8.3簡單幾何體的表面積與體積8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)求棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積.2.能利用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式求體積,理解它們之間的關(guān)系.3.能用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積公式解決簡單的實(shí)際問題.【素養(yǎng)達(dá)成】直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算一、多面體的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和.二、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積項(xiàng)目高體積棱柱兩底面之間的距離,即從一底面上任意一點(diǎn)向另一個(gè)底面作垂線,這點(diǎn)與垂足之間的距離V=Sh,其中S是底面面積,h是高棱錐從頂點(diǎn)向底面作垂線,頂點(diǎn)與垂足之間的距離V=13Sh,其中S是底面面積,h棱臺(tái)兩底面之間的距離,即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線,這點(diǎn)與垂足之間的距離V=13h(S'+S'S+S),其中棱臺(tái)的上、下底面面積分別是S',【教材挖掘】1.(P115思考)觀察棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式,它們之間有什么關(guān)系?你能用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎?提示:棱柱、棱錐、棱臺(tái)體積之間的關(guān)系2.簡單組合體分割成幾個(gè)幾何體,其表面積與體積有何變化?提示:表面積變大了而體積不變.【版本交融】(人BP83嘗試與發(fā)現(xiàn))等底面面積且等高的兩個(gè)棱柱體積什么關(guān)系?提示:相等.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的面積的和.(√)(2)一個(gè)棱柱的體積是與其等底等高的棱錐體積的2倍.(×)提示:三倍.(3)棱臺(tái)的表面積可由產(chǎn)生它的兩個(gè)棱錐的表面積求差得出.(×)提示:少了小棱錐的底面面積.(4)多面體的表面積越大,體積就越大.(×)提示:多面體的表面積與體積不成正比.類型一棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(1)(教材P116T1改編)正三棱臺(tái)上、下底面邊長分別是a和2a,高為12a,則正三棱臺(tái)的側(cè)面積為(A.a2 B.12a2 C.92a2 D.3【解析】選D.如圖,O1,O分別為上、下底面的中心,D,D1分別為AC,A1C1的中點(diǎn),在直角梯形ODD1O1中,OD=13×32×2a=33a,O1D1=13×32所以DE=ODO1D1=36在Rt△DED1中,D1E=a2則D1D=(36a)

2所以S棱臺(tái)側(cè)=3×12(a+2a)×33a=33(2)如圖組合體下面是一個(gè)直三棱柱.△A1B1C1為等腰直角三角形,BC=CE=2.上面是一個(gè)三棱錐,且三棱錐的高AE=3,三棱柱的高A1E=3,則組合體的表面積為____________.

【解析】下面是一個(gè)直三棱柱,由題意可知S底=12×2×2=2,S側(cè)面=3×2+3×2+3×22+22=12+62;上面是一個(gè)三棱錐,除底面BCE外的表面積S1=12×3×2+12×3×22+12×2×13=3+32+13,所以S表=S底+S側(cè)面答案:17+92+13【總結(jié)升華】求棱柱、棱錐、棱臺(tái)表面積的關(guān)注點(diǎn)(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和.(2)求棱錐、棱臺(tái)的表面積的關(guān)鍵是求出側(cè)面三角形、梯形的高.(3)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.【即學(xué)即練】1.已知正六棱柱的高為6,底面邊長為4,則它的表面積為()A.48(3+3) B.48(3+23)C.24(6+2) D.144【解析】選A.由題意知,側(cè)面積為6×6×4=144,兩底面積之和為2×34×42×6=483,所以表面積S=48(3+3)2.(教材P116T3改編)如圖所示,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為________.

【解析】由題圖可知該幾何體由兩個(gè)相同的正四棱錐底面相扣構(gòu)成,此幾何體的表面積等于兩個(gè)相同的正四棱錐的側(cè)面積相加,即為八個(gè)全等的正三角形的面積之和.因?yàn)檎切蔚倪呴L為2,所以S表=34×(2)2×8=43答案:43類型二棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(1)(2024·天津高一期中)已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長均為a,且其體積為163,則a=()A.2 B.23 C.4 D.43【解析】選C.因?yàn)檎庵鵄BCA1B1C1的所有棱長均為a,且其體積為163,則S△ABC=12a2sin60°=34a2,所以VABC-A1B1C1=S△ABC·AA1(2)如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,E為線段B1C上的一點(diǎn),則三棱錐ADED1的體積為__________.

【解析】VA-DED1=VE-答案:1【總結(jié)升華】求幾何體體積的常用方法【即學(xué)即練】1.棱臺(tái)的上、下底面面積分別是2,4,高為3,則該棱臺(tái)的體積是()A.18+62 B.6+22C.24 D.18【解析】選B.V=13h(S+S'S+S')=13×3×(2+22.在四面體ABCD中三組對棱分別相等,AB=CD=13,BC=AD=25,BD=AC=5,則四面體ABCD的體積為________.

【解析】以四面體的各棱為對角線還原為長方體,如圖.設(shè)長方體的長、寬、高分別為x,y,z,則x2+因?yàn)閂DABE=13DE·S△ABE=16V同理VC-ABF=VD-ACG=所以V四面體ABCD=V長方體4×16V長方體=13V而V長方體=2×3×4=24,所以V四面體ABCD=8.答案:8類型三表面積、體積公式的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例3】學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長方體ABCDA1B1C1D1挖去四棱錐OEFGH后所得的幾何體,其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為__________g.

【解析】由題意得長方體ABCDA1B1C1D1的體積為6×6×4=144(cm3),四邊形EFGH為平行四邊形,如圖所示,連接GE,HF,易知四邊形EFGH的面積為矩形BCC1B1面積的一半,即12×6×4=12(cm2),所以V四棱錐OEFGH=13×3×12=12(cm3),所以該模型的體積為14412=132(cm3),所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9=118.答案:118.8【總結(jié)升華】表面積、體積實(shí)際應(yīng)用的解題步驟(1)認(rèn)真審題,轉(zhuǎn)化為求幾何體的表面積、體積問題;(2)緊扣題意,解答實(shí)際問題.【即學(xué)即練】建造一個(gè)容積為16m3,深為2m,寬為2m的長方體無蓋水池,如果池底的造價(jià)為120元/m2,池壁的造價(jià)為80元/m2,則水池的總造價(jià)為________元.

【解析