專題49與角有關(guān)的等腰三角形的存在性問(wèn)題

【題型演練】

一、解答題

1.在等邊ABC中，。為8C上一點(diǎn)，E為BA上一點(diǎn)、,過(guò)B作3尸〃AC,連接收，DF,且/EED=60。.

(1)如圖1,若B尸=4,BE=5,求3。的長(zhǎng).

(2)如圖2,若。為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，試探究30、BE、所的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3汝口圖3,若。為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為54延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE-.BF.AC=2:3:5,請(qǐng)直接寫出CD:3D的

比值.

2.己知ABC是銳角三角形，且NC=60。，點(diǎn)。，E分別是邊AC,8C上一點(diǎn)，點(diǎn)F是3。和AE的交點(diǎn).

圖2

(1)如圖1,若AC>3C,且Na4E=NABD,ZAFD=60°,AD=2,求8E的長(zhǎng)；

(2)如圖2,若AC=3C,S.AD=CE,過(guò)點(diǎn)5作3河〃AC,且，"=3C,線段陸與3C相交于點(diǎn)G,點(diǎn)

N是M尸的中點(diǎn)，連接3N,求證：AF+BF=2BN.

3.在等邊J1BC中，。為射線8C上一點(diǎn)，CE是NACB外角的平分線，ZADE=60°,EFJ.BC于F.

圖1圖2

(1)如圖1,求證CE〃AB；

(2)如圖1,若點(diǎn)。在線段BC上(不與8,C點(diǎn)重合)，求證：BC=DC+2CF；

(3)如圖2,若點(diǎn)。在線段BC的延長(zhǎng)線上，(2)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.如圖，-ABC是等邊三角形.

(1)點(diǎn)尸是A3邊上一動(dòng)點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到A3中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)CB至E,使BE=BP,連接PEPC.求證：PE=PC；

②在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以CP為邊在CP上方作等邊△CP。，連接A2CO,當(dāng)”＞鰭時(shí)，求EMZ)尸的取值

范圍；

(2)4/是ABC的高，記AN長(zhǎng)為m動(dòng)點(diǎn)M在AH上運(yùn)動(dòng)，在CM上方以CM為邊作等邊CMN,在點(diǎn)M

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

5.如圖1,在ABC中，AB^AC,BC=2,點(diǎn)。為..4BC兩外角/CB。，/BCE的平分線的交點(diǎn)，連接

OB,OC.

(1)求證O3=OC；

(2)如圖2,點(diǎn)M在線段BC上，點(diǎn)N為射線CE上一點(diǎn)，且滿足/ABC=2/MCW.

①求；CMN的周長(zhǎng)；

②如圖3,若NA=30。，且點(diǎn)。'為/ABC,—AC3的平分線的交點(diǎn)，線段AC上是否存在一點(diǎn)G,使得△CGM

與右CMV的周長(zhǎng)相等？若存在，請(qǐng)直接寫出NMO'G的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.在等邊三角形ABC中，AB=18,點(diǎn)。是BC邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸是AB邊上的一點(diǎn)，連接P。，以PD為

2

邊作等邊三角形PDE,連接BE.

A<P}

(1汝口圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：BE=CD.

(2)如圖2,若AP=3,請(qǐng)計(jì)算3E+BD的值.

7.已知一ABC和一。EF均為等腰三角形，筋=47,￡)E=0尸,/546=/即廣，點(diǎn)“在48上，點(diǎn)廠在射線4。

上.

C(F)

(1)如圖1,若44c=60。，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，求證：AD//BC-,

(2)如圖2,若4)=他，求證：AF^AE+BC.

(3)若AB=5,在(2)的條件下，點(diǎn)E為A3的中點(diǎn)，尸為3c所在直線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)⑷尸一即1取得最大值

時(shí)，請(qǐng)直接寫出8P的長(zhǎng).

8.如圖，點(diǎn)。是等邊.ABC內(nèi)一點(diǎn)，ZAOB=110°,ZBOC=a.將30c繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得

△ADC,連接OD.

(1)當(dāng)。=150。時(shí)，通過(guò)上述旋轉(zhuǎn)可得到三條線段。4、OB、OC之間的等量關(guān)系，請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系,

并說(shuō)明理由;

(2)探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？(只填出探究結(jié)果即可)。=

3

9.如圖1,C、。是以AB為直徑的。上的點(diǎn)，且滿足3C=CD=ZM=3,點(diǎn)尸在A8上，PD交AC于點(diǎn)

⑴求“的度數(shù).

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)時(shí),

①求證：—AMG是等腰三角形.

②求多的值.

ACJ

(3)如圖1,設(shè)粵=x,

△DM/與△CM的面積差為y,求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

MC

10.如圖，在*4BC中,ZBAC=90°,AB^AC,射線AD13c于點(diǎn)D

(1)如圖1,求/BAD的度數(shù)；

(2)若點(diǎn)E,尸分別是射線AD,邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，AE=CF,連接BE,BF.

