第三章函數

重難點05涉及二次函數的圖形變化類問題，

與二次函數有關的創新類問題

(2種命題預測+7種題型匯總+專題訓練+3種解題方法)

【題型匯總】

平移螞奐

類型一涉及二次函數的圖形變化類問題

題型01平移變換

平移方式(n>0)一般式j=6'-bt-c頂點式r-.I；1,F鹿平移口訣

?*.*

.1=a(x-%+〃/+*，頂點坐標(h-n,k)左加

向左平移n個單位\+b(:v-n)+c

向右平移n個單位j=,(x-n)+b(x-n)+c\=O(X-71-\--：、頂點坐標(h+n，k)右減

向上平移n個單位：二m、、-'?「+Z-,頂點坐標(h,k+n)上加

向下平移n個單位“一=謹卡+;物緯尊一用yM試-減.醇忌-跳，頂點坐標(h,k-n)下減

1.(2023?浙江紹興?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=a/+法+3圖象的對稱軸是直

線％=-1,圖象與無軸交于4B兩點，點B坐標為(1,0),直線y=久+幾經過點B,且與y軸交于點C.

⑴填空：a=；b=；n=.

(2)將該二次函數圖象向右平移6個單位，使拋物線頂點M落在直線BC上，試求小的值.

(3)在(2)的條件下，設P(t,O)是x軸上的一動點，若AMBP外接圓的圓心落在平移后的拋物線內部，試求t的

取值范圍.

【答案】(1)—1;一2；-1

(2)m=6

(3)10-V17<t<10+V17

【分析】(1)將點8坐標代入直線y=x+n中求出期根據二次函數的對稱軸和經過點(1,0)得到方程組，解

方程即可求出a、b；

(2)將拋物線化為頂點式，平移后得到平移后的頂點坐標，再將頂點坐標代入直線求解y=x+n；

(3)先求出平移后的解析式，設拋物線對稱軸與x軸交于點N,根據題意易得到AMBP外接圓的圓心必在邊

BM的中垂線上，設該中垂線交拋物線于點E,F,進而求出點E,F的坐標，過點E,F分別作％軸的垂線，

垂足分別為K,Q,得到這兩點的橫坐標，進而求出A和P2的橫坐標，即可求出t的取值范圍.

【詳解】(1)解：?.?點B坐標為(1,0)，直線y=x+n經過點B,

0=1+

ZI=1.

???二次函數y=ax2+b%+3圖象的對稱軸是直線％=-1,8(1,0)是二次函數y=ax2+bx+3圖象是的點,

----=-1,0=a+b+3,

聯立組成方程組為｛b=2a

a+b+3=0

解得｛a=-1

b=-2'

故答案為：—1；—2；—1.

(2)解：由題意知：拋物線解析式為y=---2x+3,即y=—(x+I/+4.

將y=—(%+I)2+4的圖象向右平移m個單位后得到y=-(x+1-m)2+4,

其頂點坐標為MO-1,4).

.頂點M恰好落在直線y=x-1上,

4—m—1—1,

m=6.

(3)解：由題意知：平移后的拋物線解析式為y=5)2+4,頂點M(5,4).

設拋物線對稱軸與x軸交于點N.

BN=NM=4,

.?.△8NM為等腰直角三角形.

???P點在%軸上，

則^外接圓的圓心必在邊的中垂線上.

設該中垂線交拋物線于點凡F.

由”(5,4),<8(1,0)可知線段“8的中點坐標為(3,2),

N(5,0),故可求得該中垂線解析式為VEN=-%+5.

???解方程組/=一(”—？：+4

Iy=—%+5

解得：”=下.

即E,F兩點的橫坐標分別為用竺，叫嚴.

過點E,尸分別作x軸的垂線，垂足分別為K,Q,

則K,Q兩點的橫坐標分別為生巨，筆竺.

11-V179-V17

???KB-1=

22

???P/=2KB=2X=9-V17.

從而B點的橫坐標為10-V17.

同理QB=/上-1=-.

P2B=2QB=2x=9+V17.

從而P2點的橫坐標為10+V17.

??.t的取值范圍是10-V17<10+V17.

【點晴】本題主要考查了二次函數的綜合，二次函數的圖象和性質，函數解析式的求法，二次函數平移規

律，二次函數與一次函數的交點，理解相關知識是解答關鍵.

2.(2023?山東青島?中考真題)許多數學問題源于生活.雨傘是生活中的常用物品，我們用數學的眼光觀察

撐開后的雨傘(如圖①)、可以發現數學研究的對象一拋物線.在如圖②所示的直角坐標系中，傘柄在y

軸上，坐標原點。為傘骨04OB的交點.點C為拋物線的頂點，點A,B在拋物線上，。4OB關于y軸

對稱.。。=1分米，點A到x軸的距離是0.6分米，A,2兩點之間的距離是4分米.

