模型12小船渡河問題

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1.解決問題的關鍵：正確區分船的分運動和合運動.船的航行方向也就是船頭指向，是分運動；船的運動方向

也就是船的實際運動方向，是合運動，一般情況下與船頭指向不一致.

2.解決問題的方法:按實際效果分解，一般用平行四邊形定則沿水流方向和船頭指向進行分解.

模型解讀分運動1分運動2合運動

運動船相對于靜水的劃行運動船隨水漂流的運動船的實際運動

速度本質發動機給船的速度匕水流給船的速度丫2船相對于岸的速度V

速度方向沿船頭指向沿水流方向合速度方向，軌跡（切線）方向

①渡河時間只與船垂直于河岸方向的分速度有關，

與水流速度無關0

②渡河時間最短：船頭正對河岸時，渡河時間最短，9

渡河時間

d

tin二一M

匕（d為河寬）

①若y密＞v水，當船頭方向與上游河岸夾角e滿足v八1

了

皆cos8=v水時，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且

感的

^mind1

②若合速度不可能垂直于河岸，無法垂直

渡河位移

r

渡河.當船頭方向（即V船方向）與合速度方向垂直時，

d

隊1

〃——/〃，姝,

渡河位移取短，且看面—-d\\Z/

cos0n船

3.小結：小船渡河的兩類情況

最短航程

最短時間

V瘀,V水V舲〈V水

.r

:楚___^/二、

\W\d1

。水V水,水

d/m=d"，COS0=^

Lin=—Xmin=d,C0S^=—

v船V船V船V水

典題攻破

1.最短時間和最短航程問題

【典型題1】10.（2024?山西晉中?模擬預測）前不久河北石家莊京津冀第五屆澹沱河公開水域游泳挑戰賽在

葉子廣場周邊水域進行，比賽前某運動員練習時要勻速橫渡一段寬"=600m的澹沱河，運動員在靜水中

的速度為/=3m/s,水流速度為V2=4m/s,則（）

A.該運動員可能垂直河岸到達正對岸

B.該運動員渡河的時間可能小于200s

C.該運動員以最短時間渡河時，它沿水流方向的位移大小為800m

D.該運動員以最短位移渡河時，位移大小為600m

【答案】C

【詳解】A.運動員在靜水中的速度小于水流速度，合速度方向不可能垂直河岸，該運動員不可能垂直

河岸到達正對岸，故A錯誤；

B.運動員在靜水中的速度始終垂直河岸時渡河時間最短，最短渡河時間*n="處=200s

3m/s

該運動員渡河的時間不可能小于200s,故B錯誤；

C.該運動員以最短時間渡河時，它沿水流方向的位移大小x=*1nm=4x200m=800m

故C正確；

D.運動員在靜水中的速度小于水流速度，合速度方向不可能垂直河岸，該運動員以最短位移渡河時,

位移大于600m,故D錯誤。

故選C。

針對訓練

一、單選題（本題共10小題。每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均

不得分）

1.（2024?遼寧?模擬預測）解放軍某部在某次登島演習過程中，要渡過一條寬度為d的小河。現有甲、乙兩

個戰斗小組分別乘兩只小船渡河，船頭朝向如圖所示，渡河時兩小船船頭與河岸夾角都是0角，兩船在

靜水中的速率都為v,水流速率為vO,此時甲船恰好能到小河正對岸的A點，則（）

A---?---------------

氐於____

甲乙

A.甲船渡河時間為」^

VCOS”

B.乙船比甲船更早到達對岸

C.靠岸時兩船間距增大了上下（vcosd+%）

VSH1”

D.如果河水流速增大，甲船不改變船頭方向也能到達4點

【答案】C

【詳解】AB.將小船的運動分解為平行于河岸和垂直于河岸兩個方向，根據分運動和合運動具有等時性,

可知甲、乙兩船到達對岸的時間均為/=上7

故兩船同時到達對岸，故AB錯誤；

d

C.靠岸時兩船間距增大了X=V相對/=（Vo+vcos6＞）-—

vsin^

故C正確；

D.水流速率為vO,此時甲船恰好能到小河正對岸的A點，則vcos9=v°

故如果河水流速增大，要使甲船到達A點，小船船頭與河岸夾角應減小，故D錯誤。

故選C。

2.（2024?四川德陽?模擬預測）如圖所示，消防員正在寬度為d=100m,河水流速為％=5m/s的河流中進

行水上救援演練，可視為質點的沖鋒舟距離下游危險區的距離為x=75m,其在靜水中的速度為V2,則

()