①如圖2,連接斯，當(dāng)跖〃3c時(shí)，求NEBD的度數(shù)；

②如圖3,當(dāng)班;+8尸最小時(shí)，求證：ZABF=ZDBE.

11.【基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖1,在ABC中，D,E,尸分別為A3,AC,8C上的點(diǎn)，DE//BC,BF=CF,AF交DE于

點(diǎn)G,求證：DG=EG.

【嘗試應(yīng)用】

DE

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接CO,CG.若CGLDE,CD=10,AE=6,求=的值.

【拓展提IWJ】

4

(3)如圖3,在YABCD中，^ADC^45°,AC與交于點(diǎn)。，E為AO上一點(diǎn)，EG〃BD交AD于點(diǎn)、G,

￡F_LEG交3C于點(diǎn)F.若N￡G產(chǎn)=40。，尸G平分/EFC,FG=8,求■的長(zhǎng).

12.如圖1,若P是ABC內(nèi)部一點(diǎn)，5.ZPAC=ZPCB=ZPBA=a,則稱點(diǎn)尸為ABC的布洛卡點(diǎn)，同時(shí)

稱a為.ABC的布洛卡角.布洛卡點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了研究“三角形幾何”的熱潮.

(1)如圖2,P為等邊三角形A3c的布洛卡點(diǎn)，求ABC的布洛卡角的度數(shù);

(2)如圖3,在‘ABC中，AB^AC,尸是，ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且NR4C=NPCB,ZAPC=ZBPC.

①求證：/)為_(kāi)他(7的布洛卡點(diǎn);

②若NBAC=ZAPB,延長(zhǎng)3P交AC于點(diǎn)。，求證：。是AC中點(diǎn).

13.如圖，等腰直角二A03中，ZAOB^90°,AB=6,點(diǎn)C在直線A3上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)OC,將線段0C繞點(diǎn)

。逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得線段。。，連結(jié)CO,AD.

(1)【基礎(chǔ)鞏固】求證：△AOZ^^BOC；

(2)【嘗試應(yīng)用】如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在線段AC上時(shí)，若AC=23C,求△COD的面積；

3

(3)【拓展思考】如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在線段54的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AD與OC的交點(diǎn)為E,若"OE的面積為萬(wàn),

分別求線段AC和OE的長(zhǎng).

5

14.在ABC中，BC=8,兩條高AD,BE交于點(diǎn)、H,P是8的中點(diǎn)，連接■并延長(zhǎng)交邊BC于點(diǎn)G.

(1)如圖1,若ABC是等邊三角形.

①求證：AH=2DH；

②求CG的長(zhǎng).

(2)如圖2,若AH=DH,CG=BD,求J1BC的面積.

15.如圖①，NQ4P=60。，以/OAP的頂點(diǎn)A為頂點(diǎn)作正「ABC,延長(zhǎng)邊BC與，。AP的AP邊交于E點(diǎn),

在AO邊上截取一點(diǎn)D,使得=并連結(jié)2D.

(1)求證：BE=AB+BD；

(2)①將正ABC繞頂點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使頂點(diǎn)8落在—Q4P內(nèi)部，如圖②，請(qǐng)確定3D,AB,跖之間

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②將圖②中的正,ABC繞頂點(diǎn)A繼續(xù)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使頂點(diǎn)8落在射線。尸下方，如圖③，請(qǐng)確定BD,AB,

班之間的數(shù)量關(guān)系，不必說(shuō)明理由;

(3)在(1)和(2)的條件下，若AC=4,BD=1,求BE的長(zhǎng).

16.如圖1,在線段A3上取一點(diǎn)C(BC>AC),如果以AC,3C為邊在同一側(cè)作正方形ACDG與正方形

CBEF,連接EG,取EG的中點(diǎn)M,DM的延長(zhǎng)線交所于點(diǎn)N.

6

D

(1)請(qǐng)?zhí)骄縕W與9的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

(2)如圖2,將正方形CBEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得A,C,E在同一條直線上，其余條件不變.

①填空：/FEC的度數(shù)是,NDCF的度數(shù)是.

②探究(1)中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由.

17.已知_ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，。為中點(diǎn).

圖1圖2

(1)如圖1,連接CO,E為線段。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以8E為邊長(zhǎng)向下作等邊三角形3防，連接AF,證明:

AF=CE.

(2)在(1)的條件下，求B尸+gAb的最小值.

(3)如圖2,G,H分別為BC,AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)/,ZA7W=60°,連接交AG于點(diǎn)J,連

接即并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)K,KH=KJ,試探究8。即,灰7的數(shù)量關(guān)系.

18.背景資料：在已知一ABC所在平面上求一點(diǎn)P,使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問(wèn)題是

法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.如圖1,

當(dāng)4ABe三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)尸在,ABC內(nèi)部，當(dāng)/4/>3=/4/3。=/。尸3=120。時(shí)，則

PA+PB+PC取得最小值.