圖①圖②

(1)求拋物線的表達式；

(2)分別延長40,B。交拋物線于點RE,求E,尸兩點之間的距離；

(3)以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為將拋物線向右平移爪(6>0)個單位，得到一條

新拋物線，以新拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為S2.若S2=|S],求機的值.

【答案】(l)y=-0.1/+i；

(2)10

(3)2或4；

【分析】(1)根據題意得到C(0,l),4(206),B(-2,0.6),設拋物線的解析式為y=a(x-八/+k代入求解

即可得到答案；

(2)分別求出40,8。所在直線的解析式，求出與拋物線的交點RE即可得到答案；

(3)求出拋物線與坐標軸的交點得到S「表示出新拋物線找到交點得到S2,根據面積公式列方程求解即可

得到答案；

【詳解】(1)解：設拋物線的解析式為y=a(x—h)2+k,由題意可得，

C(O,1),4(2,0.6),B(-2,0.6),

:?h=0,fc=1,

把點A坐標代入所設解析式中得：4a+1=0.6,

解得：a=-0.1,

?*.y=-0.1%2+1；

(2)解：設4。的解析式為：y=七％,8。的解析式為：y=k?x,

分另I」將』(2,0.6),8(—2,0.6)代入丫=攵6，y=卜2N得,

2kl=0.6,—2fc2=0.6,

解得：k]=0.3,k2=-0.3,

???4。的解析式為：y=0.3x,8。的解析式為：y=-0.3x,

聯立直線解析式與拋物線得：0.3x=-0.1x2+l,

解得汽1=-5/&=2(舍去)，

同理，解—0.3%=—0.1%2+1,得第3=5,第4=-2(舍去)，

???/(-5,-1.5),E(5,-1.5),

:.E,尸兩點之間的距離為：5-(-5)=10；

(3)解：當y=0時，-0.1久2+1=。，

解得：%=±710,

.?.Si=1x[VTo-(-V10)]x1=V10,

???拋物線向右平移血(血＞0)個單位，

??y——0.1(%—m)2+1,

當％=0時，y=-0.1m2+1,

當y=0時，—0.1(%—m)2+1=0,解得：x=+V10+m,

:$=jx[V10+m-(-V10+m)]x|-0,1m2+l|=V10|-0.1m2+1|,

?3=沁

AIxVlO=V10|-0.1m2+1|,

解得：=2,m2=-2(不符合題意舍去)，m3=4,m4=-4(不符合題意舍去)，

綜上所述：相等于2或4；

【點睛】本題考查二次函數綜合應用，解題的關鍵是熟練掌握函數與坐標軸的交點求法及平移的規律：左

加右減，上加下減.

3.(2024?山東泰安?中考真題)如圖，拋物線C1:y=a/+1刀一4的圖象經過點與x軸交于點A,

(1)求拋物線G的表達式；

(2)將拋物線Q向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線C2,求拋物線C2的表達式，并判斷點。是

否在拋物線上；

(3)在x軸上方的拋物線C2上，是否存在點P,使APB。是等腰直角三角形.若存在，請求出點P的坐標；若

不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=I、+梟一4

2

(2)C2:y=-g,點。在拋物線C2上

⑶存在,點P的坐標為：(2,2)或(—1,3)

【分析】本題主要考查了求二次函數的解析式、二次函數與幾何的綜合、二次函數圖像的平移等知識點，

靈活利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來成為解題的關鍵.

(1)將點Q的坐標代入拋物線表達式y=a/+1x—4,求得a的值即可；

2

(2)由題意得：C2:y=|(%-I)+1(x-1)-4+3=|(x-一,，當x=l時，/=|［一§-=

即可判斷點D是否在拋物線上；

(3)分NB4P為直角、NDBP為直角、NHPD為直角三種情況，分別運用全等三角形的判定與性質，進而確

定點E的坐標，進而確定點P的坐標.

【詳解】⑴解：將點。的坐標代入拋物線表達式y=a/+打—4得：—l=a+：4,解得：a=|,

則拋物線的表達式為：y=|x2+^x-4.

2

⑵解：由題意得：C2:y=|(x-I)+1(x-1)-4+3=|-0-1|,

當萬=1時,===

故點。在拋物線的上.

(3)解：存在，理由如下：

①當NB4P為直角時，如圖1,過點。作DE1BDS.DE=BE,則4BDE為等腰直角三角形,

.-./.BDG=乙DEH,

???4DGB=乙EHD=90°,

DGB三△EHD(AAS),

：.DH=BG=1,EH=GD=1+2=3,

二點E(2,2),

當#=2時,7=|(^-|)2-||=|(2-|)2-g=2,即點E在拋物線C2上,

二點P即為點E(2,2)；

②當N。8P為直角時，如圖2,

同理可得：△BGE=△DHBQAAS),

：.DH=3=BG,BH=1=GE,

...點E(—l,3),

125f__3\219

當％=_1時，y=|(%一|)=13,

153\5715

...點E在拋物線。2上，

.,.點P即為點E(—1,3)；

③當N”PD為直角時，如圖3,

同理可得：AEHBmADGEOIAS),

：.EH=x+2=GD=y+1且BH=y=GE=1-x,解得：x=0且y=1,

...點E(0,l),

19

當X=0時，y=gx219_52±1

-l15-3

即點E不在拋物線C2上;

綜上，點P的坐標為：(2,2)或(—1,3).

