元一次方程的應用題必考十二大類型分類集訓

（84題）

【類型1商品銷售問題-7題】...................................................................1

【類型2配套問題-7題】.......................................................................6

【類型3行程問題-7題】......................................................................10

【類型4工程問題-7題】......................................................................15

【類型5古代問題-7題】......................................................................19

【類型6數字問題-7題】......................................................................21

【類型7年齡問題-7題】......................................................................24

【類型8日歷問題-7題】......................................................................27

【類型9積分問題-7題】......................................................................35

【類型10幾何問題-7題】.....................................................................40

【類型11方案決策問題-7題】................................................................44

【類型12分段計費問題-7題】.................................................................52

【類型1商品銷售問題?7題】

【方法點撥】

在現實生活中，購買商品和銷售商品時，經常會遇到進價、標價、售價、打折等概念，在了解這些基

本概念的基礎上，還必須掌握以下幾個等量關系：

標價=進價x（l+利潤率）利潤=售價一進價利潤率=罌xl00%

利潤=進價x利潤率實際售價=標價X打折率

【經典習題】

1.（2024?江西模擬）一家商店將某種服裝按成本提高40%標價，又以8折優惠賣出，結果每件服裝仍可

獲利15元，則這種服裝每件的成本價是元.

【分析】首先設這種服裝每件的成本價是x元，根據題意可得等量關系：進價X（1+40%）義8折=進價

+利潤15元，根據等量關系列出方程即可.

【解答】解：設這種服裝每件的成本價是x元，由題意得：

（1+40%）xX80%=x+15,

解得：x=125.

故答案為：125.

2.（2022秋?深圳期末）某款羽絨服成本價為400元，商場按成本價提高50%后標價，由于換季滯銷，商

場計劃推出“換季大清倉”優惠活動，將此款羽絨服打折出售，若要使得打折后該商場仍可獲利20%,

則該款羽絨服應該打折出售.

【分析】設商場應打x折，根據題意列出方程，求出方程的解即可得到結果.

【解答】解：設該款羽絨服應該打x折出售，

由題意可得：400（1+50%）XO.lx-400=400X20%,

解得：x=8,

故答案為：8.

3.（2023秋?敘永縣月考）某商場購進一批服裝，又恰巧碰到雙十一的促銷活動，商場決定將這批服裝按

標價的五折銷售，若打折后每件服裝可獲利潤60元，其利潤率為10%；若雙十一過后，該商場按這批服

裝的標價打八折出售，那么獲得的利潤是元.

【分析】設這批服裝的標價為x元，根據進價=標價X折扣-利潤=利潤+利潤率列出方程求解即可.

【解答】解：設這批服裝的標價為x元，

由題意得,0.5x-60=60+10%,

解得x=1320,

這批服裝的標價為1320元，

,這批服裝的進價為1320X0.5-60=600（元）,

.?.這批服裝的標價打八折出售，那么獲得的利潤是1320X0.8-600=456（元）,

故答案為：456.

4.（2023秋?成安縣期末）某商場因換季，將一品牌服裝打折銷售，每件服裝如果按標價的六折出售將虧

10元，而按標價的七五折出售將賺50元，問：

（1）每件服裝的標價是多少元？

（2）每件服裝的成本是多少元？

（3）為保證不虧本，最多能打幾折？

【分析】（1）設每件服裝的標價是x元，若每件服裝如果按標價的六折出售將虧10元，此時成本價為

60%x+10元：若按標價的七五折出售將賺50元，此時成本價為：75%x-50元，由于對于同一件衣服成

本價是一樣的，以此為等量關系，列出方程求解；

（2）由（1）可得出每件衣服的成本價為：60%x+10元，將（1）求出的x的值代入其中求出成本價；

y

（3）設最多可以打y折，則令400乂礪=成本價，求出y的值即可.

【解答】解:（1）設每件服裝的標價是x元，

由題意得：60%x+10=75%x-50

解得：x=400

所以，每件衣服的標價為400元.

（2）每件服裝的成本是：60%X400+10=250（元）.

（3）為保證不虧本，設最多能打y折，由題意得：

y

400x—=250

解得：y=6.25

所以，為了保證不虧本，最多可以打6.25折.

答：每件服裝的標價為400元，每件衣服的成本價是250元，為保證不虧本，最多能打6.25折.

