題型九角平分線模型

【要點(diǎn)提煉】

在中考中考察幾何時，不論簡單的題目還是較難的題目，都會經(jīng)常見到角平分線的身影，當(dāng)題目中

提到平分線時，往往可以用以下模型來解決問題，將這些模型牢記于心，就可以打開思路

、【導(dǎo)角模型】

導(dǎo)角模型指的是當(dāng)三角形的兩個內(nèi)角（外角）的平分線相交時，可以導(dǎo)出平分線夾角的度數(shù)，例如

下面三幅圖分別是：兩內(nèi)角平分線、兩外角平分線、一內(nèi)角平分線與一外角平分線

圖一：NBPC=18。。-(/PBC+NPCB)=18。。-(jZABC+|ZACB)=180°-|(1800-ZA)=9。。+1ZA

二、【角平分線性質(zhì)定理、及逆定理】

角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

已知AD平分/EAB,則DB=DE（DE常作為輔助線）

角平分線性質(zhì)定理的逆定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上

已知DB=DE,則AD平分NEAB（DE常作為輔助線）

三、【角平分線遇到垂線】

如圖，當(dāng)已知AD平分/CAB、并且CDXAD時，我們常會延長CD交AB與點(diǎn)B,從而可以得到全等,

利用全等得到的邊等和角等來做題

四、【角平分線+平行線=等腰三角形】

已知BD平分/ABC、CD/7AB,則可證ABCD為等腰三角形

：BD平分/ABC

.*.Z1=Z2

VCD/7AB

AZ1=Z3

，Z2=Z3

，CD=BC

.?.▲BCD為等腰三角形

五、【利用角平分線構(gòu)造全等（常用于截長補(bǔ)短的問題）】

已知AD平分/BAC,可在AC上截取AE=AB,連接DE,即可得到AABD全等于AAED

A

B*C

六、【角平分線與比例線段】

已知AD平分/BAC,可過B作BE〃AC,并延長AD交BE于點(diǎn)E,可證ABDE相似于AACD,

易嘮喑

由于AABE易證等腰三角形，則BE=AB,所以可得比例式禁=稅

、1D

、、;

E

【專題訓(xùn)練】

1.（2020?河池）如圖，在EIABCO中，CE平分/BCD,交48于點(diǎn)E,EA=3,EB=5,ED=4.則

CE的長是（

D

A.5V2B.6V2C.4V5D.5V5

【答案】C

【解答】解：,.?CE平分N3CD,

：.ZBCE=ZDCE,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD,AO=5C,AB//CD,

:.NBEC=/DCE,

:?NBEC=/BCE,

:,BC=BE=5,

.?.AD=5,

'：EA=3,ED=4,

在中，32+42=52,BPEA2+ED2=AD1,

：.ZA￡Z)=90",

.?.C￡)=AB=3+5=8,NEDC=90°,

在RtAEDC中，CE=>JED2+DC2=V42+82=4V5.

故選：C.

2.(2020?綿陽)如圖，在四邊形ABC。中，ZA=ZC=90°,DF//BC,NABC的平分線8E交

DF于點(diǎn)、G,GHLDF,點(diǎn)E恰好為08的中點(diǎn)，若AE=3,8=2,則G8=()

【答案】B

【解析】解：過石作交FD于點(diǎn)、N,

：DF//BC,

,.EN工DF,

?.EN〃HG,

??/DEN=/DHG,/END=/HGD,

/XENDs&HGD,

.EN_ED_

?HG~HD

IE為HO中點(diǎn)，

.ED1

?HD—2

EN1

,?一=即HG=2EN,

HG2

\ZDNM=ZNMC=ZC=90°,

??四邊形M0c。為矩形，

??MN=DC=2,

「BE平分NABC,EA上AB,EMLBC,

\EM=AE=3,

\EN=EM-MN=3-2=1,

則HG=2EN=2.

故選：B.

