專題5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【十大題型】

【人教A版（2019）］

A題型梳理

【題型1五點(diǎn)法畫正弦、余弦函數(shù)的圖象】......................................................4

【題型2正、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用】............................................................7

【題型3三角函數(shù)的定義域、值域與最值】......................................................10

【題型4由三角函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)】....................................................11

【題型5求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】.............................................................14

【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】........................................................16

【題型7三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性問(wèn)題】......................................................18

【題型8三角函數(shù)的周期性問(wèn)題】.............................................................20

【題型9三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題】...............................................................22

【題型10三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】..................................................25

A舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)】

i.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象

（1）正弦函數(shù)的圖象

①根據(jù)三角函數(shù)的定義，利用單位圓，我們可以得到函數(shù)y=sinx,xd［0,2兀］的圖象，如圖所示.

77-STT

觀察圖，在函數(shù)y=sinx,尤e［0,2兀］的圖象上，以下五個(gè)點(diǎn)：（0,0）,（了,1）,（兀,0）,（彳,-1）,（2兀,0）在確定圖象形

狀時(shí)起關(guān)鍵作用.描出這五個(gè)點(diǎn)，函數(shù)產(chǎn)sinx,xe［0,2兀］的圖象形狀就基本確定了.因此，在精確度要求不高時(shí),

常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再用光滑的曲線將它們連接起來(lái)，得到正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖.這種作圖的方法叫做“五點(diǎn)

（畫圖）法”.

（2）余弦函數(shù)的圖象

①圖象變換法作余弦函數(shù)的圖象

由誘導(dǎo)公式六，我們知道了=cosx=sin（x+與），而函數(shù)y=sin（x+的圖象可以通過(guò)正弦函

數(shù)y=sinx,x￡R的圖象向左平移y個(gè)單位長(zhǎng)度而得到.所以將正弦函數(shù)的圖象向左平移y個(gè)單位長(zhǎng)度，就得

到余弦函數(shù)的圖象，如圖所示.

②五點(diǎn)法作余弦函數(shù)的圖象

類似于正弦函數(shù)圖象的作法，從余弦函數(shù)產(chǎn)cosx,%￡R的圖象可以看出，要作出函數(shù)產(chǎn)cosx在［0,27］

上的圖象，起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)是：（0,1）,（彳,0）,（%,-1）,（笄,0）,（2%,1）.先描出這五個(gè)點(diǎn)，然后把這五個(gè)點(diǎn)用

一條光滑的曲線連接起來(lái)就得到了函數(shù)產(chǎn)cosx在［0,2相上的簡(jiǎn)圖，再通過(guò)左右平移（每次移動(dòng)2兀個(gè)單位長(zhǎng)

度）即可得到余弦函數(shù)產(chǎn)cosx/GR的圖象.

（3）正弦曲線、余弦曲線

正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.它們是具有相同形狀的''波浪起伏”

的連續(xù)光滑曲線.

2.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)

（1）周期函數(shù)

①定義：一般地，設(shè)函數(shù)式x）的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對(duì)每一個(gè)xGO都有x+TGD,

且兀葉八寸龍），那么函數(shù)近龍）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

②最小正周期：如果在周期函數(shù)兀0的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做兀0

的最小正周期.

（2）正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)

正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)如下表：

函數(shù)y=sinxy=cosx

圖象

T土

-1

定義域RR

值域[-1,1][-1,1]

周期性最小正周期：2兀最小正周期：2兀

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)

_5+2kii,—+2后TTOeZ)[-71+2ATT,2k7i](keZ)

單增區(qū)間

調(diào)y+2丘，等+2后兀

(左eZ)[2k7i,71+2k?i](kGZ)

性減區(qū)間

■7T

當(dāng)％=5+2丘(kwZ)時(shí)，

當(dāng)x=2反伏eZ)時(shí)，>max=l；

Wax=1；

377"當(dāng)X=TT+2k7l(k￡Z)時(shí)，

當(dāng)％=—+2kli(k￡Z)時(shí)，

Win=11.

最值>min=-I.

Ax+—,0^(ATGZ)

對(duì)稱中心：(^,0)eZ)對(duì)稱中心：

對(duì)稱軸方程：x=左7+'(左￡Z)對(duì)稱軸方程x=瓦(左￡Z)

圖象對(duì)稱性

3.正弦型函數(shù)y=Asin(cox+9)及余弦型函數(shù)y=Acos(cox+°)的性質(zhì)

函數(shù)y=Asin(cox+9)和y=/cos(cox+9)(/#())的性質(zhì)

函數(shù)y=Asin{cox+夕)y=Acos(ct>x+(p)

定義域RR

值域[-|A|,|A|][-HIM]

當(dāng)A>0,a>>0時(shí),將cox+(p視為整體，代入y=siwc或產(chǎn)cosx相應(yīng)的單調(diào)

單調(diào)性

區(qū)間求解；當(dāng)A<0或。<0時(shí)，注意單調(diào)區(qū)間的變化.