4.(2023?湖南岳陽?中考真題)已知拋物線Q/y=-x2+bx+c與x軸交于4(-3,0),B兩點，交y軸于點C(0,3).

(2)如圖1,在y軸上有一點。(0,-1),點E在拋物線Qi上，點F為坐標平面內一點，是否存在點E,F使得四邊

形D4EF為正方形？若存在，請求出點民F的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,將拋物線Qi向右平移2個單位，得到拋物線(22,拋物線(22的頂點為K,與％軸正半軸交于點H,

拋物線Qi上是否存在點P,使得乙CPK=4CHK?若存在，請求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(Dy=-x2-2x4-3

(2*(-2,3)；尸(1,2)

(3)點P的坐標為(1,0)或(一2,3)

【分析】(1)把4(—3,0),C(0,3)代入Qi：y=-工2+bx+c,求出b=—2,c=3即可；

(2)假設存在這樣的正方形，過點E作ER于點R,過點/作尸/軸于點/,證明△EAR=^AOD,LFID=

KDOA,可得ER=3,4R=1,F/=L/。=2,故可得E(-2,3),F(l,2)；

(3)先求得拋物線(22的解析式為丫=-0+1-2)2+4=-。-1)2+4,得出K(l,4),H(3,0),運用待定

系數法可得直線BC的解析式為y=-x+3,過點K作KT1y軸于點T,連接BC,設KP交直線BC于M或N,

如圖2,過點C作PS，y軸交8K于點S,交拋物線g于點P,連接PK,利用等腰直角三角形性質和三角函數

定義可得tan/CHK=鳥=23進而可求得點P的坐標.

CH3v23

【詳解】(1):拋物線Qi：y=—/+〃+c與x軸交于4(—3,0),兩點，交y軸于點C(0,3),

把力(一3,0),C(0,3)代入Qi：y=-/+bx+c,得，

C—9—3b+c=0

Ic=3'

解得，F=V，

Ic=3

，解析式為：y=—x2—2%+3；

(2)假設存在這樣的正方形如圖，過點E作于點凡過點尸作F/，y軸于點/,

：.Z.AER+Z.EAR=90。，

???四邊形D4EF是正方形,

：.AE=AD,LEAD=90。,

：.AEAR^^DAR=90°f

：./-AER=^LDAO,

又乙ERA=2LAOD=90。，

△AERDAO,

：.AR=DO,ER=AO,

???/(—3,0),D(0,—l),

???OA=3,OD=1,

AR=1,ER=3,

：.OR=OA-AR=3-1=2,

??倒-2,3)；

同理可證明："ID三MDOA,

：.FI=DO=1,DI=AO=3,

：.IO=DI-DO=3-1=2,

???F(1,2)；

(3)解：拋物線Qi上存在點P,使得匕CPK=￡CHK.

y=—x2—2%+3=—(%+l)2+4,

???拋物線Qi的頂點坐標為(-1,4),

???將拋物線Qi向右平移2個單位，得到拋物線Q2，

???拋物線Q2的解析式為y=-(%+1-2)2+4=-(%-I)2+4,

???拋物線Q2的頂點為K,與無軸正半軸交于點”，

???K(L4),”(3,0),

設直線BC的解析式為y=依+n,把C(0,3),H(3,0)代入得卜k；：：0,

解得：9=工1，

I71=3

直線BC的解析式為y=-x+3,

過點K作KTly軸于點7,連接BC,設KP交直線BC于M或N,如圖2,過點C作PS1y軸交BK于點S,交拋

物線Qi于點P，連接PK,

則7(0,4),M(m,-m+3),N(t,—1+3),

圖2

???KT=TC=1,乙KTC=90°,

.?.△CK7是等腰直角三角形,

???4KCT=45°,CK=y/2KT=夜,

OH=OC=3,Z-COH=90°,

.?.△C。”是等腰直角三角形,

???乙HCO=45°,CH=V20C=3夜,

.-.Z.KCH=180°-4KCT-Z.HCO=90°,

??.tan"HK=霽=磊1

3

???4CPK=乙CHK,

1

???tanZ-CPK=tan乙CHK

3

vtanzFCO=^=i

???乙BCO=乙CHK,

?「BKIIOC,

???乙CBK=乙BCO,

???乙CBK=乙CHK,

即點尸與點B重合時，乙CPK=CCHK,

*-*Pi(l.O)；

VSK=1,PS=3,

「「〃SK

■■■^CPK=-=1-,

???4CPK=ACHK,

???點P與點C關于直線％=-1對稱，

P(-2,3)；

綜上所述，拋物線名上存在點P,使得NCPK=NCHK,點P的坐標為(1,0)或(-2,3).

