專題16圓錐曲線的綜合應(yīng)用

會(huì)考點(diǎn)歸納

【考點(diǎn)1直線與橢圓的位置關(guān)系判斷】

【考點(diǎn)2根據(jù)直線與橢圓位置關(guān)系求參】

【考點(diǎn)3直線與橢圓相切的應(yīng)用】

【考點(diǎn)4直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問題】

【考點(diǎn)5直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷】

【考點(diǎn)6根據(jù)直線與雙曲線位置關(guān)系求參】

【考點(diǎn)7直線與雙曲線相交弦長(zhǎng)問題】】

【考點(diǎn)8直線與拋物線的位置關(guān)系】

【考點(diǎn)9拋物線的焦點(diǎn)弦及應(yīng)用】

【考點(diǎn)10直線與拋物線的相交弦長(zhǎng)問題】

1、直線與橢圓的位置判斷

22

設(shè)直線方程為>=辰+根，橢圓方程為2■+27=1（。>匕>0）

ab

y=kx+m,

聯(lián)立,2消去y得一個(gè)關(guān)于X的一元二次方程（〃+左2a2）%2+2〃2初優(yōu)+々2療一。2匕2=。

①A>0o直線和橢圓相交o直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)（或兩個(gè)公共點(diǎn)）；

②A=0o直線和橢圓相切=直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)（或一個(gè)公共點(diǎn)）；

③A<0o直線和橢圓相離o直線和橢圓無公共點(diǎn).

2、直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式

（1）定義：連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦.

（2）求弦長(zhǎng)的方法

①交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求.

②根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為七被橢圓截得弦A8兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為（xi，%）,。2,竺），

則弦長(zhǎng)公式為:

知識(shí)點(diǎn)2直線與雙曲線的位置關(guān)系

1、直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷

22

將雙曲線方程與直線方程/：>=履+6聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程

ab

1122

僅2_4左2）f_2amkx—c^rri—ab=0,

h

（1）當(dāng)/一/產(chǎn)=0,即左=±—,直線/與雙曲線的漸近線平行，直線/與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn);

a

（2）當(dāng)〃一片左2W0,即左*±2,設(shè)該一元二次方程的判別式為1,

a

若A>0,直線與雙曲線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；

若A=0,直線與雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；

若/<0,直線與雙曲線相離，沒有公共點(diǎn)；

注意：直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，可能相交或相切.

2、直線與雙曲線弦長(zhǎng)求法

22

若直線，：、=丘+相與雙曲線三-2=1（a>0,b>0）交于4（西,%），3（々，外）兩點(diǎn)，

ab

則AB=dl+左2忖-引或AB=J+*、一（%力0）.（具體同橢圓相同）

知識(shí)點(diǎn)3直線與拋物線的位置關(guān)系

1、直線與拋物線的位置關(guān)系有三種情況

相交（有兩個(gè)公共點(diǎn)或一個(gè)公共點(diǎn)）；相切（有一個(gè)公共點(diǎn)）；相離（沒有公共點(diǎn)）.

2、以拋物線丁=29（。>0）與直線的位置關(guān)系為例：

（1）直線的斜率上不存在，設(shè)直線方程為x=“，

若a>0,直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；

若。=0,直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)既是原點(diǎn)又是切點(diǎn)；

若a<0,直線與拋物線沒有交點(diǎn).

（2）直線的斜率上存在.

設(shè)直線/:>=履+力，拋物線1/=2°元（0>0）,

直線與拋物線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于方程組匕，的解的個(gè)數(shù)，

[y=2px

即二次方程左2/+2（給一=0（或左2y2_2刀+2切=0）解的個(gè)數(shù).

①若左關(guān)0,

則當(dāng)A>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)△=（）時(shí)，直線與拋物線相切，有個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)A<0時(shí)，直線與拋物線相離，無公共點(diǎn).

②若左=0,則直線、=人與拋物線丁=2/5>0）相交，有一個(gè)公共點(diǎn).

3、直線與拋物線相交弦長(zhǎng)問題

（1）一般弦長(zhǎng)

設(shè)AB為拋物線V=2px（p>0）的弦，A（X],%）,8（無2，%），弦AB的中點(diǎn)為.

①弦長(zhǎng)公式：=J1+42歸_百=+（k為直線AB的斜率，且左w0）.

