單元形成性評價(一)(第六章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.下列說法中正確的有()①零向量與任意向量平行;②若a∥b,則a=λb(λ∈R);③(a·b)·c=a·(b·c);④|a|+|b|≥|a+b|;⑤若++=0,則A,B,C為一個三角形的三個頂點;⑥一個平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底.A.①④ B.①②④ C.①②⑤ D.③⑥【解析】選A.對于①:零向量與任意向量平行,故①正確;對于②:若a∥b,則a=λb(λ∈R),必須有b≠0,故②錯誤;對于③:(a·b)·c=a·(b·c),a與c不共線,故③錯誤;對于④:|a|+|b|≥|a+b|,根據(jù)三角不等式的應(yīng)用,故④正確;對于⑤:若++=0,則A,B,C為一個三角形的三個頂點,也可以是===0.故⑤錯誤;對于⑥:一個平面內(nèi),任意一對不共線的向量都可以作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底,故⑥錯誤.綜上:①④正確.2.如圖所示的方格紙中有定點O,P,Q,E,F,G,H,則+=()A. B. C. D.【解析】選B.以O(shè)P,OQ為鄰邊作平行四邊形,可知OF為所作平行四邊形的對角線,故由平行四邊形法則可知OF對應(yīng)的向量即為所求向量.【補償訓(xùn)練】如圖,在△ABC中,=23,=13,若=λ+μ,則λ+μ的值為()A.49 B.89 C.23 【解析】選B.因為=13,所以=13(),所以=23+13,又=23,所以=23+29=λ+μ,所以λ=23,μ=29,所以λ+μ=3.(2024·綏化高一檢測)在△ABC中,A=120°,C=15°,AC=6,則BC=()A.4 B.23 C.3 D.22【解析】選C.因為A=120°,C=15°,所以B=45°,由正弦定理得6sin45°=BCsin120°4.(2024·青島高一檢測)已知平面向量a=(0,1),b=(1,1),則向量a在向量b上的投影向量是()A.22,22 B.22,22C.12,12 D.12,12【解析】選D.根據(jù)平面向量的投影向量的規(guī)定可得:向量a在向量b上的投影向量為|a|cos<a,b>·b|b|,即a·b|b|2·b,因為a=(0,1),b=(1,1),則a·b=1,|b|=2,則向量a在向量b上的投影向量為5.(2024·太原高一檢測)已知△ABC中,(+)·=0,+=3,則此三角形為()A.直角三角形 B.等邊三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形【解析】選B.如圖所示:設(shè)M為AC中點,則(+)·=2·=0,所以⊥,即△ABC為等腰三角形,又+=3,所以+2=3,即2+2+2·=2+2cos<,>=3,所以cos<,>=12,可得A=60°,綜上可知三角形為等邊三角形.6.已知△ABC的其中兩邊長分別為2,3,這兩邊的夾角的余弦值為13,則△ABC的外接圓的半徑為(A.922 B.924 C.92【解析】選C.由題意知,邊長分別為2,3的兩邊的夾角的正弦值為1-19又由余弦定理可得第三邊的長為22+32-2×2×3×13所以其半徑為927.在平面四邊形ABCD中,AB=BC=2CD=2,∠ABC=60°,∠ADC=90°,若P為邊BC上的一個動點,則·的最小值是()A.1 B.14 C.12 D【解析】選B.因為平面四邊形ABCD中,AB=BC=2CD=2,∠ABC=60°,∠ADC=90°,所以△ABC是邊長為2的等邊三角形,在Rt△ADC中,AC=2,CD=1,則∠ACD=60°,如圖建立坐標(biāo)系,有A(0,3),B(1,0),C(1,0).設(shè)P(x,0),則1≤x≤1,則·=(x,3)·(1x,0)=x2x=x12214,顯然當(dāng)x=12時,·取得最小值14.8.(2024·重慶高一檢測)我國油紙傘的制作工藝巧妙.如圖(1),傘不管是張開還是收攏,傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角∠BAC,且AB=AC,從而保證傘圈D能夠沿著傘柄滑動.如圖(2),傘完全收攏時,傘圈D已滑到D'的位置,且A,B,D'三點共線,AD'=60cm,B為AD'的中點,當(dāng)傘從完全張開到完全收攏,傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離為24cm,則當(dāng)傘完全張開時,∠BAC的余弦值是()A.725 B.8C.42125 D【解析】選A.