專題23圖形的相似與位似【十四大題型】

?題型梳理

【題型1利用比例的性質求值】.................................................................1

【題型2黃金分割】...........................................................................3

【題型3由平行線分線段成比例判斷式子正誤】..................................................4

【題型4平行線分線段成比例（A型）】........................................................5

【題型5平行線分線段成比例（X型）】........................................................7

【題型6平行線分線段成比例與三角形中位線綜合】..............................................8

【題型7平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線】............................................9

【題型8平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線】.............................................10

【題型9相似多邊形的性質】..................................................................11

【題型10畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形】.............................................13

【題型11求位似圖形的坐標】..................................................................15

【題型12求位似圖形的線段長度】..............................................................16

【題型13求位似圖形的周長】..................................................................17

【題型14求位似圖形的面積】..................................................................18

?舉一反三

【知識點圖形的相似與位似】

1.比例線段的相關概念

如果選用同一長度單位量得兩條線段a,b的長度分別為m,n,那么就說這兩條線段的比是，-=-

bn

或寫成a：b=m：n

在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項。

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡

稱比例線段

HC

若四條a,b,c,d滿足一=一或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做組成比例的項，線段a,d叫做比

bd

例外項，線段b,c叫做比例內項，線段的d叫做a,b,c的第四比例項。

ah

如果作為比例內項的是兩條相同的線段，即3=2或a：b=b：c,那么線段b叫做線段a,c的比例中

bc

項。

2.比例的性質

(1)基本性質

①a：b=c：d=ad=bc

②a：b=b：c=b2=ac

（2）更比性質（交換比例的內項或外項）

廠-=-（交換內項）

cd

acdc/一3小v、

_=__=—（父換外項）

bdba

-（同時交換內項和外項）

ca

（3）反比性質（交換比的前項.后項）：

——a=——c~~>b———d——

bdac

（4）合比性質：

aca+bc+d

—=一n------=-------

bdbd

（5）等比性質：

a_c_em,,,,c、a+c+e-\-------1-ma

=—(b+d+f+---+n^Q)=>---------------------=—

~b~~d~7nb+d+fH-------\-nb

3.黃金分割

把線段AB分成兩條線段AC,BC（AOBC）,并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金

分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=----------ABuO.618AB

2

4.平行線分線段成比例定理

三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

推論：

（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例。

逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平

行于三角形的第三邊。

（2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例。

5.相似多邊形

定義1：形狀相同的圖形叫做相似圖形。

定義2：兩個邊數相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊

形。相似多邊形對應邊的比叫做相似比。

性質相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例。

【題型1利用比例的性質求值】

【例1】（2023?浙江?統考中考真題）小慧同學在學習了九年級上冊“4.1比例線段”3節課后，發現學習內容

是一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當的數值，感受這種特殊化的學習過程.圖中橫線處應填—

當x=y=6時一7―b~\當@=▲時abI-

a=y_b=c=^

xc?b~c----------------?

比例線段出現比例中項線段出現特殊線段比

【答案】2

【變式1-1]（2023?四川甘孜?統考中考真題）若：=2,則子=.

【變式1-2]（2023?湖南岳陽?校考一模）己知X=且3久+4z-2y=40,貝卜的值為.

【變式1-3】（2023?浙江?模擬預測）用“▲”，“?”，“?”分別表示三種物體的重量，若;=彳=3,則

▲,?，?這三種物體的重量比為（）

A.2:3:4B.2:4:3C.3:4:5D.3:5:4

【題型2黃金分割】

【例2】（2023?廣東云浮?統考一模）如圖，在△4BC中，”=36。，AB=AC,以點3為圓心任意長為半徑

1

畫弧，分別交ZB,BC于點N,再分別以點M,N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點O,

連接BO,并延長交力C于點D,若48=2,貝UCD的長為（）

C.V5+1D.3+V5

【變式2-1]（2023?上海楊浦?統考一模）已知P是線段4B的黃金分割點，且AP>BP,那么下列等式能成立

的是（）

ABBP

A股=”B.

APBP~BP~AP

AP_AB_遮_]

C而一丁D.於一丁

【變式2-2]（2023?四川達州?統考中考真題）如圖，樂器上的一根弦4B=80cm,兩個端點4B固定在樂器

板面上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點。是靠近點4的黃金分割點，&D之間的距離為.