②。=￡，

%

推導(dǎo)：由題意，知>；=2°匹2，①y；=2p毛②

由①-②，得（%+%）（%-%）=20（占-/），故'~—=--—，WkAB=--

^-x2%+%%

2

③直線AB的方程為y-%=￡（x-尤0）.

y0

（2）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)

如圖，A3是拋物線丁=2px（p>0）過焦點(diǎn)尸的一條弦，

設(shè)ACx.,%）,B（x2,y2）,AB的中點(diǎn)M（x（）,%）,

過點(diǎn)A,M,3分別向拋物線的準(zhǔn)線/作垂線，垂足分別為點(diǎn)兒，修，Mx,

BS

根據(jù)拋物線的定義有AP=例，BF=BBt,|AB|=|AF|+|BF|=|AA|+|I|

故\AB\=\AF\+忸F|=|44j+\BB,\.

又因?yàn)殡沤惺翘菪蔚?8的中位線，所以|AB|=|44,|+忸4|=2|“%|，

從而有下列結(jié)論；

①以至為直徑的圓必與準(zhǔn)線/相切.

②|4卻=21+￡|（焦點(diǎn)弦長(zhǎng)與中點(diǎn)關(guān)系）

（3）|AB|=Xj+x2+p.

④若直線AB的傾斜角為。，則|A3|=二^.

11sin2a

2

⑤A,3兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積均為定值，即再,yty2=-p.

1i7

—二十―二為定值4

⑥\AF\\BF\'J^p-

度L點(diǎn)精講

【考點(diǎn)1直線與橢圓的位置關(guān)系判斷】

【典例1】已知兩定點(diǎn)M(—1,0),N(l,0),直線Z：y=-2x+3,在I上滿足|PM|+|PN|=4的點(diǎn)P有

()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)|PM|+\PN\=4的幾何意義判斷出P點(diǎn)的軌跡，結(jié)合直線與橢圓的位置關(guān)系來求得正確答

案.

【詳解】若設(shè)PQ,y),因?yàn)槎c(diǎn)M(—1,0),N(l,0),且|PM|+|PN|=4>|MN|=2,

所以點(diǎn)P在焦距為2,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上，即在橢圓C：9+?=1上.

因?yàn)橹本€Z：y=—2x+3過點(diǎn)Q(|,0),且點(diǎn)Q為橢圓=+[=1內(nèi)一點(diǎn).

所以直線/與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn).

即在I上滿足|PM|+|PN|=4的點(diǎn)P有2個(gè).

故選：C

【變式1-1】直線:+1=1與橢圓捺+A=l(a〉6>0)的位置關(guān)系為()

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

【答案】C

【分析】由直線與橢圓的位置關(guān)系求解即可.

【詳解】因?yàn)橹本€三+!=1過點(diǎn)3,0),(0,6),

ab

而(a,0),(0,b)為橢圓,+[=l(a>b>0)的右端點(diǎn)和上端點(diǎn),

故直線±+［=1與橢圓2=1(。>b>0)相交.

aba2b2v'

故選：c.

22

【變式1-2］若直線a%+by-1=0與圓0:/+y2=1相離，則過點(diǎn)P(a,b)的直線與橢圓J+?=1的交

65

點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.0或1B.0C.1D.2

【答案】D

22

【分析】由直線與圓相離得a?+爐<則點(diǎn)P(a,b)在橢圓1的內(nèi)部，由此即可得解.

1;65

【詳解】由題意直線a比+6y—1=0與圓0:%2+丫2=1相離，所以圓心到直線的距離d=懸京>i=

r,即0<a2+b2<1,

而與亨L即點(diǎn)P(a,b)在橢圓］+三=1的內(nèi)部，

655565

22

所以過點(diǎn)P(a,b)的直線與橢圓？+?=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.

故選：D.

【變式1-3］直線y=kx+l-k與橢圓9+9=1的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為

【答案】2

【分析】求出直線恒過的定點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，即可判斷直線與橢圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【詳解】直線y=kx+1-%恒過(1,1),

由于2+所以(1,1)是橢圓內(nèi)部的一點(diǎn)，

所以直線與橢圓恒有2個(gè)交點(diǎn).

故答案為：2.

【考點(diǎn)2根據(jù)直線與橢圓位置關(guān)系求參】

【典例2】設(shè)橢圓「:/+'=l(a>b>0)的弦與％軸，y軸分別交于C,D兩點(diǎn)，\AC\-.\CD\-.\DB\=

1:2:2,若直線AB的斜率k>0,則k的取值范圍是()

A,(謂)B.(f,1)C.(0,y)D.(f,1)

【答案】A

【分析】設(shè)401，%)，Be%%)，C(xo,O),D(O,yo),利用向量的坐標(biāo)表示可得4(爭(zhēng),—早)，

8(-右,2%),代入橢圓方程結(jié)合斜率公式即可求解.

