專題05遇到角平分線如何添加輔助線模型

目錄導航］

目錄

例題講模型］

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模型1.運用角平分線定理模型.................................................................1

模型2.構造等腰三角形模型...................................................................3

模型3.構造軸對稱圖形模型...................................................................5

習題練模型］

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例題講模型］

模型1.運用角平分線定理模型

模型解讀

條件：如圖，P是/WON的平分線上一點，已知垂足為A

輔助線作法:過點P作PBLON于點B.

結論:出=PA

0BN

模型運用

例1.如圖，在VABC中，ZC=90°,50是VABC的角平分線.若CD=3cm,則點。到AB的距離為（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

例2.如圖，射線OC是/AO3的角平分線，。是射線OC上一點，￡＞尸，。4于點P,DP=5,若點。是射

線08上一點，02=4,則A。。。的面積是

⑴如圖1,若CELAD于點凡交A3于點E,AB=7,AC=5.則BE=;

⑵如圖2,若皿=7,AC=5,AACD的面積是10,求VABC的面積；

(3)如圖3,若NC=2NB,AB=m,AC=n,請直接寫出80的長(用含根，〃的式子表示).

例4.如圖，點尸在/AC?的平分線上，點E歹分別在。403上，S.ZOFP=ZOEP.

D

⑴求證：PF=PE；

(2)延長尸尸，EP,分別交04,03于點C,D,連接C。，若DP平分/CDB,回答下列問題.

①試說明CP平分ZACD；

②若CD=2,S“CD=2,求點P到射線的距離.

模型2.構造等腰三角形模型

模型解讀

1.條件:如圖1,點尸是平分線0C上一點.

輔助線作法:過點尸作〃。昆交0A于點。.結論：△P。。是等腰三角形.

圖1圖2圖3

2.條件:如圖2,0C是/AOB的平分線，點。是。4上一點.

輔助線作法：過點。作。E〃OC,交8。的延長線于點E.

結論：△OOE是等腰三角形.

3.條件：如圖3,尸是NMON平分線上一點，已知AP_LOP.

輔助線作法：延長AP,交ON于點B.

結論:AAOB是等腰三角形，。尸垂直平分A8

模型運用

例1.如圖所示，8。是VABC的角平分線，過點。作交BC于點E,若CE=4,DE=3,則邊3C

的長為()

C.8D.9

例2.如圖，VABC中，BD平分/ABC,于點。，5ASCD=45,SAADC=20,貝=

例3.(1)如圖1,VA5c中，AB^AC,ZABC,—ACB的平分線交于。點，過。點作砂〃3C交48,

AC于點E,F.圖中有一個等腰三角形.猜想：EF與BE,Cf之間有怎樣的關系，并說明理由；

(2)如圖2,^AB=AC,其他條件不變，圖中有一個等腰三角形；EF與BE,CF間的關系是」

(3)如圖3,ABwAC,若上4BC的角平分線與VA3C外角ZAC。的角平分線交于點O,過點。作OE〃BC

交48于E,交AC于R圖中有一個等腰三角形.EF與BE,CT間的數量關系是

例4.(1)【問題情境】利用角平分線構造全等三角形是常用的方法，如圖1,O尸平分NMON.點A為。暇

上一點，過點A作AC_LOP,垂足為C,延長AC交ON于點B,求證：AAOCdBOC.

⑵【問題探究】如圖2,在(1)的條件下，過點A作ADLON,垂足為"AD交O尸于點E.若AD=OD,

試探究AC和。￡的數量關系，并證明你的結論.

(3)【拓展延伸】如圖3,VABC中，AB=AC,NBAC=90。，點。在線段BC上，且=

2

于交AB于尸，試探究8E和。尸之間的數量關系，并證明你的結論.

圖2圖3

14.【閱讀材料】“截長法"是幾何題中一種輔助線的添加方法，是指在長線段中截取一段等于已知線段，常

用于解答線段間的數量關系，當題目中有等腰三角形，角平分線等條件，可用"截長法"構造全等三角形來進

行解題.

A

【問題解決】

(1)如圖①，在VA3C中，ZACB=2ZB=90°,AD為NBAC的角平分線，在AB上截取AE=AC,連接DE.請

直接寫出線段48,AC,CD之間的數量關系；

【拓展應用】

(2)如圖②，在VABC中，ZACB=2ZB^90°,AD為NBAC的鄰補角的角平分線.請判斷線段AB,AC,

C。之間的數量關系，并說明理由；

【探究延伸】

(3)如圖③，在VABC中，ABAC=9Q°,ZACB=2ZB=60°,A8=26，AC=2,AR為的角平

分線，A3是-54c的鄰補角的角平分線時，請直接寫出△AC2和AACN的面積.

模型3.構造軸對稱圖形模型

模型解讀

1.截長法

條件:如圖1,在△ABC中，點。在8c上，且A。平分/BAC.

輔助線作法:在AB上截取AF=AC,連接DF.結論:AAC￡)^AAFZ).

BDC

圖1

2.補短法

條件:如圖2,在△ABC中，點。在2C上，ZACB=2ZB,S.AD平分N3AC.

輔助線作法:延長AC至點E,使AE=AB,連接DE.

結論：

例1.如圖，在VABC中，ZACB=2ZB.