5.（2023秋?桐鄉市期末）某超市第一次用10500元購進甲、乙兩種商品，其中甲商品的件數是乙商品件

數的2倍，甲、乙兩種商品的進價和售價如表：

甲乙

進價（元/件）4060

售價（元/件）5080

（1）該超市第一次購進的甲、乙兩種商品各多少件？

（2）該超市第一次購進的甲、乙兩種商品售完后，第二次又以第一次的進價購進甲、乙兩種商品，其中

甲商品的件數不變，乙商品的件數是第一次的3倍.甲商品按原價銷售，乙商品打折銷售，第二次兩種

商品都售完以后獲得的總利潤比第一次獲得的總利潤少600元，求第二次乙商品是按原價打幾折銷售？

【分析】（1）設第一次購進乙種商品x件，則購進甲種商品2x件，根據第一次用10500元購進甲、乙

兩種商品，列出一元一次方程，解方程即可；

（2）設第二次乙種商品是按原價打了折銷售，根據第二次兩種商品都售完以后獲得的總利潤比第一次獲

得的總利潤少600元，列出一元一次方程，解方程即可.

【解答】解：（1）設第一次購進乙商品x件，則購進甲商品2x件，

由題意，得40X2x+60x=10500,

解得x=75,

則甲商品件數為75X2=150（件），

答：第一次購進甲商品150件，乙商品75件；

（2）設第二次乙商品按原價打y折銷售，

由題意，得（50-40）X150+（80X0.1y-60）義75義3=（50-40）X150+（80-60）X75-600,

解得：y=8,

答：第二次乙商品是按原價打8折銷售.

6.（2023秋?信宜市期末）綜合應用

春節前夕，某商場從廠家購進了甲、乙兩種商品，乙種商品的每件進價比甲種商品的每件進價高20

元.若購進甲種商品10件，乙種商品2件，需要1000元.

（1）求甲、乙兩種商品的每件進價分別是多少元？

（2）若甲種商品按標價出售，則每件可獲利40元，為了促銷，現對甲種商品在標價基礎上打折出售，

若按此促銷方案售出6件所能獲得的利潤，與按標價每件降價35元出售12件所獲得利潤一樣，求甲種

商品打了幾折出售？

（3）該商場從廠家購進了甲、乙兩種商品共60件，所用資金恰好為5600元，在銷售時，甲種商品的每

件售價為100元，要使得這60件商品全部售出所獲利潤率為25%,求每件乙種商品售價為多少元？

【分析】（1）設甲種商品的進價x元，則乙種商品的進價G+20）元，根據“購進甲種商品10件，乙

種商品2件，需要1000元”可列出方程，求解即可；

（2）設甲種商品打了y折，根據“按此促銷方案售出6件所能獲得的利潤，與按標價每件降價35元出

售12件所獲得利潤一樣”，可列出方程，求解即可；

（3）設購進甲種商品。件，乙種商品的售價為6元，根據“從廠家購進了甲、乙兩種商品共60件，所

用資金恰好為5600元”及“這60件商品全部售出所獲利潤率為25%”，分別列出方程，求解即可.

【解答】解：（1）設甲種商品的進價X元，則乙種商品的進價（x+20）元，

由題意可得，10x+2（x+20）=1000,

解得x=80,

?*.x+20=100（元）,

甲種商品的進價80元，則乙種商品的進價100元；

（2）設甲種商品打了y折，

y

由題意可知，6x（120X--80）=12X（40-35）,

解得y=7.5,

甲種商品打了七五折出售.

（3）設購進甲種商品a件，乙種商品的售價為加元，

由題意可知，80a+100（60-a）=5600,

解得a=20,

.*.60-20=40（元），

（100-80）X20+（m-100）X40=5600X25%,

解得加=125,

，乙種商品的售價為125元.

7.（2024秋?南崗區校級期中）某家電商場在雙十一活動前共投入68000元，購進/、2兩種品牌的微波

爐共100臺，其中/品牌微波爐每臺進價是500元，8品牌微波爐每臺進價是800元.

（1）求購進/、8兩種品牌微波爐各多少臺？

（2）在銷售過程中，/品牌微波爐每臺售價800元，8品牌微波爐每臺按進價加價25%銷售，求全部售

磬后，該家電商場共獲利多少元？

（3）在（2）的條件下，根據市場調研情況，該家電商場決定第二次購進一批/、3兩種品牌的微波爐

進行銷售，其中N品牌微波爐購進數量不變，進價每臺提高了50元，售價不變，并且全部售出；8品牌

微波爐購進數量增加10%,進價不變，售價提高10%,按標價售出一部分后，出現滯銷，商場決定打九

折出售剩余的B品牌微波爐，第二次購進的兩種品牌微波爐全部售磬后共獲27600元，有多少臺B品牌

微波爐打九折出售？

【分析】（1）設購進x臺/品牌微波爐，則購進（100-x）臺8品牌微波爐，利用進貨總價=進貨單價

X購進數量，可列出關于龍的一元一次方程，解之可得出x的值（即購進/品牌微波爐的數量），再將

其代入（100-x）中，即可求出購進8品牌微波爐的數量；

(2)利用總利潤=每臺的銷售利潤X銷售數量(購進數量)，即可求出結論；

(3)設有y臺B品牌微波爐打九折出售，利用總利潤=每臺的銷售利潤又銷售數量，可列出關于y的一

元一次方程，解之即可得出結論.