當(dāng)夕=左乃(左￡Z)時(shí)為奇函數(shù)，當(dāng)(左￡Z)時(shí)為偶函數(shù)，

奇偶性TTTT

當(dāng)夕=所士時(shí)為偶函數(shù).當(dāng)夕=反士萬(wàn)(左eZ)時(shí)為奇函數(shù).

周期性v=網(wǎng)7=網(wǎng)

|co|1?1

圖象將a)x+(p視為整體，代入y=sinx或尸cosx相應(yīng)的對(duì)稱軸方程或?qū)ΨQ中心

對(duì)稱性的橫坐標(biāo)滿足的方程求解.

4.正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象

(1)正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)

定義域卜中5+日內(nèi)GZ}

由誘導(dǎo)公式tan（x+7r）=tanx,xGR,xRy+無(wú)，左wZ可知，正切函數(shù)

周期性

是周期函數(shù)，周期是孤

由誘導(dǎo)公式tan（-%）=—tanx,x￡R,且％W彳可知，正切函

奇偶性

數(shù)是奇函數(shù).T

1

圖象1

J號(hào)r

專0X

r（，

正切函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間:f+^,y+丘）伏eZ）上都單調(diào)遞增

單調(diào)性

值域正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集R

對(duì)稱中心（左eZ）

（2）三點(diǎn)兩線法作正切曲線的簡(jiǎn)圖

類比于正、余弦函數(shù)圖象的五點(diǎn)法，我們可以采用三點(diǎn)兩線法作正切函數(shù)的簡(jiǎn)圖.“三點(diǎn)”是指點(diǎn)

（-?,-1）,（0,0）,（?』）;“兩線”是指直線廣-。和廣。在三點(diǎn)、兩線確定的情況下,可以大致畫出正切函數(shù)在區(qū)

間（-5，5）上的簡(jiǎn)圖.

【題型1五點(diǎn)法畫正弦、余弦函數(shù)的圖象】

【例1】（23-24高一上.陜西寶雞.階段練習(xí)）用“五點(diǎn)法”作y=^cosx的圖象，首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)

是（）

A.0,一，兀,—92兀

22

B.0,鄴，兀

424

C.0,兀,2兀,3兀,4兀

【解題思路】結(jié)合“五點(diǎn)法”作圖特征，直接求出結(jié)論即可.

【解答過(guò)程】函數(shù)y=2cosx的最小正周期為2m

用"五點(diǎn)法''作y=[cosx的圖象，即作函數(shù)y=[cosx在上的圖象，

所以五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,pK,2兀

故選：A.

【變式1-1]（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)、e[0,2n]時(shí)，曲線丫=cos%與y=2sin（2%+§的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.6

【解題思路】作出兩函數(shù)在[0,2句上的圖象，結(jié)合圖象即可得答案.

【解答過(guò)程】%=0時(shí)，y=2sin]=V3,

令2%+”]得％=拼此時(shí)y=2sin（2x2+g）=2,

令2%+g=n,得％=p止匕時(shí)y=2sin（2x；+；）=0,

令2久+-=—,得久=—,此時(shí)y=2sin（2x—+—2,

326\63/

令2%+g=2m得％=y,止匕時(shí)y=2sin（2x曰+§=0,

x=2TT時(shí),y=2sin（2x2ir+=2sin；=V3,

函數(shù)y=2sin（2x+§的周期T=y=n,

結(jié)合周期，利用五點(diǎn)法作出圖象，

由圖知，共有4個(gè)交點(diǎn).

故選：C.

【變式1-2](23-24高一?上海?課堂例題)作出下列函數(shù)的大致圖像：

⑴y=sin(x+。

(2)y=3sin(2x—f.

【解題思路】(1)(2)根據(jù)五點(diǎn)作圖法列表、描點(diǎn)、連線即可得到函數(shù)圖象;

【解答過(guò)程】⑴解：因?yàn)閥=sin(%+3,取值列表：

n715n4TTIlir

X

~63~6T~6~

IT713IT

X+0Tl2IT

62T

y010-10

描點(diǎn)連線，可得函數(shù)圖象如圖示:

(2)因?yàn)閥=35皿卜乂一小，取值列表:

n5n2IT11K7TT

X

612TIT-6~

711T371

0712IT

2口2T

y030-30

描點(diǎn)連線，可得函數(shù)圖象如圖示:

【變式1-3](23-24高一?上海?課堂例題)作出下列函數(shù)的大致圖像:

(l)y=2cosx—1,x6[0,211]；

(2)y=|cosx|,xER.

