第01講直線的相交

（3個知識點+10類熱點題型講練+習題鞏固）

E學(xué)習目標

課程標準學(xué)習目標

①對頂角的性質(zhì)；

1.了解相交線和對頂角的概念；

②利用有關(guān)對頂角的性質(zhì)，并且

2.理解對頂角相等；

包含較多的說理過程；

3.會利用余角、補角和對頂角的性質(zhì)進行,有關(guān)角的計算。

iiH思維導(dǎo)圖

知識點01：對頂角

對頂角是兩個角之間的一種位置關(guān)系。兩條直線相交時會產(chǎn)生一個交點，并產(chǎn)生以這個交點為頂點的

四個角。稱其中不相鄰的兩個角互為對頂角。或者說，其中的一個角是另一個的對頂角。

對頂角滿足下列定理：兩直線相交，對頂角相等。

【即學(xué)即練1】

1.如圖，N1和22是對頂角的是（)

【答案】C

【分析】本題考查了對頂角的定義，如果兩個角有公共頂點，其中一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的

反向延長線，那么這兩個角是對頂角.一般地，兩條直線相交能形成兩對對頂角.

【詳解】解：A、N1和N2的兩邊不互為反向延長線，不是對頂角，不符合題意；

B、N1和N2沒有公共頂點，不是對頂角，不符合題意；

C、N1和/2是對頂角，符合題意；

D、N1和N2的兩邊不互為反向延長線，不是對頂角，不符合題意；

故選C.

【即學(xué)即練2】

2.如圖所示，如圖所示，直線A3,C。相交，所形成的Nl,Z2,Z3,N4中，N2的對頂角是（）

C.Z4D.N1和N3

【答案】C

【分析】根據(jù)對頂角的定義：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線,

具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角，解答即可.

【詳解】解：N2的對頂角是N4.

故選：C.

【點睛】本題考查了對頂角的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念并準確識圖是解題的關(guān)鍵.

知識點02：垂直

1.垂直的定義：如圖，直線a、b相交成的四個角中有一個角是直角（通常標上直角標記），則直線。

與直線6互相垂直，記作或者交點。就是垂足.其中。是6的垂線，》也是。的垂線.垂線是

直線，且相對于另一條直線而言.

a

b

0

a

圖1

2.垂直定義的應(yīng)用：

（1）判定：若直線和。相交，交點為。，ZB0C=9Q°,則

ABLCD.這個推理過程可表示為：

,/ZBOC=90°,

ABVCD.（垂直的判定）.

（2）性質(zhì)：若兩條直線AB,CD,垂足為點O,則

ZAOC=ZAOD=NBOC=ZBOD=90°,

這個推理過程可表示為：

??AB1CD

：.N8OC=90。（垂直的定義）.

3.如圖，在同一平面內(nèi)，OALl,OBLI,垂足為0,則。4與08

重合的理由是（）

、、B

<<A

01

A.兩點確定一條直線

B.垂線段最短

C.同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

D.垂直于同一直線的兩條直線平行

【答案】C

【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直進而得出答案.

【詳解】解：OALl,OBU,垂足為0,

與重合（同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直），

故選：D.

【點睛】此題主要考查了垂線的性質(zhì)，正確把握定義是解題關(guān)鍵.

【即學(xué)即練4】

4.如圖，Q4LOB于點0,直線。經(jīng)過點0,4。9=33。33',則的度數(shù)是（）

A.123067,B.123033,C.146067,D.146°33'

【答案】B

【分析】由得出NAOB=90。，再根據(jù)/40。=33。33',由余角的定義可得出/30D,再根據(jù)補

角的定義可得出ZBOC的度數(shù)即可.

【詳解】解：；,

ZAOB=90°,

---ZAOD=33°33',

：.Z.BOD=90°-33。33'=56。27',

Z.Z.BOC=180-56°27,=123°33',

故選：B.

【點睛】本題考查了垂線的定義，平角的定義，關(guān)鍵是利用90。和180。的數(shù)據(jù)進行計算.

知識點03鄰補角

鄰補角是指兩個角有一條公共邊，并且它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角互為鄰補

角。具體來說，鄰補角具有以下特征：

公共邊和公共頂點：鄰補角有一個公共的頂點和一條公共邊12o

反向延長線：兩個角的另一條邊互為反向延長線心

角度和為180度：鄰補角的度數(shù)之和為180度，即它們是互補的心

成對出現(xiàn)：鄰補角是成對出現(xiàn)的，一個角是另一個角的鄰補角2。

平角：互為鄰補角的兩個角相拼成一個平角，即180度2。

定義和性質(zhì)

鄰補角的定義是：兩個角有一條公共邊和共同的頂點，且它們的另一條邊互為反向延長線，這

樣的兩個角互為鄰補角。例如，在一條直線上，相鄰的兩個直角（90度）就是鄰補角口

實際應(yīng)用

鄰補角在幾何學(xué)中有重要的應(yīng)用。例如，在解決一些幾何問題時，可以利用鄰補角的性質(zhì)來簡

化計算。止匕外，鄰補角在平面幾何中也有廣泛的應(yīng)用，特別是在直角三角形中，一個銳角的鄰

補角必然是鈍角

題型精講

題型01相交線

【典例1】下列圖形滿足“直線4與直線相交，點M既在直線4,又在直線4上”的是（）

【答案】c

【分析】本題主要考查了相交線以及點與直線的位置關(guān)系，兩條直線交于一點，我們稱這兩條直線為相交

線.根據(jù)直線4與直線4相交，點M既在直線4,又在直線4上進行判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：A.直線4與直線4相交，點M在直線4,不在直線4上，故本選項不符合題意；

B.直線4與直線4相交，點〃不在直線4，在直線上，故本選項不符合題意；

c.直線4與直線4相交，點M既在直線4,又在直線4上，故本選項符合題意；

D.直線4與直線力相交，點M既不在直線4,也不在直線上，故本選不項符合題意；

故選：C.