【詳解】如圖所示，設(shè)洋（%1，丫1）,8（%2，、2），C（%o,O），I洋,%）），直線A8:y=k%+b，

因?yàn)閨AC|:|CD|:|DB|=1:2:2,所以2前=而，~CD=~DB,

所以2（3-％1，-％）=（-&,'（））,（-%o，yo）=（x2fy2一y。）,

所以“（爭(zhēng)，—藍(lán)）B（一%0,2y0）,

因?yàn)?B在橢圓上，所以普+四=1,哲+警=1,兩式相減得巽=察，即嗎=昌

22222

4a24匕2ab4a4bXQ3a

又因?yàn)槎鰾=——,且/C/B>0,Q>b>0,

所以O(shè)vgvl,即0<VJ,所以。Vk<

az3az3"3AB

故選：A.

【變式2-1］已知橢圓C:/+/=1,直線上y=%+?n,若橢圓。上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線/對(duì)稱，則根的取

值范圍是（）

_V2V2\

3,374147

【答案】C

【分析】利用對(duì)稱關(guān)系，求得直線MN的方程，代入橢圓方程，利用△>（）,求得幾的范圍，再根據(jù)加幾

的關(guān)系即可求m的取值范圍.

c、，2

【詳解】設(shè)設(shè)橢圓C:/+/=1上存在關(guān)于直線，：y=%+m對(duì)稱的兩點(diǎn)為M（%i，yi）,N（%2，y2），

根據(jù)對(duì)稱性可知線段MN被直線，:y=x+ni垂直平分，

且MN的中點(diǎn)Oo，%）在直線y=九+m±,且=-1，

故可設(shè)直線MN的方程為y=—x+n,

y=—x+n

必_,整理可得：3——2nx+n2—2=0,

X2n-1

所以X1+%2=與,%+%=2n-(%1+%2)=2n-y=

由4=4n2-12(n2-2)>0,可得/-3<0,解得一百<n<V3,

因?yàn)镸N的中點(diǎn)（%o,丫0）在直線y=x+m±,

所以詈=1+8所以6=/所以一?<6<手

故選:C.

22

【變式2-2】直線y=kx+l與橢圓？+匕=1總有公共點(diǎn)，則小的取值范圍是（）

,5m

A.m>1B.m>0

C.m>1且mW5D.0<m<5且znW1

【答案】C

【分析】根據(jù)點(diǎn)（0,1）在橢圓上或橢圓內(nèi)，結(jié)合二次方程表示橢圓，即可求得參數(shù)機(jī)的范圍.

【詳解】二+藝=1表示橢圓，故可得機(jī)>0,且機(jī)力5；

又直線y=k%+1過點(diǎn)（0,1）,根據(jù)題意，（0,1）在橢圓內(nèi)或橢圓上，故又m>0,故mNl；

綜上所述，m>1,且7nH5.

故選：C.

【變式2-3】已知ten,若關(guān)于％的方程=%+t有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，貝亞的取值范圍是（）

A.償用）B.（一衿）

C.[y,V2）D.（-V2.V2）

【答案】A

【分析】出丫=41-2*2及y=%+t的圖像，結(jié)合圖像即可求解.

【詳解】由題意，y=6二N表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的上半部分，且左頂點(diǎn)為4（-孝,0）,

當(dāng)直線y=K+t經(jīng)過4點(diǎn)時(shí)，t=亨，當(dāng)直線y=x+t與橢圓相切時(shí)，

由①="I—2久2,得3/+2垃+產(chǎn)一1=°,

Iy=x+t

所以A=4t2—4X3XQ2—i）=o,解得[=?（負(fù)根舍去），當(dāng)直線與半橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

根據(jù)圖象，t的取值范圍為性縱

故選：A.

【考點(diǎn)3直線與橢圓相切的應(yīng)用】

【典例3】已知橢圓C：攝+V=l(a>1)的離心率為管，橢圓C的動(dòng)弦4B過橢圓C的右焦點(diǎn)心當(dāng)

垂直式軸時(shí)，橢圓C在4,B處的兩條切線的交點(diǎn)為M.

(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑵若直線4B的斜率為3過點(diǎn)M作支軸的垂線［，點(diǎn)N為/上一點(diǎn)，且點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為-5，直線NF與橢

圓C交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形APBQ面積的最小值.