依題意,AD'=60cm,當(dāng)傘完全張開時,AD=6024=36(cm),B為AD'的中點,故AB=AC=12AD'=30(cm),當(dāng)傘完全收攏時,AB+BD=AD'=60(cm),所以BD=30(cm),在△ABD中,cos∠BAD=AB2+A故cos∠BAC=cos(2∠BAD)=2cos2∠BAD1=2×3521=二、多選題(每小題6分,共18分,全部選對得6分,選對但不全的得部分分,有選錯的得0分)9.已知向量a=(2,1),b=(1,t),則下列說法正確的是()A.若a⊥b,則t的值為2B.若a∥b,則t的值為1C.若0<t<2,則a與b的夾角為銳角D.若(a+b)⊥(ab),則|a+b|=|ab|【解析】選AB.對于A:若a⊥b,則a·b=2×(1)+1×t=0,解得t=2,故A正確;對于B:若a∥b,則2t=1×1,解得t=12,故B正確;對于C:當(dāng)t=12時,a與b同向,此時a與對于D:若(a+b)⊥(ab),則(a+b)·(ab)=0,即a2b2=0,即(2)2+12=(1)2+t2,解得t=±2,當(dāng)t=2時,a=(2,1),b=(1,2),a+b=(3,3),ab=(1,1),顯然|a+b|≠|(zhì)ab|,當(dāng)t=2時,a=(2,1),b=(1,2),a+b=(3,1),ab=(1,3),此時|a+b|=|ab|,故D錯誤.10.某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°,距離為126nmile;在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°,距離為83nmile.貨輪由A處向正北航行到D處時,再看燈塔B在南偏東60°,則下列說法正確的是()A.A處與D處之間的距離是24nmileB.燈塔C與D處之間的距離是8nmileC.燈塔C在D處的西偏南60°D.D在燈塔B的北偏西30°【解析】選AC.在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,∠DAB=75°,則∠B=45°,AB=126,由正弦定理得AD=ABsin∠Bsin∠ADB=126在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC22AD·ACcos30°,又AC=83,解得CD=83,所以燈塔C與D處之間的距離為83nmile,故B錯誤;因為AC=CD=83,所以∠CDA=∠CAD=30°,燈塔C在D處的西偏南60°,故C正確;燈塔B在D處的南偏東60°,D在燈塔B的北偏西60°,故D錯誤.11.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列條件中能判斷△ABC為鈍角三角形的有()A.a2+b2<c2B.sinAcosA=6C.tanA+tanB+tanC>0D.△ABC的三條高分別為2,3,4【解析】選ABD.對于A,由余弦定理有cosC=a2+b2-c對于B,將sinAcosA=65平方化簡得sinAcosA=1150,故A為鈍角,△對于C,因為tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=tanC,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC>0,則角對于D,假設(shè)a,b,c邊上的高分別為2,3,4,則12a×2=12b×3=12c×4,有2a=3b設(shè)a=6k,則b=4k,c=3k(k>0),所以由余弦定理得cosA=9k2+16k2-36k224k三、填空題(每小題5分,共15分)12.已知向量|a|=3,|b|=2,|2a+b|=213,則a,b的夾角為________.

【解析】設(shè)a,b的夾角為θ,則|2a+b|=4a2+又因為|a|=3,|b|=2,所以36+4+4×3×2cosθ=213所以cosθ=12,又θ∈[0,π],故θ=π答案:π13.在△ABC中,a=2,A=π6,則△ABC周長的最大值為________【解析】由余弦定理得b2+c2a2=2bccosA,即(b+c)22bc4=2bccosπ6,化簡得(b+c)24=(2+3)bcbc≤(b+c)24,故(b+當(dāng)且僅當(dāng)b=c時,等號成立,解得b+c≤26+22,故△ABC的周長的最大值為26+22+2.答案:26+22+214.已知O是△ABC內(nèi)部的一點,且=m+n(m,n∈R),△ABC和△ABO的面積分別是S1,S2,若S1=3S2,則2nm=________.