【解答】解：(1)設購進x臺/品牌微波爐，則購進(100-x)臺2品牌微波爐，

根據題意得：500x+800(100-x)=68000,

解得：x=40,

.?.100100-40=60.

答：購進40臺/品牌微波爐，60臺8品牌微波爐；

(2)根據題意得：(800-500)X40+800X25%X60

=300X40+800X25%X60

=12000+12000

=24000(元).

答：全部售磬后，該家電商場共獲利24000元；

(3)設有y臺B品牌微波爐打九折出售，

根據題意得:(800-500-50)X40+[800X(1+25%)X(1+10%)-800]X[60X(1+10%)-用+[800

X(1+25%)X(1+10%)X90%-8001v=27600,

解得：y=20.

答：有20臺8品牌微波爐打九折出售.

【類型2配套問題?7題】

【方法點撥】

“配套”型應用題中有三組數據：(1)車間工人的人數；(2)每人每天平均能生產的不同的零件數；

(3)不同零件的配套比.(利用(1)(3)得到等量關系，構造方程)

一般地說，(2)、(3)兩個數據可以預先給定.例如，在給出(2)、(3)兩組數據的基礎上，如

何確定車間工人人數，使問題有整數解.

【經典習題】

1.(2023秋?工業園區校級期中)服裝廠生產一批學生校服，已知生產1件上衣需要布料1.5米，生產1

條褲子需要布料1米.因為褲子舊得快，要求1件上衣和2條褲子配一套.生產這批校服共用了2016米

布料，共生產了576套校服.

【分析】根據要求1件上衣和2條褲子配一套，生產這批校服共用了2016米布料，可以列出相應的方程,

然后求解即可.

【解答】解：設生產了X套校服，

由題意可得：（1.5+1X2）x=2016,

解得x=576,

答：共生產了576套校服，

故答案為：576.

2.（2023秋?南崗區校級期中）某車間有22名工人，每人每天可以生產12個螺釘或20個螺母，1個螺釘

需要配2個螺母，為使每天生產的螺釘和螺母剛好配套，應安排10人生產螺釘.

【分析】設安排x人生產螺母，則（22-x）人生產螺釘，根據題意列方程求解，即可得到答案.

【解答】解：設安排無人生產螺母，則（22-x）人生產螺釘，

由題意得：20x=2（22-x）X12,

解得：x=12,

22-12=10,則應安排10人生產螺釘，

故答案為：10.

3.（2024秋?綏棱縣校級期中）某車間有90名工人，每人平均每天加工大齒輪20個或小齒輪15個，己知

2個大齒輪與3個小齒輪配成一套，問一天最多可以生產多少套這樣成套的產品？設最多可生產套成x

2x3x

套產品，則可列方程為—五+石=90_.

【分析】根據某車間有90名工人可以列出相應的方程，從而可以解答本題.

2%3x

【解答】解：由題意得，—+—=90,

2x3%

故答案為：—+90.

4.（2023秋?和田地區期末）機械廠加工車間有68名工人，平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個,

已知2個大齒輪與3個小齒輪剛好配成1套，那么需要分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每

天加工的大、小齒輪剛好配套？

【分析】首先設需要安排x名工人加工大齒輪，則需要安排（68-無）名工人加工小齒輪，再利用2個大

齒輪與3個小齒輪剛好配成1套得出方程求出答案.

【解答】解：設需要安排x名工人加工大齒輪，則需要安排（68-x）名工人加工小齒輪，依題意有

3X16x=2X10(68-x),

解得x=20,

68-x=68-20=48.

故需要安排20名工人加工大齒輪，需要安排48名工人加工小齒輪.

5.（2023秋?江海區期末）某工廠要制作一批糖果盒，已知該工廠共有88名工人，其中女工人數比男工人

數的2倍少20人，并且每個工人平均每小時可以制作盒身50個或盒底120個.

