8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積【學(xué)習(xí)目標】1.掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積的求法.2.會求由圓柱、圓錐、圓臺、球構(gòu)成的簡單組合體的表面積與體積.3.能解決圓柱、圓錐、圓臺、球的“切”“接”問題.【素養(yǎng)達成】直觀想象、數(shù)學(xué)運算直觀想象、數(shù)學(xué)運算直觀想象、數(shù)學(xué)運算一、圓柱、圓錐、圓臺的表面積項目圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開側(cè)面積2πrlπrlπr'表面積2πrr+lπrr+lπ(r'2+r2+r'l+rl)【版本交融】(人BP78嘗試與發(fā)現(xiàn))為了求圓柱、圓錐、圓臺的表面積,分別需要知道哪些條件?提示:底面半徑與母線長.【教材挖掘】(P117思考)圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式之間有什么關(guān)系?你能用圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎?提示:當圓臺的上底面半徑與下底面半徑相等時,得到圓柱;當圓臺的上底面縮為一個點時,得到圓錐.由此可得:S圓柱側(cè)=2πrlS圓臺側(cè)=π(r'+r)lS圓錐側(cè)=πrl.二、圓柱、圓錐、圓臺的體積1.圓柱:V=πr2h(r是底面半徑,h是高);2.圓錐:V=13πr2h(r是底面半徑,h3.圓臺:V=13πhr'2+r'r+【教材挖掘】(P117思考)圓柱、圓錐、圓臺的體積公式之間有什么關(guān)系?結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺的體積公式,你能將它們統(tǒng)一成柱體、錐體、臺體的體積公式嗎?柱體、錐體、臺體的體積公式之間又有怎樣的關(guān)系?提示:(1)圓柱、圓錐、圓臺體積的關(guān)系(2)柱體、錐體、臺體的體積柱體:柱體的底面面積為S,高為h,則V=Sh.錐體:錐體的底面面積為S,高為h,則V=13臺體:臺體的上、下底面面積分別為S',S,高為h,則V=13(S'+SS'+S(3)柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系V柱體=ShV臺體=13(S'+S'S+S)hV錐體=1三、球的表面積和體積球的表面積:S球=4πR2;球的體積:V球=43πR3.(其中R【版本交融】(蘇教版P205)我們把球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓稱為大圓,球的表面積與球的大圓面積有何大小關(guān)系?提示:球的表面積恰好是球的大圓面積的4倍.【版本交融】(北師大版P242思考交流)過球外一點,可以作球的無數(shù)條切線,所有切點組成什么圖形?這個平面與所有切線圍成了一個什么圖形?提示:所有切點組成一個圓,圓面與所有切線圍成一個圓錐.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)等底等高的圓柱和圓錐,圓柱的體積是圓錐體積的三倍.(√)提示:由圓柱、圓錐的體積公式可知正確.(2)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,其中扇形的弧長為圓錐底面圓的周長.(√)提示:由圓錐側(cè)面展開圖可知正確.(3)球的表面積和體積是關(guān)于半徑的函數(shù).(√)提示:球的表面積和體積的大小,只與球的半徑相關(guān),給定R都有唯一確定的S和V與之對應(yīng),是關(guān)于R的函數(shù).(4)球面被平面截得的圓的半徑等于球的半徑.(×)提示:球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓的半徑等于球的半徑.類型一圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)角度1圓柱、圓錐、圓臺的表面積【典例1】(易錯·對對碰)如圖,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,AD=4.(1)以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為__________;

(2)以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為__________.

【解析】(1)以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓臺,其上底面半徑是4,下底面半徑是16,母線DC=52+(16-4)2(2)以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓柱和圓錐的組合體,如圖.其中圓錐的高為164=12,圓柱的母線長為AD=4,故該幾何體的表面積為2π×5×4+π×52+π×5×13=130π.答案:(1)532π(2)130π【總結(jié)升華】求圓柱、圓錐、圓臺的表面積的步驟(1)得到空間幾何體的平面展開圖.(2)依次求出各個平面圖形的面積.(3)將各平面圖形的面積相加.【即學(xué)即練】1.(2024·江西高一期末)如果等邊圓柱(即底面直徑與母線相等的圓柱)的體積是16πcm3,那么它的側(cè)面積等于________cm2.

【解析】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為r,則高為2r,故πr2·2r=16π,解得r=2,所以圓柱的側(cè)面積為2πr·2r=4π×4=16π(cm2).答案:16π2.表面積為3π的圓錐,它的側(cè)面展開圖是一個半圓,則該圓錐的底面直徑為__________.

