專題01實數及其運算

廠考點類型

考點1：實數的分類

模塊一數與式

01講實數

匚下7知識一遍過

（一）實數的分類

（1）實數分類

r“理數

無理數

（2）無理數的幾種常見類型

①開方開不盡的數，如G，工巧等;

②有特定意義的數，如圓周率口，或化簡后含有”的數，如生7T+2等；

3

③有特定結構的數，如0.1010010001…等無限不循環小數；

（二）實數的相關概念

（1）絕對值：一個數的絕對值就是表示這個數的點與原點的距離，|.a|N0。零的絕對值是它本身，也可看

成它的相反數，成屈=a一則@蕓。;_若|且|=二旦1_則,胳0：o

（2）相反數：實數與它的相反數時一對數（只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零）.叢數

軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱，如果a與b互為相反數，則有a+b=0,a=-b,反之

亦成立。

(3)倒數：如果a與b互為倒數，則有ab=l,反之亦成立。倒數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數。

(4)數軸：①數軸的三要素為原點、正方向和單位長度,數軸上的點與實數構成一一對應.

②數軸上a,b兩點之間的距離=|a—b]

(三)科學計數法

(1)形式：aX10n,其中1W|a|<10,n為整數

(2)確定n的方法：對于數位較多的大數，n等于原數的整數為減去1；對于小數，寫成axl°一“，

lW|a|<10,n等于原數中左起至第一個非零數字前所有零的個數(含小數點前面的一個)

(四)實數的大小比較

有理數的比較大小的法則在實數范圍內同樣適用。

(1)數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。

(2)求差比較：設a、b是實數，

a-b>boa>b,

a—b=Ooa=b,

a—b<Q^a<b

(3)求商比較法：設a、b是兩正實數，g>loa>Z?；q=loa=b；q<loa<A;

bbb

(4)絕對值比較法：設a、b是兩負實數,則同>網0。<泉

(5)平方法：設a、b是兩負實數，則〃，/.。(人。

備注：遇到有理數和帶根號的無理數比較大小時，讓“數全部回到根號下”，再比較大小。

(五)開方運算

(1)平方根、算數平方根：

如果一個數的平方等于a,那么這個數就叫做a的平方根(或二次方根)。一個數有兩個平方根，他們互為相

反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。正數a的平方根記做“±后

正數a的正的平方根叫做a的算術平方根，記作“&

正數和零的算術女方根都只有一個,.―零的算術里方根是雯一

a(a>0)

■\[a^=同=<

-a(a<0)

(2)立方根:

如果一個數的立方等于a,那么這個數就叫做a的立方根(或a的三次方根)。.一個正數有一個正的立方根；

一個負數有一個負的立方根;零的立方根是零。.

注意：力工=-VZ,這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。

(六)實數運算

常考的運算法則：

(1)乘方：(-2)3=-8

(2)T的奇偶次幕：(偶次為1,奇次為T)

(3)零次基：a°=l(aWO)

(4)負指數幕：2』=二(按正指數，再倒數)

a

(5)絕對值運算：r____q一(〃>0)

|a|J0(a=0)

L(tz<0)

(6)特殊角的三角函數：sin30°=,等

2

實數的運算順序：

實數的運算順序是先算乘方和開方,再算乘除,最后算加減.如果有括號，一般先算小括號里面的，再算

中括號里面的，最后算大括號里面的,同級運算應從左到右依次進行.

運算律：

(1)加法交換律：a+b=b+a.

(2)加法結合律：合+。)+c=〃+(b+c).

(3)乘法交換律：ab=ba.

(4)乘法結合律：合律c=a(be).

(5)分酉己律：a(5+c)=ab+ac.