（1）該工廠有男工、女工各多少人？

（2）該工廠原計劃男工負責制作盒身，女工負責制作盒底，要求一個盒身配兩個盒底，那么調多少名女

工幫男工制作盒身時，才能使每小時制作的盒身與盒底恰好配套？

【分析】（1）設該工廠有男工x人，則女工（2x-20）人，根據“男工人數+女工人數=88”列出方程

并解答；

（2）首先設調y名女工幫男工制作盒身，根據題意可得等量關系：盒身數量乂2=盒底數量，根據等量

關系列出方程，再解即可.

【解答】解：（1）設該工廠有男工x人，則女工有（2x-20）人,

由題意得：x+2x-20=88,

解得：x=36,

女工：2X36-20=52（人），

答：該工廠有男工36人，有女工52人.

（2）設調y名女工幫男工制作盒身，

由題意得：50（36+y）X2=（52-y）X120,

解得：y=U.

答：調12名女工幫男工制作盒身，才能使每小時制作的盒身與盒底恰好配套.

6.（2023秋?嵐山區期末）某工廠車間有38名工人生產/零件和8零件，每人每天可生產/零件12個或

8零件14個（每人每天只能生產一種零件），1個/零件和2個3零件配成一套，每天生產的N零件和

5零件恰好配套.工廠將零件批發給商場時，每個/零件可獲利18元，每個2零件可獲利13元.

（1）工廠每天應分別安排多少名工人生產8兩種零件？

（2）因市場需求，該工廠調整生產方案，每天除生產一定數量的配套零件外，還需額外生產若干數量的

/零件供商場單獨銷售，現從每天生產5零件的工人中調出部分工人生產/零件，工廠每日生產零件的

總獲利比調動前增加了170元.則工廠從每天生產8零件的工人中調出多少名工人生產/零件？

【分析】（1）設工廠分別安排無名工人生產/零件，（38-x）名工人生產8零件，根據“1個/零件

和2個8零件配成一套”，列方程求解即可得到結果；

（2）先求出調動前每天總獲利，設工廠從每天生產2零件的工人中調出y名工人生產/零件，可得調

動后安排（14+y）名工人生產力零件，（24-y）名工人生產B零件，根據“工廠每日生產零件的總獲

利比調動前增加了170元”，列方程求解即可得到結果.

【解答】解：（1）設工廠分別安排x名工人生產/零件，（38-x）名工人生產3零件，

依題意得，2?12x=14（38-x）,

解得x=14,

得38-14=24（名），

答:工廠每天應分別安排14人生產4零件，24人生產2零件；

（2）調動前每天總獲利為：14X12X18+24X14X13=7392（元），

設工廠從每天生產B零件的工人中調出y名工人生產A零件，

則調動后安排（14口）名工人生產/零件，（24-y）名工人生產2零件，

依題意得,（14+y）?12X18+（24-y）?14X13=7392+170,

解得y=5,

答：工廠從每天生產8零件的工人中調出5名工人生產”零件.

7.（2023秋?涼州區期末）列一元一次方程解決實際問題（兩問均需用方程求解）

第19屆亞洲夏季運動會于2023年9月23日在杭州舉行，象征杭州三大世界文化遺產的吉祥物“宸宸

“琮琮”“蓮蓮”通過不同色彩、不同紋飾向世界講述“江南憶”的美麗故事.現有工廠生產吉祥物的

盲盒，分為A、8兩種包裝，該工廠共有1000名工人.

（1）若該工廠生產盲盒/的人數比生產盲盒2的人數的2倍少200人，請求出生產盲盒/的工人人數;

（2）為了促銷，工廠按商家要求生產盲盒大禮包，該大禮包由2個盲盒/和3個盲盒8組成.已知每

個工人平均每天可以生產20個盲盒/或10個盲盒3,且每天只能生產一種包裝的盲盒.該工廠應該安

排多少名工人生產盲盒多少名工人生產盲盒3才能使每天生產的盲盒正好配套？

【分析】（1）設生產盲盒8的工人人數為x人，則生產盲盒/的工人人數為（2x-200）人，根據該工

廠共有1000名工人，列出一元一次方程，解方程即可；

（2）設安排機人生產盲盒4則安排（1000-加）人生產盲盒比根據盲盒大禮包由2個盲盒/和3個

盲盒2組成.列出一元一次方程，解方程即可.

【解答】解：（1）設生產盲盒8的工人人數為x人，則生產盲盒工的工人人數為（2x-200）人，

由題意得：（2r-200）+x=1000,

解得：x=400,

：.2x-200=2X400-200=600,

答：生產盲盒/的工人人數為600人；

(2)設安排機人生產盲盒則安排(1000-%)人生產盲盒8,

由題意得：3X20m=2X10(1000-m),

解得：加=250,

/.1000-a=1000-250=750,

答：該工廠應該安排250名工人生產盲盒/,750名工人生產盲盒8才能使每天生產的盲盒正好配套.

