專題02整式與因式分解

課標(biāo)要求考點(diǎn)考向

考向一單項(xiàng)式與多項(xiàng)式

1.會(huì)把具體數(shù)代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算。

2了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)?？枷蚨愴?xiàng)

整式

3.理解整式的概念，掌握合并同類項(xiàng)和去括號(hào)的法則。

考向三整式的加減

4.能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加減運(yùn)算，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式乘法運(yùn)

算。考向四整式的乘除

5.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2，(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公考向五整式的混合運(yùn)算

式的幾何背景，能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理。

因式

考向一提公因式法因式分解

6.能用提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解。

分解

考向二公式法因式分解

?考向一單項(xiàng)式與多項(xiàng)式

1．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）單項(xiàng)式2a2b的次數(shù)是．

【答案】3

【分析】此題考查單項(xiàng)式有關(guān)概念，根據(jù)單項(xiàng)式次數(shù)的定義來求解，解題的關(guān)鍵是需靈活掌握單項(xiàng)式的系

數(shù)和次數(shù)的定義，單項(xiàng)式中數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)．

【詳解】單項(xiàng)式2a2b的次數(shù)是：213，

故答案為：3．

2．（2024·江西·中考真題）觀察a，a2，a3，a4，…，根據(jù)這些式子的變化規(guī)律，可得第100個(gè)式子為．

【答案】a100

【分析】此題考查了單項(xiàng)式規(guī)律探究．分別找出系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律，據(jù)此判斷出第n個(gè)式子是多少即可．

【詳解】解：∵a，a2，a3，a4，…，

∴第n個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1；

∵第1個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)、第4個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)分別是1、2、3、4，…，

∴第n個(gè)式子是an．

∴第100個(gè)式子是a100．

故答案為：a100．

nn1

3．（2024·重慶·中考真題）已知整式M:anxan1xa1xa0，其中n,an1,,a0為自然數(shù)，an為正整

數(shù)，且nanan1a1a05．下列說法：

①滿足條件的整式M中有5個(gè)單項(xiàng)式；

②不存在任何一個(gè)n，使得滿足條件的整式M有且只有3個(gè)；

③滿足條件的整式M共有16個(gè)．

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】D

【分析】本題考查的是整式的規(guī)律探究，分類討論思想的應(yīng)用，由條件可得0n4，再分類討論得到答案

即可．

【詳解】解：∵n,an1,,a0為自然數(shù)，an為正整數(shù)，且nanan1a1a05，

∴0n4，

當(dāng)n4時(shí)，則4a4a3a2a1a05，

∴a41，a3a2a1a00，

滿足條件的整式有x4，

當(dāng)n3時(shí)，則3a3a2a1a05，

∴a3,a2,a1,a02,0,0,0，1,1,0,0，1,0,1,0，1,0,0,1，

滿足條件的整式有：2x3，x3x2，x3x，x31，

當(dāng)n2時(shí)，則2a2a1a05，

∴a2,a1,a03,0,0，2,1,0，2,0,1，1,2,0，1,0,2，1,1,1，

滿足條件的整式有：3x2，2x2x，2x21，x22x，x22，x2x1；

當(dāng)n1時(shí)，則1a1a05，

∴a1,a04,0，3,1，1,3，2,2，

滿足條件的整式有：4x，3x1，x3，2x2；

當(dāng)n0時(shí)，0a05，

滿足條件的整式有：5；

∴滿足條件的單項(xiàng)式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合題意；

不存在任何一個(gè)n，使得滿足條件的整式M有且只有3個(gè)；故②符合題意；

滿足條件的整式M共有1464116個(gè)．故③符合題意；

故選D

?考向二同類項(xiàng)

易錯(cuò)易混提醒

1.判斷同類項(xiàng)

標(biāo)準(zhǔn)：所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也分別相等。

注意事項(xiàng)：同類項(xiàng)與系數(shù)的大小無關(guān)，與它們所含的字母順序無關(guān)，所有常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)。

2.合并同類項(xiàng)