圖2圖3圖4

(1)如圖2,等邊內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)A、B、。的距離分別為3,4,5,求/AP3的度數(shù)，為

7

了解決本題,我們可以將AAPB繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP處,此時(shí)△ACP絲這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段小、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出44PB=.知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角

均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂

點(diǎn)與一ABC的另一頂點(diǎn)，則連線通過(guò)三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們探索以下問(wèn)題.

⑵如圖3,ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。，在，ABC外側(cè)作等邊三角形連接求證：C?過(guò)ABC

的費(fèi)馬點(diǎn).

(3)如圖4,在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=1,4LBC=30。，點(diǎn)尸為.ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP、2尸、CP,

求P4+P3+PC的值.

19.如圖，ABC中，ZC=90°,AB=10cm,BC=6cm,若動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C開(kāi)始，按C—A—C的路徑運(yùn)

動(dòng)，且速度為2cm/秒，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒.

⑴當(dāng).PBC是以BC為斜邊的直角三角形時(shí)，求t的值.

(2)當(dāng)一PBC為等腰三角形時(shí)，求f的值.

8

專題49與角有關(guān)的等腰三角形的存在性問(wèn)題

【題型演練】

一、解答題

1.在等邊一ABC中，。為上一點(diǎn)，E為BA上一點(diǎn)、,過(guò)B作3尸〃AC,連接所，DF,

且/EFD=60°.

(D如圖1,若W=4,BE=5,求的長(zhǎng).

⑵如圖2,若。為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，試探究30、BE、防的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)如圖3,若。為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，￡為54延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE:BF:AC=2:3:5,請(qǐng)直

接寫出CD:3。的比值.

【答案】⑴1

Q)BF=BD+BE

⑶CD:BD=1:2

【分析】(1)延長(zhǎng)D?至點(diǎn)H，使BH=BF,易得.為等邊三角形，證明“EDH-EEB,

得到=利用—求出3D的長(zhǎng)即可.

(2)延長(zhǎng)3D至點(diǎn)使血1=8尸，易得BMF為等邊三角形,證明"DM烏FEB,得

至LlMD=3E,^^BM=BD+DM,即可得到毋'=3Z)+3E；

(3)在8。上截取BM=BF,易得^BMF為等邊三角形，證明DMF^EBF,得到MD=BE,

設(shè)AE=2k,BF=3k,AC=5k,求出B￡>,C￡>,即可得解.

【詳解】(1)解：延長(zhǎng)D8至點(diǎn)打，使BH=BF,

：.ZABC=ZC=60°,

'：BF//AC,

：.ZFBH=60°,

9

陽(yáng)是等邊三角形，

：.ZH^ZBFH=60°,HF=BF,

?：/EFD=6。。,

：.ZEFB=ZDFH=60°+ZBFD,

NHBF=ZABC=60。,

ZEBF=ZH=60°,

：.^DHF^EBF(ASA),

：.DH=BE=5,

,:BH=BF=4,

：.BD=DH-BH=5-4=1；

(2)解：BF=BD+BE；理由如下:

延長(zhǎng)BD至點(diǎn)使BM=BF,

ZABC=ZC=60°,

BF//AC.

：.ZFBM=60°,

，一是等邊三角形，

：.ZM=ZBFM=60°,MF=BF,

?；NEFD=60。,

：.ZEFB=ZDFM=600-ZBFD,

'：ZMBF=AABC=6G°,

：.ZEBF=ZM=60°,

：.DMF烏￡BF(ASA),

；?MD=BE,

*：BM=BD+DM,

：.BF=BD+BE；

(3)解：在3。上截取=

10

E

???三角形ABC是等邊三角形，

???ZABC=ZACB=60°f

'：BF〃AC,

：.ZFBM=6Q°,

.FBM是等邊三角形，

AZBMF=ZBFM=60°,MF=BF,

?:NEFD=60。,

：.ZEFB=ZDFM=60°-ZEFM,

'：ZMBF=ZABC=60°,

：.ZEBF=ZBMF=60°,

???，DMFg,EBF(AS0,

:?MD=BE,

VAE:BF:AC=2:3:5,

設(shè)AE=2左,5b=3NAC=5k,

AAB=BC=AC=5kfMD=BE=AB+AE=1k,BM=BF=3k,

:?BD=BM+MD=10k,CD=BD-BC=5k,

：.CD:BD=1:2.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì).通過(guò)添加輔助線,

證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵.

2.已知一ABC是銳角三角形，且NC=60。，點(diǎn)O,￡分別是邊AC,3C上一點(diǎn)，點(diǎn)b是

和A￡的交點(diǎn).

(1)如圖1,若AC>BC,且44E=NA瓦)，ZAFD=6Q°fAD=2,求班的長(zhǎng)；

(2)如圖2,若AC=3C,且AD=CE,過(guò)點(diǎn)5作BM〃AC,^BM=BC,線段Mb與3。相

交于點(diǎn)G,點(diǎn)N是”F的中點(diǎn)，連接3N,求證：AF+BF=2BN.