【類型3行程問題?7題】

【方法點撥】

基本關系：路程=速度X時間相遇路程=速度和X相遇時間追及路程=速度差X追及時間

(1)直線形相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=兩地之間的路程

甲、乙分別從A、B兩地出發，相向而行

A地^—,甲———七一--------->B地

<--------------------s總-----------------------------?

S甲+S乙=s總

(2)直線形追及問題：快者走的路程=慢者走的路程+兩人初始路程差

快者走的路程

/.------入-------、_____

兩人初始路程差慢者走的路程

--人_________________A___

/v一\

A地B地C地

快者走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程

快者走的路程

_A

f________________、

慢者先走的路程慢者后走的路程

/____A.___VA\

A地B地C地

(3)環形相遇問題：同起點、同時間、背向出發，首次相遇時，等量關系是二者合走了1圈；從出發到相

遇所用時間=環形周長/二者速度和；第n次相遇時，二者合走了n圈.

甲、乙由同一地點出發，相背而行

S甲

s乙

首次相遇時，S甲+Sz=圓周長

（4）環形追及問題：同起點、同時間、同向出發，首次相遇時，等量關系是快者比慢者多走了1圈；追及

所用時間=環形周長/二者速度差；第n次相遇時，快者比慢者多走了n圈.

【經典習題】

1.（2023秋?巴彥縣校級月考）已知一條筆直的公路旁依次有n,B,C三地，/、2兩地相距30千米，小

明乘車從/地出發，以每小時30千米的速度駛向C地，同時小麗乘車從3地出發，以每小時20千米的

速度駛向C地，當兩人相距10千米時，兩人乘車的時間為小時.

【分析】設兩人相距10千米時，兩人乘車的時間為x小時，分兩種情況：兩人相遇之前相距10千米，

兩人相遇之后相距10千米，解答即可.

【解答】解：設兩人相距10千米時，兩人乘車的時間為尤小時，

分兩種情況：

兩人相遇之前相距10千米，

根據題意，得30x+20x+10=30,

解得x=2；

兩人相遇之后相距10千米，

根據題意，得30+20x+10=30x,

解得x=4.

綜上所述，當兩人相距10千米時，兩人乘車的時間為2小時或4小時；

故答案為：2或4.

2.（2024秋?金華月考）如圖，甲乙兩只螞蟻分別從數軸上的/,3兩點處同時出發，相向而行.甲螞蟻

的速度為每分鐘6個單位長度，乙螞蟻的速度為每分鐘4個單位長度.一只蝴蝶精靈與甲同時從/地出

發，當蝴蝶精靈碰到乙后，馬上返回遇上甲，再返回遇上乙，依次反復，直至甲和乙兩只螞蟻相遇為

止.已知蝴蝶精靈的速度為每分鐘20個單位長度，那么，在這一過程中，蝴蝶精靈一共飛行了（）

個單位長度.

-18702023

A.2020B.4420

C.5400D.缺少條件，無法計算

【分析】設甲乙兩只螞蟻經過x分鐘相遇，然后列方程求解即可.

【解答】解：設甲乙兩只螞蟻經過x分鐘相遇，則蝴蝶精靈一共飛行了20x個單位，

根據題意可得，

（6+4）x=2023-（-187）,

解得x=221,

/.20x=20X221=4420.

；?蝴蝶精靈一共飛行了4420個單位長度.

故選：B.

3.（2023秋?光山縣校級期末）某學校七年級學生組織步行到郊外旅行，701班學生組成前隊，速度為每

小時4千米，702班同學組成后隊，速度為每小時6千米，前隊出發1小時后，后隊才出發，同時，后

隊派出一名聯絡員騎自行車在兩隊之間不斷地來回進行聯絡，騎車的速度是每小時12千米（隊伍長度忽

略不計）.

（1）后隊出發后多長時間可以追上前隊？

（2）后隊剛好追上前隊時，聯絡員共騎行了多少千米？

（3）聯絡員出發到他第一次追上前隊的過程中，何時聯絡員離前隊的距離與他離后隊的距離相等？

【分析】（1）根據后隊追上前隊所走路程一樣可列方程；

（2）當后隊剛好追上前隊時，聯絡員共騎行的時間為后隊剛好追上前隊的時間，根據（1）追及時間可

知，聯絡員共騎行的距離也即可求出；

（3）用前面隊伍所走的路程減去聯絡員所騎行的距離等于聯絡員騎行的距離減去后面隊伍所走的路程,

列式求解即可.