要點(diǎn)：字母和字母的指數(shù)不變，只把系數(shù)相加減。

考查角度1同類項(xiàng)的定義

4．（2024·河南·中考真題）請(qǐng)寫出2m的一個(gè)同類項(xiàng)：．

【答案】m（答案不唯一）

【分析】本題考查的是同類項(xiàng)的含義，根據(jù)同類項(xiàng)的定義直接可得答案．

【詳解】解：2m的一個(gè)同類項(xiàng)為m，

故答案為：m

考查角度2合并同類項(xiàng)

5．（2024·西藏·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

A．x2xxB．x(x3)x23

3

C．2x28x6D．3x24x212x2

【答案】C

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、冪的乘方與積的乘方、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則逐項(xiàng)

判斷即可得出答案．

【詳解】解：A、x2xx，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、x(x3)x23x，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

3

C、2x28x6，故原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；

D、3x24x212x4，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、冪的乘方與積的乘方、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，熟練掌

握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．

?考向三整式的加減

6．（2024·四川德陽·中考真題）若一個(gè)多項(xiàng)式加上y23xy4，結(jié)果是3xy2y25，則這個(gè)多項(xiàng)式為．

【答案】y21

【分析】本題考查整式的加減運(yùn)算，根據(jù)題意“一個(gè)多項(xiàng)式加上y23xy4，結(jié)果是3xy2y25”，進(jìn)行列

出式子：3xy2y25y23xy4，再去括號(hào)合并同類項(xiàng)即可．

【詳解】解：依題意這個(gè)多項(xiàng)式為

3xy2y25y23xy4

3xy2y25y23xy4

y21．

故答案為：y21

7．（2024·重慶·中考真題）一個(gè)各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)Mabcd，若滿足adbc9，則稱這

個(gè)四位數(shù)為“友誼數(shù)”．例如：四位數(shù)1278，∵18279，∴1278是“友誼數(shù)”．若abcd是一個(gè)“友誼數(shù)”，

MFMabcd

且bacb1，則這個(gè)數(shù)為；若Mabcd是一個(gè)“友誼數(shù)”，設(shè)FM，且

913

是整數(shù)，則滿足條件的M的最大值是．

【答案】34566273

【分析】本題主要考查了新定義，根據(jù)新定義得到adbc9，再由bacb1可求出a、b、c、d

FMabcd3ab6

的值，進(jìn)而可得答案；先求出M999a90b99，進(jìn)而得到9a8，根據(jù)

1313

FMabcd3ab63ab6

是整數(shù)，得到9a8是整數(shù)，即是整數(shù)，則3ab6是13的倍數(shù)，求

131313

出a8，再按照a從大到小的范圍討論求解即可．

【詳解】解：∵abcd是一個(gè)“友誼數(shù)”，

∴adbc9，

又∵bacb1，

∴b4，c5，

∴a3，d6，

∴這個(gè)數(shù)為3456；

∵M(jìn)abcd是一個(gè)“友誼數(shù)”，

∴M1000a100b10cd

1000a100b109b9a

999a90b99，

M

∴FM111a10b11，

9

∴FMabcd

13

111a10b1110ab10cd

13

111a10b1110ab109b9a

13

120ab110

13

117a3ab1046

13

3ab6

9a8，

13

FMabcd

∵是整數(shù)，

13

3ab63ab6

∴9a8是整數(shù)，即是整數(shù)，

1313

∴3ab6是13的倍數(shù)，

∵a、b、c、d都是不為0的正整數(shù)，且adbc9，

∴a8，

∴當(dāng)a8時(shí)，313ab638，此時(shí)不滿足3ab6是13的倍數(shù)，不符合題意；

當(dāng)a7時(shí)，283ab635，此時(shí)不滿足3ab6是13的倍數(shù)，不符合題意；

當(dāng)a6時(shí)，253ab632，此時(shí)可以滿足3ab6是13的倍數(shù)，即此時(shí)b2，則此時(shí)d3，c7，

∵要使M最大，則一定要滿足a最大，

∴滿足題意的M的最大值即為6273；

故答案為：3456；6273．

?考向四整式的乘除

解題技巧/易錯(cuò)易混

1.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘法則：將系數(shù)相乘作為積的系數(shù)，相同字母的冪相乘，單獨(dú)在一個(gè)單項(xiàng)式里的字母

