2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期終高中二年級教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)科試題本試題共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘說明：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并用2B鉛筆在“考場號”、“座位號”欄內(nèi)填涂考場號、座位號.2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；答案不能答在試題卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆作答，答案必須寫在答題卡上各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回，試題卷自己保存.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求．1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于yOz平面對稱，x值變?yōu)橄喾磾?shù)，其它不變這一結(jié)論直接寫結(jié)論即可．【詳解】在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)A（1，2，3）關(guān)于yOz平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2，3）．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)的概念，考查空間點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，屬于基礎(chǔ)題．2.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】計(jì)算直線平行等價于或，根據(jù)范圍大小關(guān)系得到答案.【詳解】直線與直線平行，則，或，驗(yàn)證均不重合，滿足.故“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和推斷能力.3.已知雙曲線C：的一條漸近線的斜率為，且與橢圓有相等的焦距，則C的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的焦距可得雙曲線C：的焦距，根據(jù)雙曲線C：的一條漸近線的斜率為，可得，結(jié)合求得，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線C：的一條漸近線的斜率為，所以，即，橢圓的焦距為，所以雙曲線C：的焦距，即，又因，解得，所以，所以C的方程為.故選：B.4.數(shù)列，，，，……的通項(xiàng)公式可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由分母構(gòu)成等差數(shù)列即可求出.【詳解】數(shù)列的分母形成首項(xiàng)為5，公差為2的等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式為，所以.故選：C.5.在正方體中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的大小.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、，，，，因此，異面直線與所成角的大小為.故選：A.6.“營老爺”是潮汕地區(qū)一項(xiàng)傳統(tǒng)民俗活動.年，潮汕某地舉行了歷史悠久的三年一度“營老爺”大巡游，按照這“三年一度”的規(guī)律，該地有可能進(jìn)行“營老爺”大巡游的時間是（）A.年 B.年 C.年 D.年【答案】D【解析】【分析】由題意可知，該地有可能進(jìn)行“營老爺”大巡游的年份為，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由題意可知，該地有可能進(jìn)行“營老爺”大巡游的年份為，對于A選項(xiàng)，，且不是的倍數(shù)，A不合乎題意；對于B選項(xiàng)，，且不是的倍數(shù)，B不合乎題意；對于C選項(xiàng)，，且不是的倍數(shù)，C不合乎題意；對于D選項(xiàng)，，且是倍數(shù)，D合乎題意.故選：D.7.表示的曲線為（）A.兩個半圓 B.一個圓C.半個圓 D.兩個圓【答案】A【解析】【分析】去方程中的絕對值符號，平方整理，再分類討論方程表示的曲線即可得解.【詳解】依題意，，則有或，當(dāng)時，，此時方程表示以點(diǎn)O2(1，1)為圓心，1為半徑的圓在直線x=1及左側(cè)的半圓，當(dāng)時，，此時方程表示以點(diǎn)O1(1，1)為圓心，1為半徑的圓在直線x=1及右側(cè)的半圓，如圖，表示的曲線為兩個半圓.故選：A8.已知四棱錐中，側(cè)面底面，，底面是邊長為的正方形，是四邊形及其內(nèi)部的動點(diǎn)，且滿足，則動點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取線段的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出平面，可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓及其內(nèi)部，結(jié)合圓的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫裕矫妫驗(yàn)槠矫妫瑒t，因?yàn)樗倪呅问沁呴L為的正方形，則，所以，，，所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓及其內(nèi)部，因此，動點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9已知，，則（）A. B.C. D.∥【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)模長公式、線性運(yùn)算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、共線向量定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對A，因?yàn)椋裕蔄正確；對B，，故B不正確；對C，，所以不垂直，故C不正確；對D，，所以∥，故D正確.故選：AD.10.定義“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公積.已知數(shù)列是公積不為0的等積數(shù)列，且，前7項(xiàng)的和為14.則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C.公積為1 D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)等積數(shù)列的定義，可判斷A的正誤，根據(jù)條件，代入數(shù)據(jù)，可判斷B、C的正誤，分別討論n為奇數(shù)和偶數(shù)，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】設(shè)該等積數(shù)列的公積為m（m為常數(shù)，），根據(jù)等積數(shù)列的定義可得，所以，即，故A正確；則，又，則，又前7項(xiàng)的和為14，則，解得，即公積為2，所以，故B正確，C錯誤，當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，故D錯誤故選：AB11.畫法幾何的創(chuàng)始人法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，、為橢圓上兩個動點(diǎn)．直線的方程為．則下列結(jié)論正確的有（）A.的蒙日圓的方程為B.在直線上存在點(diǎn)，橢圓上存在、，使得C.記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為D.若矩形的四條邊均與相切，則矩形面積的最大值為．【答案】ABD【解析】【分析】由在蒙日圓上可得蒙日圓的方程，結(jié)合離心率可得、關(guān)系，由此可知A正確；由過且在蒙日圓上，可知當(dāng)、恰為切點(diǎn)時，，知B正確；根據(jù)橢圓定義可將轉(zhuǎn)化為，可知時，取得最小值，由點(diǎn)到直線距離公式可求得最小值，代入可得的最小值，知C錯誤；由題意知，蒙日圓為矩形的外接圓，由矩形外接圓特點(diǎn)可知矩形長寬與圓的半徑之間的關(guān)系，利用基本不等式可求得矩形面積最大值，知D正確．【詳解】對于A選項(xiàng)，過可作橢圓的兩條互相垂直的切線：，，所以，在蒙日圓上，則蒙日圓方程為，由，得，所以，橢圓的蒙日圓方程為，故A正確；對于B選項(xiàng)，由直線的方程知，直線過，又滿足蒙日圓方程，所以，在圓上，當(dāng)、恰為過作橢圓兩條互相垂直切線的切點(diǎn)時，，故B正確；對于C選項(xiàng)，因?yàn)樵跈E圓上，所以，，所以，，當(dāng)時，取得最小值，最小值為到直線的距離，又到直線的距離，所以，，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，當(dāng)矩形的四條邊均與相切時，蒙日圓為矩形的外接圓，所以，矩形的對角線為蒙日圓的直徑，設(shè)矩形的長和寬分別為、，則，所以，矩形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即矩形面積的最大值為，故D正確.