2024-2025學年遼寧省鞍山海城市高二上學期12月月考數學

檢測試題

一、單選題(本大題共8小題)

1.點/(2,-3)關于點8(-1,0)的對稱點4的坐標是()

A.(5,-6)B.(-4,3)C.(3,-3)D.

2.關于空間向量，以下說法錯誤的是()

A.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面

B.若￡%>0，則￡與后的夾角是銳角

___±111

C.已知向量。,6,c是不共面的向量，則2a,6,c-a也是不共面的向量

—?1—?1—、2—?

D.若對空間中任意一點0,^OP=-OA+-OB+-OC,則尸,49。四點共面

3.已知兩條直線4：QX+4〉—1=0,4：%+即+2=0,貝！J"a=2"是"http:////z”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22_

4.已知雙曲線餐-}=1。>06>0的離心率為加，則其漸近線方程是()

A.歹=土1B.y=±—x

32

C.?=±2xD.>=±3x

5.已知直線/：%+歹一2=0與圓川：12+/一4］一4^+。=0交于45兩點，且

\AB\=4y/2,則a=()

A.4B.-4C.2D.-2

6.在棱長為2的正方體45C。-48c2中，E,尸分別是片G和4A的中點，則直線

NC與平面N5跖所成角的正弦值為()

D.孚

1/2

7.已知直線/：>=5%+1與橢圓C:=十,=1(〃>6>0)相交于4,B,且45的中點為

則橢圓c的離心率為()

7V2￡

D.

V2

8.已知尸為拋物線C:/=8x上任意一點，尸為拋物線C的焦點，。為圓

M:（x-8）2+8-4）2=4上任意一點,則忸尸|+|尸的最小值為（）

A.6B.10C.4D.8

二、多選題（本大題共3小題）

9.下列說法正確的是（）

A.直線瓜+y+l=0的傾斜角為120。

B.方程左=匕與方程y-2=Mx+l）可表示同一直線

X+1

C.經過點尸（2,1）,且在X,y軸上截距互為相反數的直線方程為x-y-1=0

D.過兩點4（匹，為），鳥國％）的直線都可用方程（％-尤）（x-xj

表示

10.已知拋物線6：/=如與雙曲線。2：/-1=1有相同的焦點，點尸（2,%）在拋物線

G上，則下列結論正確的有（）

A.雙曲線g的離心率為2B.雙曲線g的漸近線為y=±@x

-3

C.〃?=8D.點尸到拋物線。的焦點的距離為4

11.在長方體48co中，1/151=1^1=2,1^1=1,￡為44的中點，點尸滿足

麗=2函（2>0）,貝！］（）

A.若M為4。的中點，則三棱錐體積為定值

B.存在點尸使得

C.當力=：時，平面尸8C截長方體488-4耳GA所得截面的面積為有

D.若。為長方體/3CD-4gG。外接球上一點，2=2,則|?！陓+|0日的最小值為

V14

三、填空題(本大題共3小題)

12.下列說法正確的是.

①直線尸"-2a+4(aeR)恒過定點(2,4)

②直線y+l=3x在y軸上的截距為1

③直線無+島+1=0的傾斜角為150。

④已知直線/過點p(2,4),且在軸上截距相等，則直線/的方程為x+y-6=o

22

13.橢圓餐+方=1(“>6>0)的右頂點為Z,上頂點為B,右焦點為尸，若直線3尸

與以力為圓心半徑為:6的圓相切，則橢圓離心率等于.

22

14.已知拋物線必=4萬尤,《、片分別是雙曲線?-a=1e>0,6>0)的左、右焦點，

拋物線的準線過雙曲線的左焦點片，且與雙曲線的一條漸近線交于點4若

NFRA=g,則6=.

四、解答題(本大題共5小題)

15.已知圓C的圓心在y軸上，并且過原點和卜石,3).

(1)求圓C的方程；

⑵若線段的端點/(4,-2),端點3在圓C上運動，求線段N3的中點M的軌跡方

程.

16.如圖，已知平面P4D_L平面48C。，△尸40為等腰直角三角形，ZAPD=90°,四

邊形/BCD為直角梯形，CD〃幺B,AB1AD,AB=AD=2,PQUDC,PQ=DC=1.