【變式1】平面上的三條直線最多可將平面分成（）部分

A.4B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】題目主要考查相交線，理解題意，掌握相交線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，三條直線兩兩相交時將平面分為7部分，

①②

③

?\r?

故選C.

【變式2】直線AB,BC,C4的位置關(guān)系如圖所示，下列語句：①點A在直線BC上；②直線BC經(jīng)過點。；

③直線AC,BC交于點C；④點C在直線4B外；⑤直線AB,BC,G4兩兩相交.以上表述正確的有.（只

填寫序號）

【答案】②③④⑤

【分析】本題考查了點和直線的位置關(guān)系，直線和直線的位置關(guān)系，根據(jù)圖性逐項判斷即可求解，正確識

圖是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由圖可知，點A在直線3C外，故①錯誤；

由圖可知，直線BC經(jīng)過點。，故②正確；

由圖可知，直線AC,交于點C,故③正確；

由圖可知，點C在直線4B外，故④正確；

由圖可知，直線AB,BC,C4兩兩相交，故⑤正確；

以上表述正確的有②③④⑤，

故答案為：②③④⑤.

【變式3】一平面內(nèi)，三條直線兩兩相交，最多有3個交點；4條直線兩兩相交，最多有6個交點；5條直

線兩兩相交，最多有10個交點；8條直線兩兩相交，最多有一個交點.

【答案】28

【分析】由已知一平面內(nèi)，三條直線兩兩相交，最多有3個交點；4條直線兩兩相交，最多有6個交點；5

條直線兩兩相交，最多有10個交點總結(jié)出：在同一平面內(nèi)，w條直線兩兩相交，則有處二9個交點，代

2

入即可求解.

【詳解】解：???由已知總結(jié)出在同一平面內(nèi)，〃條直線兩兩相交，則最多有"4"一、個交點,

2

??.8條直線兩兩相交，交點的個數(shù)最多為8x（8f=28.

2

故答案為：28.

【點睛】此題考查的知識點是相交線，關(guān)鍵是此題在相交線的基礎(chǔ)上，著重培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實驗和猜想、

歸納能力，掌握從特殊到一般猜想的方法.

【變式4】平面內(nèi)"條直線最多將平面分成多少個部分?

n2+n+2

【答案】

2

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后可尋找規(guī)律，進而問題可求解.

【詳解】解：首先畫圖如下，列表如下：

當〃=1時，平面被分成2個部分；

當〃=2時，增加2個，最多將平面分成2+2=4（個）部分；

當〃=3時，增加3個，最多將平面分成2+2+3=7（個）部分；

當〃=4時，增加4個，最多將平面分成2+2+3+4=11（個）部分；…；

所以當有“條直線時，最多將平面分成2+2+3+4+...+〃=1+1+2+3+4+...+”=1+"（"+1）="+”+2（個）

22

部分.

【點睛】本題主要考查圖形規(guī)律及幾何初步，解題的關(guān)鍵是得到直線把平面分成幾個部分的一般規(guī)律.

題型02垂線的定義理解

【典例1】如圖，直線以b相交于點。，射線垂足為點。，若Nl=40。，則N2的度數(shù)為（）

A.50°B.120°C.130°D.140°

【答案】C

【分析】本題主要考查了垂直的定義，鄰補角的定義，求出N3的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)垂直的定義可求

N3的度數(shù)，然后根據(jù)鄰補角的定義求解即可.

【詳解】解：如圖，

''cLa,Zl=40°,

/.Z3=9O°-Z1=5O°,

/.Z2=180°-Z3=130°.

故選：C.

【變式1】如圖，已知ONJL。，OMYa,所以。M與ON在同一條直線上的理由是（）

oa

A.兩點確定一條直線

B.經(jīng)過一點有且只有一條直線垂直于已知直線

C.過一點只能作一條垂線

D.垂線段最短

【答案】B

【分析】本題考查了垂線的基本事實，根據(jù)垂線的基本事實結(jié)合圖形得出結(jié)論是解題關(guān)鍵.利用同一平面

內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直進而得出答案即可.

【詳解】解：因為ON，。，OMLa,

所以直線ON與重合，

其理由是：同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，

故選：B.

【變式2】如圖，直線A3、相交于點。，于點。，ZDOB=43°,ZCOE=度.

D

E

【答案】47

【分析】本題考查垂直的定義，角的和差.根據(jù)垂直的定義得到/友花=90。，再根據(jù)角的和差即可求解.

【詳解】解：

/BOE=90°,

---NDOB=43。,

：.ZCOE=180°-ZDOB-ZBOE=180°-43°-90°=47°.