連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

4.單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對(duì)于只在被除式里含有的字母，

則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式。

5.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。

考查角度1冪的運(yùn)算

8．（2024·廣東·中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

5

A．a(chǎn)2a5a10B．a(chǎn)8a2a4C．2a5a7aD．a(chǎn)2a10

【答案】D

【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘除法計(jì)算，冪的乘方計(jì)算，合并同類項(xiàng)，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的

關(guān)鍵．

【詳解】解：A、a2a5a7，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、a8a2a6，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、2a5a3a，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

5

D、a2a10，原式計(jì)算正確，符合題意；

故選：D．

2a2a2a2b2b2b

9．（2024·河北·中考真題）若a，b是正整數(shù)，且滿足，則a與b的關(guān)系正

8個(gè)2a相加8個(gè)2b相乘

確的是（）

A．a(chǎn)38bB．3a8bC．a(chǎn)3b8D．3a8b

【答案】A

【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方的運(yùn)算的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

8

由題意得：82a2b，利用同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方化簡(jiǎn)即可．

8

【詳解】解：由題意得：82a2b，

∴232a28b，

∴3a8b，

故選：A．

10．（2024·天津·中考真題）計(jì)算x8x6的結(jié)果為．

【答案】x2

【分析】本題考查同底數(shù)冪的除法，掌握同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：x8x6x2，

故答案為：x2．

考查角度2單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式

11．（2024·湖北·中考真題）2x3x2的值是（）

A．5x2B．5x3C．6x2D．6x3

【答案】D

【分析】本題主要考查單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法．運(yùn)用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算法則求出結(jié)果即可判斷．

【詳解】解：2x3x26x3，

故選：D．

考查角度3單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

12．（2024·甘肅蘭州·中考真題）計(jì)算：2a(a1)2a2（）

A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．2aD．2a

【答案】D

【分析】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)即可．

【詳解】解：2a(a1)2a2

2a22a2a2

2a

故選：D．

考查角度4多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

13．（2024·山東威海·中考真題）因式分解：x2x41．

2

【答案】x3

【分析】本題主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開，然后利用完全平方公

式分解因式即可．

【詳解】解：x2x41

x24x2x81

x26x9

2

x3

2

故答案為：x3．

考查角度5平方差公式

14．（2024·上海·中考真題）計(jì)算(ab)(ba)．

【答案】b2a2

【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】解：(ab)(ba)

(ba)(ba)

b2a2，

故答案為：b2a2．

【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．

考查角度5完全平方公式

11

15．（2024·黑龍江大慶·中考真題）已知a5，則a2的值是．

aa2

【答案】3

1

【分析】根據(jù)a5，通過平方變形可以求得所求式子的值．

a

1

【詳解】解：∵a5，

a

2

1

∴a5，

a

1

∴a225，

a2

1

∴a23，

a2

故答案為：3．

【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式．

?考向五整式的混合運(yùn)算

5

16．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：2mmm2m3m3，其中m．

2

【答案】4m9；1

【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算及其求值，先根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再代值求解即可．

【詳解】解：2mmm2m3m3

2mm22mm29

4m9．

55

當(dāng)m時(shí)，原式491091．

22

?考向一提公因式法因式分解

17．（2024·浙江·中考真題）因式分解：a27a

【答案】aa7

【分析】本題考查了提公因式法因式分解，先提公因式a是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：a27aaa7．

故答案為：aa7．

18．（2024·江蘇徐州·中考真題）若mn2，mn1，則代數(shù)式m2nmn2的值是．

【答案】2

【分析】本題考查代數(shù)式求值．先將代數(shù)式進(jìn)行因式分解，然后將條件代入即可求值．

【詳解】解：∵mn2，mn1，

m2nmn2mnmn212，

故答案為：2．

?考向二公式法因式分解

19．（2024·西藏·中考真題）分解因式：x24x4．

22

【答案】x2/2x

【分析】本題考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟練掌握完全平方公式是解此題的關(guān)鍵．