【答案】①M(fèi)(|,0)

喈

【分析】(1)根據(jù)橢圓的幾何意義，求得橢圓C的方程，從而得尸(2,0),將尤=2代入橢圓方程，求出

點(diǎn)4的坐標(biāo)，再設(shè)橢圓C在點(diǎn)4處的切線方程為y=k(久-2)+?,將其與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式

為0,求出k的值，即可求得M的坐標(biāo)；

(2)設(shè)直線2B的方程為久=my+2,將其與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式表示出|4B|,結(jié)合(1)中

所得寫出N的坐標(biāo)，并求出直線NF的方程，再利用弦長(zhǎng)公式求得|PQ|,然后化簡(jiǎn)運(yùn)算高+六為定

值，且PQ14B,即可根據(jù)基本不等式求解最值.

(b=1

【詳解】(1)解：由題意知，|￡=迪，解得。=6，b=l,c=2,

Ia5

=a2一c2

y.2

所以橢圓C的方程為藍(lán)+y2=1,F(2,0),

將x=2代入橢圓方程得y=±f,

不妨取4(2,9),

設(shè)橢圓C在點(diǎn)力處的切線方程為y=k(x-2)+y,

f^+y2=1

聯(lián)立｛5廠，得(5卜2+1)/+(2V^k-20k2)尤+20卜2一4西左一4=0,

(y=fc(x-2)+y

所以A=(2V5k-20k2)2-4(5/+1)(201-4V5k-4)=0,

整理得4(*k+2)2=0,解得k=—手，

所以在點(diǎn)4處的切線方程為y=(.x—2)+個(gè)=—今1+V5,

由橢圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)M在x軸上，

令y=0,則x=|,

即點(diǎn)”的坐標(biāo)為(|,0).

(2)根據(jù)題意可設(shè)直線4B的方程為％=zny+2,以亞")，

x=my+2

｛次+y2_］，得(m?+5)y2+4my-1=0,

所以月+y2=為為=△=20(—+1),

所以|AB|=V1+m2-J(yi+%)2—4yly2=V1+m2-之弋：｝=叱嚷］)

因?yàn)镸Nlx軸，且點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為—所以N(|,—三)，

所以直線NF的斜率為*=-m,

~2

所以直線NR的方程為久=——y+2,

同理可得，|PQ|=*1U=①學(xué)，

―+51+57712

所以1+1_m2+5+l+5m2_6(m2+l)_3^5

^\AB\\PQ\-2V5(m2+l)丁2V5(m2+l)-2V5(m2+l)-5'

故.+.為定值平?

故合+看"扃焉n|制PQ|瓷,當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)=|PQ|=平時(shí)等號(hào)成立,

由于由NF=-m,kAB='，故NF1AB,即PQ1AB,

故APBQ=沙（211砌N號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)MB|=|PQ|=學(xué)時(shí)等號(hào)成立，

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體

現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函

數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，

【變式3-1】已知橢圓。：9+真=1（（1>6>0）的離心率為右上、下頂點(diǎn)與其中一個(gè)焦點(diǎn)圍成的三角形面積

為遮，過點(diǎn)P（-4,-3）作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為48

⑴求橢圓C的方程；

（2）求4B所在直線的方程；

（3）過點(diǎn)P作直線I交橢圓。于M,N兩點(diǎn)，交直線4B于點(diǎn)Q,求黑+制的值.

【答案】①9+9=1

（2）x+y+1=0

（3）2

【分析】（1）由題意可得（=|,》2b=解方程求出a,b,即可得出答案.

（2）先證明過橢圓上一點(diǎn)的切線方程的形式，再求得過點(diǎn)4B的切線方程，從而得到直線4B的方程.

22

（3）令M（%3，y3），N（%4，y4），設(shè)直線，的方程為：y=k（%+4）-3,聯(lián)立橢圓c的方程：+—=1,求

43

出心+4久再令<2（久。以），解方程組『:。:2/，解得久。=錯(cuò)，表示出黑+翳將

久3+久4，盯?*4代入化簡(jiǎn)即可得出答案.

【詳解】（1）由題意可知：￡=3①

a2

又1,2b?c=V3,所以be=百②，

由①②及小=爐+。2,所以。=2,匕=b，

22

所以橢圓c的方程為：9+^=1.

