(diǎn)為Q,直線。Q

的斜率與直線I的斜率的乘積為定值-主

⑴求橢圓C的方程；

(2)若過點(diǎn)F的直線m交橢圓C于點(diǎn)M,N,且滿足OM?ON=就需，求直線m的方程.

5.(2022?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模)如圖，橢圓E：§+g=l(a>fa>0)內(nèi)切于矩形4BCD,其

中4B,