(1)求二面角。的余弦值；

\QM\

(2)線段。8上是否存在點使得平面08C?若存在，求謁的值；若不存

在，請說明理由.

17.已知橢圓C：=+[=1(。>6>0),離心率《=且點/(2,-1)在橢圓上.

a2b22

(1)求該橢圓的方程;

7T

⑵直線/交橢圓C于尸，。兩點，直線4尸，的斜率之和為0,且/尸/。=5，求

△尸的面積.

18.如圖，PC是圓臺。。2的一條母線，V/8C是圓。2的內接三角形，N5為圓Q的

直徑，AB=4,AC=2y[2.

(1)證明：ABLPC-,

⑵若圓臺。。2的高為3,體積為7兀，求直線與平面P8C夾角的正弦值.

19.已知點/(-2,0),8(2,0),動點V(x,y)滿足直線與的斜率之積為.記

M的軌跡為曲線C.

(1)求。的方程，并說明C是什么曲線；

⑵過坐標原點的直線/交C于P,。兩點，點P在第一象限，尸軸，垂足為E,

連結QE并延長交C于點G.

(i)證明：以。G為直徑的圓必然經過點尸.

(ii)求名的取值范圍，并求當名取得最小值時的直線/的方程.

rkj\JTG

答案

1.【正確答案】B

【詳解】設H點坐標為（X/）,

x+2_

-2_—-fx=-4

則由題意可得、+（_3），解得《=3，

、2-°

所以H點坐標為（-4,3）,

故選：B

2.【正確答案】B

【詳解】選項A：根據共線向量的概念可知，空間中的三個向量，若有兩個向量共

線，則這三個向量一定共面，A說法正確；

選項B：若aZ=同姓cos癡＞0,則￡與辦的夾角是銳角或￡與g同向，即夾角為0,B

說法錯誤；

1111一/、

選項C：假設2a,6,c-a是共面向量，則存在加,"?R使得2,=欣+〃伍-可，

因為向量是不共面的向量，所以也〃無解，則20,力,：-：也是不共面的向量，C

說法正確；

—?1—.1—.2—.112

選項D：因為。尸=萬。4+]O2+1OC,M—+-+y=l,所以P,45,C四點共面，D

說法正確；

故選：B

3.【正確答案】A

【分析】由兩直線平行求出。，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.

n4—1

【詳解】當〃〃2時，-=-^—，則。=±2,

1a2

所以“a=2”是“〃/夕的充分不必要條件.

故選A.

4.【正確答案】D

【詳解】因為雙曲線￡-雪=1。＞06＞0的離心率為加，

ab

所以￡=而，所以[=必要=i+!=io,

"a61cl

所以與=9,所以"3,

a1a

所以雙曲線的漸近線方程是y=±3x.

故選：D

5.【正確答案】D

【詳解】由題意可得圓M的圓心為加（2,2）,半徑廠=j4+4-a=Vi^，

_|2+2-2|l（\ABV\

則圓心W到直線/的距離d=,=&.因為屋+吧=/,

所以（夜了+（2及＞=8-a,即8-a=10,解得a=—2.

故選：D.

6.【正確答案】B

【分析】建立空間直角坐標系，根據題意，求得向量就和平面即的法向量，結

合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】由空間直角坐標系中有棱長為2的正方體N8CO-4與GR,

點、E,F分別是BG和4A的中點，

可得1(0,0,0),3(2,0,0),C(2,2,0),F(0,l,2),

則AC=(2,2,0),AB=(2,0,0),AF=(0,1,2),

_n-AB=2x=0

設平面/3E尸的法向量為〃=(x,%z),貝！一，

n-AF-y+2z=0

取y=2,可得x=0,z=_l,所以〃=(0,2,-1),

設直線/C與平面/BE尸所成角6,則sin6='^==三

|n|-Uc2j2xj55

即直線/C與平面尸所成角的正弦值為巫.

5

故選B.

7.【正確答案】B

【分析】利用過橢圓上兩點2（苞,％）,8（X2，%）的直線方程為

&+%咱-々）+（%+%）”％）=0,結合中點L及直線方程

abI2）

l：y=^-x+l,化簡得到!」，利用e=Jl—耳即可求解.