【解題思路】(1)根據(jù)五點(diǎn)作圖法列表、描點(diǎn)、連線，作出函數(shù)簡(jiǎn)圖.

(2)根據(jù)翻折變換畫出函數(shù)簡(jiǎn)圖.

【解答過(guò)程】(1)y=2cosx—l,xG[0,2K]

列表如下

IT3IT

X0712IT

2T

COSX10-101

y=2cosx—11-1-3-11

作出圖象，如圖所示.

(2)函數(shù)y=cosx的圖象如下圖所示:

3兀_7t1y=cosx

2-1222

函數(shù)y=|cos%|的圖象可由函數(shù)y=cos%在x軸下方的圖象沿%軸翻折得到:

【題型2正、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用】

［例2］(23-24高二下.云南曲靖.期末)函數(shù)f(%)=(ex-e-")sin%在區(qū)間［一冗用］上的圖象大致為()

【解題思路】先根據(jù)判斷了(%)為偶函數(shù)，排除C,由/(0)=0,排除D,由％c(0m)時(shí)，/(x)>0,排除B,

可得.

【解答過(guò)程】因?yàn)?(一%)=(eT—e%)sin(—%)=/0),所以/(%)為偶函數(shù)，排除C,

因?yàn)?(0)=0,排除D,因?yàn)楫?dāng)％€(0m)時(shí)，/(x)>0,所以排除B,

故選：A.

【變式2-1](24-25高三上?安徽?階段練習(xí))當(dāng)％e[0,2n]時(shí),曲線y=cos'與y=2cos(2x一三)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

是()

A.3B.4C.5D.6

【解題思路】作出函數(shù)丫=35%與y=2cos@x—f的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.

【解答過(guò)程】作出函數(shù)，=cos久與y=2cos9x-小的圖象，如圖所示，

觀察在[0,2司上的兩個(gè)函數(shù)的圖象，共有5個(gè)交點(diǎn).

故選：C.

【變式2-2](2024.四川遂寧.三模)函數(shù)f(x)=(l-言)-cosx的圖象大致為()

【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性即可排除CD

【解答過(guò)程】/（x）=（1—京）?cosx,則/（%）的定義域?yàn)镽,

又/（一式）=（1-^7）,cos（—X）=（1一-cosx=（-1+島）?COSX=-/（X）,

所以“X）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除CD,

當(dāng)X=71:時(shí)，f（TT）=（1—COSTT=-1+<0,故排除A.

故選：B.

【變式2-3]（23-24高一下.北京?期中）函數(shù)/（x）=sinx+喈+等圖像可能是（）

【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性排除AC,再結(jié)合函數(shù)值/（今大小排除B,從而得正確結(jié)論.

【解答過(guò)程】從四個(gè)選項(xiàng)中可以看出，函數(shù)的周期性、奇偶性、函數(shù)值的正負(fù)無(wú)法排除任一個(gè)選項(xiàng)，

但是,（IT—%）=sin（n-x）+,臂"+sin（5；-5x）=sin%+若+喑=因此f（x）的圖象關(guān)于直線

%=]對(duì)稱，可排除AC,

.3ir.5n

又用）=5嗎+等+等=1一|+）苗<1,排除B,

故選：D.

【題型3三角函數(shù)的定義域、值域與最值】

【例3】（23-24高一上.陜西寶雞?期末）函數(shù)/（￡）=—3tan（；+3的定義域是（）

A.{刀卜片胃B.3卜力]}

C.jx卜H2/CTT+],k€Z}D.{x,4kn+：,kez}

【解題思路】根據(jù)正切函數(shù)特征，得到不等式，求出定義域.

【解答過(guò)程】由正切函數(shù)的定義域，令w++即％42kTT+2（keZ）,

2422

所以函數(shù)f（%）=-312口停+；）的定義域?yàn)?1%W2/cir+；ezj.

故選：C.

【變式3-1]（2024高一?江蘇?專題練習(xí)）函數(shù)f（%）=sin?%+V5cos%-1在％C[0,勺的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,V3-l]B.[0,JC.[V3-l,|]D.（-8,口

444

【解題思路】利用三角恒等變換結(jié)合換元法，最后利用二次函數(shù)的值域求解即可.

【解答過(guò)程】函數(shù)/（%）=sin2x+V3cosx—1=—cos2x+V3cosx,

令t=cos%,g（t）=—t2+V3t,

因?yàn)榫谩闧（）,§,所以

2

g（t）=—1+V5t=—（t—空）+1，對(duì)稱軸為七=當(dāng),圖象開(kāi)口向下，

當(dāng)力=當(dāng)時(shí)，9（。取得最大值，9?）max=￡

當(dāng)t=0時(shí)，g（t）取得最小值，g（t）min=0，

所以/（%）在久6[0,總的值域?yàn)閇0,4.