【解析】分別在邊AC,BC上取點D,E,使得AD=13AC,BE=1由=13,=13,可得DE∥AB,所以S△ABD=S△ABE=13S△ABC,又因為S1=3S2,所以點O在線段DE上(不包含端點),則=23+13,=23+13.因為O,D,E三點共線,所以=k,即23+13=23k+13k.所以=k+k-12.因為=m+n(m,n∈R),所以m=k,n=k答案:1四、解答題(共77分)15.(13分)(2024·滄州高一檢測)已知向量a=(2,3),b=(1,x),c=(4,1).(1)若x=2,a=λb+μc,求λ+μ的值;(2)若a⊥(cb),求a與b的夾角的余弦值.【解析】(1)因為λb=(λ,2λ),μc=(4μ,μ),所以λb+μc=(λ+4μ,2λ+μ),因為a=λb+μc,所以λ+4解得λ=107μ=17(2)因為a⊥(cb),所以a·ca·b=0,即2×4+3×1(2×1+3x)=0,解得x=3,所以b=(1,3),故cosa,b=a·b|a||16.(15分)(2024·杭州高一檢測)如圖,在菱形ABCD中,=12,=3.(1)若=x+y,求3x+2y的值;(2)若||=6,∠BAD=60°,求·.【解析】(1)因為在菱形ABCD中,=12,=3,故=+=1234,故x=34,y=12,所以3x+2y=54;(2)·=(+)·1234=34+1214·,在菱形ABCD中,||=6,∠BAD=60°,故||=6,<,>=60°,所以·=6×6×cos60°=18.故·=34×62+12×6214×18=2717.(15分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知向量m=cos3A2,sin3A2,n=cosA2,sinA2,且滿足|m+n|=(1)求角A的大小;(2)若b+c=3a,試判斷△ABC的形狀.【解析】(1)因為m2+n2+2m·n=3,代入m=cos3A2,sin3An=cosA2,sinA2,有1+1+2cos3A2cosA2+sin3A2所以cos3A2cosA2+sin3A2sinA即cos3A2A2=12,所以cosA=12,A(2)因為cosA=12,所以b2+c又因為b+c=3a②,聯(lián)立①②有,bc=b2+c2b+c32即2b25bc+2c2=0,解得b=2c或c=2b,又因為b+c=3a,若b=2c,則a=3c,所以a2+c2=(3c)2+c2=4c2=b2,△ABC為直角三角形,同理,若c=2b,則18.(17分)某市發(fā)生水災(zāi),國家應(yīng)急管理部緊急從A處調(diào)飛機去某地運救災(zāi)物資到受災(zāi)的B處.現(xiàn)有以下兩個方案供選擇:方案一:飛到位于A處正東方向上的C市調(diào)運救災(zāi)物資,再飛到B處;方案二:飛到位于A處正南方向上的D市調(diào)運救災(zāi)物資,再飛到B處.已知AD=500km,AB=800km,∠ACB=2∠DAB=120°.那么選擇哪種方案,能使得飛行距離最短?參考數(shù)據(jù):33≈0.577【解析】方案一:在△ABC中,易知∠CAB=90°∠DAB=30°,∠ACB=120°,AB=800km,由BCsin∠CAB=ABsin∠ACB,得BC=80033所以AC+BC=2BC=1600方案二:在△ADB中,∠DAB=60°,AD=500km,AB=800km,所以BD2=AB2+AD22AB·AD·cos∠DAB=8002+50022×800×500×cos60°=4.9×105,所以BD=700km,所以BD+AD=700+500=1200km.因為1200>16003故選擇方案一,能使飛行距離最短.19.(17分)銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足:asinB=bcosAπ6,c=1.(1)求A;(2)求△ABC面積的取值范圍.【解析】(1)因