II

d\水流方向〉i危險區

II

A.若沖鋒舟以在靜水中的初速度為零，船頭垂直于岸的加速度為a=0.9m/s2勻加速沖向對岸，則能安全

到達對岸

B.為了使沖鋒舟能安全到達河對岸，沖鋒舟在靜水中的速度V2不得小于3m/s

C.若沖鋒舟船頭與河岸夾角為30。斜向上游且以速度V2=10m/s勻速航行，則恰能到達正對岸

D.沖鋒舟勻速航行恰能安全到達對岸所用的時間f=25s

【答案】A

【詳解】A.沖鋒舟的運動分解為沿船頭與沿水流兩個方向，有

解得:辿Is

3

沿水流方向的位移為x水=卬=弓竽m<x

能安全到達對岸。故A正確；

BD.沖鋒舟沿OP方向勻速航行恰能安全到達對岸，如圖所示

設沖鋒舟的合速度與水流速度夾角為凡則沖鋒舟在靜水中的速度至少應為=/sin。

由幾何知識，可得tan0=e

X

聯立，解得%M=4m/s

由圖可知。尸="+x2

AOP125

沖鋒舟以最小速度勻速航行恰能安全到達對岸所用的時間為才2=——s

匕cos83

故BD錯誤:

C.若沖鋒舟船頭與河岸夾角為30。斜向上游且以速度3=10m/s勻速航行，則有

v2cos30°=5Gm/s>5m/s

可知沖鋒舟的合速度不指向正對岸，所以不能到達正對岸。故C錯誤。

故選Ao

3.（2023?湖南?模擬預測）陰歷正月十五放花燈，稱為燈節，或稱"元宵節"。這一天，人們有觀燈和吃元宵

的習慣。人們將制作好的花燈，點上蠟燭，放入河中漂流，供大家欣賞。若河水各點流速與該點到較近

河岸邊的距離成正比，現將花燈以一定速度垂直河岸推出去，假設花燈垂直河岸的速度不變，則花燈到

達對岸的運動路徑正確的是（)

【詳解】設垂直河岸的速度為內,河寬為2d,花燈與河岸的距離為x（xMd）,則花燈沿水流方向的速度

為v水=kx

垂直于水流方向有x=

則有八生=皿=心

XNt

可知，加速度為一恒定值，且推出花燈處的加速度方向沿水流方向，靠近對岸位置加速度方向與水流方

向相反，故花燈在從岸邊到河中間的軌跡為類平拋運動，從河中間到對岸的軌跡與該軌跡對稱，根據加

速度方向與合力方向相同，合力方向指向軌跡內側可知第二個圖像符合要求。

故選Bo

4.（2023?陜西商洛?一模）一只小船過河，河中水流速度各處相同且恒定，小船的初速度大小為V、方向垂

直于平直河岸，小船在河中的運動軌跡如圖中虛線所示，其中虛線AB為直線。小船相對于水面分別做

勻加速運動、勻減速運動、勻速運動。由此可以確定（）

CBD

〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃

A.船沿軌跡運動時，相對于靜水做勻加速直線運動

B.船沿/C軌跡過河所用的時間最短

C.船沿三條不同路徑渡河的時間相同

D.船沿4D軌跡到達對岸前瞬間的速度最大

【答案】B

【詳解】A.由于水的流速恒定，當船相對于水面做勻速運動時，船的運動軌跡是一條直線，若船相對

于水面做勻變速運動，船的加速度方向與為方向相同或者相反，但一定指向軌跡的凹側，則船沿AC軌

跡運動時做勻加速運動，沿AD軌跡運動時做勻減速運動，A項錯誤；

BC.三種運動中的船頭均垂直河岸，渡河時間取決于船相對于靜水的速度，則船沿AC軌跡過河時所用

時間最短，B項正確，C項錯誤；

D.船到達對岸時的速度由水流速度與船相對于水的速度合成，可知船沿AC軌跡過河時到達對岸的速度

最大，D項錯誤。

故選Bo

5.（2023?海南?一模）一條兩岸平直的寬為d的小河如圖所示，河水流速恒定。一人駕駛小船從上游渡口A

前往下游渡口B。已知全程船在靜水中的速度大小恒定，船在靜水中的速度大小與河水流速大小之比為

6.1,行駛中船頭始終垂直河岸，則A、B兩渡口沿河岸方向的距離為（）

B

水流方向

-----------?