22

（2）先證：過橢圓?+?=1上一點(diǎn)2（叼,%）的切線方程為中+號(hào)=1,

證明如下：當(dāng)過橢圓上一點(diǎn)的切線斜率存在時(shí)，

設(shè)切線方程為y=kx+m,

'次+旺=1

則4十3—可得：(4fc2+3)%2+Skmx+47n2—12=0,

.y=kx+m

因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以△=(8km)2-4(4fc2+3)(4m2-12)=0,

化簡(jiǎn)可得：4k2—m2+3=0,

所以“】=券等代入y=for+m可得:

-4k,3

y=kx+m=fc-----Fm=—

rrmm

mxiXiXi33Xi

于是々=-----=-----772=----?——=----,

444yl4yl

故切線方程為：y=一：，包（％一第1），即4yy-4資=-3%1、+3婢,

4yl1

又3好+4比=12,故切線P4的方程為：學(xué)+等=1,

當(dāng)過橢圓上一點(diǎn)4（%i，yi）的切線斜率不存在時(shí)，切線方程為％=±2,滿足題意.

22

所以過橢圓？+—=1上一點(diǎn)4021）的切線方程為年+第=1,

4343

故切線融的方程為：于+等=1,

同理：切線尸8的方程為：手+學(xué)=1,又因?yàn)檫^點(diǎn)尸（一4,一3）,

43

所以學(xué)+孕=1,學(xué)+手=1,

所以：+y1=—1,型+丫2=—1，故直線的方程為％+y+1=0.

（3）由題意可知直線/的斜率存在，且k>0,設(shè)直線/的方程為：y=k（%+4）—3,

22

聯(lián)立橢圓C的方程+5=1,

43

得(3+4fc2)%2+(3232-24k)%+64k2-96k+24=0,

令M（%3，y3），N（%4，y4），

32k2-24k64/C2-96/C+24

所以汽3+%4=-2-X3-X=

3+4k43+4/c2

丁=k(％+4)—3,彳曰_2—4k

令Q（&,y。），解方程組?久+y+1=0,1寸％°―ITT

又|PQl+|PQl_%o+4+%o+4=(%O+4)(%3+%4+8)

\PM\(X+4)(X4+4)

|PN|X3+4X4+43

22

(%O+4)(%3+*4+8)^-(24fc-32fc+32k+24)

222=2,

X3-X4+4(X3+X4)+1664k-96k+24+4(24/c-32k)+16(3+4k)

所以朗+需=2.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決第二問的關(guān)鍵是證明過橢圓］+<=1上一點(diǎn)2（右,%）作橢圓的切線，其切線方程

43

為：學(xué)+等=1，本題利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得斜率，是解決問題的關(guān)鍵.

【變式3-2］已知橢圓C:J+y2=1的右焦點(diǎn)為F,。在點(diǎn)P（%o，yo）（y°W0）處的切線/分別交直線久=1和

直線久=2于M,N兩點(diǎn).

（1）求證：直線N0%+2yoy-2=0與C相切；

⑵探究：黑是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

|NF|

【答案】（1）證明見解析

（2）日，理由見解析

【分析】（1）聯(lián)立曲線后消去縱坐標(biāo)可得一元二次方程，借助橢圓方程代入計(jì)算可得該一元二次方

程有唯一解即可得證；

（2）由（1）可得直線1的方程，即可得MN兩點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出|MF|與|NF|即可得罌.

（xx+2yoy—2=0

【詳解】（1）聯(lián)立|o一,整理得：（歐+2邦）、2一4而%+（4-4光）=0,

（5+y=］

又因?yàn)檩?yo=1,即詔+2羽=2,則％2-2xox+XQ=0,

即（第一％0）2=0，此方程有唯一解，即直線久0%+2yoy-2=0與橢圓C相切；

（2）由（1）知，直線I的方程為無+2y（）y—2=0，即y==^,

將直線x=1和直線％=2分別與上式聯(lián)立，

由題意可得M（1,簫）,N（2,詈），

因?yàn)镕（l,0）,所以|MF『=噂”,

4yo

2

,,“/I-x\XQ-2x+1%o+7o-2%+1

|/VF|129=（2-1）2+----0-=1+———U0——=———0-——

\y。，yoyo

Xo+―2x°+1（久02尸

7o2%

(2-陽(yáng)))2

日斤田_2

4y%即磊為定值當(dāng)

加以析一莊喬

2環(huán)

【變式3-3】已知直線y=a比(a>0)與橢圓C：9+3=l相交于點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，&,尸2分別為橢

圓的左、右焦點(diǎn).

(1)設(shè)點(diǎn)Q到直線P&P4的距離分別為山處,求生的取值范圍；

(2)已知橢圓C在點(diǎn)P(xo,Vo)處的切線為1?