故選：B.

【變式3-21（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）已知函數(shù)f（久）=sin（3a）x+小（3>0）的最小正周期為g,貝！1/（久）

在卜2W]的最小值為（）

A.--B.--C.0D.-

222

【解題思路】先根據(jù)f（x）的最小正周期為g,求出3的值，再結(jié)合給定范圍求最值即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)?（%）=sin（33%+2（3>0）的最小正周期為當(dāng)

所以f(x)的最小正周期7=善=勺，即得3=1,

333

所以/(%)=sin(3%+(),

3”+同0總，

所以sin(3%+-^G[0,1],

當(dāng)％=-9時(shí)，取/(%)的最小值0,

18

所以"%)在卜看局上的最小值為0.

故選：C.

【變式3-3](23-24高一下?陜西渭南?期末)已知函數(shù)/'(x)=|(sinx+cosx)一||sinx-cosx|(xeR),則/(久)

的值域是()

從(3B.[-^)C.D.(―⑶

【解題思路】去絕對(duì)值號(hào)，將函數(shù)變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，分段求值域，根據(jù)分段函數(shù)求出每一段的定義域，由三

角函數(shù)的性質(zhì)分別求值域，從而可得結(jié)果.

【解答過(guò)程】由函數(shù)/'(x)=|(sinx+cosx)—11sinx—cosx|,

可得_]c°sx(sinx>cosx)_[cosx,xG|^2/CIT+-,2/CTT+—]

口侍》~lsinx(sinx<cosx)—[sinx,xe卜面—乎,2kit+j，

當(dāng)xe[2kit+E,2fcir+乎]時(shí)，f(x)e[—1,?].

當(dāng)xe(2kn-2k?r+3)時(shí)，/(x)e(—1,日)，

故/(%)值域?yàn)椴?,孝],

故選：C.

【題型4由三角函數(shù)的值域(最值)求參數(shù)】

【例4】(2024?四川成者B?模擬預(yù)測(cè))當(dāng)x6曲小]時(shí)，函數(shù)/0)=3(3乂+§的值域是[—1,—耳，則根的

取值范圍是()

A?麻]B.腎圖

C*潦]D.《制

【解題思路】解法一：畫出函數(shù)的圖象，由x的范圍求出3x+g的范圍，根據(jù)/（x）的值域可得答案;

解法二：由"的范圍求出3x+W的范圍，根據(jù)y=cosx的圖象性質(zhì)和/（X）的值域可得答案.

【解答過(guò)程】解法一：由題意，畫出函數(shù)的圖象，由可知名33久+3<3巾+~

L6J633

因?yàn)?（e）=cos*=一/且/償）=COSTI=—1,

要使/（%）的值域是卜L—孚，只要得工小4弟

即皿喑，卦

解法二：由題》￡住,血］,可知稱工3%+W工3m+：

L6J633

由y=cos%的圖象性質(zhì)知，要使/（%）的值域是［一1,一?］,

則n<3m+3解之得m6［v,fsl,

3oL>loj

故選：D.

【變式4-1］（23-24高一下?遼寧遼陽(yáng)?期末）已知函數(shù)丫=號(hào)空（3>0）在卜屋］上的最小值為5則3的

值為（）

24

A.1B.-C.-D.2

33

【解題思路】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)判斷即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)榈趙［—黑卜所以a=23%e［-詈號(hào)］,3>0.

由于函數(shù)丫二號(hào)經(jīng)3>0）在上的最小值為%

則y=cosa在［—詈，掾］,a>0上的最小值為點(diǎn)又卜學(xué)|>殍|

所以—詈=_尊解得3=(.

故選：C.

【變式4-2](2023?四川自貢?一模)函數(shù)/O)=a—倔an2x在xeH同的最大值為7,最小值為3,則

〃。為()

A.—B.-C.-D.—

123612

【解題思路】首先根據(jù)區(qū)間的定義以及f(x)的有界性確定b的范圍，然后再利用正切函數(shù)的單調(diào)性得到

的單調(diào)性，再代入相應(yīng)端點(diǎn)值及對(duì)應(yīng)的最值得到相應(yīng)的方程，解出a,b即可.

【解答過(guò)程】<?*xE卜,b>—,2xG[―

根據(jù)函數(shù)/(%)在久E[-，可的最大值為7,最小值為3,

所以2b即根據(jù)正切函數(shù)g(%)=tan%在(一與弓)為單調(diào)增函數(shù)，

則/(%)=。-Wtan2%,在[一,可上單調(diào)減函數(shù)，

???/(-￡)=a+3=7=a=4,f(b)=4—V3tan2b=3,

則tan2b=@，??,2b€(―U,U),??.2b=U,??.b=2，

3\32/612

???ah=4x—=

123

故選：B.