【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求解析式，二次函數的性質，全等三角形的判定與性

質，正方形的性質等知識，運用數形結合思想解決問題是解題的關鍵.

題型02旋轉變換

5.(2022?四川資陽?中考真題)已知二次函數圖象的頂點坐標為4(1,4),且與x軸交于點B(—1,0).

(1)求二次函數的表達式；

(2)如圖，將二次函數圖象繞無軸的正半軸上一點P(m,0)旋轉180。，此時點4、B的對應點分別為點C、D.

①連結力B、BC、CD.DA,當四邊形4BCD為矩形時，求機的值；

②在①的條件下，若點M是直線尤=山上一點，原二次函數圖象上是否存在一點。，使得以點8、C、M、

。為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點0的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=-(%-I)2+4(或y=-x2+2x+3)

(2)①m=4,②存在符合條件的點。，其坐標為(-4,-21)或(2,3)或(12,-117)

【分析】(1)根據二次函數的圖象的頂點坐標，設二次函數的表達式為丫=磯式—1)2+4,再把8(—1,0)代

入即可得出答案；

(2)①過點4(1,4)作4E1x軸于點E,根據NB4D=/.BEA=90°,又因為=^DBA,證明出△BAE-

XBDA,從而得出AB?=BE?8。，將BD=2(m+l),BE=2,4E=4代入即可求出機的值；

②根據上問可以得到C(7,—4),點M的橫坐標為4,5(-1,0),要讓以點8、CM、。為頂點的平行四邊形，

所以分為三種情況討論：1)當以BC為邊時，存在平行四邊形為BCMQ；2)當以BC為邊時，存在平行四邊

形為BCQM；3)當以BC為對角線時，存在平行四邊形為BQCM；即可得出答案.

【詳解】(1):二次函數的圖象的頂點坐標為4(1,4),

.?.設二次函數的表達式為y=a(x-l)2+4,

又,:8(—1,0),0=a(-1—l)2+4,

解得：a=-1,

Ay=—(%—l)2+4(或y=—x2+2%+3)；

(2)①??,點尸在％軸正半軸上，

m>0,

.\BP=m+1,

由旋轉可得：BD=2BP,

：.BD=2(m+1),

過點4(1,4)作AE1%軸于點E,

：.BE=2,AE=4,

在ABE中，AB2=BE2+AE2=22+42=20,

當四邊形ZBCD為矩形時，AD1AB,

：.^BAD=乙BEA=90°,

又上ABE=々DBA,

△BAEBDA,

：.AB2=BE?BD,

A4(m+1)=20,

解得租=4;

②由題可得點2(1,4)與點C關于點P(4,0)成中心對稱，

.\C(7,-4),

:點M在直線x=4上，

.??點M的橫坐標為4,

存在以點2、C、。為頂點的平行四邊形，

1)、當以為邊時，平行四邊形為BCMQ,

點C向左平移8個單位，與點3的橫坐標相同，

將點M向左平移8個單位后，與點。的橫坐標相同,

Q(-4,yJ代入y=-x2+2x+3,

解得：y1=—21,

Q(—4,—21),

2)、當以BC為邊時，平行四邊形為BCQM,

點8向右平移8個單位，與點C的橫坐標相同，

...將M向右平移8個單位后，與點。的橫坐標相同，

(2(12,%)代入y=-x2+2%+3,

解得：y2=-117,

.".(2(12,-117),

3)、當以BC為對角線時，

點M向左平移5個單位，與點8的橫坐標相同，

/.點C向左平移5個單位后，與點。的橫坐標相同，

Q(2,y3)代入y=-x2+2x+3,

得：y3=3,

???(2(2,3),

綜上所述，存在符合條件的點。其坐標為(-4,一21)或(2,3)或(12,-117).

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的性質，中心對稱，平行四邊形的存在性

問題，矩形的性質，熟練掌握以上性質并作出輔助線是本題的關鍵.

