6.1平面向量的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解平面向量的實(shí)際背景,理解平面向量的概念.2.理解平面向量的幾何意義與幾何表示.3.理解相等向量的含義及共線向量的概念.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理一、向量的概念及表示1.向量的概念既有大小又有方向的量.2.向量的幾何表示(1)有向線段:以A為起點(diǎn),B為終點(diǎn)的有向線段記作,其大小稱為向量的長(zhǎng)度(或稱模),記作||;(2)字母:可以用字母a,b,c,…表示.3.特殊向量零向量的長(zhǎng)度為0,單位向量的長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度.【教材挖掘】(P1)物理學(xué)中常稱向量為矢量,數(shù)量為標(biāo)量,你還能舉出物理學(xué)中的一些向量和數(shù)量嗎?提示:速度、位移、力、加速度等都是既有大小又有方向的量,所以它們是向量.質(zhì)量、路程、密度、功、時(shí)間等都是只有大小,沒(méi)有方向的量,所以不是向量.二、相等向量與共線向量1.相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量,記作a=b.2.共線向量(1)平行向量①方向相同或相反的非零向量,記作a∥b;②規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對(duì)于任意向量a,都有0∥a.(2)共線向量任一組平行向量都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也叫做共線向量.【版本交融】(蘇教P6)若兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等、方向相反,則稱它們互為相反向量.相反向量是共線向量.若其中一個(gè)向量為a,則它的相反向量記作a.零向量的相反向量仍是零向量.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)海拔、溫度、角度都是向量.(×)提示:海拔、溫度、角度都是數(shù)量,只有大小沒(méi)有方向,不是向量.(2)若用有向線段表示的向量與不相等,則點(diǎn)M與N不重合.(√)提示:若用有向線段表示的向量與不相等,則終點(diǎn)一定不相同,即點(diǎn)M與N不重合.(3)方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是共線向量.(√)提示:方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是方向相反的向量,因而是共線向量.(4)若a與b都是單位向量,則a=b.(×)提示:若a與b都是單位向量,而單位向量方向不一定相同,故不能得到a=b.類型一向量的表示及應(yīng)用(直觀想象)【典例1】(教材提升·習(xí)題T1)在如圖的方格紙中(規(guī)定小方格的邊長(zhǎng)為1),畫出下列向量.(1)畫出||=3,點(diǎn)A在點(diǎn)O的正西方向的向量;(2)畫出||=32,點(diǎn)B在點(diǎn)O的北偏西45°方向的向量;(3)求出||的值.【解析】(1)因?yàn)閨|=3,點(diǎn)A在點(diǎn)O的正西方向,故如圖所示:(2)因?yàn)閨|=32,點(diǎn)B在點(diǎn)O的北偏西45°方向,故如圖所示:(3)||==3.【總結(jié)升華】用有向線段表示向量的步驟(1)確定向量的起點(diǎn);(2)確定向量的方向;(3)根據(jù)向量的長(zhǎng)度確定向量的終點(diǎn).【即學(xué)即練】如圖,某人從A點(diǎn)出發(fā),向西走了200m后到達(dá)B點(diǎn),然后改變方向,沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到達(dá)C點(diǎn),最后又改變方向,向東走了200m到達(dá)D點(diǎn),發(fā)現(xiàn)D點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方.(1)作出,,(圖中1個(gè)單位長(zhǎng)度表示100m);(2)求的模.【解析】(1)根據(jù)題意可知,B點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(2,0),又因?yàn)镈點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方,所以CD⊥BD,又||=2003,所以||=2002,即D,C兩點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(2,22),(4,22),即可作出,,如圖所示:(2)如圖,作出向量,由題意可知,CD∥AB且CD=AB=200m,所以四邊形ABCD是平行四邊形,則||=||=2003,所以的模為2003.類型二相等向量與共線向量(直觀想象)角度1相等向量與共線向量的確定【典例2】(教材提升·例2)O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),四邊形OAED,OCFB都是正方形,在如圖所示的向量中:(1)分別找出與,相等的向量;(2)找出與共線的向量;(3)找出與的模相等的向量;(4)向量與是否相等?