A

V2,V3,

A.dRB.d

23

C.41dD.6d

【答案】B

B

設船在靜水中速度為匕、河水流速為6,船頭垂直河岸，小船實際行駛方向與河岸之間夾角為。，則

tana=^=V3,A、8兩渡口沿河岸方向的距離為x=*—=

v2tana3

故B正確。

故選Bo

6.（2023?四川南充?一模）如圖所示，有一條寬度為800m的小河自西向東流淌，水流速度為vO,各點到較

近河岸的距離為x,%與x之間的關系為vo=O.OO75x（均采用國際單位）。讓小船船頭垂直河岸由南向

北渡河，小船相對于河水的速度恒為匕=4m/s下列說法正確的選項是（）

A.小船在水中做類平拋運動

B.小船到達北岸時位移大小為100丁方m

C.小船剛到達北岸時，相對于河岸的速度大小為5m/s

D.小船在行駛過程中，水流一直對小船做正功

【答案】B

【詳解】A.小船的運動可以分解為垂直于河岸的速度為匕=4m/s的勻速直線運動，則有工=卬

和沿水流的分運動，由于沿水流方向上有%=O0O75x

解得%=0.0075卬

可知，沿水流方向上的分速度與時間成正比，即加速度大小為。=0.0075Vl=0.03m人2

由于X為各點到較近河岸的距離，即沿水流方向做勻加速直線運動，后做勻減速直線運動，可知，小船

先做類平拋運動，后做類斜拋運動，故A錯誤；

B.小船到達河中央前做類平拋運動，則有弓=卬。，

小船到達北岸時位移大小為X。=］相+（2%）2

解得％=100萬m

故B正確；

C.小船先做類平拋運動，后做類斜拋運動，根據對稱性可知，小船剛到達北岸時，沿水流方向的分速度

恰好等于0,則相對于河岸的速度大小為匕=4m/s,方向垂直于河岸，故C錯誤；

D.根據上述可知，沿水流方向做勻加速直線運動，后做勻減速直線運動，即小船在行駛過程中，水流

對小船先做正功后做負功，故D錯誤。

故選Bo

7.（2022?陜西安康?一模）長征途中，紅軍強渡湘江。為安全起見，偵察小分隊先行渡江，如圖所示，偵察

員乘坐渡船從A點渡江，只有與A點正對的B點適合登陸，若河寬800m,水流的速度大小恒為3m/s,

渡船在靜水中的速度大小恒為5m/s,偵察員沿直線到達對岸的B點，則偵察員渡江的時間為（）

____E___

水流方向

->

-------------------

A.200sB.150sC.120sD.75s

【答案】A

【詳解】偵查員的實際運動垂直于河岸，分解為沿水流方向的勻速直線運動和與上游成一定角度的勻速

直線運動，其中合速度與分速度關系為％嗑-喙=4m/s

設偵察員渡江的時間為t,有d=%才

解得"200s

故選Ao

8.（2022?河北秦皇島?三模）《西游記》中，一只大龜浮水作舟，馱著唐僧師徒四人和白龍馬渡過了通天河。

已知大龜在靜水中游動的速度大小與河水的流速大小之比為2：1,出發點A到正對岸B點的距離為d,

河岸平直。若大家以最短的時間渡河，則大家上岸的地點與B點的距離為（）

dd?…

A.—B.-C.2dD.4d

42

【答案】B

d

【詳解】要使渡河時間最短，大龜游動的速度應垂直河岸，渡河時間”一

匕

大家上岸的地點與B點的距離x=vy

又匕：v2=2:1

解得x=g

選項B正確。

9.（2022?福建福州?模擬預測）洪水無情人有情，每一次重大搶險救災，都有子弟兵的身影。如圖所示，水

速為V,消防武警駕駛沖鋒舟若采取沖鋒舟最小速度和船頭正對河岸兩種行駛方案，沿與平直河岸成30。

角的線路把被困群眾從A處送到對岸安全地B處，則兩種方案中沖鋒舟最小速度vl和船頭正對河岸的

沖鋒舟速度v2之比為（）

平直河岸

A.1:2B.1：73C.2:73D.73:2

【答案】D

【詳解】設沖鋒舟以最小速度vl和船頭正對河岸速度v2分別從A到B,沖鋒舟最小速度vl垂直于AB

連線匕=vsin30°

沖鋒舟速度v2垂直于水平河岸內=vtan300

可知匕-=cos30°=——

%2

故選項D正確。

10.（2021?遼寧?高考真題）1935年5月，紅軍為突破〃圍剿〃決定強渡大渡河。首支共產黨員突擊隊冒著槍

林彈雨依托僅有的一條小木船堅決強突。若河面寬300m,水流速度3m/s,木船相對靜水速度lm/s,則

突擊隊渡河所需的最短時間為（）

A.75sB.95s

C.100sD.300s

【答案】D

【詳解】河寬d=300m一定，當木船船頭垂直河岸時，在河寬方向上的速度最大，渡河用時最短，即木

船相對靜水的速度v=lm/s,渡河時間最短為之=4=^S=300S

V1

故選D。

二、多選題（本題共1小題。每小題列出的四個備選項中至少有一個是符合題目要求的。全部選對的得全分,

選對但不全的得一半分，有選錯的得0分）

1L（2023?湖北黃岡?二模）船在靜水中速度與時間的關系如圖甲所示，河水流速與某河岸邊的距離的變化

關系如圖乙所示，則（）

A.船渡河的最短時間50s

B.要使船以最短時間渡河，船在行駛過程中，船頭必須始終與河岸垂直

C.船在河水中航行的軌跡是一條直線

D.船以最短時間渡河，船在河水中的最大速度是5m/s

【答案】BD

d300

【詳解】AB.當船在靜水中速度與河岸垂直時，渡河時間是最短，最