【變式4-3](2024.四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/⑺=4cos(wc—自?>0),/(x)在區(qū)間[。,外上的最小

值恰為-3,則所有滿足條件的3的積屬于區(qū)間()

A.(1,4]B.[4,7]C.(7,13)D.[13,+8)

【解題思路】根據(jù)函數(shù)能否取到最小值進(jìn)行分類討論即可.

【解答過(guò)程】當(dāng)久e|o,外時(shí)3久—*e—總，因?yàn)榇藭r(shí)/1(%)的最小值為—3<0,

所以巴3—二>巴，即3>Z.

31224

若久―fl2兀，此時(shí)/'(久)能取到最小值—4,即-3=-4=>3=4,

代入可得>4一看>兀，滿足要求；

若取不到最小值—4,則需滿足窕一盤<兀，即3(最

p(3)=4C0S信3-自在3eO上單調(diào)遞減，所以存在唯一3符合題意；

所以3=4或者3￡(；,號(hào))，所以所有滿足條件的3的積屬于區(qū)間(7,13),

故選：C.

【知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性與奇偶性】

1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法

求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成y=Asin(ox+0)形式，再求y=Asin(0x+0)的單調(diào)區(qū)間，

只需把cox+(p看作一個(gè)整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把。化為正數(shù).

2.已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題思路

對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)。的范圍的問(wèn)題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定己知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選

擇題，利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡(jiǎn)捷.

3.三角函數(shù)周期的一般求法

(1)公式法；

(2)不能用公式求函數(shù)的周期時(shí)，可考慮用圖象法或定義法求周期.

4.三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心的求解策略

⑴對(duì)于可化為/U)=Asin(ox+9)(或/U)=Acos(tyx+9))形式的函數(shù)，如果求於)的對(duì)稱軸，只需令

77

①%+夕=E+E(%￡Z)(或令GX+9=E;(Z￡Z)),求工即可；如果求?r)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令

、人7T

cox+<p=kn(k^'L)(或令ox+0=,+防Z)),求無(wú)即可.

(2)對(duì)于可化為/(x)=Atan(cax+9)形式的函數(shù)，如果求於)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令a)x+(p=今(左GZ)),

求x即可.

5.三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法

三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在y=Asin@x+9)中代入廣0,

若尸0則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值則為偶函數(shù).

若產(chǎn)Asin(s:+9)為奇函數(shù)，則夕=%兀(％￡Z)；若產(chǎn)Asin(s+9)為偶函數(shù)，則+fai(%￡Z).

【題型5求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】

【例5】(24-25高一上?全國(guó)?隨堂練習(xí))函數(shù)丫=385(%+]的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.[ku,fcn+,kEZB.\2kn,2ku+ir],kE.Z

C.[2/cir——,2.ku+—j,kE.ZD.[fcn—ku+—j,kCZ

【解題思路】利用誘導(dǎo)公式可得y=3cos(%+3=-3sinx,結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分析求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)閥=3cos(%+])=-3sinx,

且y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為［2/CIT-1,2/CTT+|j,kGZ,

所以函數(shù)y=3cos（x+5的單調(diào)遞減區(qū)間為恢冗-p2fcir+1，kEZ.

故選：C.

【變式5-1］（23-24高一上?新疆烏魯木齊?期末）下列關(guān)于函數(shù)y=sinx,xG［0,2汨的單調(diào)性的敘述，正確

的是（）

A.在［0,兀］上單調(diào)遞增，在［兀,2捫上單調(diào)遞減

B.在［0苧上單調(diào)遞增，在碎,2網(wǎng)上單調(diào)遞減

C.在［0,自及尊27Tl上單調(diào)遞增，在序堂上單調(diào)遞減

D.在歲受上單調(diào)遞增，在［0苧及年,2初上單調(diào)遞減

【解題思路】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，直接分析求解即可.

【解答過(guò)程】解：???xe［0,2捫，

???當(dāng)xe［0,翔寸，函數(shù)y單調(diào)遞增；當(dāng)xeg章時(shí)，函數(shù)y單調(diào)遞減；當(dāng)％6尊2兀］時(shí)，函數(shù)y單調(diào)遞增.

故只有C正確.

故選：C.