【解析】設(shè)圓錐的母線為l,圓錐底面半徑為r,由題意可知,πrl+πr2=3π,且πl(wèi)=2πr.解得r=1,即底面直徑為2.答案:2角度2圓柱、圓錐、圓臺的體積【典例2】(1)如圖,一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截,截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3,則該幾何體的體積為()A.5π B.6π C.20π D.10π【解析】選D.用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱,如圖,則圓柱的體積為π×22×5=20π,故所求幾何體的體積為10π.(2)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.22π3 C.22π D.42π【解析】選B.繞等腰直角三角形的斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體為兩個底面重合、等體積的圓錐組合而成,每一個圓錐的底面半徑和高都是2,故所求幾何體的體積V=2×13×π×(2)2×2=4【總結(jié)升華】圓柱、圓錐、圓臺的體積求法(1)直接法:根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征,確定底面積和高,代入體積公式直接求出;(2)分割法:將幾何體分割成易求解的幾部分,分別求體積;(3)補體法:將幾何體補成易求解的幾何體,先求再去.【補償訓(xùn)練】(2024·鹽城高一檢測)如圖所示的糧倉可以看成圓柱體與圓錐體的組合體,圓錐部分的高為0.5米,圓柱部分的高為2米,底面圓的半徑為1米,則該組合體體積為()A.π3立方米 B.C.5π2立方米 D.13π【解析】選D.圓柱體積為π×12×2=2π(立方米),圓錐體積為13×π×12×0.5=π所以該組合體的體積為2π+π6=13π6類型二球的表面積與體積(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)【典例3】(類題·節(jié)節(jié)高)(1)已知球的直徑為6cm,求它的表面積和體積;(2)已知球的表面積為64π,求它的體積;(3)已知球的體積為500π3,求它的表面積【解析】(1)因為球的直徑為6cm,所以球的半徑R=3cm.所以S球=4πR2=36π(cm2),V球=43πR3=36π(cm3)(2)因為S球=4πR2=64π,所以R2=16,即R=4.所以V球=43πR3=43π×43=(3)因為V球=43πR3=500π3,所以R3=125,即R=5.所以S球=4πR2【總結(jié)升華】求球的表面積與體積的關(guān)注點(1)一個關(guān)鍵:球的半徑;(2)兩個結(jié)論:①兩個球的表面積之比等于這兩個球的半徑比的平方;②兩個球的體積之比等于這兩個球的半徑比的立方.【即學(xué)即練】兩個球的半徑相差1,表面積之差為28π,則它們的體積和為__________.

【解析】設(shè)大、小兩球半徑分別為R,r,則由題意可得R-r所以它們的體積和為43πR3+43πr3=答案:364π類型三旋轉(zhuǎn)體的“切”“接”問題(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)【典例4】(易錯·對對碰)如圖,在底面半徑為2,母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為3的圓柱.(1)圓柱的體積與圓錐的體積分別為__________;

(2)圖中圓臺的表面積與體積分別為__________.

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為R,圓柱的底面半徑為r,則R=OC=2,圓錐的母線長AC=4,所以圓錐的高AO=42-2如圖所示,易知△AEB∽△AOC,所以AEAO=EBOC,即323=(1)圓柱的體積V1=πr2h=π×12×3=3π.圓錐的體積V2=13π×22×23=83(2)圓臺的上底面半徑r=1,下底面半徑R=2,高h=3,母線l=2,所以圓臺的表面積S=π(r2+R2+rl+Rl)=π(12+22+1×2+2×2)=11π.圓臺的體積V=13π(r2+rR+R2)h=13π(12+2+22)×3=7答案:(1)3π,83(2)11π,73【總結(jié)升華】旋轉(zhuǎn)體的“切”“接”問題的解題策略在處理旋轉(zhuǎn)體的“切”“接”問題時,一般要通過作一適當?shù)慕孛?將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決,這類截面往往指的是旋轉(zhuǎn)體的軸截面.【即學(xué)即練】圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水,若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相等)后,水恰好淹沒最上面的球(如圖所示),則球的半徑是________cm.

【解析】設(shè)球的半徑為r,放入3個球后,圓柱液面高度變?yōu)?r.則有πr2·6r=8πr2+3·43πr3,即2r=8,所以r=4cm答案:4教材深一度球的截面性質(zhì)用一個平面去截一個球,截面是圓面,如圖,球的截面有以下性質(zhì):①球心和截面圓圓心的連線垂直于截面;②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系d=R2【典例5】如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8c