6.(2024?山東煙臺?中考真題)如圖，拋物線％=a/+b%+c與x軸交于4B兩點，與y軸交于點C,OC=OA,

AB=4,對稱軸為直線匕a=-1,將拋物線乃繞點。旋轉180。后得到新拋物線火，拋物線內與>軸交于點。，

頂點為E,對稱軸為直線

(1)分別求拋物線外和力的表達式；

(2)如圖1,點尸的坐標為(一6,0),動點M在直線4上，過點M作MNIIx軸與直線％交于點N,連接FM,DN.求

FM+MN+DN的最小值；

(3)如圖2,點H的坐標為(0,-2),動點尸在拋物線力上，試探究是否存在點P，使乙PEH=24DHE?若存在，

請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

22

【答案】⑴乃=-x-2x+3,y2=x-2x-3

(2)2+3V5

(3)存在,P(3，。)或P島-黑

【分析】(1)先求出點A、8、C坐標，再用待定系數法求出拋物線y1的表達式，求出其頂點坐標，由旋轉

可知拋物線％的二次項系數a為原來的相反數，頂點坐標與拋物線y1的頂點坐標關于原點對稱，即可求解；

(2)將點F向右平移2個單位至0,貝ijFF，=2,F，(—4,0),過點。作直線%的對稱點為。,連接PN,PD，ND-

則四邊形FF'NM為平行四邊形,則MF=NF',ND'=ND,因此FM+MN+DN=NF'+2+ND'>2+F'D',

即可求解；

(3)當點P在直線％右側拋物線上時，可得N1=N2,作”關于直線G的對稱點“'，則點在直線PE上，

可求直線PE的表達式為y=2尤一6,聯立｛二解得：%=3或%=1(舍)，故P(3,0);當點

P在直線％左側拋物線上時，延長EP交y軸于點N,作HN的垂直平分線交HE于點°,交y軸于點過點

E作EK_Ly軸于點K,貝i]QM||EK,可得QH=QN,可證明出NQ=NE,由QM||EK,得AHMQfHKE,

設=2m,MQ=m,則MN=HM=2m,NK=2-4m,在Rt△QMN和Rt△ENK中，由勾股定理得+

(2m)2=(2—4m)2+l2,解得:m—(或m=1(舍)，所以N^0,—,可求直線PE表達式為:y--

r_242

聯立y=一五”一五，解得：刀=2或％=1（舍），故p

=x2-2%-311

【詳解】（1）解：設對稱軸與無軸交于點G,

由題意得4G=BG=2,

:對稱軸為直線x=-1,

：.OC=。4=3,

.”(0,3),

將A、B、C分別代入y】=ax2+5%+c,

a+b+c=0

得：9a—3b+c=0,

c=3

CL=-1

解得：b=-2,

.c=3

/.=—x2—2%+3,

Ayi=-x2-2%+3=-（x+l）2+4,頂點為（-1,4）

??,拋物線力繞點。旋轉180。后得到新拋物線為，

J拋物線的a=1，頂點為（L-4）,

.??丫2的表達式為：=（%-1）2-4,即丫2=x2-2x-3

（2）解：將點尸向右平移2個單位至尸，則尸尸=2,尸（一4,0）,過點。作直線%的對稱點為。'，連接

F'N,F'D',ND',

,?>2=(久-I)2-4,

...直線％為直線X=1，

；MN||x軸，

：.MN=1-(-1)=2,

對于拋物線丫2=/-2久-3,令％=0,則為=-3,

.,.￡)(0,-3),

:點。與點。'關于直線x=1對稱，

二點。(2,-3),

'：MN||x軸,FF'=MN=2,

四邊形FF'NM為平行四邊形，

：.MF=NF',

：.FM+MN+DN=NF'+2+ND'>2+F'D',

當點尸',N,D'三點共線時，取得最小值，

而FD=J(—4—2(+(—3—0)2=3V5,

：.FM+MN+DN的最小值為2+3V5；

(3)解：當點P在直線6右側拋物線上時，如圖：

???拋物線丫2=(%-I)2-4,

???E(1,—4)

VZ2||y軸，

C.Z.DHE=zl,

■:乙PEH=2乙DHE,

.,.zPEH=2zl=zl+z2,

zl=z.2,

作H關于直線的對稱點H'，則點H'在直線PE上,

?.,點H的坐標為(0,-2),直線5x=l,

設直線PE的表達式為：y=fcx+Z?(/c^O),

代入彳(2,-2),E(l,-4),

夕曰（2k+b=-2

符：除+匕=_4，

解得:｛心=2,

二?直線PE的表達式為y=2%—6,

聯立］，:xQ），得：/一2%-3=2%-6,

（y2=%—2%—3

解得：％=3或久=1（舍），

???P（3,0）；

②當點尸在直線％左側拋物線上時，延長EP交y軸于點N,作”N的垂直平分線交HE于點Q,交y軸于點M,

過點E作EKly軸于點K,則QMIIEK,如圖：

???QM垂直平分HN,

：.QH=QN,

LQHN=乙QNH,

工人NQE=2乙NHE,

■:乙PEH=2乙DHE

:?(NQE=乙PEH,

：.NQ=NE,

由點H(0,-2),E(l,-4)

得：EK=lfKH=2,

\9QM||EK,

：.△HMQFHKE,

,HMMQ

HKKE

.HM_MQ

2-1f

設HM=2m,MQ=m,

：.MN=HM=2m,NK=2—4m,

在Rt△QMN和Rt△ENK中，由勾股定理得QM?+MN2=NK2+KE2,

.\m2+(2m)2=(2—4m)2+l2,

解得：血=(或??1=1(舍)

，N（0,-給,

設直線PE表達式為：y=arx+瓦（的W0）,

代入點N,E,

尸】+瓦=-4

,：（瓦=3，

，_2

解得：:=一總

（瓦=-五

，直線PE表達式為：y=—77X—

JiiYiiY，

C242

聯立產F-五,

2

ly2=%—2%—3

得：——x——=x2—2x—3,

iiii

整理得：llx2-20x+9=0

解得：*=2或x=l（舍）,

綜上所述,P（3,0）或P（看,一詈）.