【變式5-2］（24-25高一上?河北衡水?期中）函數(shù)/（久）=cosg—x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.［zfcit+—,2fcTt+—］,fcGZB.12kit——,2/CTT+—J,/cGZ

C.［2/CTT+?,2/CTT+等］,fc￡ZD.［2/cTt,2/cit+TT］,keZ

【解題思路】先變形cosg-%）=cos（%-=）,再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【解答過(guò)程】已知cos&-X）=COS19,

令2knWx-工W2/rrr+IT,fceZ,^2kn+-<x<2kn+fcGZ,

666

所以函數(shù)/O）=cos（=-x）的單調(diào)遞減區(qū)間為［2kir+22/nt+,fcez.

故選：A.

【變式5-3］（24-25高三上?廣東江門?階段練習(xí)）下列函數(shù)中，以IT為周期，且在區(qū)間仁田）上單調(diào)遞增的是

A.y=sin|x|B.y=cos|x|

C.y=|tanx|D.y=|cos%|

【解題思路】先判斷各函數(shù)的最小正周期，再確定各函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可選擇判斷.

【解答過(guò)程】對(duì)于A：由sin|—m=l,sin|-y|=-1,可知it不是其周期，（也可說(shuō)明其不是周期函數(shù)）

故錯(cuò)誤；

對(duì)于B：y=cos|%|=P^；°=｛落'箕：=儂無(wú)，其最小正周期為如，故錯(cuò)誤；

對(duì)于C：y=|tan%|滿足|tan（%+7r）|=|tan%],以IT為周期，

當(dāng)％e&冗）時(shí)，y=Itan%|=-tanx,由正切函數(shù)的單調(diào)性可知y=|tanx|=-tan%在區(qū)間（舜）上單調(diào)遞減,

故錯(cuò)誤；

對(duì)于D,y=|cosx|滿足|cos（%+n）|=|cos%],以IT為周期，

當(dāng)汽e&冗）時(shí)，y=|cosx|=-cos%,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，y=-cos%在區(qū)間&互）上單調(diào)遞增，故正

確；

故選:D.

【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】

【例6】（23-24高一下.廣東佛山?期中）已知函數(shù)丫=sin（3%+0）（0V0<IT）在區(qū)間（一拳§上單調(diào)，則@

的取值范圍為（）

A?[喝B.牌]C.圖D.6勺

【解題思路】由整體法可得3%+0c（-g+wW+w），即可根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解.

【解答過(guò)程】當(dāng)％C（—善時(shí)，3%+0E（―g+a；+9）,

因?yàn)?<0V71,所以一空V—空+0<2,-<-+^9<—,

333444

-7TV2冗+

所以一彳一―號(hào)n",解得:W9W%即0的取值范圍為［?；］.

-4+-2

故選:B.

【變式6-1]（24-25高三上?河北邢臺(tái)?階段練習(xí)）若函數(shù)/⑴=1-tan（s-力3力0）在（0,1）上單調(diào)遞增,

則3的取值范圍是（）

C'（咽D.[一河

【解題思路】根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到-3＞0,且即可求解.

42

【解答過(guò)程】由函數(shù)f（x）=1+tan（-3X+9在（0,1）上單調(diào)遞增，

根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可得-3＞0,

當(dāng)汽6（0,1）時(shí)，可得一3汽+U€（2,—3+烏），則一出+^42,解得一P43V0.

4\44/424

故選：D.

【變式6-2]（23-24高二下?河南新鄉(xiāng)?期末）若函數(shù)/。）=cos（nx-=）（neN*）在楂期上單調(diào)遞減，則滿

足條件的九的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【解題思路】先對(duì)幾分不同情況進(jìn)行討論，得出當(dāng)幾=1時(shí)不滿足條件，當(dāng)幾=2或n=3時(shí)滿足條件，當(dāng)n24

時(shí)不滿足條件，即得到所求的全部n為n=2和n=3,從而得到答案.

【解答過(guò)程】若n=1,則/Q=cos=＜l=fg）,故f（x）不滿足條件；

若n=2或n=3,則對(duì)工WxW列有0W2%-2W匕或工W3萬(wàn)一工W勺＜IT.

8842848

所以襁-涎[0河，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知〃%）在，期上單調(diào)遞減，滿足條件；

若n=4,則/償）=_1（一曰=/信），故/（＞）不滿足條件；

若ri25,則由上二—%＞1可知，存在正整數(shù)k滿足巴＜k＜辿=.

88488

此時(shí)￡＜華/?TT〈宗，=cos代1一：）=cos/cn=（-1）小，從而/（X）在色冷）上存在極值點(diǎn)，不

可能單調(diào)遞減，不滿足條件.

綜上，滿足條件的有n=2和71=3.

故選：C.