故答案為：47

【變式3】如圖，直線AB,CD相交于點。，于點。，NDOB=43°,NCOE=度.

【答案】47

【分析】此題主要考查了垂線的性質(zhì).根據(jù)垂直定義可得NBOE的度數(shù)，然后再根據(jù)

ZCOE=180°-NDOB-ZBOE可得.

【詳解】解：OE1AB,

:./BOE=90。,

NDOB=43°,

"COE=18。。一NDOB-ZBOE=180°-43°-90°=47°.

故答案為：47.

【變式4】如圖，交直線于點O,射線OnOE在N3OC內(nèi)，OE平分/30D,其中NCOD=34。.

⑴求/30D的度數(shù);

⑵求/AOE的度數(shù).

【答案】⑴56°

(2)152°

【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的計算，找準角度之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵:

(1)垂直得到ZBOC=90°,利用ZBOC-ZCOD即可得出結(jié)果；

(2)角平分線的定義求出/BOE的度數(shù)，平角的定義求出/AOE的度數(shù).

【詳解】(1)W：,：OC±AB,

：.NBOC=90。,

,/ZCOD=34°,

：.ZBOD=ZBOC-ZCOD=56°；

(2)ABOD=56°,OE平分/BOD,

：./BOE=-ZBOD=28°,

2

ZAOE=180°-ZBOE=152°.

題型03畫垂線

【典例1】在平面內(nèi)，過一點畫已知直線的垂線，可畫垂線的條數(shù)是()

A.1B.2C.無數(shù)D.不存在

【答案】A

【分析】本題主要考查了垂線的性質(zhì)，根據(jù)垂線的性質(zhì)解答即可，理解性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.即在平面內(nèi),

過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

【詳解】在平面內(nèi)，過一點畫已知直線的垂線，可畫垂線的條數(shù)是1,

故選：A.

【變式1】下列各圖中，過直線/外的點P畫/的垂線8.三角尺操作正確的是()

C

【答案】D

【分析】本題主要考查畫垂線，用直角三角板的一條直角邊與/重合，另一條直角邊過點尸后沿直角邊畫直

線即可.

【詳解】解：用直角三角板的一條直角邊與/重合，另一條直角邊過點尸后沿直角邊畫直線，

，D選項的畫法正確，

故選：D.

【變式2】如圖，一束光線以入射角為50。的角度射向斜放在地面A8上的平面鏡CD經(jīng)平面鏡反射后與

水平面成30。的角，則與地面A3所成的角/CD4的度數(shù)是.

【詳解】解：過點E作于E.

根據(jù)題意得：Zl=Z2=50°,NEND=30°,

：./DEN=40°,

：.ZCDA^ZDEN+ZEND=3Qo+4Q°=10°.

故答案為70°.

【點睛】本題借助物理里的反射光線考查了三角形外角定理.屬于學(xué)科交叉知識，題目難度不大，注意數(shù)

形結(jié)合思想的應(yīng)用.

【變式3】如圖，過直線/外一點A,作直線/的垂線，可以作條.

■

A

【答案】1

【詳解】試題解析：過直線/外一點4作直線/的垂線，可以作1條.

故答案為1.

點睛：平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

【變式4】如圖，平面上有四個點A、B、C、D,按照要求作圖:

%

⑴畫出線段A3.

⑵畫出直線CD.

(3)在直線CD上面出與點B距離最短的點E并說明這樣畫的理由.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析，垂線段最短

【分析】本題考查了直線、射線、線段，以及垂線段，關(guān)鍵是掌握直線、射線、線段的性質(zhì).

(1)以A、B為端點,畫線段即可；

(2)過C、。畫直線即可；

(3)過點2作直線CD的垂線段BE即可.

【詳解】(1)解：如圖，線段即為所求，

(2)解：如圖，直線CD即為所求;

(3)解：如圖，點E即為所求，

理由是垂線段最短.

題型04垂線段最短

【典例1】如圖，點P是直線。外的一點，點A、B、C在直線。上，且垂足為點BPA1PC,

則下列正確的語句是()

A.線段尸C的長是點尸到直線。的距離B.PA,PB、尸C三條線段中，尸8最短

C.線段AC的長是點A到直線PC的距離D.線段AC的長是點C到直線上4的距離

【答案】B

【分析】此題主要考查了點到直線的距離及垂線段的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握垂線段的性質(zhì)，從直線外一

點到這條直線上各點所連的線段中，垂線段最短.

根據(jù)“從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中，垂線段最短”，“從直線外一點到這條直線的垂線段的

長度，叫做點到直線的距離”進行判斷，即可解答.

【詳解】A.線段PC的長是點C到9的距離，原說法錯誤，故此選項不符合題意；

B.PA,PB、尸。三條線段中，依據(jù)垂線段最短可知依最短，原說法正確，故此選項符合題意；

C.線段R4的長是點A到直線PC的距離，原說法錯誤，故此選項不符合題意；

D.線段尸C的長是點C到直線承的距離，原說法錯誤，故此選項不符合題意.

故選:B.