【點睛】本題是一道二次函數與角度有關的綜合題，考查了待定系數法求函數解析式，三角形三邊關系求

最值，平行四邊形的判定與性質，中心對稱圖形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，熟練掌握

知識點，正確添加輔助線是解決本題的關鍵.

7.（2024.湖南岳陽?模擬預測）如圖，已知拋物線G經過原點，且與直線/交于4（—2,0）和8（1,3）兩點.

備用圖

（1）求拋物線G的解析式和tan/BA。的值.

⑵若。是拋物線G上的一個動點(在點A和點B之間)，作DE1/于點E,DF||y軸交/于點F,在點。運

動的過程中，是否存在某一位置，使得ADEF的面積最大？若存在，請求出此時點。的坐標及ADEF面積的

最大值；若不存在，請說明理由.

(3)將拋物線Q繞頂點旋轉180。后，再平移使其頂點在直線，上，且經過點A,得到拋物線。2,試問在拋物

線上是否存在點P,使AABP是以4B為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說

明理由.

【答案】(l)y=x2+2%；1

(2)存在,詈

⑶P(l,-3)或

【分析】本題考查了二次函數的綜合題，考查了一次函數的性質，待定系數法，相似三角形的判定和性質，

直角三角形的性質等知識點，解題的關鍵是學會分類討論，注意不要漏解，與方程相結合，利用相似三角

形解決最值問題；

(1)由待定系數法分別求出拋物線G的拋物線和直線Z的解析式，可求點N坐標，即可求NBA。的正切值；

(2)由題意可以證明△AONDEF,可得抖空=(笠)，當DF最大時，△DEF的面積最大，由二次函數

SRAONIANJ

性質可求DF的最大值，即可求解；

(3)由題意先求出解析式y=-(％+1)2+1或丫=一(工+2)2,分兩種情況討論即可求出點P的坐標；

【詳解】(1)解：設拋物線Q的解析式為：y=a/+b%+c,

???拋物線Ci經過原點，且與直線/交于4(-2,0),8(1,3)兩點，

c=0

???0=4。-2b+c,

、3=a+b+c

a=1

解得：b=2,

c=0

???拋物線Ci的解析式為：y=/+2%,

設直線/解析式為：y=?n%+7i,

r3=m+n

l0=-2m+n'

解得：｛:二;,

???直線/解析式為：y=x+2,

如圖，設直線與y軸的交點為N,

.?.點N的坐標(0,2),且點4(一2,0),

ON—OA—2,

NBA。的正切值="=1,

OA

(2)?；ON=OA=2,

AN=2位,

_2X2_9

???、kANO——N，

DF||y軸,

DF||ON,

乙ANO=乙EFD,且乙4ON=4FED=90°,

AONDEF,

.S^DEF_(竺)2

S"ON\AN)'

???當DF最大時，△DEF的面積最大，

設點。(0口2+2。)，則點F(q,a+2),

**?DF=a+2—(小+2a)=—(a+3)H-2—,

.??當。=一1時，DF的最大值為2%

△團的面積的最大值為：?若

(3)??,拋物線Ci的解析式為：y=%2+2%=(x+I)2-1,

???設拋物線。2解析式為：y=-(%-1)2+h,

???頂點坐標(t,h),

???拋物線C2頂點在直線，上，且經過點4

/h=t+2

lO=-(2+t)2+h'

解得：或｛]:￡，

.??拋物線。2的解析式為：y=-(x+1尸+1或y=-(x+2尸,

■■.APIAB^BPIAB,

,?,直線48解析式為：y=x+2,

直線4P解析式為：y=—x-2,直線BP解析式為：y=-x+4,

若點P在拋物線C2上，點P在直線4P上，

(y=-X—2

?iy=—(%+I/+1，

?廨得：死=(不合題意，舍去)[J=\,

(y=oky=-3

???點P(L—3)；

若點P在拋物線C2上，點P在直線BP上，

(y=—%+4

"ly=—(%+I/+1'

%2+x—4=0,

VA<0,

方程無解,

當拋物線。2解析式為：y=-0+2)2時，如圖,

ABP是以4B為直角邊的直角三角形,

AP148或BP1AB,

???直線2B解析式為：y=x+2,

???直線4P解析式為：y=-x-2,直線BP解析式為：y=-久+4,

若點P在拋物線上，點P在直線4P上，

(y=-X—2

-[y=—(%+2)2，

解得：上二”(不合題意,舍去)匕=一;

(y=U(y=—1

點P坐標(一],一]),

若點P在拋物線上，點p在直線BP上,

(y=—X+4

"ly=-(x+27,

???%2+3x+8=0,

???A<0,

方程無解，

綜上所述：點P(l,-3)或(―1,—1)

8.(2024.山東濟寧.一模)如圖，拋物線y=a/+6x+c的頂點為M(2,—2),與x軸的交點為A和2(其中

點A與原點重合)，將拋物線丫=a/+6%+(;繞點8逆時針方向旋轉90。，點M],4為點M,A旋轉后的對

應點.