【變式2-3]（2023?安徽?統考模擬預測）如圖，為半圓。的直徑，點。為圓心，點C是弧上的一點，

沿C8為折痕折疊而交48于點連接CM,若點M為A8的黃金分割點,貝㈣n/BCM的值為

【題型3由平行線分線段成比例判斷式子正誤】

【例3】（2023?青海西寧?統考中考真題）如圖，在△ABC中，NACB=90。，分別以點/和點C為圓心,

大于的長為半徑作弧，兩弧相交于P,0兩點，作直線PQ交AB,AC于點。，E,連接CD.下列說法錯

誤的是（）

A.直線PQ是4C的垂直平分線B.CD=1AB

C.DE=^BC

D.S^ADE-.S^^^DBCE=1:4

【變式3-1]（2023?黑龍江哈爾濱?統考模擬預測）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊的中點，連

接DE,點尸為BC邊上一點，BF=2FC,連接力F交OE于點N,則下列結論中錯誤的是（）

A

AN1DN2AD1NE1

A?~AF~2B?~DE~SC.耘一萬D.7^-2

【變式3-2］（2023?黑龍江哈爾濱?統考模擬預測）如圖，△/8。中，。是/8邊上一點，。切|8。交/。于點

E,連接BE,DFIIBE交4;于點月則下列結論錯誤的是（）.

A---=—R—=—C—=—T）—=—

BDECAEBEECFEBCFE

【變式3-3］（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱德強學校?？寄M預測）如圖，在平行四邊形ZBCD中，E、F分

別是力D、CD邊上的點，連接BE、AF,它們相交于點G,延長BE交CD的延長線于點H,下列結論錯誤的是

（）

“AEBEcEHDHEG_AE—AGBG

A———B—=一

?EDEHEBCDC.D—FG=—GH

【題型4平行線分線段成比例（A型）】

【例4】（2023?湖北恩施?統考中考真題）如圖,在△4BC中，DEII8C分別交AC,AB于點。，E,EF||2C交

BC于點R=BF=8,貝UDE的長為()

DC□

A

A.yB.yC.2D.3

【變式4-1]（2023?遼寧沈陽?校考一模）如圖，在△ABC中，點。、E分另U在4B、4C上，連接。E,DE\\

BC,2E=4,AD=3,CE=2,貝/。的長為（）

A

A.1.5B.V2C.V3D.2

【變式4-2]（2023?湖北武漢?校聯考模擬預測）如圖，某一時刻太陽光從窗戶射入房間內，與地面的夾角

ADPC=30°,已知窗戶的高度4F=2m,窗外水平遮陽篷的寬力D=0.8m,則灑在地面上光線"的寬度為一

m（參考數據值=1.732,結果精確到0.1）.

【變式4-3]（2023?全國?一模）剪紙是中國的傳統文化之一.如圖1,將長為12cm,寬為5cm的矩形紙片

剪成4張小紙片、分別記為“①，②，③，④”.若這四張小紙片恰好能拼成如圖2所示的矩形，則在“小

紙片①”中，較長直角邊=cm.

圖1圖2

【題型5平行線分線段成比例（X型）】

【例5】（2023?廣西貴港?統考一模）如圖，廠是矩形4BCD的邊CO上一點,射線BF交2D的延長線于點E,

已知DE=2BC=4,CD=6,求BP的長（）

AB

A.2V2B.3C.V13D.V5

【變式5-1］（2023?北京?統考中考真題）如圖，直線4D,3c交于點O,4B||EF||CD.若4。=2,0F=l,

【變式5-2］（2023?安徽滁州?統考二模）如圖，在△A8C中，點。、E分別在邊AB、4C的反向延長線上,

^.DEWBC.若2E=2/C=4,AB=S,貝!的長為

ED

【變式5-3］（2023?重慶渝中?統考一模）已知口4BCD,點E是82延長線上一點，CE與4D,分別相交

于點G,F.求證：CF2=EF-GF.

￡

------^1）

//

【題型6平行線分線段成比例與三角形中位線綜合】

【例6】（2023?安徽滁州?統考二模）如圖，G為△NBC的重心，AG=12,則AD=.