11

【答案】⑴2

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)延長(zhǎng)8。至點(diǎn)G,使得3G=AE,先證明ABAE9△ABG(&4S),得至UAG=BE,

NBEA=NG,根據(jù)NEM+/3砂+/3PE=180°,/￡BF+NC+N3Z)C=180°可得

NBEF=NBDC,由NADG=NCDF,可得ZADG=NBEF=NG,則AD=AG,即可得到

答案；

(2)先證明_ABC是等邊三角形，進(jìn)一步證明△ACE=ABAaSAS),延長(zhǎng)8N到Q,使得

NQ=BN,連接尸Q.可證△3NM且ZM2N/(S4S),^FQ=BM=AB,延長(zhǎng)3尸到尸，使

PF^AF,連接"，PQ,則R4F是等邊三角形，ffi.PFQ^PAB(SAS),得到PBQ是

等邊三角形，進(jìn)而可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖1中，延長(zhǎng)50至點(diǎn)G,使得3G=AE,

圖1

在和，/1SG中，

AE=BG

?：<ZBAE=NABG,

AB=AB

：.ABAE9AABG(SAS),

AG=BE,NBEA=NG,

ZAFD=60°,

：.NBFE=60。,

又ZC=60°,NEBF+ZBEF+Z.BFE=180°,/EBF+ZC+ZBDC=180°,

NBEF=/BDC,

,?ZADG=NBDC,

：.ZADG=ZBEF=ZG,

：.AG=AD,

：.BE=AD=2,

/.BE的長(zhǎng)為2.

(2)證明：如圖2,

12

Q

圖2

VAC=BC,ZC=60°,

???-ABC是等邊三角形，

AAC=AB9ZC=ZBAD=60°.

在ZVICE與‘BAD中，

AC=AB

?：\ZC=ZBAD,

CE=AD

：.AACE絲ABAD(SAS),

：.ZABF=ZCAE,

：.ZAFD=ZFAB-^ZABF=60°f

：.ZBFA=180。—ZAFD=120°.

如圖2中，延長(zhǎng)BN到。，使得NQ=BN,連接尸Q.

???點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，

:?NM=NF,

在&BNM與公QNF中,

'NM=NF

?.?]NBNM=ZQNF,

BN=NQ

：.ABNM也△QNF(SAS),

：.FQ=BM=AB,AM=ZQFN,

BMFQ,

延長(zhǎng)所到P,使得尸尸=”，連接A尸，PQ,則△以/是等邊三角形,

；.NPAB+/PBA=/PBA+NFBM=120。,PA=PF,

：.ZPAB=ZFBM,

?.?BMFQ,

??.ZPFQ=ZFBM=ZPAB,

在△尸歹。與中，

PF=PA

?；1/PFQ=NPAB,

FQ=AB

13

.?…PF—PAB(SAS),

/.PQ=PB=PF+BF,ZQPF=ZBPA=60°,

，是等邊三角形，

/.AF+BF=PF+BF=PB=QB=2BN.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，等角對(duì)等邊，

平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí).作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

3.在等邊，中，。為射線BC上一點(diǎn)，CE是NACB外角的平分線，ZADE=60°,

EF工BC于F.

(2)如圖1,若點(diǎn)。在線段8C上(不與5,C點(diǎn)重合)，求證：BC=DC+2CF；

(3)如圖2,若點(diǎn)。在線段的延長(zhǎng)線上，(2)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析.

⑵答案見(jiàn)解析.

(3)不成立.理由見(jiàn)解析.

【分析】(1)：為等邊三角形，ZB=ABCA=600---ZACF=120°，：CE為角平

分線，，乙ECF=4B=60。即可得出結(jié)論.

(2)過(guò)點(diǎn)。作DG〃AC交A2延長(zhǎng)線于G,證得AGD^.DCE,得出AD=Z)E,進(jìn)一步

利用GD=CE,3￡>=CE得出結(jié)論.

(3)證明方法同(1)得出(2)不成立.

【詳解】(1),?二ABC為等邊三角形，

NB=ABCA=60°，

AACF=120°，

VCE為角平分線，

AECF=AB=60°，

CE〃AB.

(2)如圖，

14

A

過(guò)點(diǎn)。作。G〃AC交AB于G,

???..ABC是等邊三角形，AB=BC,

ZB=ZACB=60°,

?'-ABGD=60°，AAGD=120°，

???.3OG是等邊三角形，

:?BG=BD,

：.AG=DCf

??,CE是/AC3外角平分線，

，AACE=-AACF=60°,

2

?*-ADCE=AAGD=120°

,-*AADB+AEDC=120°=AADB+ADAG，

4EDC=4DAG,

在△AG。和△。。石中，

ZAGD=ZDCE

<AG=DC

/EDC=ZDAG

:.LAGD空」DCE(SAS),

：.GD=CE,

：.BD=CE,

：.BC=CE+DC=DC+2CF.

(3)不成立，此時(shí)比1=2〃-⑦，理由如下:如圖,

:.GD=CE9

：.BD=CE,

15

：.BC=BD-CD=CE-DC=2CF-CD.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定，利用邊角關(guān)系及等量代換

求得結(jié)論.