【變式6-3]（24-25高三上?廣東廣州?階段練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=sin[MX一§⑷＞。），對(duì)任意的久eR,

都有且/（?在區(qū)間（―?，專）上單調(diào)，則3的值為（）

A.-B.-C.-D.—

3333

【解題思路】根據(jù)題意可知/（x）<|/g）|,繼而求得3=l+2k,kGZ,再利用題中條件可得（>會(huì)繼而求

得0<3<3,即可求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)閷?duì)任意的％ER,都有/（%）工|/6）|，

所以『0=sin（詈一習(xí)=±1,故?一:=]+/nr,kEZ,則3=（+CZ,

又/（%）在區(qū)間（一：吟）上單調(diào),貝4>^|+j=p

所以空之自，解得0V3M3,

0）3

故當(dāng)/C=0時(shí)，3=（符合題意，

故選：B.

【題型7三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性問(wèn)題】

【例7】（23-24高一下?北京?階段練習(xí)）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且其圖象關(guān)于@,0）對(duì)稱的是（）

A.y=cos（2x+B.y=sin（J.x+

C.y=cos（x+ii）D.y=sin（x+n）

【解題思路】利用誘導(dǎo)公式逐一化簡(jiǎn)可判斷奇偶性，然后代入驗(yàn)證判斷對(duì)稱性即可.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,y=cos（2x+9=—sin2%為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,y=sin（2%+；）=cos2%為偶函數(shù)，

因?yàn)閏os（2x；）=cos；=0,所以y=sin卜％+5的圖象關(guān)于點(diǎn)&0）對(duì)稱，B正確；

對(duì)于C,y=cos（%+冗）=—cos%為偶函數(shù)，

因?yàn)橐籧os；=-芋，所以（；,0）不是y=cos（%+it）的對(duì)稱中心，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,y=sin（%+冗）=—sin%為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.

故選：B.

【變式7-1]（23-24高一下?遼寧遼陽(yáng)?期中）已知函數(shù)/⑺=sin（3x+"）,若/1+巳）是偶函數(shù)，則"》）圖

象的對(duì)稱軸方程可能是（）

A.x=-B.x=-C.x——D.x――

4334

【解題思路】首先求函數(shù)f1+2）=sin（3尤+；+鄉(xiāng)），根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求0,再代入函數(shù)的對(duì)稱軸方程,

即可求解.

【解答過(guò)程】函數(shù)/1+自=sin(3x+；+0)是偶函數(shù)，

則1+9=5+kmk￡Z,得9=—+ku,kWZ,

令3x+0=krn+](kiGZ),解得x=(fc1(kEZ).

因?yàn)閗i,kez,則氏一k)CZ,經(jīng)驗(yàn)證只有D選項(xiàng)x=詈滿足題意，此時(shí)的―k=2.

故選：D.

【變式7-2](23-24高一下.陜西渭南?期中)已知函數(shù)/(x)=tan(—x),則下列結(jié)論正確的是()

A.界函數(shù)/(%)的一個(gè)周期B.函數(shù)“X)在傅冷)上是增函數(shù)

C.函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于點(diǎn)(2。24嗚0)對(duì)稱D.函數(shù)/(%)是偶函數(shù)

【解題思路】先利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答過(guò)程】由題可得：/(%)=tan(-%)=-tan久，根據(jù)正切函數(shù)得周期性可知，函數(shù)的最小正周期為m

故A錯(cuò)誤；

根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知，/(%)=-tanx在芝)上是減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知，/)="11%的圖像關(guān)于點(diǎn)管,0)對(duì)稱(碇2),取k=4048,則函數(shù)f(x)的圖

像關(guān)于點(diǎn)(2024n,0)對(duì)稱，故C正確；

/(X)=-tanx的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤；

故選：C.

【變式7-3](23-24高一下?遼寧大連?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=cos(sinx),現(xiàn)給出下列四個(gè)選項(xiàng)正確的

是()

A./(久)為奇函數(shù)

B./(%)的最小正周期為2TT

c.x=:是/(久)的一條對(duì)稱軸

D./(久)在(一；彳)上單調(diào)遞增

【解題思路】由函數(shù)奇偶性的驗(yàn)證可判斷A,根據(jù)周期定義及誘導(dǎo)公式判斷B,根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可判斷C,

根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)判斷D.

【解答過(guò)程】因?yàn)?(%)的定義域?yàn)镽,/(-久)=cos[sin(-x)]=cos(-sinx)=cos(sinx)=/(%),所以/(%)為

偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；

由/(%+K)=cos[sin(x+Ti)]=cos(—sinx)=cos(sinx)=/(%),可得/(%)的最小正周期為mB錯(cuò)誤;

/(；+%)=cos1sinQ+')]=cos(cosx),

/(1-%)=cos[sinQ—%)]=cos(—cos%)=cos(cosx),

因?yàn)榻?%)=建一4所以x=]是f(x)的一條對(duì)稱軸，c正確；

當(dāng)xe(—》0)時(shí)，函數(shù)y=sinx單調(diào)遞增，值域?yàn)?—1,0),

當(dāng)》€(wěn)(-1,0)時(shí)，函數(shù)y=cosx單調(diào)遞增，故/'(x)在(―；,0)上單調(diào)遞增.

