7.2.2復數的乘、除運算【學習目標】1.掌握復數的乘法和除法運算.2.理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律.3.能夠利用復數的相關運算在復數范圍內解方程、分解因式.【素養達成】數學抽象數學抽象數學運算一、復數的乘法1.運算法則設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則z1·z2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i.2.運算律對任意復數z1,z2,z3∈C,有交換律z1z2=z2z1結合律(z1z2)z3=z1(z2z3)乘法對加法的分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3二、復數的除法(a+bi)÷(c+di)=a+bic+di=ac+bdc2+d2+bc-ad【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)兩個虛數的乘積一定是虛數.(×)提示:如i·i=1.(2)對于復數z,一定有|z|2=z2.(×)提示:如z=i,|z|2=1,z2=1.(3)對于復數z,一定有zm·zn=zm+n.(√)(4)對任意兩個復數z1,z2,若z1z2=0,則z1,z2至少有一個為0.(√)類型一復數的乘法運算(數學運算)【典例1】(教材提升·例3)(1)計算:①(1+3i)(3+2i);②(12i)(2i+4);③(12+32i)2; ④(3+2i)(【解析】①原式=3+2i+9i+6i2=3+11i;②原式=2i44i28i=10i;③原式=14+34i232i=④原式=9+6i6i+4i2=13.(2)證明:若z1=z2,則z1·w=z2·w(w是任意的非零復數).【證明】設z1=a+bi(a,b∈R),w=c+di(c,d∈R),則z1·w=(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+bdi2=(acbd)+(ad+bc)i,又因為z2=z1,所以z2=a+bi,所以z2·w=(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+bdi2=(acbd)+(ad+bc)i,所以z1·w=z2·w.【總結升華】關于復數的乘法(1)一般方法:復數相乘可以按照多項式的乘法法則進行,能利用乘法公式的可以利用公式展開,簡化運算;(2)常用公式:(a±bi)2=a2±2abib2;(a+bi)(abi)=a2+b2;(1±i)2=±2i;(3)i的性質:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=1,i4n+3=i.【即學即練】計算:(1)(1+i)(3+4i);(2)(12i)(1+2i);(3)(3+i)(32i)(1i);(4)i2025×(1i).【解析】(1)(1+i)(3+4i)=3+4i+3i+4i2=1+7i.(2)(12i)(1+2i)=12(2i)2=5.(3)(3+i)(32i)(1i)=(96i+3i2i2)(1i)=(113i)(1i)=1111i3i+3i2=814i.(4)i2025×(1i)=i4×506+1×(1i)=i×(1i)=ii2=1+i.類型二復數的除法運算(數學運算)【典例2】(1)(教材提升·例5)在復平面內,復數z1,z2對應的點分別是(2,1),(1,3),則z2z1A.i B.i C.1 D.1【解析】選D.復數z1,z2對應的點分別是(2,1),(1,3),則z1=2i,z2=13i,z2z1=1-3i2-i(2)(2024·新高考Ⅰ卷)若zz-1=1+i(i為虛數單位),則zA.1i B.1+i C.1i D.1+i【解析】選C.由題意知z=(1+i)(z1),則z=1+ii=1i【總結升華】關于復數的除法(1)將除法寫成分式形式;(2)分子、分母同乘分母的共軛復數;(3)對分子、分母分別進行乘法運算,最后轉化為復數的代數形式.【即學即練】已知i是虛數單位,復數z滿足(1-i)2A.1+i B.1iC.1+i D.1i【解析】選A.因為(1-i)2z=1+i,所以z=(1-i所以z=1+i.類型三復數運算的應用(邏輯推理、數學運算)角度1在復數范圍內解方程【典例3】(教材提升·例6)(1)在復數范圍內解下列方程.①x2+5=0;②3x2+2x+1=0.【解析】①因為Δ=20<0,所以由求根公式得x=±20i2=±②因為Δ=224×3=8<0,所以由求根公式得x=-2±8i(2)已知復數1+3i是關于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一個根,求p+q的值.【解析】因為1+3i是方程x2+px+q=0的一個根,所以(3i1)2+p(3i1)+q=0,所以8p+q+(3p6)i=0,而p,q∈R,所以-所以p=2,q=10,則【總結升華】實系數一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)的解法(1)配方:(x+b2a)2=(2)若Δ=b24ac≥0,則x=-b若Δ=b24ac<0,則x=-b【即學即練】(2024·臺州高一檢測)(1)已知12i(i是虛數單位)是方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一個復數根,求實數m,n的值;(2)在復數范圍內解方程:x2+x+1=0.【解析】(1)根據題意得:(1-2i)2+所以(1+m+n)(22+2m)i=0,則-1+解得m=2,n=3.(2)因為(x2+x+14)+3所以(x+12)2(32i)得(x+1+3i2)(x即x1=-1-3i2,角度2分解因式【典例4】(易錯·對對碰)在復數范圍內分解因式:(1)x2+4;(2)x44.【解析】(1)x2+4=(x+2i)(x2i).(2)x44=(x2+2)(x22)=(x+2i)(x2i)(x+2)(x2).【總結升華】在復數范圍內分解因式,需要先求出虛數根,再繼續分解.【即學即練】利用公式a2+b2=(a+bi)(abi),把下列各式分解為一次因式的乘積:(1)a4b4;(2)a2+2ab+b2+c2.【解析】(1)a4b4=(a2+b2)(a2b2)=(a+bi)(abi)(a+b)(ab);(2)a2+2ab+b2+c2=(a+b)2+c2=(a+b+ci)(a+bc