4.如圖，是等邊三角形.

備用圖②

(1)點(diǎn)尸是邊上一動(dòng)點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)尸移動(dòng)到A2中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)CB至E,使BE=BP,連接PE,PC.求證：PE=PC；

②在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以CP為邊在CP上方作等邊△”>￡>,連接AD,C￡>,當(dāng)尸時(shí),

求EMDP的取值范圍;

⑵A”是.ABC的高，記長(zhǎng)為。，動(dòng)點(diǎn)M在A"上運(yùn)動(dòng)，在CN上方以CM為邊作等邊

CMN,在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

【答案】⑴①見(jiàn)解析；?00<ZADP<30°

⑵。

【分析】(1)①根據(jù)等邊三角形的定義得到NABC=NACB=60。，根據(jù)三線合一的性質(zhì)求

出ZACP^ZBCP^30°,利用三角形外角性質(zhì)求出Z￡=30°,由此得到結(jié)論;②當(dāng)點(diǎn)尸是A3

中點(diǎn)時(shí)，證明ACP與ACD(SAS),求出/ADP=30。；當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時(shí)，NAT>P=O。，

根據(jù)得到EM￡)尸的取值范圍；

(2)取AC的中點(diǎn)E,連接7VE,如圖，證明\MCH\NCE網(wǎng)0,得到MH=NE,NELAC,

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，NE=MH=AH=a,當(dāng)點(diǎn)”與點(diǎn)X重合時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，由

此求出點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

【詳解】(1)①；ABC是等邊三角形，

ZABC=ZACB=60°,

:點(diǎn)尸是AB中點(diǎn)，

ZACP^ZBCP=30°,

BE=BP,

NE=ZBPE,

,：ZE+ZBPE=60°,

：.NE=30。，

NE=NBCP,

：.PE=PC；

16

②當(dāng)點(diǎn)尸是A5中點(diǎn)時(shí)，ZACP=30°,ZAPC=90°,

???△CTO的等邊三角形，

ZPDC=ZPCD=6009CP=CD,

：.ZACD=300=ZACP,

又「AC=AC,

???，AC&ACD(SAS),

???ZADC=ZAPC=90°,

：.ZADP=30°；

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時(shí)，ZADP=0°,

TAP>BP,

：.00<ZADP<30°；

(2)取AC的中點(diǎn)E,連接7VE,如圖,

VAH±BC,

CH=-BC,

2

CE=-AC=-BC,

22

：.CH=CE,

??,.ABC和..CAW都是等邊三角形，

AZACB=ZMCN=6O°,CM=CN,

：.ZMCH=ZNCE,

17

，.…MCH會(huì)一NCE(ASZ,

：.MH=NE,ZNEC=NMHC=90。,

：.NE±AC,

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，NE=MH=AH=a,

當(dāng)點(diǎn)”與點(diǎn)〃重合時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，

.?.點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為a.

【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等

腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟練掌握三角形的有關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖1,在ABC中，AB=AC,BC=2,點(diǎn)。為4ABe兩外角NCBD,NBCE的平分

線的交點(diǎn)，連接08,OC.

⑴求證O3=OC；

⑵如圖2,點(diǎn)M在線段上，點(diǎn)N為射線CE上一點(diǎn)，且滿足/ABC=2/MON.

①求二CMV的周長(zhǎng)；

②如圖3,若NA=30。，且點(diǎn)。'為/ASC,—ACB的平分線的交點(diǎn)，線段AC上是否存在

一點(diǎn)G,使得△CGN與一CMN的周長(zhǎng)相等？若存在，請(qǐng)直接寫出NMO'G的度數(shù)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)詳解

⑵①2,②52.5。

【分析】(1)由NABC=NACB,可得/DBC=NECB,根據(jù)點(diǎn)。為&ABC兩外角NCBD,

/BCE的平分線的交點(diǎn)，即有NC20=1NC8D,=問(wèn)題隨之得解；

22

(2)①先證明/CBO=/3CO,再根據(jù)/ABC=2/MON,證明N3OC=2NMON,在BC

上取一點(diǎn)T,使得BT=CN,連接70,證明-TBOZ一NCO(SAS),接著證明

TMg一MWO(SAS)，問(wèn)題隨之得解;②先計(jì)算出ZABC=ACB=75°,根據(jù)點(diǎn)O'為ZABC,

ZACB的平分線的交點(diǎn)，可得ZBOC=105°,30'=CO',在BC上取一點(diǎn)使得BH=CG,

連接O'H,O'G,如圖，根據(jù)△CGM與&CMN的周長(zhǎng)相等，可得HM=MG,再證明

18

OBH'O'CG,即有N6O'H=NCO'G,O'H=O'G,接著證明。MH烏O'MG,即有

ZHOrM=ZGOrM=-ZHOrG,即可得N"(7G=NBOC=105。，問(wèn)題得解.