(i)求證：切線/的方程為氾+維=1；

43

(ii)設(shè)射線Q&交I于點(diǎn)R,求證：△&/?2為等腰三角形.

【答案】(i)G，1)

⑵(i)證明見解析，(ii)證明見解析

【分析】(1)依題意P、Q關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，不妨設(shè)P(%o，yo)(%o>o，y0>0)，則Q(-%o,-y。)，

利用等面積法得出*=靄=高-1,求出IP&I的取值范圍，即可求得?的取值范圍；

d2\PFi\\PFi\d2

22

(2)⑴證明橢圓京+a=l(a>6>0)上一點(diǎn)Oofo)處的切線方程為翳+矍=1，分斜率存在與

斜率不存在兩種情況討論，斜率存在時(shí)設(shè)過點(diǎn)(x°,yo)的切線方程為y=kx+m,聯(lián)立橢圓方程，利用

△=0和刀1+冷=2xo，求出k,m,整理可得切線方程，即可得證；

(ii)設(shè)直線1的傾斜角為a,設(shè)直線&Q的傾斜角為0,設(shè)直線P0的傾斜角為y,可得N&RP=a-

6,^RPF1=y+n-a,禾U用兩角和與差的正切公式和斜率公式可得出tanN&RP=tanNRPF],再結(jié)

合NF1RP、NRP6的取值范圍可得出結(jié)論.

【詳解】(1)因?yàn)镻、Q為直線y=ax(a>0)與橢圓C:1+4=l的交點(diǎn)，且點(diǎn)P在第一象限，

所以P、Q關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，

不妨設(shè)POo,y。)(％。>0,y。>°)，則Q(-沏，一y。)，

又F「&分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)

由題意可得SAPQF]=SAPQ%，因?yàn)辄c(diǎn)Q到直線PF1/F2的距離分別為di，d2，

可需爐&|出=沙尸292，

.di_坦且_2a-|PFi|_」___]

??d2一\PF±\一|PFi|-|PFi|'

又因?yàn)閨PFJ=。(久0+1)2+%=J(Xo+1)2+3-，瞪=J鴻+2X0+4=]o+2,

因?yàn)榕c6(0,2),所以1PF/€(2,3),所以全

(2)(i)首先證明橢圓《+《=19>6>0)上一點(diǎn)(4,％)處的切線方程為簧+黃

)1,

①當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)(久o，y0)的切線方程為y=kx+m,

y=kx+m

222222

xy_,得(爐+ak)x+2kmeix+a2m2_a2b2=。，

{+F=1

△=0,即(2七根。2)2—432,|_q2k2)(q27n2—。2b2)=。，

???a2k2—m2+Z)2=0,

222

-T-7,C-2kma-2kaka

又/+%2=2久。=記訴==->%。=,,

把%o=絲代入y=k%+zn中，得7n=—,

u

my0

y=/ex+m=—降^+—,

a2yoy0

化簡(jiǎn)得筆+簧=1.

a2bz

②當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，過Oo，y。)的切線方程為x=±a,滿足上式.

綜上，橢圓上一點(diǎn)0°,小)的切線方程為簧+繁=1.

故橢圓C：[+[=1點(diǎn)P(x°,y°)處的切線的方程為卓+第=1.

4343

(ii)如圖所示，設(shè)直線/的傾斜角為a,直線Q0的傾斜角為直線Pa的傾斜角為y,

因?yàn)镼(—%。,—Vo)，F(xiàn)i(-1,0),橢圓C點(diǎn)PQo，yo)處的切線I的方程為竽+等=1，

所以幻=一器，則%七=臺(tái)，焉，

因?yàn)镹&RP=a—S，NRP&=y+(it—a)=y—a+ir,逋+%=1,

43

所以tanN&RP=tan(a—￡)=:常鬻=

3x

="0o折yo1=x丁o^-o--yo亍=.T=3

—計(jì)(嗡)(給)—夢(mèng)而—用閑一元'

tany—tana

tan/-RPF=tan(y—a+n)=tan(y—a)=------------------

11+tanytancr

1+^PF1^QF1

-Z0__f_3^0A迎靖工日迎上1r

-%o+l<4yo，_4十4+3_4十，_2_

一用葡磊Tl^k^k刀

所以tanz&RP=tanzRPFi，又4F/P、z.RPF1e(O,TT),所以"RP=NRP&,

所以為等腰三角形.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的取值范圍問題的求解方法

(1)函數(shù)法：用其他變量作為參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解.