(1)求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；

(2)求證：點A,M,&在同一條直線上；

(3)若點尸是原拋物線上的一動點，點0是旋轉后的圖形的對稱軸上一點，E為線段4M的中點，是否存在點

P,使得以P,Q,E,2為頂點的四邊形是平行四邊形；若存在請求出點尸坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=|x2-2x

(2)見解析

(3)存在，Pi(2+V6,1)或P2(2-V6,1)或23(2+企,一1)或P42-V2,-l)

【分析】本題主要考查二次函數的圖象與性質，旋轉變換，平行四邊形等知識：

(1)設拋物線的解析式為y=a(x—2)2—2,把4(0,0)代入得拋物線的解析式為y=|(x-2/—2；

(2)根據旋轉的性質求出4式4,-4),求出直線AM的解析式，代入義的橫坐標，求出y=-4,即可判斷力、

4三點共線索；

(3)根據中點坐標公式求出E(l,-1),把原拋物線的對稱軸直線x=2繞B(4,0)逆時針方向旋轉90。得直

線y=-2,設P2巾)，Q(n,-2),分三種情況列方程組可解得答案.

2

【詳解】(1)解：由拋物線丫=。/+必+<:的頂點為時(2,—2),設拋物線的解析式為3/=￡10-2)-2,

把4(0,0)代入得：4a-2=0,

解得a=

?*.y=|(x—2)-2=|x2—2x；

拋物線的解析式為y=1%2-2%；

(2)解：VM(2,-2),

...拋物線的對稱軸為直線x=2,

V4(0,0),

???8(4,0),

：.AB=4,

由旋轉得，BA】=AB=4fBAr1%軸于點B,

二?Ai(4,—4)；

設直線/M的解析式為y=kx,

把M(2,—2)代入得，2k=-2,

k-1,

，直線AM的解析式為y=-x,

當％=4時，y=-4,

...點4在直線y=—x上，

.??4M,占三點在同一條直線上；

(3)解：存在，理由如下：

VX(0,0),M(2,-2),

???E(等,等)，即1);

原拋物線的對稱軸為直線x=2,繞8(4,0)逆時針方向旋轉90。得直線y=-2,

設P(m[zn2一2m),(2(九,一2),而8(4,0),

①若PQ,BE為對角線時，貝IJPQ,BE的中點重合，

m+n=5

1

-m29—2m—2=—1

(2

解得,=2+嗨/=2一嗨,

=3-v6tn=3+v6

點P的坐標為(2+V6,1),(2-76,1);

②若PB,QE為對角線時，

fm+4=n+l

**m2—2m=3，

此方程組無解；

③若PE,QB為對角線時，

m+1=4+n

{|m2—2m—1=—2'

解得，產=廿停產=21企,

tn=V2-1In=-V2-1

六點P的坐標為(2+VX—1)，(2—V2,-1);

綜上，點P的坐標為Pi(2+V6,1)或Pz(2-V6,1)或23(2+四，一1)或P42-V2.-1)

題型03翻折變換

二次函數的翻轉問題的解題思路：

①根據二次函數上特殊點的坐標值求得二次函數的表達式；

②根據翻轉后拋物線與原拋物線的圖像關系，確定新拋物線的表達式；

③在直角坐標系中畫出原拋物線及翻轉后拋物線的簡易圖，根據圖像來判斷題目中需要求解的量的各種可

能性；

④根據圖像及相關函數表達式進行計算，求得題目中需要求解的值.

9.(2023?四川德陽?中考真題)已知：在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點4(-4,0),8(2,0),與y軸

交于點C(0,-4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,如果把拋物線》軸下方的部分沿無軸翻折180。，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新圖象.當

平面內的直線y=kx+6與新圖象有三個公共點時，求上的值；

(3)如圖2,如果把直線4B沿y軸向上平移至經過點0,與拋物線的交點分別是E,F,直線BC交EF于點H,

過點F作FG1于點G,若翌=2小.求點F的坐標.