2

【詳解】(1)9：AB=AC,

：.ZABC=ZACBf

:?/DBC=/ECB,

???點(diǎn)。為一ABC兩外角NC5O,ZBCE的平分線的交點(diǎn)，

ZCBO=-ZCBD,ZBCO=-ZBCE,

22

???ZCBO=ZBCO,

：.OB=OC；

(2)①在(1)中已有ND3C=NEC5,ZCBO=-ZCBD,ZBCO=ZNCO=-ZBCE,

22

ZCBO=ZBCO,

即有NCBO=NNCO,

???ZDBC=180°-ZABC,

ZCBO=ZBCO=-ZDBC=90°--ZABC,

22

NBOC=180。-(NCBO+4CO)=ZABC,

ZABC=2ZMON,

：.ZBOC=2ZMON,

在5c上取一點(diǎn)T,使得BT=CN,連接TO,如圖，

VOB=OC,/CBO=/NCO,BT=CN,

:…TB(涇NCO(SAS),

：.TB=NC,TO=NO,ZTOB=ZNOC,

'/ZBOC=2ZMON,

：.NBOT+ATOM+ZMOC=2ZMOC+2/CON,

???ZTOM=ZMOC+NCON=AMON,

°：OM=OM,TO=NO,

19

:?jTMg^NMO8的,

：.TM=NM,

：.NM+NC+CM=TM+BT+CM=BC,

,:BC=2,

:?NM+NC+CM=2,

即4cMN的周長(zhǎng)為2；

②???NA=30。，AB=ACf

：.ZABC=ACB=75。,

???點(diǎn)O'為/ABC,/ACS的平分線的交點(diǎn)，

:.NO'BC=ZOCB=ZOfCG=37.5°,

ZBOrC=105°,BO,=CO,,

在3c上取一點(diǎn)H,使得BH=CG,連接077,O'G,如圖,

:△CGM與「CMV的周長(zhǎng)相等，在①中有：NM+NC+CM=BC,

：.CG+MG+CM=BC=BH+HM+CM,

*/BH=CG,

：.HM=MG,

,ff

VBO=CO\ZOBC=ZOCG=37.5°fBH=CG,

：?OBH'OCG,

,,

：.ZBOH=ZCOGfOH=0'G,

VO'M=O'M,HM=MG,

；?OMHAOMG,

/HO'M=ZGOrM=-ZHOrG,

2

?/NB(yH=/CO'G,

：.ZHO'G=ZHOC+ZCOfG=/HOC+/BOH=ZBOfC,

：./HOG=ZBOC=105°,

NGO'M=-/HO'G=52.5°.

2

20

【點(diǎn)睛】本題是一道三角形的綜合題，考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，全等三

角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，做輔助線，證明O'BH^O'CG.0MH烏O'MG是解答本題

的關(guān)鍵.

6.在等邊三角形ABC中，A5=18,點(diǎn)。是BC邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是AB邊上的一點(diǎn)，連接

PD,以尸。為邊作等邊三角形PDE,連接BE.

圖1

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：BE=CD.

（2）如圖2,若AP=3,請(qǐng)計(jì)算座+m的值.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵15

【分析】（1）根據(jù)ABC和VADE均是等邊三角形，得到AE=AD,4?=AC,同時(shí)結(jié)合角

度得和差關(guān)系得到=即可得證；

（2）過(guò)P點(diǎn)作尸尸〃AC交C。于F，可以證得△3P尸是等邊三角形，從而根據(jù)（1）中的方

法證明APBE合PFD,即可求解；

【詳解】（1）ABC和VADE均是等邊三角形

AE=AD,AB=AC,ZEAD=ABAC=60

即ZEAB+ZBAD=ACAD+ABAD

AEAB=ADAC

AE=AD

在AAEB和AADC中：,NEAB=ZDAC

AB=AC

ACD^,ABE(SAS)

BE=CD

(2)過(guò)P點(diǎn)作尸尸〃AC交CD于尸

21

ABC是等邊三角形，且PF//AC

???NBPF=ZA=60,ZPBF=ZABC=60

△出步是等邊三角形

BP=FP,NBPF=ZEPD=60

即ZEPB+ZBPD=ZFPD+ZBPD

NEPB=NFPD

△PDE是等邊三角形

PE=PD

PE=PD

在小PBE和白PFD中：-/EPB=ZFPD

BP=FP

PBE^^PFD（SAS）

BE=FD

BE+BD=FD+BD=BF=BP

AB=18,AP=3

BF=BP=15

^BE+BD=15.

【點(diǎn)睛】本題主要結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，考查全等三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確的作出輔助

線是求解本題的關(guān)鍵.

7.已知，ABC和JDEF均為等腰三角形，AB=AC,DE=DF,ABAC=,點(diǎn)E在AB上,

點(diǎn)F在射線AC上.

(1)如圖1,若Zfi4C=60。，點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，求證：AD//BC；

(2)如圖2,若=求證：AF=AE+BC.