(2)不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，通過解不等式求參數(shù)的取值范圍.

(3)判別式法：建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用根的判別式求參數(shù)的取值范圍.

(4)數(shù)形結(jié)合法：研究參數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

【考點(diǎn)4直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問題】

【典例4］已知橢圓盤+3=l(a>6>0)的中心在原點(diǎn)。，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為?，焦距為2.

⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過橢圓的左焦點(diǎn)6,且斜率為1的直線1交橢圓于A,B兩點(diǎn)，求AONB的面積.

【答案】(1在+9=1

⑵也

''9

【分析】(1)根據(jù)題意求出c,a,b即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)先根據(jù)題意寫出直線/的方程；再聯(lián)立直線I和橢圓的方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出|4B|,

利用點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn)。到直線AB的距離；最后利用三角形面積公式即可求解.

【詳解】(1)由題意可得：焦距為2c=2,離心率e=￡=g,

a5

則c=1,a=V5.

又由匕2=q2_c?,得爐=4,

則直線/的方程為：y=%+1.

設(shè)8(%2，丫2)，

(y=x+1,

聯(lián)立卜2y2整理可得：9%2+10X-15=0,

「丁=L

則△=102—4x9x(-15)>0,且Xi+%2=-/，%1%2=-|.

由弦長(zhǎng)公式得|4B|=Vl+k2-JQi+%2式一4%1%2=Vl+I2-](_￡)-4x(_|)=號(hào)三

又因?yàn)辄c(diǎn)。到直線AB的距離d=彳鷲=",

Vl2+122

匚匕[、ic114nlJ116V5V24V10

所以S/iOAB="?.d=]X—^―Xy=—.

【變式4-1】已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓。:《+3=19>6>0)的離心率6=白，短軸長(zhǎng)為2次.若直

線1與C在第一象限交于4B兩點(diǎn)，[與久軸、y軸分別相交于M,N兩點(diǎn)，|M4|=|NB|,且S^MNO=

2VL則|4B|=.

【答案】V6

【分析】結(jié)合題意可得橢圓方程，借助點(diǎn)差法可得岫E?施B=-|，設(shè)出直線，的方程，結(jié)合岫E-

kAB=-：可得其斜率，再借助韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式即可得解?

b=V3

【詳解】由題意得￡=農(nóng),解得a2=6/2=3,故橢圓。的方程為1+<=1,

a263

a2=b2+C2

設(shè)力（尤1，為）,3（＞2，%），線段力B的中點(diǎn)為E,連接。E,如圖,

???點(diǎn)4B在橢圓上，.?丹+3=1,m+咚=1,兩式相減得利=一,

6363爛一必2

當(dāng)+為避一禿__1

貝IJ/COE,kAB=

%1+工2好一賬2,

設(shè)直線1的方程為y=kx^mfk<0fm>0,則M0),N(0,m),

v\MA\=|N8|,??.點(diǎn)E也為MN的中點(diǎn)，??.E(-余晟)…k0E=—k,

???-k?k=解得k=-y,

S^MNO=2V2=-x(一五)xTTl,771>0,

m=2,故直線2的方程為y=-亨二+2,

(_V2

Iy----%+2

聯(lián)立,/%，消去y整理得/-2迎1+1=0,

(6+3—1

則％i+內(nèi)=2V2,xrx2=1,

2

則\AB\=y/1+k'|%1-x2|=Jl+|?J(2&y-4X1=V6,

故答案為：V6

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：點(diǎn)差法是處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法：即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓錐

曲線方程，并將兩式相減，式中含有勺+犯，為+刈，久2-久1，火-乃，這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線

的斜率，借用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得斜率.

【變式4-2】已知橢圓。:手+f=1的左焦點(diǎn)為尸，直線/與圓M:/+*=1相切于點(diǎn)p,且與。交于4B

4

兩點(diǎn)，其中力在第一象限，B在第四象限.

（1）求|AB|的最小值；

⑵設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若N4BF=2440P,求Z的方程.

【答案】⑴8

（2）x+V2y—V3=0或x—V2y-A/3=0

【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)4（與,%）,B（x2,y2）>直線，：%=my+n,且lWn<2,再聯(lián)立直線/與橢

圓C,整理得到關(guān)于y的一元二次方程，再利用韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)，再結(jié)合由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求

解；

（2）結(jié)合（1）,不妨令X］〈無2，且求出萬］，x2>根據(jù)題意得到COSNNBF=cos24lOP,再根據(jù)余弦

的定義得到cosNAOP,再利用焦半徑公式得到ZF,BF,再結(jié)合余弦定理表達(dá)出cos乙4BF,從而求出

n,m,進(jìn)而即可求出/的方程.