2

【詳解】解：x24x4x2，

2

故答案為：x2．

20．（2024·四川涼山·中考真題）已知a2b212，且ab2，則ab．

【答案】6

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，先把a(bǔ)2b212的左邊分解因式，再把a(bǔ)b2代入即可求出ab的

值．

【詳解】解：∵a2b212，

∴abab12，

∵ab2，

∴ab6．

故答案為：6．

2

21．（2024·陜西·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：xyxx2y，其中x1，y=2．

【答案】2x2y2，6

【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算以及求值．根據(jù)完全平方公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行運(yùn)算，再

合并同類項(xiàng)，最后代入即可求解．

2

【詳解】解：xyxx2y

x22xyy2x22xy

2x2y2；

當(dāng)x1，y=2時(shí)，

2

原式2122246．

bc

22．（2024·福建·中考真題）已知實(shí)數(shù)a,b,c,m,n滿足3mn,mn．

aa

(1)求證：b212ac為非負(fù)數(shù)；

(2)若a,b,c均為奇數(shù)，m,n是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．

【答案】(1)證明見解析；

(2)m,n不可能都為整數(shù)，理由見解析．

【分析】本小題考查整式的運(yùn)算、因式分解、等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)：考查運(yùn)算能力、推理能力、創(chuàng)新意

識(shí)等，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力．

（1）根據(jù)題意得出ba3mn,camn，進(jìn)而計(jì)算b212ac，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

（2）分情況討論，①m,n都為奇數(shù)；②m,n為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)，根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)結(jié)合

已知條件分析即可．

bc

【詳解】（1）解：因?yàn)?mn,mn，

aa

所以ba3mn,camn．

則b212ac[a3mn]212a2mn

a29m26mnn212a2mn

a29m26mnn2

a2(3mn)2．

因?yàn)閍,m,n是實(shí)數(shù)，所以a2(3mn)20，

所以b212ac為非負(fù)數(shù)．

（2）m,n不可能都為整數(shù)．

理由如下：若m,n都為整數(shù)，其可能情況有：①m,n都為奇數(shù)；②m,n為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)．

①當(dāng)m,n都為奇數(shù)時(shí)，則3mn必為偶數(shù)．

b

又3mn，所以ba3mn．

a

因?yàn)閍為奇數(shù)，所以a3mn必為偶數(shù)，這與b為奇數(shù)矛盾．

②當(dāng)m,n為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)時(shí)，則mn必為偶數(shù)．

c

又因?yàn)閙n，所以camn．

a

因?yàn)閍為奇數(shù)，所以amn必為偶數(shù)，這與c為奇數(shù)矛盾．

綜上所述，m,n不可能都為整數(shù)．

23．（2024·安徽·中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動(dòng)，研究了“正整數(shù)N能否表示為x2y2（x，y均為

自然數(shù)）”的問題．

(1)指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下（n為正整數(shù)）：

N奇數(shù)4的倍數(shù)