⑶若AB=5,在(2)的條件下，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，尸為3C所在直線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)1np-

取得最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)5

22

【分析】(1)根據(jù)題意得出「ABC,一兩為等邊三角形，證明△BCE之△ACD(SAS),根

據(jù)NEBC+NE4C+NOAC=180。，即可得證；

(2)在E4上截取百欣=AE,連接DM,證明AAED學(xué)△MFD(SAS),AABC^ADAM(SAS),

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；

(3)如圖所示，延長(zhǎng)DE交直線BC于點(diǎn)P,根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出當(dāng)IOP-EPI取得最

大值時(shí)，則|如-阿|的最大值為DE的長(zhǎng)，進(jìn)而證明“陋汪—應(yīng)P,根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)證明：,/ZBAC=AEDF=60°,AB=AC,DE=DF,

ABC,DEF為等邊三角形，

/.BC=AC,CE=CD,ZBCE+ZACE=ZDCA+ZECA=60°,

ZBCE=ZACD,

在和ACD中，

BC=AC,

<NBCE=NACD,

CE=CD,

：.ABCE^AACP(SAS),

???/DAC=/EBC,

,/ABC為等邊三角形，

???Z.EBC=ZJEAC=ZDAC=60°.

JZEBC+ZEAC+ZDAC=180°,

：.AD//BC

(2)如圖2,在E4上截取=連接。M,

連接￡L>交AC于N,

???ABAC=ZEDF,ZANE=ZDNF,

???ZAED=ZMFD,

在△AED和AMFD中，

AE=MF,

<ZAED=/MFD,

ED=FD,

：.AAEP^AMFDCSAS),

23

DA=DM=AB=AC,ZADE=NMDF,

ZADE+ZEDM=ZMDF+ZEDM,

即/ADM=NEDF.

ZADM=ZBAC,

在」IBC和△DA”中，

AB=DA,

<ZBAC=ZADM,

AC=DM,

：.△ABC之ADAM(SAS),

/.AM=BC,

：.AE-hBC=FM+AM=AF.

BPAF=AE+BC.

(3)解：如圖所示，延長(zhǎng)DE交直線3C于點(diǎn)尸，

當(dāng)|DP-￡P(guān)|取得最大值時(shí)，則\PD-PE\的最大值為DE的長(zhǎng),

由(2)可得△ABC烏△D4M(SAS)

NDAC=ZACB,

：.AD//BC,

ZADE^ZP,

為AB的中點(diǎn)，則任=①，

又：ZAED=/PEB

:._AED^BEP(AAS),

BP=AD=5

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形

的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，點(diǎn)。是等邊A5c內(nèi)一點(diǎn)，ZAOB=110°,ZBOC=a.將_BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)60。得△ADC,連接OD.

24

A

(1)當(dāng)a=150。時(shí)，通過(guò)上述旋轉(zhuǎn)可得到三條線段。4、OB、OC之間的等量關(guān)系，請(qǐng)寫出這

個(gè)等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)探究：當(dāng)C為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？(只填出探究結(jié)果即可)a=.

【答案】⑴OA2=Og2+oc2,理由見(jiàn)解析

(2)125。或110。或140。

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得二BOC=AADC即

CO=CD,AD=OB,ZADC=ZBOC=150°,進(jìn)而得到△COD是等邊三角形即

/CDO=60°,OC=OD則ZADO=90°,最后根據(jù)勾股定理即可解答；

(2)分AO=AD、OA=OD,OD=AD三種情況，然后分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：OA2=OB2+OC2,理由如下：

???將一3OC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60得△ADC

ABOC=AADC,ZDCO=60°

/.CO=CD,AD=OB,ZADC=NBOC=150。

.?.△COD是等邊三角形

ZCDO=60°,OC=OD

，ZADO=ZADC-ZCDO=150°-60°=90°

:.△AOD是直角三角形

:.=OD2+AD2

/.OA2=OB2+OC2.

(2)解：①要使=需ZAOD=NADO

:NAOD=360°—110°—60°—(z=190°—a,ZAD(9=?-60°

A190°-a=a-60°,解得：a=125°；

②要使Q4=OD,需NOAD=ZADO

：.Z.OAD=180°-(ZAOD+ZADO)=180°-(190°-a+cr-60°)=50°

Atz-60°=50°,

."=110。；

③要使8=AD,需NOAD=ZAOD

25

??28=36。。-11。。-6。?=19。?，/。的小。。一（廠6。。）“°。若

a

：.120°=190°—。，解得a=140。

2

綜上，當(dāng)1的度數(shù)為125。或110。或140。時(shí)，△AOD是等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用等腰三角形的判定與性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵.

9.如圖1,C、。是以A3為直徑的。上的點(diǎn)，且滿足3C=CD=ZM=3,點(diǎn)P在AB上,

圖1圖2備用圖

⑴求/DA4的度數(shù).

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸是A8的中點(diǎn)時(shí)，

①求證：AMG是等腰三角形.

②求笠的值.

ACr

（3汝口圖1,設(shè)管=》，△》以與的面積差為“求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

【答案】(l)ZDBA=30°

⑵①見(jiàn)解析，②黑考

3

⑶3-A/3(X+1)

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，計(jì)算即可.