【變式6-1］（2023?湖南湘潭?模擬預測）如圖，平行四邊形力BCD的對角線AC、BD相交于點O,0EII4B交AD

于點E.若。4=2,△AOE周長為10,則平行四邊形力BCD的周長為（）

A.16B.32C.36D.40

【變式6-2］（2023?寧夏銀川??？家荒＃┤鐖D，在口力BCD中，AB=5,BC=8.E是邊BC的中點，F是口ABCD

內一點，1.ZBFC=90°.連接4F并延長，交CD于點G.若，貝3G的長為（）

5

A.B.C.3D.2

2

【變式6-3］（2023?山東聊城?統考二模）如圖，在正方形ABCD中，按如下步驟作圖：①連接AC,BD相交

于/點。；②分別以點8,C為圓心、大于匏C的長為半徑畫弧，兩弧相交于點￡；③連接。E交于點尸;

④連接4F交B。于點G.若4。=4五,則。G的長度為（）

A.1B.2C.1D.V2

【題型7平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線】

【例7】（2023?湖北武漢??？寄M預測）△4BC中，^BAC=90°,D、E分別是力B、4c上的點,CE=2,

CA=5,AD=4,BD=|,貝Usin/DOB的值是.

【變式7-1］（2023?廣東深圳?統考模擬預測）如圖，在△ABC中，。為BC邊的中點，點￡在線段2D上，BE

的延長線交力C邊于點尸，若4E：ED=1:3,AF=2,則線段FC的長為

A

F

【變式7-2］（2023?安徽宿州??？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，CG平分N4CB,過點4作4"1CG交BC于點

H,且“是BC的中點.若4"=4,CG=6,則的長為.

【變式7-3］（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第六十九中學校?？既＃┤鐖D，在△ABC中，48=9,

乙B=2乙C,ADLBC,4E是BC邊上中線，則線段DE=

【題型8平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線】

【例8】（2023?浙江?一模）如圖，菱形力BCD中，點E是CD的中點，EF垂直4B交力B延長線于點F,若定=

EF=2V5,則菱形的邊長是（）

A.3V5B.^V5C.5D.6

【變式8-1］（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第四十九中學校?？家荒＃┰凇鰽BC中，乙48c=45。，AK1BC

,2

于點點在上，為的中點，為的中點，若則線段

K,M2KCK=KM,tan^KAC=~q,NBMGACBC=14,NG

的長為

【變式8-2］（2023?河南商丘?校考二模）如圖，RtzXABC中，乙4=90。，AC=5,AB=12,將△ABC繞

點C逆時針旋轉力（0。＜］＜90。），得到△DEC,點/,2的對應點分別為。，E,射線ED分別交BC,AB

于點RM,當aMPB為等腰三角形時，AM的長為.

【變式8-3］（2023?黑龍江綏化??？寄M預測）如圖，點P是△ABC內部一點，且PA=PB=PC,"8C=45

°,點D在AC上，連接OP并延長交BC于點E,若CD=3AD,^APD=ACBP,PE=V7則線段PD的長為.

【題型9相似多邊形的性質】

【例9】（2023?上海虹口?統考一模）如圖，四邊形的頂點在方格紙的格點上，下列方格紙中的四邊形與己

知四邊形相似的是（）

L____I____1______I

【變式9-1］（2023?浙江寧波?校聯考三模）如圖，口ABCDFEFGH,AB\\EF,記四邊形N5FE、四邊形

BCGF、四邊形CD8G、四邊形的面積分別S”S2,S3,S4,若已知口48CD和C7EFG”的面積，則

不用測量就可知的區域的面積為（）

A.Sj-S2B.Sj+S3C.S4-S2D.S3+S4

【變式9-2］（2023?河北衡水?統考一模）在研究相似問題時，甲、乙兩同學的觀點如下：

甲：將邊長為4的菱形按圖1的方式向外擴張，得到新菱形，它們的對應邊間距為1,則新菱形與原菱形相

似.

乙：將邊長為4的菱形按圖2方式向外擴張，得到新菱形，每條對角線向其延長線兩個方向各延伸1,則新

菱形與原菱形相似；

對于兩人的觀點，下列說法正確的是（）.

A.兩人都對B.兩人都不對C.甲對，乙不對D.甲不對，乙對

【變式9-3］（2023?河北石家莊?統考三模）對于題目：“在長為6,寬為2的矩形內，分別剪下兩個小矩形,

使得剪下的兩個矩形均與原矩形相似，請設計剪下的兩個矩形周長和為最大值時的方案，并求出這個最大

值.”甲、乙兩個同學設計了自認為滿足條件的方案，并求出了周長和的最大值.