1120242202

3221283212

表示結(jié)果

53222124222

74232165232

95242206242

LL

2

一般結(jié)論2n1n2n14n______

按上表規(guī)律，完成下列問題：

（?。?4（）2（）2；

（ⅱ）4n______；

(2)興趣小組還猜測(cè)：像2，6，10，14，這些形如4n2（n為正整數(shù)）的正整數(shù)N不能表示為x2y2（x，y均

為自然數(shù)）．師生一起研討，分析過程如下：

假設(shè)4n2x2y2，其中x，y均為自然數(shù)．

分下列三種情形分析：

①若x，y均為偶數(shù)，設(shè)x2k，y2m，其中k，m均為自然數(shù)，

22

則x2y22k2m4k2m2為4的倍數(shù)．

而4n2不是4的倍數(shù)，矛盾．故x，y不可能均為偶數(shù)．

②若x，y均為奇數(shù)，設(shè)x2k1，y2m1，其中k，m均為自然數(shù)，

22

則x2y22k12m1______為4的倍數(shù)．

而4n2不是4的倍數(shù)，矛盾．故x，y不可能均為奇數(shù)．

③若x，y一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則x2y2為奇數(shù)．

而4n2是偶數(shù)，矛盾．故x，y不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)．

由①②③可知，猜測(cè)正確．

閱讀以上內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谇樾微诘臋M線上填寫所缺內(nèi)容．

22

【答案】(1)（?。?，5；（ⅱ）n1n1；

(2)4k2m2km

【分析】（1）（?。└鶕?jù)規(guī)律即可求解；（ⅱ）根據(jù)規(guī)律即可求解；

（2）利用完全平方公式展開，再合并同類項(xiàng)，最后提取公因式即可；

本題考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．

【詳解】（1）（?。┯梢?guī)律可得，247252，

故答案為：7，5；

22

（ⅱ）由規(guī)律可得，4nn1n1，

22

故答案為：n1n1；

（2）解：假設(shè)4n2x2y2，其中x，y均為自然數(shù)．

分下列三種情形分析：

①若x，y均為偶數(shù)，設(shè)x2k，y2m，其中k，m均為自然數(shù)，

22

則x2y22k2m4k2m2為4的倍數(shù)．

而4n2不是4的倍數(shù)，矛盾．故x，y不可能均為偶數(shù)．

②若x，y均為奇數(shù)，設(shè)x2k1，y2m1，其中k，m均為自然數(shù)，

22

則x2y22k12m14k2m2km為4的倍數(shù)．

而4n2不是4的倍數(shù)，矛盾．故x，y不可能均為奇數(shù)．

③若x，y一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則x2y2為奇數(shù)．

而4n2是偶數(shù)，矛盾．故x，y不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)．

由①②③可知，猜測(cè)正確．

故答案為：4k2m2km．

一、選擇題

1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）若abca，則括號(hào)中應(yīng)填入（）

A．bcB．bcC．bcD．bc

【答案】C

【分析】本題主要考查了添括號(hào)，添括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前是“”，添括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；若

括號(hào)前是“”，添括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)，據(jù)此求解即可．

【詳解】解：abcabc，

故選：C．

2．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）給出下列判斷：①在數(shù)軸上，原點(diǎn)兩旁的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)都互為相反數(shù)；

x2x

②多項(xiàng)式3xy2﹣4x3y12是三次三項(xiàng)式；③任何正數(shù)都大于它的倒數(shù)；④1變?yōu)?0x100x15利

0.50.3

用了等式的基本性質(zhì)．其中正確的說法有（）

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

【答案】B

【分析】本題主要考查相反數(shù)的概念、數(shù)軸的基本概念、等式的基本性質(zhì)、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的基本概念以

及倒數(shù)的概念。

根據(jù)相反數(shù)，可判斷①，根據(jù)多項(xiàng)式的項(xiàng)、次數(shù)，可判斷②，根據(jù)有理數(shù)的大小比較，可判斷③，根據(jù)

等式的性質(zhì)，可判斷④．

【詳解】解；①只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，故①錯(cuò)誤；

②多項(xiàng)式3xy2﹣4x3y12是四次三項(xiàng)式，故②錯(cuò)誤；

③小于1的正數(shù)小于它的倒數(shù)，故③錯(cuò)誤；

x2x

④1變?yōu)?0x100x15利用了等式的基本性質(zhì)，故④正確；

0.50.3

故選：B．

3．（2024·河南·一模）在學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域知識(shí)時(shí)，小明對(duì)代數(shù)式做如圖所示的分類，下列選項(xiàng)符合的

是（）

3a+b

A．B．C．a(chǎn)bD．2ab

ab3

【答案】B

【分析】本題考查代數(shù)式的分類，根據(jù)多項(xiàng)式的定義求解即可．

3

【詳解】A.是分式，故A選項(xiàng)不符合題意；

ab

a+b

B.是多項(xiàng)式，故B選項(xiàng)符合題意；

3

C.ab是無理式，故C選項(xiàng)不符合題意；

D2ab是單項(xiàng)式，故D選項(xiàng)不符合題意；

故選：B．

4．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）觀察下列按一定規(guī)律排列的n個(gè)數(shù)：x，3x2，5x3，7x4，……，按照上述規(guī)律，