【解答】解：（1）設后隊追上前隊所用時間為f小時，則前隊被追上時所走時間為（什1）小時，

根據“路程=時間X速度”，兩隊伍追上時路程一樣，可列方程為：

6f=4（Z+1）

解得，f=2.

后隊出發后兩小時可以追上前隊.

（2）?.?當后隊剛好追上前隊時，聯絡員共騎行的時間等于后隊剛好追上前隊的時間，

t=2,

...聯絡員騎行距離為：

s—vt—12X2=24（km）.

.?.聯絡員共騎行了24km.

（3）設聯絡員出發后7小時與前隊和后隊的距離相等為sfow,

聯絡員出發后，小時，前隊所走的路程為：4（Z+l）km-,

后隊所走的路程為：6tkm；

聯絡員所走的路程為：12左加，

聯絡員與前隊距離為：4(汁1)-12/；

聯絡員與后隊距離為：12L6K

根據聯絡員與前后隊距離相等得到，

s=12?-6/=4(f+1)-126

2

解得：t=],

2

聯絡員騎行'小時后離前隊的距離與他離后隊的距離相等.

4.(2023秋?陽新縣期末)兩船從3港口同時出發反向而行，甲船順水，乙船逆水，兩船在靜水中的速度

都是50千米/時，水流速度是。千米/時.

(1)4小時后兩船相距多遠？

(2)若甲船由2港到/港用了4小時36分鐘，再立即由/港返回3港時，共花10小時，試求水流速

度a.

【分析】(1)根據兩船在靜水中的速度及水流的速度，可得出甲船順水的速度為(50+a)千米/時，乙

船逆水的速度為(505)千米/時，利用4小時后兩船之間的距離=甲船順水的速度X時間+乙船逆水的

速度義時間，即可求出結論；

(2)根據4,8兩港之間的路程不變，即可得出關于。的一元一次方程，解之即可得出結論.

【解答】解：(1):兩船在靜水中的速度都是50千米/時，水流速度是。千米/時，

二甲船順水的速度為(50+?)千米/時，乙船逆水的速度為(50-a)千米/時，

；.4小時后兩船相距4(50+a)+4(50-a)=400(千米).

答：4小時后兩船相距400千米.

(2)4小時36分鐘=4.6小時.

根據題意得：4.6(50+a)=(10-4.6)(50-a),

解得:a=4.

答：水流速度是4千米/時.

5.(2023秋?鐵東區期末)甲、乙兩人從8兩地同時出發，沿同一條路線相向勻速行駛，已知出發后

經3小時兩人相遇，相遇時乙比甲多行駛了60千米，相遇后再經1小時乙到達/地.

(1)甲，乙兩人的速度分別是多少？

（2）兩人從4,3兩地同時出發后，經過多少時間后兩人相距20千米？

【分析】（1）根據題意可知乙比甲每小時快20千米，從而可以可以列出相應的方程，求出甲乙的速度;

（2）根據（1）中的答案可以求得總的路程，由題意可知相遇前和相遇后相離20千米，從而可以解答本

題.

【解答】解:（1）設甲的速度為x千米/時，則乙的速度為（x+20）千米/時，

4（尤+20）=3（x+x+20）

解得，x=10,

.*.x+20=30

即甲的速度為10千米/時，乙的速度為30千米/時；

（2）設經過y小時后兩人相距20千米，

4X30-20=^（10+30）或4X30+20=＞（10+30）

解得，y=2.5或》=3.5,

即經過2.5小時或3.5小時后兩人相距20千米.

6.（2024秋?浙江校級月考）上午八時，張、王兩同學分別從/、8兩地同時騎摩托車出發，相向而行.已

知張同學每小時比王多行2千米，到上午十時，兩人仍相距36千米的路程.相遇后，兩人停車閑談了

15分鐘，再同時按各自的方向和原來的速度繼續前進，到中午十二時十五分，兩人又相距36千米的路

程.A、8兩地間的路程有多少千米？

【分析】由題意可知，從上午10時到中午12時15分共用了2小時15分鐘，減去兩人閑談用去的15分，

即兩人共行（36+36）千米用了2小時，則兩人速度和是（36+36）+2=36（千米/時）,得兩人共行36

千米需要1小時，到上午十時，兩人已共行了2小時，共行的路程是36X2=72（千米），此時兩人相

距36千米，所以兩地相距72+36=地8（千米）.