【變式1】小峰同學(xué)家在點P處，他在行走速度相同的情況下，想盡快到達公路邊，他選擇沿線段PC去公

路邊，這一選擇用到的數(shù)學(xué)知識是（）

A.兩點確定一條直線B.垂線段最短

C.兩點之間，線段最短D.過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直

【答案】B

【分析】此題主要考查了垂線段的性質(zhì)：點到直線的所有連線中，垂線段最短.根據(jù)垂線段的性質(zhì)解答即

可.

【詳解】解：小峰同學(xué)的家在點尸處，他在行走速度相同的情況下，想盡快地到達公路邊，他選擇沿線段尸C

去公路邊，是因為垂線段最短；

故選：B.

【變式2】如圖，在VA3C中，過點C作CDLAB于點D,M是邊A3上的一個動點，連接CM.若8=6,

則線段CM的長的最小值是.

R

【分析】本題主要考查點到直線的距離，根據(jù)垂線段最短可得結(jié)論.

【詳解】解：；且CD=6,

根據(jù)“垂線段最短”可知，當點M與點。重合時，CM最短,

所以，CM的最小值為8的長，

所以，CM的最小值為6,

故答案為：6.

【變式3】如圖，欲在河岸AB上某處P點修建一水泵站，將水引到村莊C處，可在圖中畫出CP垂直AB,

垂足為P,然后沿CP鋪設(shè)，則能使鋪設(shè)的管道長最短，這種設(shè)計的依據(jù)是：.

C

【答案】垂線段最短

【分析】本題考查點到直線距離的知識，根據(jù)兩點之間垂線段最短即可得出答案.

【詳解】解：解：己知在河岸A3上某處尸點修建一水泵站，將水引到村莊C處，又知直線外一點到該直線

的最短距離是其垂線段，這種設(shè)計的依據(jù)是：垂線段最短，

故答案為：垂線段最短

【變式4】如圖所示的正方形網(wǎng)格，所有小正方形的邊長都為1,A、8、C都在格點上.

(1)利用網(wǎng)格作圖：過點C畫直線A3的垂線CE,垂足為點E；

(2)線段CE的長度是點到直線的距離；

(3)比較大小：CECB(填＞、＜或=),理由：

【答案】(1)見解析

⑵CAB

(3)＜垂線段最短

【分析】本題主要考查垂線段、點到直線的距離:

(1)取格點K，作直線CK,交直線AB于點E；

(2)根據(jù)點到直線的距離的定義即可解答；

(3)根據(jù)垂線段最短即可解答.

【詳解】(1)

(2)線段CE的長度是點C到直線的距離.

故答案為：CAB

(3)CE<CB,理由：垂線段最短.

故答案為：<垂線段最短

題型05點到直線的距離

【典例1】若尸為直線/外一定點，A為直線/上一點，且辦=1，1為點尸到直線/的距離，則d的取值范

圍為()

A.0<rf<lB.0<rf<lC.0<dWlD.0<rf<l

【答案】C

【分析】本題考查點的直線的距離，根據(jù)垂線段最短即可求出答案.

【詳解】解：由垂線段最短可知：0<dWl,

當4=1時，

此時PA_L/,

故選：C.

【變式1】如圖，量得直線/外一點尸到/的距離PB的長為5cm,點A是直線/上的一點，那么線段%的

長不可能是()

——f----------/

A.4cmB.5cmC.5.5cmD.8cm

【答案】A

【分析】本題主要考查了垂線段最短的性質(zhì)和點到直線的距離的概念，熟練掌握點到直線的距離的概念是

解題的關(guān)鍵.

從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中，垂線段最短，據(jù)此可得結(jié)論.

【詳解】解：直線/外一點尸到/的距離PB的長為5cm,點A是直線/上的一點，

，線段出的長最短等于5cm,

故不可能是4cm.

故選：A.

【變式2】如圖，在三角形ABC中，NACB=90。，CD，AB,垂足為Z).若AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,

則點A到直線BC的距離為cm,點B到直線AC的距離為cm,點C到直線AB的距離為cm.

【分析】本題考查了點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握點到直線的距離的定義；根據(jù)三角形等面積

法求出C。，再根據(jù)點到直線的距離的定義即可得解.

【詳解】解：SABC=^ABCD=^ACBC,

.-,-x5-CZ)=-x4x3,

22

/.CD=2.4cm,

???點A到直線5c的距離為AC=4cm,點3到直線AC的距離為3c=3cm,點。到直線A5的距離為

CD=2.4cm,

故答案為：4,3,2.4.

【變式3】如圖，尸是直線/外一點，A,B,C三點在直線/上，且于點2,ZAPC=90°,若B4=4,

【分析】本題考查了點到直線的距離，點到直線的距離定義為從直線外一點到這條直線的垂線段長度，由

點到直線的距離的定義即可得解.

【詳解】解：由題意可知，出的長即為點A到直線PC的距離.

因為E4=4,

所以點A到直線PC的距離是4,

故答案為：4.

【變式4】如圖，點P是-403的邊。4上的一點，請過點P畫出0A,03的垂線，分別交02于點M,N,

哪條線段的長度表示點P到直線03的距離？

【答案】作圖見詳解，線段PN表示點P到直線08的距離

【分析】本題考查了點到直線的距離，先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)點到直線的距離的定義得出即可.能

熟記點到直線的距離的定義是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖,

線段PN的長度表示點P到直線OB的距離.