3.（2020?湖北）如圖，已知△ABC和AAOE都是等腰三角形，ZBAC=ZDAE=9Q°,BD,CE交

于點(diǎn)R連接A?下列結(jié)論：①BD=CE；@BFLCF；③A/平分NCAO；@ZAFE=45°.其

中正確結(jié)論的個數(shù)有（）

B

E

CM/

D

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】解：如圖，作于M,ANLEC于■N,設(shè)交EF于。

：.ZBAD=ZCAE,

\"AB^AC,AD^AE,

.?.△BAD也△CAE(SAS),

：.EC=BD,ZBDA=ZAEC,故①正確

NDOF=ZAOE,

:.NDFO=/EAO=90°,

：.BD±EC,故②正確，

：△BAD注△CAE,AM1BD,AN2EC,

：.AM=AN,

曲平分NEFB,

：.ZAFE=45°,故④正確，

若③成立，則/￡AB=NBAF,

ZAFE=ZAFB,

：.ZAEF=ZABD^ZADB,推出AB=A。，由題意知，AB不一定等于AD

所以AF不一定平分/C4。，故③錯誤，

故選：C.

二.填空題（共1小題）

4.（2020?湘潭）如圖，點(diǎn)尸是NAOC的角平分線上一點(diǎn)，PDLOA,垂足為點(diǎn)。，且尸0=3,點(diǎn)、M

是射線OC上一動點(diǎn)，則PM的最小值為3.

【答案】3

【解析】解：根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)時，PM最小，

當(dāng)PALLOC時，

又：。尸平分NAOC,PD±OA,PD=3,

；.PM=PD=3,

故答案為：3.

三.解答題（共7小題）

5.（2020?賀州）如圖，A8是。。的直徑，。是A8延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)C在。。上，BC=BD,AE

LCD交。C的延長線于點(diǎn)E,AC平分/2AE.

（1）求證：C￡＞是。。的切線；

（2）若。。=6,求O。的直徑.

【解析】（1）證明：連接OC,如圖,

E

〈AC平分NEAB,

：.ZOAC=ZEAC,

*：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCAf

：.ZEAC=ZACO,

：.OC//AE,

VAEXDC,

???0C1.CD,

???CO是。。的切線；

(2)解：:BC=BD,

：?NBCD=NBDC,

??.AB是。。的直徑，

AZACB=ZACO+ZOCB=90°,

由(1)知OC_LCO,

AZOCD=ZBCD^-ZOCB=90°,

???ZOAC=ZOCA=ZBCD=NBDC,

???OC=OB,

:?NOBC=NOCB,

而NO3C=NBCO+N0=2N8CO,

：.Z0CB=2ZBCD,

而NOCD=NBCO+NOC5=3N8CD=90°,

AZOAC=ZOCA=ZBCD=ZD=30°,

設(shè)OC=x,則OD=2x,

由勾股定理得4f-/=62,

解得x=2V3,

所以48=4V3.

6.(2020?桂林)如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中

30°,ZDAB=45°,點(diǎn)。為斜邊42的中點(diǎn)，連接8交AB于點(diǎn)E.

(1)求證：A,B,C,。四個點(diǎn)在以點(diǎn)。為圓心的同一個圓上；

(2)求證：CD平分/ACB；

(3)過點(diǎn)。作。尸〃2C交AB于點(diǎn)R求證：BO2+OF2^EF'BF.

【解析】證明：(1)如圖，連接。￡),OC,在Rtz\ABC中，NACB=90°,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn),

OC=OA=OB,

在RtZxABD中，ZAZ)B=90°,點(diǎn)。是A2的中點(diǎn)，

：.OD=OA=OB,

：.OA=OB=OC=OD,

：.A,B,C,O四個點(diǎn)在以點(diǎn)。為圓心的同一個圓上；

(2)由(1)知，A,B,C,D四個點(diǎn)在以點(diǎn)。為圓心的同一個圓上，且

：.AD=BD,

；.CD平分/ACS；

(3)由(2)知，ZBCD=45°,

VZABC=60°,

:./BEC=75°,

/AE￡)=75°,

'：DF//BC,

：.ZBFD=ZABC=6Q°,

VZAB￡)=45°,

AZB￡)F=180°-/BFD-NABD=15°=NAED,

■:/DFE=/BFD,

：./\DEF^/\BDF,

.DFEF

??=,

BFDF

：.DF2=BF'EF,

連接OD,則NBO￡）=90°,OB=OD,

在尸中，根據(jù)勾股定理得，。。2+。尸尸,

：.OB1+OF1=BF-EF,

即BO1+OF1=EF-BF.