當(dāng)xe(0,5時(shí)，函數(shù)y=sinx單調(diào)遞增，值域?yàn)?0,1),

當(dāng)x6(0,1)時(shí)，函數(shù)y=cosx單調(diào)遞減，故f(x)在(0,以上單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤.

故選：C.

【題型8三角函數(shù)的周期性問(wèn)題】

【例8】(2024高二下?云南?學(xué)業(yè)考試)函數(shù)y=cos(2x+§的最小正周期是()

A.4nB.2nC.TTD/

【解題思路】根據(jù)余弦型函數(shù)的最小正周期公式運(yùn)算求解.

【解答過(guò)程】由題意可得：函數(shù)y=cos(2%+§的最小正周期是7=§=11.

故選：C.

【變式8-1](23-24高一下.上海松江.期末)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是周期為it的函數(shù)為()

A.y=cosxB.y=|sinx|C.y=sin2xD.y—tan2x

【解題思路】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的奇偶性和周期性一一判斷即可.

【解答過(guò)程】對(duì)A,y=cosx是偶函數(shù)，周期為2TT,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,設(shè)/'(%)=|sin久定義域?yàn)镽,且f(-久)=|sin(-x)|=|sinx|,則其為偶函數(shù)，

因?yàn)閥=sinx周期為2互，貝Uy=|sinx|的周期為n,故B正確；

對(duì)C,y=sin2久是奇函數(shù)，周期為m故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,y=tan2%是奇函數(shù)，周期為5故D錯(cuò)誤.

故選:B.

【變式8-2](23-24高三上?天津南開(kāi)?期末)設(shè)函數(shù)/(%)=V3sin(6)x-9)(3>0,\(p\<冗).若/(一錄=

04管)=遮，且/(%)的最小正周期大于2m則()

A17Tlcl11TI

A.(X)=-,(p=-----.B.o)=-,(p=—

3>123A24

2n2lln

C.o)=-,(p=-----D.o)=-,(p=——

3*123*12

【解題思路】由題意求得%再由周期公式求得3,再由/(g)=焉可得0=-巳―2km結(jié)合|w|<m求

得9值，即可得解.

【解答過(guò)程】由/(%)的最小正周期大于2m可得；

42

因?yàn)橥?)=。/管)=后可得"等+”4

則7=3冗,且3>0,所以3=年=|，

即/(%)=V3sin(1%-W)，

由/管)=每m(I*曰一9)=后即sin管一9)=L

可得石—W=5+2ku,kEZ,則0=———2kn,k￡Z,

且切<71,可得k=0,@=-已

所以3=|,=-A

故選：C.

【變式8-3](23-24高一下?山東濟(jì)寧?期末)設(shè)函數(shù)/(%)=i4sin(cox+cp)(/、3、0都是常數(shù),/>0,3>0),

若f(x)在區(qū)間[o圖上具有單調(diào)性，且/?(§=/6)=一/(0),則/⑺的最小正周期為()

A.—B.TTC.-D.-

224

【解題思路】記函數(shù)的最小正周期為T,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性計(jì)算可得.

【解答過(guò)程】記函數(shù)/(X)的最小正周期為T,則(，一0=%可得TN學(xué)

又黑)=屋)=一八°)，且合知也

又學(xué)=1所以函數(shù)f(%)的一個(gè)對(duì)稱中心為6,0),

函數(shù)八%)的一條對(duì)稱軸為％="=普，又普*

Z12123124

；==P解得7。

故選:B.

【題型9三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題】

【例9】(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(%)=3cos(3%+0)(3V0,<0<］)的最小正周期為n,

在區(qū)間(一上單調(diào)遞減，且在區(qū)間(o*)上存在零點(diǎn)，則0的取值范圍是()

B.ITTTD.

A?(討)2'3.05

【解題思路】根據(jù)給定周期求得3=-2,再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性及零點(diǎn)所在區(qū)間列出不等式

組，然后結(jié)合已知求出范圍.

【解答過(guò)程】由函數(shù)f(x)的最小正周期為7T,得瑞=m而3<0,解得3=-2

則f(%)=3cos(—2%+0)=3cos(2x—cp),由2/cn<2x—(p<2fcir+6Z,

得2/cn+甲<2x<2/cn+H+eZ,又f(%)在(一2；)上單調(diào)遞減,

66

因此2Mr+0<—且］<2fcir+n+科憶WZ,解得一g—2Ml<(p<—2ku,kEZ