題型06對頂角的定義

【答案】c

【分析】本題考查了對頂角.兩條邊互為反向延長線的兩個角叫對頂角，根據(jù)定義結(jié)合圖形逐個判斷即可.

【詳解】解：A、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；

B、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；

C、符合對頂角的定義，故本選項符合題意；

D、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；

故選：C.

【變式1】下列說法正確的是（）

A.如果N1=N2,則N1和N2是對頂角

B.如果N1和N2有公共的頂點，則N1和/2是對頂角

C.對頂角都是銳角

D.銳角的對頂角也是銳角

【答案】D

【分析】此題考查了對頂角的定義，有公共頂點且兩條邊都互為反向延長線的兩個角稱為對頂角.

根據(jù)對頂角的定義進行分析即可.

【詳解】解：A.如果N1=N2,則N1和N2不一定是對頂角，故本選項錯誤；

B.如果/I和N2有公共的頂點，則N1和N2不一定是對頂角，故本選項錯誤；

C.對頂角不一定都是銳角，故本選項錯誤；

D.銳角的對頂角也是銳角，故本選項正確.

故選：D.

【變式2】若一個角的對頂角是它的補角的g,則這個角的度數(shù)為.

【答案】45。/45度

【分析】本題主要考查對頂角和補角，一元一次方程的幾何應(yīng)用，設(shè)這個角的度數(shù)是為根據(jù)一個角的對頂

角是它的補角的;，列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)這個角的度數(shù)是了,

，角的對頂角也為X,

根據(jù)題意得：尤=；（180。-可，

解得：x=45°,

故答案為：45°.

【變式3】若〃條直線兩兩相交于不同的點時，可形成對對頂角.

【答案】

【分析】本題考查了對頂角的定義，熟記對頂角的概念是解題的關(guān)鍵.根據(jù)對頂角的概念即可求解.

【詳解】解：若三條直線兩兩相交，最多有3個交點，6對對頂角；

四條直線兩兩相交，最多有6個交點，12對對頂角;

幾條直線兩兩相交于不同的點時，可形成對對頂角；

故答案為：?(?-1)■

【變式4】如圖，直線和C。相交于點。，OELCD-,垂足為O,平分NAOE,ZCOF=34°.解

(D/COF的鄰補角是二/BOD的對頂角是「

⑵求上4OC的度數(shù).

【答案】(1)/00尸；NAOC

(2)ZAOC=22°

【分析】本題主要考查了鄰補角的定義，對頂角的定義，角平分線定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)定義.

(1)根據(jù)鄰補角和對頂角的定義即可得出結(jié)果；

(2)根據(jù)NCO尸=34。，OE1CD,可以得出NEO尸，再由。/平分/AQE,得出/AOF=/EOF,進而

求出NZOC.

【詳解】(1)解：.NCQF+NZX用=180。，

:.ZCOF的鄰補角是，

「直線A3和CD相交于點。，

/30￡)的對頂角是，AOC.

故答案為：/DOF^AOC.

(2)解：ZCOF=34°,ZCOE=90°,

ZEOF=ZCOE-ZCOF=90°-34°=56°,

平分NAOE,

ZAOF=ZEOF=56°,

ZAOC=ZAOF-ZCOF=56°-34°=22°.

題型07對頂角相等

【典例1】如圖，直線A3、。相交于點O,平分NEOC,NBOD=37°,則NOOE的度數(shù)為()

ED

AVB

C

A.106°B.74°C.96°D.84°

【答案】A

【分析】本題考查了角平分線的定義和對頂角的性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵是熟記對頂角相等.根據(jù)對頂角相

等可得N4OC=48=37。，由于。4平分/COE,可得NAOE的度數(shù)，再由平角的定義可求出/EOD的

度數(shù).

【詳解】解：：ZAOC=ZBOD,ZBOD=37°,

ZAOC=ZBOD=3T,

Q4平分/COE,

ZAOE=ZAOC=3T,

：.ZEOD=180°-(ZAOE+ABOD)=180°-(37°+37°)=106°.

故選:A.

【變式1】如圖，直線AB、CD相交于點。，/COE為直角，ZAOE=60°,則ZBO￡>=()

C.120°D.140°

【答案】B

【分析】本題主要考查了對頂角相等，根據(jù)對頂角相等和己知條件求出N38=NAOC=150。，即可得到答

案.

【詳解】解：為直角，NAOE=60。,

NBOD=ZAOC=ZCOE+ZAOE=150°,

故選：B.

【變式2】如圖，直線。和直線b相交于點O,/1=50。，則N2=

a

12

O

【答案】50。/50度

【分析】此題考查了對頂角的性質(zhì).根據(jù)對頂角相等進行解答即可.

【詳解】解：：/1=50。，N1與N2是對頂角，

N2=21=50。，

故答案為：50°

【變式3】如圖，直線A3、CD相交于點O,OE平分NBOD,ZAOC=74°,ZDOF=90°,NBOE=

【分析】由鄰補角定義即可得出結(jié)果；由對頂角相等得出N38=NAOC=74。，由角平分線定義即可得出

結(jié)果；求出N3Ob=NOOF-N5OD=16。，即可得出ZEO9的度數(shù).本題考查了對頂角相等的性質(zhì)以及角

平分線定義；熟練掌握各個角之間的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：ZBOD=ZAOC=74°,OE平分ZBOD,

ZBOE=-NBOD=37°；

2

,?ZDOF=90°

ZBOF=ZDOF-ZBOD=90°-74°=16°,

ZEOF=ZBOE+ZBOF=37°+16°=53°.