甲方案：如圖1所示，最大值為16；

乙方案：如圖2所示，最大值為16.

下列選項中說法正確的是（）

A.甲方案正確，周長和的最大值錯誤

B.乙方案錯誤，周長和的最大值正確

C.甲、乙方案均正確，周長和的最大值正確

D.甲、乙方案均錯誤，周長和的最大值錯誤

【題型10畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形】

【例10】(2023?安徽蕪湖?統考一模)如圖，△ABC的頂點都在網格點上，點2的坐標(—2,1).

(1)以點。為位似中心，把△ABC按2:1放大在y軸的左側，畫出放大后的△DEF；

(2)點A的對應點D的坐標是；

(3)S〃BO：S四邊形B4ED=-

【變式10-1】(2023?廣西防城港?統考三模)如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方格的邊長都是1個單

位長度，已知的頂點坐標為2(—6,4),B(-2,6),4—4,2).

⑴畫出△ABC沿著x軸向右平移5個單位長度得到的△41比的；

1

(2)以原點O為位似中心，將△A8C縮小為原來的萬，請在位似中心同側畫出縮小后的△AB2c2.

(3)直接寫出線段的長.

【變式10-2】(2023?安徽合肥?統考二模)如圖，在平面直角坐標系中，△4BC的三個頂點的坐標分別為

⑴以點。為對稱中心，畫出△ABC關于原點。成中心對稱的圖形△力1B1Q(其中4與B與Bi，。與的是

對應點)；

⑵以點D(—2,1)為位似中心，將△4BC放大2倍得到△2c2(其中力與4，B與B2,C與C?是對應點)，

且寫出點心的坐標.

【變式10-3】(2023,廣西桂林,統考一模)如圖，△A8C在平面直角坐標系內三頂點的坐標分別為4(-1,2),

⑴畫出△28C關于〉軸對稱的△力道1射；

(2)以點3為位似中心，在點2的下方畫出2c2，使△七⑶2c2與△ABC位似，且位似比為3：1；

⑶直接寫出點21，。2的坐標.

【題型11求位似圖形的坐標】

【例11】(2023?山東日照??？既?如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點/在第二象限，點8坐

標為(-2,0),點C坐標為(―1,0),以點C為位似中心，在x軸的下方作△4BC的位似圖形△4B￡.若

點/的對應點4的坐標為(2,-3),點2的對應點夕的坐標為(1,0),則點/坐標為()

A.(3,-2)B.(―2,|)C.(-|,|)D.

【變式11-1】(2023?浙江嘉興?統考中考真題)如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為2(1,2),B

(2,1),C(3,2),現以原點。為位似中心，在第一象限內作與△4BC的位似比為2的位似圖形△49則頂

【變式11-2](2023?遼寧盤錦?統考中考真題)如圖，△AB。的頂點坐標是4(2,6),5(3,1),0(0,0),以點。

為位似中心，將△48。縮小為原來的，得到△AB。，則點4的坐標為.

【變式11-3】（2023?江蘇鹽城?統考二模）如圖，以點C（0,l）為位似中心，將△4BC按相似比1:2縮小，得

到△DEC,則點4（2,-1）的對應點D的坐標為.

【題型12求位似圖形的線段長度】

【例12】（2023?廣東湛江?嶺師附中校聯考三模）如圖，在平面直角坐標系中，與△DEF是以坐標

原點。為位似中心的位似圖形，若從-2,0）,。（3,0）,且4=2也則線段DF的長度為（）.

A.2V2B.3V2C.4V2D.6立

【變式12-1】（2023?河南周口?校聯考二模）如圖，在中，Z.B=90°,48=2,B。=2遮，以點。

為位似中心，將△40B縮小為原圖形的《得到△COD,則OC的長度是（）

A.2B.3C.2.5D.3.5

【變式12-2】（2023?江蘇南京?統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別是4（2,2）,

B（4,2）,C（4,4）,以原點為位似中心，在原點的異側畫使△DEF與△48C成位似圖形，且相似比

為1:2,則線段。尸的長度為（）

c.2V2D.4

【變式12-3】（2023上?吉林長春?九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，△04B的頂點為。（0,0

,a（4,3）,B（3,0）,以點。為位似中心，在第三象限內作與△04B的位似比為9的位似圖形△OCD,則

【例13】（2023?山東荷澤?統考三模）如圖，△ABC和