【解答】解：12時（15分）-10時-（15分）=2小時，10時-8時=2小時，

設兩個人的速度和為x千米/時，根據題意得2x=36+36,

；.x=（36+36）+2=72+2=36（千米/時）,

/.36X2+36

=72+36

=108（千米），

答：/、8兩地相距108千米.

7.（2024秋?鼓樓區校級月考）甲、乙兩車分別從N、8兩地同時出發，相向而行，會在C地相遇.若兩

車交換出發點，速度不變，同時出發相向而行，會在。地相遇，且C、。兩地距離占/、8兩地距離的

1

II,

（1）若甲、乙兩車分別從/、8兩地同時出發，相向而行60分鐘后，甲車再提速60%,則兩車會在/、

2兩地的中點相遇.那么甲車以原速從/地到3地需要多少分鐘？

（2）若兩車以原速走到另一地后都立即掉頭返回，那么兩車第6次迎面相遇共需要多少分鐘？

【分析】（1）由題意得：AB^nCD,AC=BD,令CZ）=a千米，甲的速度為56千米/時，則48=11。

千米，/C=5D=5a千米，乙的速度為66千米/時，

再根據“甲車再提速60%,則兩車會在N、8兩地的中點相遇”列方程求解；

（2）分別求出第1次，第2次，第3次相遇的時間，找出規律再求解.

【解答】解：由題意得：AB=\\CD,AC=BD,

令CD=a千米，甲的速度為56千米/時，則N3=lla千米，/C=8D=5a千米，乙的速度為66千米/時,

（1）設甲車提速后用x小時，輛車再48的中點相遇，

則:5b+5b*1.6x=6b(1+x)=5.5。,

解得：x=0.5,a：6=18：11,

111818

1la+56=wx五=-(小時)=216（分鐘），

答：甲車以原速從/地到8地需要216分鐘;

（2）兩車第一次相遇用的時間為：lla+（56+66）=—（小時），

54

兩車第二次相遇用的時間為：3*110+116=五（小時）,

90

兩車第三次相遇用的時間為：5義110+116=五（小時），

126

兩車第四次相遇用的時間為：7*110+116=彳1（小時），

兩車第6次相遇用的時間為：11X12+116=18（小時）=1080（分鐘），

答：兩車第6次迎面相遇共需要1080分鐘.

【類型4工程問題?7題】

【方法點撥】

（1）基本相等關系：工作量=工作效率X工作時間；

（2）當問題中總工作量未知而又不求總工作量時，要把總工作量看作整體1;

（3）常見的相等關系為總工作量=各部分工作量之和.

【經典習題】

1.（2023秋?玉環市期末）一項任務，由甲單獨做需16天完成，由乙單獨做需24天完成，現在乙先做9

天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成這項工程的規定時間，假設完成這一項工程的規定時間為x

天，則下列方程正確的是（）

xx-9x-9x

xx+9

11

【分析】由題意得甲的工作效率為它，乙的工作效率為才,甲一共工作了（x-9）天，乙一共工作了x

loZ4

天，據此即可求解.

11

【解答】解：由題意得：甲的工作效率為它，乙的工作效率為少;，

1624

甲一共工作了（x-9）天，乙一共工作了尤天，

故選：B.

2.（2023秋?滕州市校級月考）修筑一條公路，甲工程隊單獨承包要90天完成，乙工程隊單獨承包要120

天完成.如果甲、乙兩工程隊合作了30天后，因甲工程隊另有任務，剩下的工作由乙工程隊完成，則修

好這條公路一共需要80天.

【分析】設乙隊單獨做還需要x天完成，根據甲乙完成的工作量之和為1建立方程求出其解即可.

【解答】解：設乙單獨做還需要x天完成，由題意得，

解得x=50,

30+50=80（天），

修好這條公路一共需要80天.

故答案為：80.

3.（2023秋?濰坊期末）某中學需要制作宣傳欄，請來三名工人，已知甲單獨做12天可完成，乙單獨做

20天可完成，丙單獨做15天可完成.現在甲和乙合做了4天，余下的工作乙和丙兩人合作完成.完成

后，支付酬金4000元，如果按各人完成的工作量計算報酬，那么乙應得1600元.

【分析】設完成這項任務共需要x天，由題意可知，乙恰好工作了x天，把整個任務看作“1”，則甲、

4xx—44xx—4

乙、丙分別完成二、彳、7F，可列方程7+元+寸=1,解方程求得x的值為8,則乙完成整個任

J.N/UX□J.Z乙UXu

222

務的不應得酬金也占整個酬金的g,即4000xg元.