故答案為：37,53

【變式4】如圖，已知直線A3、8相交于點。，NCOE=90。.

(1)若/AOC=40。，求/30E的度數(shù).

(2)若NBOC=2NBOD,O尸平分4OC,求NDO尸的度數(shù).

【答案】⑴50°

(2)150°

【分析】本題主要考查互補、互余的定義，角平分線的定義，對頂角相等，理解圖示，掌握角平分線的定

義，幾何中角度的和差計算即可求解.

（1）根據(jù)對頂角相等可得/30D=NA0C=40。，根據(jù)互余的計算即可求解；

（2）根據(jù)補角的性質(zhì)可得/BOD=60。，由對頂角相等可得NAOC=N3OD=60。，根據(jù)角平分線的定義可

得ZCOF=1ZAOC=30°,再根據(jù)互補的定義即可求解.

2

【詳解】（1）解：：/COE=90。，ZAOC=40。，

ZDOE=NCOE=90°,ZBOD=ZAOC=40°,

ZBOE=ZDOE-Z.DOB=90°-40°=50°.

⑵解：ZBOC=2NBOD,ZBOD+ZBOC=180°,

ZBOD=60。,

：.ZAOC=ZBOD=60°,

；OF平分ZAOC,

：.ZCOF=-ZAOC=30°,

2

：.NDOF=180°-ZCOF=180°-30°=150°.

題型08鄰補角的定義理解

【典例1】下列四個圖中，4=N2一定成立的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了對頂角的性質(zhì)和互補的定義，正確識別圖形、熟知對頂角相等的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，根

據(jù)對頂角的性質(zhì)、互補的定義和角在圖形中的位置逐項判斷即可.

【詳解】解：A、圖形中的/I與/2互補，不能判斷是否相等，故本選項不符合題意；

B、圖形中的N1與N2不能判斷是否相等，故本選項不符合題意；

C、圖形中的N1與22是對頂角，能判斷相等，故本選項符合題意；

D、圖形中的N1與N2不能判斷是否相等，故本選項不符合題意；

故選：c.

【變式1】如圖，直線AB,CD相交于點O,于點。，。尸平分/A0E若/1=20。,則下列結(jié)論中

不正確的是（）

B.Z3=20°

C.N1與NAOD互為鄰補角

D.N3O歹與NEOP互為鄰補角

【答案】D

【分析】本題主要考查了垂線的定義，角平分線的定義，對頂角相等，鄰補角的定義，先由垂線的定義得

到/4OE=90。，則由角平分線的定義可得/2=1/AOE=45。，即可判斷A；根據(jù)對頂角相等即可判斷B；

有公共頂點和一條公共邊，且兩個角的另一邊互為反向延長線，這樣的兩個角互為鄰補角，據(jù)此可判斷C、

D.

【詳解】解：

ZAOE=ZBOE=90°,

?：0/平分/AOE,

AZ2=1ZAOE=45°,故A結(jié)論正確，不符合題意；

4=20。，

/3=/1=20。，故B結(jié)論正確，不符合題意；

由圖可知，/I與/AOD互為鄰補角，ZBO尸與NEOb不互為鄰補角，故C中結(jié)論正確，不符合題意，D

中結(jié)論錯誤，符合題意；

故選：D.

【變式2】如圖，直線A3、CD相交于點。、OD平分NH9尸、OELCD于點。，則/￡。3:/40b=.

【答案】1:2

【分析】本題考查了角平分線的定義，補角的定義，角的和差；由角平分線的定義得NBOD=gNBOF,

由補角的定義得ZAOF=180°-ZBOF,能表示出比例式中的兩個角是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：OD平分N3O尸，

ZBOD=-ZBOF,

2

OE工CD,

ZEOB=900-ZBOD

=90°--ZBOF,

2

ZAOF=180°-ZBOF,

ZEOB.ZAOF

=^90°-1:(180°-ZBOF)

=1:2；

故答案：1:2.

【變式3】兩直線相交所成的四個角中，有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的

兩個角，互為?

【答案】鄰補角

【分析】本題考查鄰補角，只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互

為鄰補角，由此即可得到答案.

【詳解】解：兩直線相交所成的四個角中，有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系

的兩個角，互為鄰補角.

故答案為：鄰補角.

【變式4】如圖，射線Q4的方向是北偏東15。，射線02的方向是北偏西40。，ZAOB=ZAOC,射線。。是

的反向延長線.

(1)射線OC的方向是；

⑵求NCOD的度數(shù)；

(3)若射線平分ZCOD,求NAOE的度數(shù).

【答案】⑴北偏東70。

(2)70°

(3)NAQE=90。

【分析】此題主要考查了方向角的表達，角平分線的定義，鄰補角，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)先求出NAOB=55。，再求得NNOC的度數(shù)，即可確定OC的方向；

(2)根據(jù)NAO5=55。，ZAOC=ZAOB,得出N5OC=110°,進而求出NCOD的度數(shù)；

(3)根據(jù)射線OE平分NCOD,即可求出NCO￡=35。再利用/4。。=55。求出答案即可.