7.（2020?寧夏）如圖，在△ABC中，ZB=90°，點(diǎn)。為AC上一點(diǎn)，以C。為直徑的。。交AB

于點(diǎn)E,連接CE,且CE平分/ACB.

（1）求證：AE是。。的切線;

BE

(2)連接OE,若NA=30°,求一.

DE

【解析】（1）證明：連接OE,如圖1所示:

?「CE平分NAC5,

J/ACE=/BCE,

又「OE=OC,

：.NACE=NOEC,

：.ZBCE=ZOEC,

：.OE//BC,

：.ZAEO=ZB,

又???/8=90°,

/.ZA￡O=90°,

即OE.LAE,

：OE為(DO的半徑，

是OO的切線；

(2)解：連接。E,如圖2所示：

是。。的直徑，

ZD￡C=90°,

：.ZDEC=ZB,

又?：/DCE=/ECB,

:.ADCEsAECB,

.BECE

??=,

DECD

VZA=30°,ZB=90°,

：.ZACB=6Q°,

1i

AZDCE=^ZACB=x60°=30°,

CE73

/.—=cosDCE—cos30°=丁，

CD2

.BEV3

8.(2020?廣東)如圖1,在四邊形ABC。中，AD//BC,ZDAB=90°,A8是OO的直徑，CO平

分/BCD.

(1)求證：直線C。與。。相切；

(2)如圖2,記(1)中的切點(diǎn)為E,P為優(yōu)弧加上一點(diǎn)，AD=1,BC=2.求tan/APE的值.

圖1圖2

【解析】（1）證明：作OELCO于E,如圖1所示:

則NOEC=90°,

"：AD//BC,/￡M2=90°,

AZOBC=180°-ZDAB=90°,

：.ZOEC=ZOBC,

：CO平分/BCD,

；.NOCE=NOCB,

2OEC=乙OBC

在和△OCB中，\/_OCE=/.OCB,

0c=OC

:.△OCE2AOCB（A4S）,

：.OE=OB,

又：OE_LCQ,

直線CO與o。相切；

（2）解：作。凡LBC于F,連接BE,如圖2所示:

則四邊形4皮江）是矩形，

：.AB=DF,BF=AD=1,

：.CF=BC-BF=2-1=1,

"."AD//BC,ND4B=90°,

J.ADLAB,BC±AB,

：.AD.8c是。。的切線，

由（1）得：CD是O。的切線，

：.ED=AD^1,EC=BC=2,

:.CD=ED+EC=3,

：.DF=VCP2-CF2=V32-I2=2V2,

:,AB=DF=2近,

0B=V2,

???CO平分NBCD,

：.COLBE,

：.ZBCH+ZCBH=NCBH+ZABE=900,

???NABE=/BCH,

???ZAPE=NABE,

：./APE=/BCH,

9.(2020?孝感)已知△ABC內(nèi)接于OO,AB=AC,NABC的平分線與。0交于點(diǎn)與AC交于

點(diǎn)E,連接并延長與。0過點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)R記N84C=a.

(1)如圖1,若a=60°,

DF1

①直接寫出而的值為一5一；

②當(dāng)。。的半徑為2時，直接寫出圖中陰影部分的面積為—學(xué)-|1L_;

DF2

(2)如圖2,若a<60°,且一=DE=4,求BE的長.

DC3

圖1

??A/是。。的切線，

\ZOAF=90°,

：AB=AC,ZBAC=60°,

??AABC是等邊三角形，

\ZABC=ZACB=ZBAC=60°,

「BO平分NA3C,

??NABD=NCBD=30°,

.*ZADB=ZACB=60°,

\ZBAD=90°,

??是。。的直徑，

：OA=OB=OD,

\ZABO=ZOAB=30°,ZOAD=ZADO=60°,

：ZBDC=ZBAC=60°,

ZADF=ISO°-60°-60°=60°=ZOAD,

\OA//DF,

\ZF=180°-ZOAF=90°,

ZDAF=30°,

\AD=2DFf

???/ABD=NCBD,

：.AD=CD,

:.AD=CD9

:?CD=2DF,

,史

??—1―,

DC2

1

故答案為：

②丁。。的半徑為2,

???AD=O4=2,DF=L

VZAOD=60°,

2

陰影部分的面積為：S梯形AODF-S扇形OA0=^-AF-{DF+OA)-60^2V3(l+2)-

乙KJUU乙

607rx43732

--產(chǎn)