第9個(gè)單項(xiàng)式是（）

A．9x9B．17x9C．17x10D．19x9

【答案】B

【分析】本題考查單項(xiàng)式中的規(guī)律問題，觀察已有單項(xiàng)式，得到第n個(gè)單項(xiàng)式為：2n1xn，進(jìn)而求出第9

個(gè)單項(xiàng)式即可．

【詳解】解：觀察已有單項(xiàng)式可知：第n個(gè)單項(xiàng)式為：2n1xn，

∴第9個(gè)單項(xiàng)式是：17x9；

故選B．

5．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）下列命題正確的是（）

A．對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形

B．“水漲船高”是隨機(jī)事件

C．單項(xiàng)式2xy2的次數(shù)是2

D．一元二次方程x2x30有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

【答案】A

【分析】本題考查了正方形的判斷定理，隨機(jī)事件與必然事件，單項(xiàng)式的次數(shù)，根的判別式，運(yùn)用相關(guān)知

識(shí)定理一一判斷即可．

【詳解】解：A、對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，正確，符合題意；

B、“水漲船高”是隨機(jī)事件，錯(cuò)誤，“水漲船高”是必然事件，選項(xiàng)不符合題意；

C、單項(xiàng)式2xy2的次數(shù)是2，錯(cuò)誤，單項(xiàng)式2xy2的次數(shù)是3，選項(xiàng)不符合題意；

D、一元二次方程x2x30有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，12430，錯(cuò)誤，選項(xiàng)不符合題意；

故選：A．

6．（2024·河北唐山·三模）與39522395552相等的是（）

2

A．3955B．39553955

22

C．3955D．39510

【答案】C

【分析】此題考查完全平方公式進(jìn)行因式分解，根據(jù)完全平方公式因式分解即可得答案．

2

【詳解】解：395223955523955，

故選：C．

2

7．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）下列運(yùn)算中，與2a2b2b運(yùn)算結(jié)果相同的是（）

223

A．2b2abB．8a2b3C．2ab3D．2a2b

【答案】A

【分析】本題考查了同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、合并同類項(xiàng)、積的乘方，根據(jù)同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、

合并同類項(xiàng)、積的乘方的運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)

鍵．

2

【詳解】解：2a2b2b2a2b4b28a2b3，

2

A、2b2ab2b4a2b28a2b3，故A符合題意；

B、8a2和b3不是同類項(xiàng)，故不能直接相加，故B不符合題意；

2

C、2ab34a2b34a2b3，故C不符合題意；

3

D、2a2b8a6b3，故D不符合題意；

故選：A．

8．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）小江去超市購物，打算購買一件商品，在結(jié)賬時(shí)遇到了問題（如圖），你選擇

的辦法是（）

A．先打折，再用券B．先用券，再打折

C．都一樣D．無法確定，取決于商品價(jià)格高低

【答案】A

【分析】本題考查了列代數(shù)式，整式加減的應(yīng)用．設(shè)商品標(biāo)價(jià)為x元，分別得到先打折，再用券以及先用券，

再打折需要支付的費(fèi)用，再比較即可求解．

【詳解】解：設(shè)商品標(biāo)價(jià)為x元，

先打折，再用券需要支付0.8x20元，

先用券，再打折需要支付0.8x20元，

0.8x200.8x2040，

即先打折，再用券比先用券，再打折更省錢，

故選：A．

9．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)定義一種新運(yùn)算“※”，對(duì)任意有理數(shù)m、n都有m※nmnmn，

則ab※ab（）

A．2ab22b2B．2a2b2b3C．2ab22b2D．2ab2ab2

【答案】B

【分析】該題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義列出等式．

原式利用題中的新定義計(jì)算即可得到結(jié)果．

【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：ab※ab

abababab

2babab

2ba2b2

2a2b2b3，

故選：B．

10．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）有n個(gè)依次排列的算式：第1項(xiàng)是a2，第2項(xiàng)是a22a1，用第2項(xiàng)減去第

1項(xiàng)，所得之差記為b1，將b1加2記為b2，將第2項(xiàng)與b2相加作為第3項(xiàng)，將b2加2記為b3，將第3項(xiàng)與b3