:.ZNOB=40°,ZNOA=15°,

\ZAOB=ZNOB+ZNOA=55°,

ZAOB=ZAOC,

/.ZAOC=55°,

/.ZNOC=ZNOA+ZAOC=70°,

.?.OC的方向是北偏東70。；

故答案為：北偏東70。；

(2)解：如圖，

,\ZBOC=1W°.

又二射線OD是05的反向延長線,

/.ZBOD=180°.

ZCOD=180°-110°=70°.

(3)解：如圖，

西------'fNCOD=70°,OE平分Z.COD,

K(

南

ZCOE=35°.

ZAOC=55°.

/.ZAOE=350+55°=90°.

題型09找鄰補角

【典例1】如圖，直線A3、MN相交于一點。，OCLAB,則NCOM的鄰補角是()

N

A.ZAONB.ZAOCC.ZNOCD.ZMOB

【答案】c

【分析】相鄰且互補的兩個角互為鄰補角

【詳解】解：/COM與NM9C相鄰且互補，所以互為鄰補角.

故選：C

【點睛】熟記鄰補角的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式1】如圖，兩條直線A8與CD相交于點。，OE是射線,則圖中共有鄰補角和對頂角的數(shù)量分別為

()

O

D

A

A.6對，2對B.4對，2對C.8對，4對D.4對，4對

【答案】A

【分析】根據(jù)鄰補角與對頂角的定義找出鄰補角和對頂角即可求解.

【詳解】解：?.?兩條直線A3與CD相交于點。，OE是射線，

對頂角有：ZAOC與NBOD,ZCOB^ZAOD,共2對，

鄰補角有：NAOC與NCO3,/AOE與NEOB,/COE與/EOD,NCOB與/BOD,ZAOD與NBOD,

/AOD與，AOC,共6對

故選:A

【點睛】本題考查了鄰補角與對頂角的定義，掌握定義是解題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖，點。是直線4B上一點，自點。引射線OC、OD、OE、OF,圖中共有一對鄰補角.

【分析】此題考查了鄰補角定義：和為180度的兩個有公共頂點且有公共邊的角是鄰補角，根據(jù)定義直接

解答.

【詳解】解：根據(jù)圖形可知，

ZAOC+ZBOC=1SQ°,ZAOD+ZBOD=180°,ZAOE+ZBOE=180°,ZAOF+ZBOF=180°,

故答案為4.

【變式3】如圖，直線AB,CD,EF相交于點0,則ZAOD的對頂角是,ZAOC的鄰補角是；

若4OC=50°,貝,NCOB=.

【答案】ZBOC/ZCOBZAOD或—BOC50。/50度130°/130度

【分析】本題主要考查了對頂角的定義和性質(zhì)，鄰補角的定義和性質(zhì)，熟知對頂角的定義和性質(zhì)，鄰補角

的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得，NAOD的對頂角是一3OC,—AOC的鄰補角是NAOD或23OC；

,/ZAOC=50°,

：.ZBOD=ZAOC=50°,/COB=180°-ZAOC=130°；

故答案為：NBOC；/AOD或—BOC；50°:130°.

【變式4】如圖，直線A3、CO交于點。，已知。'_LCD,NCOE=2ZAOC

EF

(1)分別寫出/COE的鄰補角、余角；

⑵若NBOF=60。，試說明OE.

［答案】(1)/COE的鄰補角是NDOE,ZCOE的余角是ZEOF

(2)見解析

【分析】本題主要考查了垂線的定義，幾何圖形中角度的計算，余角和鄰補角的定義：

(1)根據(jù)鄰補角的定義和余角的定義求解即可；

(2)由垂線的定義得到NOO尸=90。，則/AOC=/3OD=30。，進而得到NCOE=2NAOC=60。，據(jù)此推

出NAOE=90。，即OELAB.

【詳解】(1)解：由題意得，/COE的鄰補角是NOOE；

---OFLCD,

NCOE+/EOF=90°,

：./COE的余角是/EOb；

(2)證明：'：OFVCD,

：.NOO尸=90°,

ZfiOF=60°,

/.ZAOC=ZBOD=30°,

：.ZCOE=2ZAOC=60°

ZCOE+ZAOC=90°,

：.ZAOE=90°,即OELAB.

題型10利用鄰補角互補求角度

【典例1］如圖，已知。是直線上一點，Zl=40°,OD平分NBOC,則N2的度數(shù)是()

【答案】C

【分析】本題主要考查了鄰補角的計算及角平分線的應(yīng)用，熟練掌握鄰補角及角平分線的相關(guān)知識點是解

決本題的關(guān)鍵.

根據(jù)角的和差由N1先求出ZBOC=140°,再根據(jù)角平分線的定義求出Z2的度數(shù)即可.

【詳解】解：：/1=40。，

NBOC=180°-Zl=140°,

OD平分/BOC,

Z2=-ZBOC=70°,

2

故選：C.