考點一遍過

考點1:實數的分類

典例1:(2223下?長沙?模擬預測)在實數-5,0,1,國中，為負數的是()

A.-5B.0C.1D.V3

【變式1](2223下溫州?三模)小赫制作了如圖所示的實數分類導圖，下列選項能按序正確填入兩個空格

的是()

L正整數一例：5

廠整數----零

有理數一一負整數一例:

一分數

L正無理數

無理數一

L-負無理數一例：▲

A.—2；—TiB.9；-V17C.-9；-V8D.2；—5

【變式2］（2223下?金華?三模）在實數-2,y,V5,0.1122中，無理數的是（）

A.-2B謂C.V5D.0.1122

【變式3］（2223下?長沙?模擬預測）實數-2023.2023,夕，0,怖，一"，去0?狂中，有理數的個數為

。，無理數的個數為4則。-力的值是（）

A.1B.3C.5D.7

考點2:數軸的相關計算

典例2：（2223下?朔州?模擬預測）m匕是有理數，它們在數軸上的對應點的位置如圖所示，則下列數量關

系中正確的是（）

ba

???■i???

-4-3-2-1012

A.ab<0B.a—b<0C.a+b<0D.\a\>\b\

【變式1］（2223下?安徽?二模）數軸上表示數機+2和36-10的點到原點的距離相等，則機為（）

A.2B.-2C.6D.6或2

【變式2］（2223下?西城?二模）實數。在數軸上的位置如圖所示，則a,-a,a2,工中最大的是（）

a

,,、q、,、

-1o"~1'~

91

A.aB.-CLC.ciD.—

a

【變式3】（22?23上?昆明?期中）已知數a,仇c的大小關系如圖，下列說法:①ab+ac>0；@-a-b+c<0；

③言+5+三=一1;④若無為數軸上任意一點，則1%-b|+|%-a|的最小值為a-b.其中正確結論的個

1。11。1

數是（）

b0a

A.1B.2C.3D.4

考點3:相反數

典例3：（2223下?廣州?模擬預測）下列各對數中，互為相反數的是（）

A.—(+5)和一5B.+(—5)和一5

C.+(-8)和一(+8)D.+（—8）和一（一8）

【變式1］（2223下?西安?二模）下列各組數中,互為相反數的組是（）

2023

A.1—20231和一2023B.和短

C.|一2023|和2023D.—2023和康

【變式2］（2223下?包頭?三模）若a,b互為相反數，c的倒數是2,貝U3a+3b-4c的值為（）

A.-8B.-5C.-2D.16

【變式3］（2223上?江蘇?專題練習）下列各組數中，互為相反數的是（）

A.|+1|與|—1|B.—（―1）與1C.|—（―3）|與—|一引D.-1+2|與+（—2）

考點4:絕對值

典例4：（22?23上?成都?期末）若=5,|n|=2,且n異號，則的值為（）

A.7B.3或一3C.3D.7或3

【變式1］（2223下?呼倫貝爾?三模）已知x,y兩個實數在數軸上位置如圖所示，則化簡|y—2+J（久一丫尸

的結果是（）

_i-------------1---------1---------->

xy0

A.2xB.2yC.2y—2xD.2x—2y

【變式2】（2324上?包頭?期末）若卜+m+（6-3）2=0,則（時產】的值為（）

A.1B.-1C.0D.2

【變式3］（2223下?濟南?三模）如圖，在數軸上，點A、8分別表示a、b,且a+b=0,若|a-6|=8,

則點A表示的數為（）

---------1----------------

AB

A.-4B.0C.4D.-8

考點5：科學計數法

典例5：（2223下?深圳?模擬預測）國家統計局2022年12月12日發布公告，2022年全國糧食總產量13731

億斤，糧食產量連續8年穩定在1.3萬億斤以上，其中1.3萬億用科學記數法表示為（）

A.1.3X1012B.13x1011C.1.3X1011D.0.13X1012

【變式1］（2324下?深圳?模擬預測）2023年4月4日，從南方電網深圳供電局了解到，今年一季度，深圳

市全社會用電量205.4億千瓦時，同比增長2.1%,反映出深圳經濟活力正全面恢復.將205.4億用科學記數

法表示為（）

A.205.4X108B.2.054X102C.2.054XIO10D.0.2054X1011

【變式2］（2223?滁州?一模）中央財政給某市投入“全面改善貧困地區義務教育薄弱學校基本辦學條件”專項

補助資金1692億元，將169200000000用科學記數法表示應是（）

A.0.1692X1012B.1.692X1012

C.1.692X1011D.16.92X1O10

【變式3］（22-23下?河北?模擬預測）據央廣網2023年5月19日報道：山東萊州市西嶺村金礦勘查項目通

過專家評審，初步認定西嶺金礦新增金金屬量近200噸，累計金金屬量達580噸，按照5月18日國內黃金價

格448.1元/克，以此計算，西嶺金礦的潛在經濟價值為（）元.