相加作為第4項(xiàng)，……，以此類推．某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)此展開研究，得到3個(gè)結(jié)論①b52a9；②若第6

2

項(xiàng)與第5項(xiàng)之差為4057，則a2024；③當(dāng)nk時(shí)，b1b2b3b4bk2akk；其中正確的個(gè)數(shù)是

（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】D

【分析】本題主要考查了完全平方公式，數(shù)字類的規(guī)律探索，整式的加減計(jì)算，根據(jù)所給計(jì)算方式，依次

求出第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，…，及b1，b2，b3，…，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．

【詳解】解：由題知，第1項(xiàng)為：a2，

2

第2項(xiàng)為：a22a1a1，

22

∴b1a1a2a1，

∴b2b122a3，

22

∴第3項(xiàng)為：a2a12a3a2，b3b222a5，

2

第4項(xiàng)為：a24a42a5a3，

…，

以此類推，

2

第n項(xiàng)為：an1，bn2a2n1（n為正整數(shù)）．

當(dāng)n5時(shí)，b52a9．故①正確．

22

第6項(xiàng)與第5項(xiàng)之差可表示為：a5a4，

22

∴a5a44057，

解得a2024．故②正確．

當(dāng)nk時(shí)，

b1b2b3bk

2a12a32a52a2k1

k12k1

2ak

2

2akk2．故③正確．

故選：D．

11．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）下列運(yùn)算正確的是（）

2

A．a(chǎn)6a2a3B．a(chǎn)2a24

3

C．2m28m6D．2ab3a2b5a3b2

【答案】C

【分析】本題考查整式的運(yùn)算，根據(jù)同底數(shù)冪的除法，完全平方公式，積的乘方，冪的乘方，合并同類項(xiàng)

的法則，逐一進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：A、a6a2a4，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

2

B、a2a24a4，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

3

C、2m28m6，原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；

D、2ab,3a2b不能合并，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

故選C．

12．（2024·重慶·一模）在多項(xiàng)式a(bc)d（其中abcd）中，對(duì)每個(gè)字母及其左邊的符號(hào)（不包

括括號(hào)外的符號(hào)）稱為一個(gè)數(shù)，即：a為“數(shù)1”，b為“數(shù)2”，c為“數(shù)3”，d為“數(shù)4”，若將任意兩個(gè)數(shù)

交換位置，后得到一個(gè)新多項(xiàng)式，再寫出新多項(xiàng)式的絕對(duì)值，這樣的操作稱為對(duì)多項(xiàng)式a(bc)d的“絕

對(duì)換位變換”，例如：對(duì)上述多項(xiàng)式的“數(shù)3”和“數(shù)4”進(jìn)行“絕對(duì)換位變換”，得到a(bd)c，將其化簡(jiǎn)后

結(jié)果為abcd，．下列說法：

①對(duì)多項(xiàng)式的“數(shù)1”和“數(shù)2”進(jìn)行“絕對(duì)換位變換”后的運(yùn)算結(jié)果一定等于對(duì)“數(shù)3”和“數(shù)4”進(jìn)行“絕對(duì)換位變

換”后的運(yùn)算結(jié)果；

②不存在“絕對(duì)換位變換”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；

③所有的“絕對(duì)換位變換”共有5種不同運(yùn)算結(jié)果．

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【分析】本題考查了整式的加減運(yùn)算，對(duì)于新定義的理解及絕對(duì)值的性質(zhì)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．按照所提供

的運(yùn)算，將所有存在的結(jié)果計(jì)算，即可解題．

【詳解】解：對(duì)多項(xiàng)式的“數(shù)1”和“數(shù)2”進(jìn)行“絕對(duì)換位變換”后的運(yùn)算，bacdabcd，故①

正確；

對(duì)多項(xiàng)式的“數(shù)1”和“數(shù)3”進(jìn)行“絕對(duì)換位變換”后的運(yùn)算，cbadabcd，

對(duì)多項(xiàng)式的“數(shù)1”和“數(shù)4”進(jìn)行“絕對(duì)換位變換”后的運(yùn)算，dbcaabcd或abcd

對(duì)多項(xiàng)式的“數(shù)2”和“數(shù)3”進(jìn)行“絕對(duì)換位變換”后的運(yùn)算，acbdabcd或abcd對(duì)多