【詳解】（1）設(shè)4（久1加,8（久2，月），

又4在第一象限，8在第四象限，則可設(shè)直線I：x-my+n,且lWn<2,

又直線，與圓M相切，則有7t義=1,得n2=l+m2,且0工加2<3,

Vl+m2

x=my+n

聯(lián)立x22_］，消％整理得(根？+4)y2+2mny+n2-4=0,

-4y-

則為+、2=一署，為〃2=篇，

所以％1+犯=島，％.久2=筆答=高，

222

所以|A8|2=(%1-x2)+-y2)=(%1+%2)2-4%1%2+(yi+y2)-4yly2

64n2164m2n24n2—1648n248n2

_—__________________—_________—_________

(m2+4)2m2+4(m2+4)2m2+4(m2+4)2(n2+3)2

2A

——-4-8-n---=---4-8-可,Y1<Jn2<4,

n4+6n2+9n2+6+^-

又由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得f(x)=%+:在［1,3］上單調(diào)遞減，在(3,4)上單調(diào)遞增，

又/⑴=10,/⑷=字，所以當(dāng)，=1時(shí)，"+*取得最大值，即MBH取得最小值，且最小值為3,

故當(dāng)幾=1,即直線，的方程為x=1時(shí)，|4B|取得最小值，且最小值為8.

（2）結(jié)合（1）,不妨令%1<%2，

則由久1+犯=島,//2=端魯=島'

解得》】="備注①，&=若筍②，

^Z-ABF=2Z.AOP,貝!JCOSNZBF=cos2z_A。尸，所以COSNABF=2cos2Z-AOP-1（3）,

又|0*=J籽+比=+1-7=J1+|好,

則COSNAOP=~

又由焦半徑公式有力F=a+ex1=2+/久1⑤，BF=a+ex2=2+y%2@,

又由⑴有1月陰2=溪于，則|成|=4^-Vn2

m2+4

則由余弦定理得

叫2+|BF|2TM2=總產(chǎn)（2+小J-9+爭(zhēng)1）

cosZ.ABF=,⑦，

2的所-2X黑唇0+%）

聯(lián)立①②③④⑤⑥⑦求得n=遮，m=±V2,

所以直線2的方程為％+V2y—V3=。或x-V2y—V3=0.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：①設(shè)直線方程（注意參數(shù)的取值范圍），設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為201，%），B（x2,y2）；

②聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算A；③根據(jù)韋達(dá)定

理；④結(jié)合弦長(zhǎng)公式；⑤利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)是解答小問（1）的關(guān)鍵.靈活運(yùn)用二倍角公式，焦半

徑公式，余弦定理是解答小問（2）的關(guān)鍵.

【變式4-3】已知橢圓C:=+1=1,點(diǎn)N（0,l）,斜率不為0的直線1與橢圓C交于點(diǎn)4B,與圓N相切且切

o4

點(diǎn)為為48中點(diǎn).

⑴求圓N的半徑r的取值范圍；

（2）求|48|的取值范圍.

【答案】（1）（2,aU）

（2）（0,276）

【分析】

（1）設(shè)直線/方程，聯(lián)立直線/方程與橢圓方程可得打+牝，/冷，進(jìn)而可求得點(diǎn)m坐標(biāo)，由圓N與

直線/相切于點(diǎn)M可得魘乂=-%進(jìn)而可求得2k2+1=—代入△>0可求得0<1<|,進(jìn)而求出

r=27k2+1的范圍即可.

（2）由弦長(zhǎng)公式可得|AB|=J（3-富"I）（0<卜2<|）,運(yùn)用換元法即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）如圖所示,

N

O

由題意知，直線/的斜率存在且不為0,設(shè)直線/方程為丫=/cX+m（kwo）,/（%1，%），8（%2，丫2），

設(shè)圓N的半徑為r,

cy=kx+m

222

1%2y2今(2k+l)x+4fcmx+2m—8=0,

(—I—=1

l84

△=16k2m2—4(2k2+l)(2m2—8)=8(8fc2—m2+4)>0,

所以為+y2=k(Xi+x2)+2m=+2m=

ZA.T±Z/VT±

又因?yàn)镸為4B的中點(diǎn)，所以Mg職,登)，

'2H+12/c2