A.2598.4X107B.2598.4X108C.2598.4X109D.2598.4X1O10

考點6：近似數

典例6：（2223下?長沙?二模）湘雅路過江通道工程是長沙市區"十八橫十六縱”三十四條主干路之一，位于

三一大道與營盤路之間，總投資53.278億元.其中數據53.278億元精確到哪位？（）

A.萬位B.十萬位C.百萬位D.億位

【變式1］（2223?青島?中考真題）由四舍五入法得到的近似數8.8x103,下列說法中正確的是（）.

A.精確到十分位，有2個有效數字B.精確到個位，有2個有效數字

C.精確到百位，有2個有效數字D.精確到千位，有4個有效數字

【變式2］（21.22下?滄州?一模）網聚正能量，構建同心圓.以“奮斗的人民奮進的中國”為主題的2021中

國正能量"五個一百"網絡精品征集評選展播活動進入火熱的展播投票階段.截至2021年11月26日18點，

“五個一百"活動投票量累計13909615次，數據13909615用科學記數法表示并精確到百萬位為（）

A.0.139X108B.1.39X107C.0.14X108D.1.4X107

【變式3】（22?23上?十堰?期中）下列結論:①一24的底數是-2；②若有理數°,6互為相反數,那么a+b=0；

③把1.804精確到0.01約等于1.80；@-2xy2+2xy2=0；⑤式子|a+2|+6的最大值是6,其中正確的

個數有（）

A.3個B.2個C.5個D.4個

典例7：（2”22下?煙臺?一模）下列各數：—（—2）,|-5|,0,-V8,V=64,其中比一3小的數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1］（2223?深圳?二模）數形結合是解決代數類問題的重要思想，在比較近+1與花的大小時，可以

通過如圖所示幾何圖形解決問題：若要比較夜+3與VT7的大小，以下數形結合正確的是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式3］（2223下?中山?一模）在百，0,—2這四個數中，最小的數是（）

A?用B-1C.。D.-2

考點8:平方根、算術平方根、立方根

典例8：（2223下?深圳?模擬預測）生活中，我們常用到長方形樣、不同型號的打印紙.基于滿足影印（放

大或縮小后，需保持形狀不變）及制作各型號紙張時，既方便又省料等方面的需要，對于紙張規格，存有

一些通用的國際標準.其中，把力。紙定義為面積為1平方米，長與寬的比為迎:1的紙張；沿2。紙兩條長邊

中點的連線裁切，就得到兩張&紙；再沿紙兩條長邊中點的連線裁切得紙…依此類推，得等

44&，A4,4

等的紙張（如圖所示）.若設4紙張的寬為第米，貝h應為（）

V2的算術平方根噂宏的算術平方根

A.B.1C.D.

161632

【變式11（2223下?省直轄縣級單位?階段練習）若庖的整數部分為小，則小的算術平方根的值最接近整數

()

A.2B.3C.4D.5

【變式2］（2122下?涼山?階段練習）已知點Q+2,0-16）在x軸上，則迎的平方根等于（）

A.2B.-4C.±4D.±2

【變式3］（2L22下?閔行?期中）下列說法正確的是（）

A.1的平方根是1B.3次方根是本身的數有0和1

C.一6的3次方根是一標D.a<0時，-a的平方根為土歷

考點9:無理數的估算

典例9：（2223?巴南?一模）估算2?+3的值在（）

A.8和9之間B.7和8之間C.6和7之間D.5和6之間

【變式1】（2223下?沙坪壩?二模）估