（2）①根據(jù)等腰三角形的定義證明即可.

②利用圓周角定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)計(jì)算即可.

（3）利用圓周角定理，平行線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)計(jì)算即可..

【詳解】（1）BC=CD=DA,

26

；?BC=CD=DA，

：.ZDBA=ZDBC=ZCABf

???A3是直徑，

JZACB=90°,

，NDBA+/DBC+NCAB=3/DBA=90°,

ZDBA=30°.

(2)①,??P是AB的中點(diǎn)，AB是直徑，

：.ZADP=NBDP=45。,

???ZDBA=30°f

：.ZDAB=60°,

：.ZDG4=180°-ZZMB-Zz4Z)P=180o-60o-45o=75o,

ZC4B=30°,

???ZAMG=180。—ZCAB-ZAGM=180。—30°-75°=75°,

/.AM=AG,

???一AMG是等腰三角形.

②???BC=CD=DA，

：.ZDBA=ZDBC=ZCAB=ZDAC,

A3是直徑，

???ZACB=90°,

：.ADBA+ADBC+ACAB=3ZDBA=90°,

ZDBA=30°.

：.ZDAC=30°,

27

ZADP=NBDP=45。，

又?二ZAGM=ZAMG=ZDMI=75°,

J/\IDMS^ADG,

,?.翳=今3”〃"30。=孝

(3)'：AD=BC,

?**AD=BC，

ZDBA=ZCDB,

：.DC//AB,

：.ZCDM=ZDGA=ZPGH=ZHNB=ZDNC,

'：ZDCM=ZNDC,

：.ACDMs^DNC,

.CDCM

*'D2V-CD'

，DN.CM=CD2=9,

VAD=CD=3,ZAT>C=120°,

??AC=3y[39

AM

x

MC

MC*DN=6(x+i)，

x+1

o

,,=^Z\DMC~^^CND=—CD(^CM-DM^sin3Q

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，平行線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的

判定，三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角函數(shù)是解題的關(guān)

鍵.

10.如圖，在4ABe中，/SAC=90。，AB^AC,射線AD1BC于點(diǎn)D

28

（1）如圖1,求154Q的度數(shù)；

⑵若點(diǎn)E,尸分別是射線AD,邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，AE=CF,連接BE,BF.

①如圖2,連接所，當(dāng)EF〃BC時(shí)，求NEBD的度數(shù)；

②如圖3,當(dāng)5E+BF最小時(shí)，求證：ZABF=ZDBE.

【答案】⑴/BAD=45°

⑵①/EBD=225。；②見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一進(jìn)行解答即可；

（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出AG=AF,得出BG=CF,根據(jù)等腰三角形的判定得

出AE=GE,即可證明BG=GE,得出NGBE=/GEB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

NGEB=NEBD,證明NGS￡=,根據(jù)NGBE+NEBZUdS。即可得出答案；

②過(guò)點(diǎn)C作。Vf_L3C,在CM上截取CG=AB,證明ABEWCGF,得出BE=GF,從而

得出BE+BF=BF+FG,5、F、G在同一直線上時(shí)，3尸+尸G最小，即3E+3尸最小，連

接BG交AC于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為尸，交AO于點(diǎn)用證明=得出NHBE=45。,

證明=得出ZABF+NFBC=NFBC+NDBE,即可證明結(jié)論.

【詳解】（1）解：?.?在—ABC中，AB^AC,ADJ.BC,ZB4C=90°,

AZBAD=-ZBAC=45°；

2

（2）解：①延長(zhǎng)EE交A3于點(diǎn)G,如圖所示：

?.,在ABC中，AB^AC,ABAC=90°,

：.ZABC=ZACB=1x90°=45°,

2

?；EF//BC,

：.ZAGF=ZABC^45°,ZAFG=ZACB=45°,

：.ZAGF=ZAFG,

：.AG=AF,

29

???AB-AG=AC-AF,

：.BG=CF,

'：ZAGE=ZGAE=45°,

：.AE=GE,

,:AE=CF,

：.BG=GE,

：./GBE=NGEB,

,:EF〃BC,

：./GEB=NEBD,

：./GBE=/EBD,

?.,NGBE+NEBD=45。,

：.ZEBD=22.5°；

②過(guò)點(diǎn)。作在CM上截取CG=AB,如圖所示:

也

?；ZBCG=90。,ZBC4=45°,

???ZACG=45°,

ZBAD=45°,

：.ZACG=ZBADf

VAB=CG,AE=CFf

：.ABE^.CGF,

:.BE=GF,

：.BE+BF=BF+FG,

???3、F、G在同一直線上時(shí)，BF+FG最小,即/最小，連接5G交AC于一點(diǎn)，該

點(diǎn)即為尸，交于點(diǎn)”，如圖所示：

V.ABE^CGF,

：.ZAEB=ZCFG.

30

?；ZAFH=NCFG,

：-ZAEB=ZAFH,

ZBHE=ZAHF,

又NHBE+ZBEH+ZBHE=180°,

ZAHF+ZAFH+ZHAF=