HG

【答案】(l)y=|%2+x-4

⑵嘲

(3)(4,8)

【詳解】(1)設拋物線的解析式為y=a/+bx+c,

???C(0,-4),

.?.c=—4,

y=ax2+b%—4,

把4(-4,0),8(2,0)代入y=ax2+bx+c,得：｛那;寸二j二;，

解得：fa=l,

(z?=1

???拋物線的解析式為y=|x2+x-4

(2),?,直線表達式y=kx+6,

二直線經過定點(0,6),

二將過點(0,6)的直線旋轉觀察和新圖象的公共點情況

???把拋物線x軸下方的部分沿無軸翻折180。，拋物線的解析式為y=[/+x—4，

???新圖象表達式為：—4<x<2時，y=—|^2—x+4；xW—4或x22時，丫4小+萬一心

如下圖當直線y=kx+6與翻折上去的部分拋物線相切時，和新圖象有三個公共點，

聯立［y=-#_x+4,得：一「2_%+4=_+6,

Iy=kx+62

整理得：%2+2(1+/c)%+4=0

△=0,

4(1+k)2-16=0,

4(1+fc)2=16,

l+k=±2,

fc=±2-l,

七=2-1=1時，即如上圖所示，符合題意，

左2=-2-1=一3時，如下圖所示，經過點8,

不符合題意，故舍去，

如下圖，當直線y=kx+6經過點4時，和新圖象有三個公共點,

把4（一4,0）代入y=kx+6,得：-4k+6=0,

解得：k=l，

綜上所述，當平面內的直線丫=k％+6與新圖象有三個公共點時，上的值為1或|

（3）?.?尸在拋物線上,

???設尸坐標為（口彳小+Q一4）,

???OB=2,OC=4,FG1CH,

tanz.OCB=

2

tanzFHG=2,

HG-.FG=1:2,Vl2+22=V5

???HG-.FG-.FH=1:2:75,

1

?*.DF=a,DO=—cio+a—4,

2

c___1

DC=DO+OC=-aO2+a,

2

1In1

DH=-DC=-a2+-a,

242

11

FH=DH-DF=-a2o--a,

42

—(-a——

HG=——55FH\4=2)a,

2Qa?——a)=a,,

a2-4a=0,

a(a—4)=0,

=0(舍去)，

g=4,代入5a2+a—4=8,

???點尸的坐標為(4,8)

【點睛】本題考查了二次函數綜合、翻折、交點個數問題，結合一元二次方程、三角函數解直角三角形知

識點，熟練掌握、綜合運用知識點，數形結合是解題的關鍵.

10.(2023?江蘇連云港?中考真題)如圖，在平面直角坐標系第Oy中，拋物線L：y=/一2%-3的頂點為P.直

線/過點M(0,7n)(/nN-3),且平行于無軸，與拋物線力交于4B兩點(8在/的右側).將拋物線5沿直線［翻

折得到拋物線G，拋物線乙2交y軸于點C，頂點為二

備用圖

(1)當血=1時，求點。的坐標;

(2)連接BC、CD、DB,若△BCD為直角三角形，求此時Z>2所對應的函數表達式；

⑶在(2)的條件下，若△BCD的面積為3,尸兩點分別在邊BC、CD上運動，且=以EF為一邊作

正方形EFGH,連接CG,寫出CG長度的最小值，并簡要說明理由.

【答案】⑴D(L6)

(2)y=-x2+2x+3或y=-x2+2x-3

(3)當槌，見解析

【分析】(1)將拋物線解析式化為頂點式，進而得出頂點坐標P(l,-4),根據對稱性，即可求解.

(2)由題意得，力的頂點P(l,—4)與打的頂點。關于直線y=巾對稱，D(l,2m+4),則拋物線G：y=

-(%-I)2+(2m+4)=-%2+2x+2m+3.進而得出可得C(0,2m+3),①當/BCD=90。時，如圖1,過

。作DNly軸，垂足為N.求得+3,巾)，代入解析式得出m=0,求得打：y=-/+2%+3.②當

NBDC=90。時，如圖2,過B作BT1ND,交ND的延長線于點7.同理可得BT=DT,得出8(巾+5,巾)，代

入解析式得出爪=一3代入L2：y=—/+2x+2m+3,得1<2：丫=一%2+2%-3；③當乙D8C=90。時，此情

況不存在.

(3)由(2)知，當NBDC=90。時，m=-3,此時△BCD的面積為1,不合題意舍去.當NBCD=90。時，

m=0,此時△BCD的面積為3,符合題意.由題意可求得EF=FG=CD=0取EF的中點Q,在Rt△CEF

中可求得CQ=?.在RtAFGQ中可求得GQ=平.易知當Q,C,G三點共線時，CG取最小值，最小值

為srV10-V2

【詳解】(1)Vy=x2-2x-3=(x-l)2-4,

拋物線Li的頂點坐標P(l,-4).

:巾=1,點P和點。關于直線y=1對稱.

0(1,6).

(2)由題意得，L的頂點P(i,—4)與G的頂點。關于直線y=巾對稱，

+4),拋物線L2：丫=一(％—I)2+(2m+4)=—x2+2x+2m+3.

.,.當x=0時，可得C(0,2m+3).

①當乙BCD=90。時，如圖1,過D作DN1y軸，垂足為N.

V￡)(