【解析】因?yàn)镺是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),四邊形OAED,OCFB都是正方形,所以O(shè)A=AE=OD=DE=OC=CF=BF=BO,AB=CD=BC=AD.(1)由題中圖形可得:=,=;(2)由題中圖形可得,與共線的向量有:,,;(3)與的模相等的向量有:,,,,,,;(4)向量與不相等,因?yàn)樗鼈兊姆较虿幌嗤?角度2相等向量與共線向量的應(yīng)用【典例3】(2024·鄭州高一檢測(cè))已知四邊形ABCD,下列說(shuō)法正確的是()A.若=,則四邊形ABCD為平行四邊形B.若||=||,則四邊形ABCD為矩形C.若∥,且||=||,則四邊形ABCD為矩形D.若||=||,且∥,則四邊形ABCD為梯形【解析】選A.A選項(xiàng),若=,則||=||且∥,則四邊形ABCD為平行四邊形,故正確;B選項(xiàng),如圖,||=||=2,但是四邊形ABCD不是矩形,故錯(cuò)誤;C選項(xiàng),若∥,且||=||,則四邊形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形,故錯(cuò)誤;D選項(xiàng),若||=||,且∥,則四邊形ABCD可以是平行四邊形,也可以是梯形,故錯(cuò)誤.【總結(jié)升華】相等向量與共線向量(1)相等向量與共線向量的確定:要注意利用三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)等平面幾何知識(shí)尋找線線之間的相等與平行關(guān)系;(2)相等向量與共線向量的應(yīng)用:可以判斷線段與線段相等或平行,但判斷直線平行時(shí),除說(shuō)明向量共線外,還需要說(shuō)明向量所在的線段無(wú)公共點(diǎn).【即學(xué)即練】在如圖所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的邊長(zhǎng)為1),分別寫出下列向量.(1)共線向量;(2)相反向量;(3)相同的向量;(4)模相等的向量.【解析】(1)a與d是共線向量,b與e是共線向量;(2)a與d是相反向量;(3)題圖中無(wú)方向相同的向量,所以向量a,b,c,d,e中無(wú)相同的向量;(4)由題圖可知|a|=|c|=|d|=5,|b|=2,|e|=22,所以模相等的向量為a,c,d.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,O是正六邊形ABCDEF的中心.(1)圖中所示的向量中與的模相等的向量有幾個(gè)?(2)圖中所示的向量中與共線的向量有幾個(gè)?【解析】(1)因?yàn)锳BCDEF為正六邊形,所以中心O到各頂點(diǎn)的距離相等,且均等于正六邊形的邊長(zhǎng).因此題圖中所示的向量中與的模相等的向量有,,,,,,,,,,,共11個(gè).(2)由題知,圖中所示的向量中與共線的向量有,,,,共4個(gè).類型三向量概念的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)【典例4】(1)(2024·德州高一檢測(cè))下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.||=||B.e1,e2是單位向量,則|e1|=|e2|C.若||>||,則>D.兩個(gè)相同的向量的模相等【解析】選C.對(duì)于A,||=||,故A正確;對(duì)于B,e1,e2是單位向量,則|e1|=|e2|=1,故B正確;對(duì)于C,若||>||,則,不能比較大小,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,兩個(gè)相同的向量的模相等,故D正確.(2)(2024·湛江高一檢測(cè))下列說(shuō)法:①若|a|=0,則a=0;②若a=b,則|a|=|b|;③若a∥b,則|a|=|b|.其中錯(cuò)誤的是__________(填序號(hào)).

【解析】由零向量的定義可知,①正確;兩個(gè)向量相等時(shí),兩個(gè)向量的模一定相等,②正確;兩個(gè)向量共線,與模是否相等無(wú)關(guān),③錯(cuò)誤.答案:③【總結(jié)升華】向量概念辨析的注意點(diǎn)(1)向量既有大小又有方向,不能比較大小;(2)判斷兩個(gè)向量是否平行或共線,只要看兩個(gè)向量的方向是否滿足相同或相反即可;(3)零向量的方向是任意的,零向量與任意向量平行;(4)單位向量的長(zhǎng)度是1個(gè)單位長(zhǎng)度,方向不一定相同.【即學(xué)即練】給出下列四個(gè)說(shuō)法:①向量就是有向線段;②零向量是沒(méi)有方向的;③兩個(gè)向量,當(dāng)且僅當(dāng)它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同時(shí)才相等;④若平面上所有單位向量的起點(diǎn)移到同一個(gè)點(diǎn),則其終點(diǎn)在同一個(gè)圓上.其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選A.對(duì)于①