【解答】解：設完成這項任務共需要x天，

4xx-4

根據題意得/+#+~TT~=1，

J.//U.L3

解得x=8,

82

...乙工作8天，完成這項任務的五，即于

2

.,.4000義耳=1600（兀），

乙應得1600元，

故答案為：1600.

4.（2023秋?埔橋區期末）整理一批圖書，由一個人做要30/7完成.現計劃由一部分人先做1〃，然后增加

6人與他們一起做3人完成這項工作.假設這些人的工作效率相同，應先安排3人工作.

【分析】根據題意可以列出相應的方程，從而可以解答本題.

【解答】解：設應先安排x人工作，根據題意得：

xx+6

元+寸3=1,

解得：x=3,

答：應先安排3人工作.

故答案為：3.

5.（2024?陜西）星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進行一次家庭衛生大掃除.根據這次大掃除的任務量，

若小峰單獨完成，需4隊若爸爸單獨完成，需2爪當天，小峰先單獨打掃了一段時間后，去參加籃球訓

練，接著由爸爸單獨完成了剩余的打掃任務，小峰和爸爸這次一共打掃了3人求這次小峰打掃了多長時

間.

【分析】設這次小峰打掃了x〃，則爸爸打掃了（3-x）h,利用小峰完成的工作量+爸爸完成的工作量=

總工作量，可列出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論.

【解答】解：設這次小峰打掃了X/7,則爸爸打掃了（3-x）h,

x3—x

根據題意得：￡+一廠=1，

42

解得：x=2.

答：這次小峰打掃了2九

6.（2023秋?大化縣月考）修一條公路，甲工程隊單獨承包要40天完成，乙工程隊單獨承包要60天完成.

（1）現在由兩個工程隊合作承包，幾天可以完成？

（2）如果甲、乙兩工程隊合作12天后，因甲工程隊另有任務，剩下的工作由乙工程隊完成，則修好這

條路共需要幾天？

【分析】（1）可設由兩個工程隊合作承包，x天可以完成，根據工作總量是單位“1”，列出方程即可

求解；

（2）可設修好這條公路共需要y天，根據工作總量是單位“1”，列出方程即可求解.

【解答】解：（1）可設由兩個工程隊合作承包，x天可以完成，依題意有

11

（）

~40+7607x—1,

解得x=24（天）.

答：現在由兩個工程隊合作承包，24天可以完成；

y-1212

（2）可設修好這條公路共需要y天，依題意有*71=1-三T，

ou/q

解得y=42（天）.

答：修好這條公路共需要42天.

7.（2023秋?岳陽期末）（列方程解應用題）為了打贏藍天保衛戰，共筑魅力和諧長沙，長沙市環保局對

湘江河流中一段長2400米的河道進行整治，整治任務由甲、乙兩個工程隊來完成.已知甲工程隊每天完

成30米，乙工程隊每天完成50米.

（1）若該任務由甲、乙兩個工程隊合作完成，請問整治這段河道任務用了多少天？

（2）若甲工程隊先單獨整治一段時間后離開，剩下的由乙工程隊來完成，兩隊共用時60天，求甲、乙

工程隊分別整治了多長的河道？

【分析】（1）整治這段河道任務用了x天，根據“甲的工作量+乙的工作量=2400”列出方程并解答.

（2）設甲工程隊整治的河道長。米，則乙工程隊整治的河道長（2400-a）米，根據“根據工作時間=

總工作量+工作效率結合兩隊共用時60天”列出方程并解答.

【解答】解：（1）整治這段河道任務用了x天，

根據題意得：30x+50x=2400,

解得x=30.

答：甲、乙兩個工程隊合作完成，整治這段河道任務用了30天.

（2）設甲工程隊整治的河道長。米，則乙工程隊整治的河道長（2400-a）米，根據題意得

a2400—u

茄+f=60.

解得a=900,

因此2400-a=2400-900=1500（米）

答：甲工程隊整治的河道長900米，則乙工程隊整治的河道長1500米.

【類型5古代問題?7題】

1.（2024?花溪區一模）《九章算術》中有這樣一道題：今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不

足三，問人數、羊價幾何？這道題的意思是：今有若干人共買一頭羊，若每人出5錢，則還差45錢；若

每人出7錢，則仍然差3錢.求買羊的人數和這頭羊的價格.設買羊的人數為x人，根據題意，可列方

程為（）

A.5x-45=7x+3B.5x+45=7x-3

C.5尤-45=7x-3D.5x+45=7x+3

【分析】設買羊的人數為x人，則這頭羊的價格是（7x+3）文或（5x+45）文，根據羊的價格不變，即可

得出關于x的一元一次方程.

【解答】解：設買羊的人數為x人，

根據題意