項(xiàng)式的“數(shù)2”和“數(shù)4”進(jìn)行“絕對(duì)換位變換”后的運(yùn)算，adcbabcd，

綜上共4種結(jié)果，故③錯(cuò)誤；

其中存在“絕對(duì)換位變換”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等，故②錯(cuò)誤．

故選：B．

二、填空題

13．（2024·甘肅·三模）如果4x3yn1與3x3y是同類項(xiàng)，那么n．

【答案】2

【分析】本題主要考查了同類項(xiàng)的定義，所含字母相同，相同字母的指數(shù)也相同的單項(xiàng)式叫做同類項(xiàng)，據(jù)

此解答即可．

【詳解】解：根據(jù)題意得：n11，

n2，

故答案為：2．

12

14．（2024·福建廈門·二模）已知x1，則2x13xx1的值為．

x

【答案】2

【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算、代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)算法則，利用整體代入思想求解是解答的關(guān)

1

鍵．先根據(jù)x1得出x2x1，然后利用完全平方公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式化簡(jiǎn)原式，再整體代值求解

x

即可．

1

【詳解】解：∵x1，

x

∴x2x1，

2

2x13xx1

4x24x13x23x

x2x1

11

2．

15．（2024·湖北·一模）我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給

n

出了ab展開式的系數(shù)規(guī)律．

當(dāng)代數(shù)式x39x227x27的值為8時(shí)，則x的值為．

【答案】5

3

【分析】此題考查了多項(xiàng)式中乘法規(guī)律問題．觀察題中的圖表，表示出ab，根據(jù)已知代數(shù)式的值為8，

確定出x的值即可．

3

【詳解】解：根據(jù)題意得：aba33a2b3ab2b3，

x39x227x27

x33x2(3)3x(3)2(3)3

(x3)3，

(x3)38，

開立方得：x32，

解得：x5．

故答案為：5．

16．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）某班開展圖書交換閱讀活動(dòng)．甲、乙、丙三名同學(xué)有相同數(shù)量的圖書、甲同學(xué)

借給乙同學(xué)4本，丙同學(xué)借給乙同學(xué)2本，一段時(shí)間后，他們約定：乙同學(xué)須將手中甲、丙兩名同學(xué)現(xiàn)有

圖書數(shù)量總和的一半，借給甲同學(xué)，而后乙同學(xué)手上剩余圖書的數(shù)量為本．

【答案】9

【分析】本題主要考查了整式加減的意義，設(shè)一開始三名同學(xué)各有x本圖書，則甲、丙借完圖書給乙后乙

有圖書x42本，而甲、丙剩余圖書之和為x4x2，再根據(jù)題意列式求解即可．

【詳解】解：設(shè)一開始三名同學(xué)各有x本圖書，

x4x2

由題意得，乙同學(xué)手上剩余圖書的數(shù)量為x42x6x39本，

2

故答案為：9．

三、解答題

17．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為m，寬為n的矩形（mn）．用7張圖1中的小矩形紙片，

3

按圖2的方式無空隙不重疊地放在大矩形內(nèi)，未被覆蓋的部分用陰影表示．若大矩形的長(zhǎng)是寬的．

2

(1)求m與n的關(guān)系；

(2)若圖2中，大矩形的面積為18，求陰影部分的面積．

【答案】(1)m4n

26

(2)

3

【分析】本題考查列代數(shù)式、整式的加減、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、代數(shù)式求值，看懂圖形，正確列出代數(shù)式是

解答的關(guān)鍵．

（1）先根據(jù)圖形，用m、n表示出矩形的長(zhǎng)、寬，再根據(jù)長(zhǎng)和寬的關(guān)系可得結(jié)論；

（2）根據(jù)圖形，用m、n表示出大矩形的面積，進(jìn)而求得n2，進(jìn)而可得陰影面積的值．

【詳解】（1）解：由題意，大矩形的長(zhǎng)為m5n，寬為m2n，

3