【變式1】如圖，直線AB,C。相交于點O,OELAS于。，"08=43。，/C0E的度數(shù)是（）

A.43°B.137°C.57°D.47°

【答案】D

【分析】本題考查了對頂角相等，垂直的意義，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.根據(jù)垂直得到NAQE=90。,

根據(jù)對頂角相等得到ZAOC=ZDOB=43。，再利用角度和差計算即可.

【詳解】解：

ZAOE=90°,

"："03=43°,

/.ZAOC=ZDOB=43°,

ZCOE=ZAOE-ZAOC=47°,

故選：D.

【變式2】如圖，直線A3、CO相交于點。，若NAOD=2NAOC+30。，則直線A3與CO的夾角/BQD的

度數(shù)為—.

【答案】50。/50度

【分析】本題考查對頂角，平角的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，則/4OC+NAOD=180。，根據(jù)

ZAOD=2ZAOC+30°,求出/AOC,再根據(jù)對頂角相等，即可.

【詳解】解：VZAOC+ZAOD=180°,ZAOD=2ZAOC+30°,

：.ZAOC+2ZA0C+30°=180°,

ZAOC=50°,

,：ZBOD=ZAOC,

：.ZfiOD=50°.

故答案為：50°.

【變式3】如圖，直線A3與直線CD相交于點。，OELAB于點。，且/BOD:NEOD=1:2,則/EOC的

【分析】本題考查了垂直的定義，鄰補角，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.根據(jù)垂直的定義可得：ZBOE=90°,

由N3OD:/EOD=1:2,求出/OOE=60。，最后利用平角的定義求解即可.

【詳解】解：

ZBOE=90°,

ZBOD:ZEOD=1:2,

ZDOE=-ZBOE=60°,

3

ZEOC=180°-ZDOE=180°-60°=120°,

故答案為：120。.

【變式4】如圖，直線A3,CD相交于點。AB.

M

(1)若Nl=/2,則N2的余角有.

⑵若Zl=-NBOC,求ZBOD和ZAOD的度數(shù).

4

【答案】(1)—AOC,ZBOD

(2)NAQD=120。，ZBOD=60°.

【分析】此題主要考查了垂直的定義，對頂角的性質(zhì)和鄰補角的定義計算，要注意領(lǐng)會由垂直得直角這一

要點.

（1）由垂線的性質(zhì)求得/AQ0=/3OM=9O。，然后根據(jù)等量代換及余角的定義解答；

（2）根據(jù)垂直的定義求得NAOM=/BQM=90。，再由N1=9N8OC求得NBOC=120°,然后根據(jù)鄰補角

4

定義和對頂角的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）解：OM1AB,Z1=Z2,

.-.Zl+ZAOC=N2+ZAOC=90°,即ZCON=90°,

?:NAOC=/BOD,

.?.N2的余角有：ZXOC,/BOD；

故答案為：ZAOC,NBOD；

（2）解：OM1AB,

ZAOM=ZBOM=90°,

Zl=-NBOC,NBOC=ZBOM+Z1,

4

Zl=-ZBOM=30°,

3

ZBOC=ZAOD=120°,

：.Z.BOD=180°-ZBOC=60°.

強化訓(xùn)練

1.如圖，直線力B、CD相交于點O,EO1AB,垂足為O,?AOD125?.則/EOC的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】本題主要考查了垂直的定義，求一個角的鄰補角，余角等知識點，根據(jù)鄰補角求得NAOC,根據(jù)

余角的定義即可求得NEOC的度數(shù)，熟練掌握其性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：7，40。=125°,

ZAOC=180°-125°=55°,

,EO1AB,

:.^EOC=90°-55°=35°,

故選：C.

2.如圖，直線ABLCD于點O,直線跖經(jīng)過點O,若Zl=37。，則N2的度數(shù)是（）

D

A.37°B.53°C.43°D.63°

【答案】B

【分析】本題考查了相交線.熟練掌握垂線的定義，是解題的關(guān)鍵.

先得出20090。，再結(jié)合N1+N2+NAOC=180。，4=37。,進行角的運算，即可作答.

【詳解】VAB1CD,

：.ZAOC=90°,

'：Zl+Z2+ZA（9C=180°,

Zl+Z2=90°,

,/Zl=37°,

Z2=53°.

故選：B.

3.a,b,。為同一平面內(nèi)的任意三條直線，那么它們的交點可能有（）個

A.1,2或3B.0,1,2或3C.1或2D.以上都不對

【答案】B

【分析】本題考查了相交線，掌握分類討論思想是解題關(guān)鍵.

分以下四種情況①三條直線兩兩平行，②三條直線交于一點，③兩條直線平行與第三條直線相交，④三條

直線兩兩相交不交于同一點解答即可.

【詳解】解：①三條直線兩兩平行，沒有交點；

②三條直線交于一點，有一個交點；

③兩條直線平行與第三條直線相交，有兩個交點；

④三條直線兩兩相交不交于同一點，有三個交點.

綜上，它們的交點可能有0,1,2或3個.

故選：B.

4.如圖所示，直線AB、CD相交于點。，射線OD平分/比出，射線平分/30D,則/AQW

等于（）

A.135°B.157.5°C.155°D.145.5°

【答案】B

【分析】本題考查了垂直的定義，角平分線的定義，鄰補角的定義，由得NEOB=90。,再根據(jù)

角平分線的定義求出=22.5。