⑴如圖1,當NC=90。，AD為4c的角平分線時，求證：AB=AC+CD；

⑵如圖2,當NCw90。，AD為/A4c的角平分線時，線段AB,AC,CO的數量關系為

(3)如圖3,當AD為VABC的外角平分線時，線段AB,AC,CD的數量關系為；

例2.綜合與實踐

【問題情境】

在學習了角平分線的性質后，興趣小組通過查閱資料得到以下知識：

定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形，

如圖1,在四邊形ABC。中，AB=AD,/8+/。=180。，這種四邊形被稱為等補四邊形.

圖1圖2

【探究實踐】

經過交流討論，李明、王紅向同學們分享了自己的發現.

(1)如圖2,李明發現，連接C4,則C4為/BCD的角平分線，請你判斷他的結論是否正確，并說明理由；

(2)如圖3,王紅發現，在等補四邊形ABC。中，當AB_L3C,ADLCD,ZE4尸=時，BE,EF馬

ED之間存在某種數量關系，請寫出該關系并說明理由.

【拓展應用】

(3)如圖4,已知ZEOF=|ZAOB,OA^OB,ZA+ZB=180°，若AE=6,踮=9,則砂的長度是

習題練模型

I

一、單選題

1.如圖，MC是"WB的角平分線，尸為MC上任意一點，PDYMA,垂足為點。，且尸。=3,則點尸到

射線MB的距離是()

A

D

A.1B.2C.3D.4

2.如圖，在0ABe中，0ABe的角平分線8。和0AC8相鄰的外角平分線CO交于點。，過點。作小〃BC交

AB^-E,交AC于G,若EG=2,且GC=6,貝UBE長為()

C.10D.9

3.如圖，在等腰Rt^ABC,N54c=90。，AB=AC,8。為VABC的角平分線，過點C作CELBD交的

延長線與點E,若CE=2,則8。的長為（）

A

4.如圖，為NC4廠的角平分線，BD=CD,過。作DE1AC于E,7）尸_LAB交54的延長線于尸，則

下列結論:

ABDF；?CE=AB+AE-③NBDC=/BAC.其中正確結論的序號有（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

二、填空題

5.如圖，在VABC中，3。是/ABC的角平分線，DE//BC,若A5=13,OE=8,則AE的長為.

A

E/--^D

6.如圖，射線0C是/A03的角平分線，點。為射線0C上一點，。尸，。4于點P,PD=4,若點。是射

線。8上一點，00=5,則AOOQ的面積為.

7.如圖，BD是/ABC的角平分線，AD±BD,垂足為O,ZZMC=20°,ZC=4Q°,貝！JNAB￡>=

8.如圖，雙驕制衣廠在廠房。的周圍租了三幢樓A、8、C作為職工宿舍，每幢宿舍樓之間均有筆直的公

路相連，并且廠房。與每幢宿舍樓之間也有筆直公路相連，且3C>AC>AB.已知廠房。到每條公路的距

離相等.

（1）則點。為AABC三條的交點（填寫：角平分線或中線或高線）；

（2）如圖設BC=a,AC=b,AB=c,OA=x,OB=y,OC=z,現要用汽車每天接送職工上下班后，

返回廠房停放，那么最短路線長是_________.

9.如圖，4。是的角平分線，點E在CB的延長線上，且DE=CD,E/〃AC交力B的延長線于點R

求證：AF+EF^AC.

10.課本再現

如圖1,任意作一個角NAOB,作出NAO3的平分線OC,在OC上任取一點尸，過點P畫出。4,02的

重線，分別記垂足為。，E,測量PO,PE并作比較，你得到什么結論？在OC上再取幾個點試一試.

通過以上測量，你發現了角的平分線的什么性質？

猜想證明

(1)角的平分線有以下性質:

(2)證明你的猜想.

知識應用

(3)如圖2,在四邊形OEPQ中，OP平分NQOE,/E=90。,OE=2PE=2OQ=4.求四邊形OEPQ的

面積;

ARBD

(4)如圖3,在VABC中，4。是它的角平分線.證明：—

21

11.在VABC中,ZACB=2NB,如圖

⑴當NC=90。時，AD為，3AC的平分線，求證：AB=AC+CD.

⑵如圖，當NCW90。時，AD為N3AC的角平分線，猜想線段AB,AC,CD的關系式(請

直接寫出你的猜想，不需要證明）

（3）如圖當4。為VA2C的外角平分線時，線段AB,AC,CD的關系（并對你的猜想給

予證明）

12.綜合探究：如題圖1是一種用刻度尺畫角平分線的方法，在Q4、上分別取點C、E、D、B，使

得OC=OD,OE=OF,連接CP、DE,交點為P,則射線O尸為—AC?的角平分線.

圖1圖2圖3

【驗證】（1）試說明O尸平分/AO3,且尸E=P尸；

【應用】（2）如題圖2,若C、E、D、廠分別為Q4、上的點，S.OC=OD,CFLOA,DEVOB,

試用（1）中的原理說明O尸平分/AOB；

【猜想】（3）如題圖3,P是一AOB角平分線上一點，C、。分別為。4、上的點，且PC=PD,請補

全圖形，并直接寫出與4DO的數量關系.

13.【數學思考】（1）如圖1,AO是VA3C的中線，過點B作AC的平行線，交AD的延長線于點E,求證：

△ADC-EBD；

【深入探究】（2）如圖2,AD是VABC的角平分線，點E在BC邊上，CD=DE,過點E作EF〃AB交AD

于點尸，試判斷跖與AC的數量關系，并說明理由；

【拓展延伸】（3）如圖3,