高數(shù)大一基礎(chǔ)試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的零點(diǎn)個數(shù)是：

A.1個

B.2個

C.3個

D.無法確定

2.下列函數(shù)中，可導(dǎo)的是：

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=e^x

3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上一定存在：

A.最大值

B.最小值

C.極大值

D.極小值

4.設(shè)函數(shù)f(x)=x^2+2x+1，則f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)是：

A.2x+2

B.2x

C.x+2

D.x

5.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x=a處：

A.必定連續(xù)

B.必定有極值

C.必定有拐點(diǎn)

D.必定有導(dǎo)數(shù)

6.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f''(x)是：

A.6x-3

B.6x^2-3

C.6x

D.6

7.下列函數(shù)中，奇函數(shù)是：

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x^3

C.f(x)=|x|

D.f(x)=e^x

8.設(shè)函數(shù)f(x)=x^2+2x+1，則f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)在x=-1處的值是：

A.0

B.1

C.-1

D.2

9.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上一定存在：

A.最大值

B.最小值

C.極大值

D.極小值

10.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)在x=1處的值是：

A.0

B.1

C.-1

D.2

二、填空題（每題3分，共15分）

1.函數(shù)f(x)=x^2+2x+1的最小值是________。

2.函數(shù)f(x)=e^x的導(dǎo)數(shù)是________。

3.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，則f'(1)=________。

4.函數(shù)f(x)=x^2+2x+1的二階導(dǎo)數(shù)是________。

5.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，則f''(x)=________。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.求函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的導(dǎo)數(shù)。

2.求函數(shù)f(x)=x^2+2x+1的二階導(dǎo)數(shù)。

3.求函數(shù)f(x)=x^3-3x+2在x=1處的導(dǎo)數(shù)值。

四、計算題（每題10分，共20分）

1.計算定積分∫(0到π)sin(x)dx。

2.解微分方程dy/dx=x-y。

五、證明題（每題10分，共10分）

證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

六、應(yīng)用題（每題10分，共10分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求函數(shù)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)。

2.設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(x)=2x^2+5x+3，其中x為生產(chǎn)數(shù)量，求該產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.B

解析思路：f(x)=x^3-3x+2，f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1，f(-1)=4，f(1)=0，故有兩個零點(diǎn)。

2.C

解析思路：x^3和e^x都是可導(dǎo)的，而|x|和x^2在x=0時不可導(dǎo)。

3.A

解析思路：根據(jù)介值定理，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必定能取到最大值和最小值。

4.A

解析思路：f(x)=x^2+2x+1，f'(x)=2x+2。

5.A

解析思路：可導(dǎo)意味著連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。

6.A

解析思路：f(x)=x^3-3x+2，f'(x)=3x^2-3，f''(x)=6x。

7.B

解析思路：x^3是奇函數(shù)，因為f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)。

8.A

解析思路：f(x)=x^2+2x+1，f'(x)=2x+2，f'(-1)=0。

9.A

解析思路：根據(jù)介值定理，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必定能取到最大值和最小值。

10.A

解析思路：f(x)=x^3-3x+2，f'(x)=3x^2-3，f'(1)=0。

二、填空題（每題3分，共15分）

1.最小值是-1

解析思路：f(x)=x^2+2x+1，f'(x)=2x+2，令f'(x)=0，解得x=-1，f(-1)=(-1)^2+2(-1)+1=0，所以最小值是-1。

2.導(dǎo)數(shù)是e^x

解析思路：f(x)=e^x，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)是e^x。

3.f'(1)=-2

解析思路：f(x)=x^3-3x+2，f'(x)=3x^2-3，f'(1)=3(1)^2-3=0-3=-2。

4.二階導(dǎo)數(shù)是2

解析思路：f(x)=x^2+2x+1，f'(x)=2x+2，f''(x)=2。

5.f''(x)=6x

解析思路：f(x)=x^3-3x+2，f'(x)=3x^2-3，f''(x)=6x。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.求函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的導(dǎo)數(shù)。

解析思路：f(x)=x^3-3x+2，f'(x)=3x^2-3。

2.求函數(shù)f(x)=x^2+2x+1的二階導(dǎo)數(shù)。

解析思路：f(x)=x^2+2x+1，f'(x)=2x+2，f''(x)=2。

3.求函數(shù)f(x)=x^3-3x+2在x=1處的導(dǎo)數(shù)值。

解析思路：f(x)=x^3-3x+2，f'(x)=3x^2-3，f'(1)=3(1)^2-3=0。

四、計算題（每題10分，共20分）

1.計算定積分∫(0到π)sin(x)dx。

解析思路：∫(0到π)sin(x)dx=[-cos(x)](0到π)=-cos(π)+cos(0)=-(-1)+1=2。

2.解微分方程dy/dx=x-y。

解析思路：將微分方程改寫為y'+y=x，求積分因子e^(∫1dx)=e^x，乘以原方程得e^x(y'+y)=xe^x，兩邊同時積分得e^x(y)=∫xe^xdx+C，使用分部積分法得e^x(y)=e^x(x-1)+C，y=x-1+Ce^(-x)。

五、證明題（每題10分，共10分）

解析思路：根據(jù)介值定理，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必定能取到最大值和最小值。設(shè)M=f(a)，m=f(b)，則存在c∈(a,b)，使得f(c)=(M+m)/2。

六、應(yīng)用題（每題10分，共10分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求函數(shù)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)。

解析思路：f(x)=x^2-4x+3，f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2，f''(x)=2，f''(2)=