故答案為：-1lT;

(2)如圖2,連接A。，連接A。并延長交。。于點(diǎn)H,連接則NADH=90°,

；?NDAH+NDHA=90°,

TA尸與。。相切，

AZDAH+ZDAF=ZFAO=90°,

???ZDAF=ZDHA,

■:BD平分NABC,

???NABD=NCBD,

9：AD=CD,

：.ZCAD=ZDHA=ZDAF,

*：AB=AC,

：.ZABC=ZACB.

???四邊形A3CO內(nèi)接于。0,

/.ZABC+ZADC=180°,

VZADF+ZADC=180°,

???ZADF=ZABC,

???ZADB=ZACB=AABC,

：.ZADF=ZADB,

在△AOb和△AOE1中

^DAF=乙DAE

*：\AD=AD,

Z.ADF=Z.ADE

：.AADF^AADE(ASA),

：.DF=DE=4f

..DF2

?DC-3’

**?DC=6,

???ZDCE=ZABD=/DBC,/CDE=/CDE,

:,/\CDEs叢BDC,

CDDE64

--=—，即---=一,

DBCDBD6

：.BD=9f

：.BE=DB-DE=9-4=5.

10.(2020?揚(yáng)州)如圖1,已知點(diǎn)。在四邊形ABC。的邊AB上，且。4=。3=0。=0。=2,OC

平分N30。，與8D交于點(diǎn)G,AC分別與50、OD交于點(diǎn)及F.

(1)求證：OC//AD；

4E

(2)如圖2,若DE=DF,求一的值；

AF

DE

(3)當(dāng)四邊形A8C。的周長取最大值時，求不的值.

DD

圖2

：.ZOAD=ZADO.

???OC平分N30D,

：.ZDOC=ZCOB.

又???NDOC+NCOB=NOAD+/ADO,

ZADO=ZDOC9

：.CO//AD；

(2)解：如圖1,

?：OA=OB=OD,

：.ZADB=90°,

設(shè)N0AC=a,則NACO=NDAC=a.

'：OA=OD9DA//OC,

：.ZODA=ZOAD=2af

：.NDFE=3a,

?:DF=DE,

：.ZDEF=NDFE=3a,

???4a=90°,

.??a=22.5

???NZMO=45°,

???AAOD和AABD為等腰直角三角形,

：.AD=V2A0,

.?當(dāng)=0,

AO

?；DE=DF,

:?/DFE=/DEF,

?.?NDFE=NAFO,

：.ZAFO=ZAED,

又NAOE=NAO/=90°,

JAADE^AAOF,

AEAD

"AF~AO

(3)解：如圖2,

：.ABOC^ADOC(SAS),

：.BC=CD,

設(shè)3C=CO=x,CG=m,貝ijOG=2-

,：Oa-Od=Be-CG2,

A4-(2-m)2=/-m2,

解得：m=^x2,

1

JOG=2Q2,

4

VOD=OB,/DOG=/BOG,

???G為3。的中點(diǎn),

又：。為AB的中點(diǎn),

1_

：.AD=2OG=4-^x2,

111-

四邊形ABCD的周長為22C+4Z5+AB=2x+4—2”？+4=—《x?+2x+8=-2（"-2）^+10,

1_

V-i<0,

...尤=2時，四邊形ABCD的周長有最大值為10.

：.BC=2,

...△2C。為等邊三角形，

：.ZBOC=60°,

OC//AD,

：.ZDAO=ZCOB=60°,

AZADF=ZDOC=60°,ZDAE=30°,

：.ZAFD=9Q°,

DEV31

—=—,DF=^DA,

DA32

.DE2V3

"DF—3'

11.（2020?牡丹江）在等腰△ABC中，AB=BC,點(diǎn)、D,E在射