故答案為：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查圓錐曲線中新定義問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)蒙日圓的定義，結(jié)合點(diǎn)在蒙日圓上，得到蒙日圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而結(jié)合圓的方程來判斷各個選項(xiàng)．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線的傾斜角為_______________.【答案】【解析】【分析】由直線的斜率為，得到，即可求解.【詳解】由題意，可知直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，即換線的傾斜角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角的求解問題，其中解答中熟記直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.13.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)在平面內(nèi)，則_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示和共面定理，列方程組求出答案即可.【詳解】因?yàn)椋砸驗(yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，所以即，解得故答案為：14.探照燈、汽車燈等很多燈具反光鏡是拋物面（其縱斷面是拋物線的一部分），正是利用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射之后沿對稱軸方向射出.根據(jù)光路可逆圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C：，一條光線經(jīng)過點(diǎn)，與x軸平行射到拋物線C上，經(jīng)過兩次反射后經(jīng)過點(diǎn)射出，則光線從點(diǎn)M到點(diǎn)N經(jīng)過的總路程為______.【答案】24【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義分析求解.【詳解】由題意可知：拋物線C：的準(zhǔn)線，設(shè)入射光線所在直線與拋物線和準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)，兩次反射后反射光線所在直線與拋物線和準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)，可知，所以光線從點(diǎn)M到點(diǎn)N經(jīng)過的總路程為.故答案為：24.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，.（1）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求中線所在直線的方程.（2）求邊上的高所在直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出線段的中點(diǎn)為的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式求出中線所在直線的方程；（2）先求出的斜率，可得邊上的高所在直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出邊上的高所在直線的方程．【小問1詳解】解：三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，線段的中點(diǎn)，則中線所在直線的方程為，即；【小問2詳解】解：由于直線的斜率為，故邊上的高所在直線的斜率為，故邊上的高所在直線的方程為，即．16.在數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記的前項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由定義證明數(shù)列是等差數(shù)列，再由得出通項(xiàng)公式；（2）先由求和公式得出，再由裂項(xiàng)相消求和法求和即可.【小問1詳解】由題意可知，，所以數(shù)列是公差的等差數(shù)列又，所以，故【小問2詳解】，則故17.在梯形中，為的中點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)，將沿折起到的位置，使得平面平面.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形和中位線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；（2）根據(jù)面面垂直和菱形的性質(zhì)得到，，兩兩垂直，然后建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量和與平面所成角的正弦值為列方程，解方程得到即可.【小問1詳解】在梯形中連接，因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以，，所以四邊形為菱形，所以是中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫妫浴纹矫?【小問2詳解】因?yàn)樗倪呅螢榱庑危裕矗驗(yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫妫裕裕瑑蓛纱怪保瑒t以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋裕O(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，所以，解得或2（舍去），所以線段上存在點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為，.18.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上不同于的一點(diǎn)，直線，與直線分別交于點(diǎn).試判斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.【答案】（1）（2）以為直徑的圓過定點(diǎn)，.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率列方程組求解即可；（2）設(shè)，由題意可得，，設(shè)定點(diǎn)為，利用即可得到結(jié)論.【小問1詳解】由題意可知，解得，所以求橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)，由（1）可知，斜率存在且不為0，依題意可知的直線方程為，直線方程為，令，可得，，假設(shè)以為直徑的圓過定點(diǎn)，不妨設(shè)定點(diǎn)為，依題意可知，，所以，，因?yàn)椋?因?yàn)椋裕睿傻茫獾茫砸詾橹睆降膱A過定點(diǎn)，.【點(diǎn)睛】判斷以為直徑的圓過定點(diǎn)時，常用向量法，根據(jù)向量數(shù)量積為0，代入相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)化簡后即可得到結(jié)論.19.設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列、、、為階“曼德拉數(shù)列”：①；②（1）若某階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，直接寫出一個滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)（不需要證明）．（2）若某階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用、表示）．（3）記階“曼德拉數(shù)列”的前項(xiàng)和為，若存在，使，試問：數(shù)列能否為階“曼德拉數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由．【答案】（1）（2）答案見解析（3）不能，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“曼德拉”數(shù)列的定義可得出滿足條件的一個階數(shù)列；（2）結(jié)合曼德拉數(shù)列的定義，首先得,然后分公差是大于、等于、小于進(jìn)行討論即可求解；（3）記中非負(fù)項(xiàng)和為，負(fù)項(xiàng)和為，則，，進(jìn)一步，結(jié)合前面的結(jié)論以及曼德拉數(shù)列的定義得出矛盾即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，一個滿足條件條件的階“曼德拉數(shù)列”的通項(xiàng)公式可以