22

2a4Va

【詳解】設48兩點坐標分別為（國,弘）,（%,%），因為的中點為

所以

因為/（無”,）,8（%,%）在橢圓C上,

丫2i；2丫22

所以與+2=1①，與+2=1,

abab

兩式相減，得勺+日子=（再+%）仆一％）+（弘+力？f）=0,

a2b2a2b2

根據幺盧=-1,方匹=:，上式可化簡為-2（再-/）+^1二。,

222a2b2

整理得為二匹=磐,又g=k=g所以%['即

xx-x2a

所以e=2

a

故選B.

8.【正確答案】D

【詳解】如圖，過點尸作垂直準線于點H,連接尸”交。M于點。.

由題意可得尸（2,0）,C的準線方程為》=-2,|尸尸|+|尸0|=|尸陽+|尸丈

因為|「。|=\PM\-\QM\=\PM\-2,所以歸尸|+\PQ\=\PH\+\PM\-2,

當M,產出三點共線時，|尸司+戶網取得最小值，最小值為8+2=10,

所以|尸盟+|尸。|的最小值為10-2=8.

故選：D

9.【正確答案】AD

【分析】對于A項，先求斜率，進而可得傾斜角；對于B項，注意區分方程左=匕1

與方程了-2=左口+1）的不同之處；對于C項，設直線/：y-1=k（x-2）,進而可得截

距，根據題意進行求解即可；對于D項，根據兩點式方程的變形進行判斷即可.

【詳解】對于A項，直線氐+y+l=O的斜率左=-6,傾斜角為120°,所以A正

確；

對于B項，左=三表示過點（-1,2）斜率為左的直線，但不含點（-1,2）,而

y-2=M》+1）表示過點（T2）斜率為左的直線，且含點（-1,2）,所以B錯誤；

對于C項，經過點尸（2,1）,斜率存在，設直線為了-1=左（尤-2）,若在x,了軸上截距

互為相反數，則1一2左+2-：=0,解得左=,或左=1,

k2

所以直線方程為x-2y=0或》-尸1=0,所以C錯誤；

對于D項，方程（尤2-尤1乂y-弘）=（歹2-%）（》-尤I）為直線兩點式方程的變形，可以表示

經過任意兩點POi，y。、Q（X2，y2）的直線，所以D正確；

故選AD.

10.【正確答案】ACD

【詳解】雙曲線C2的離心率為e='垣=2,故A正確；

1

雙曲線C2的漸近線為＞=±亞，故B錯誤；

由G，C?有相同焦點，即＜=2,即機=8,故C正確；

拋物線/=8x焦點為（2,0）,點尸（2,%）在。上，則%=±4,故P（2,4）或尸（2,-4）,所

以P到C1的焦點的距離為4,故D正確.

故選：ACD.

11.【正確答案】ACD

【詳解】對于A：因為“為4。的中點，E為44的中點，所以DBJ/EM,所以。用〃

面BEM,

則尸到面的距離為定值，所以體積為定值，所以A正確.

對于B：4P在平面48月4的投影在線段/片上，若AP工BE,又DA1.BE,

^AP[\DA=A,所以BE，平面/。修，又481U平面/。與，所以

因為四邊形為正方形，所以與BE不垂直，所以B錯誤.

對于C：平面PCD與平面綽切重合，平面卻R與平面DC44重合，所以延長CP會

一.2—Imli

與直線4月有交點N,因為。尸=彳。耳，又ANPB'fCPD,所以已=葭\PB.=不，

即N為點E,又平面NBCO//平面48￡口，所以平面PBC和平面4且C。1的交線

與BC平行，取GA中點F，則平面心C截長方體N8CD-481GA所得截面為矩

形BCFE,所以面積為石，所以C正確.

對于D：易知長方體的外接球半徑為:，球心是。鳥的中點。，由2=2,得|。尸|=6,

|。尸|=?>[,\QE\=^<-,則點P在球外，點￡在球內，(|0E|+|0P|hn=|尸國,

2222

如圖，建立空間直角坐標系，設尸(x),z),則￡(0,1,2),。。,0,0),片(0,2,2),

所以而=(x-Ly,z)=2函=2(-1,2,2),即尸(-1,4,4),

所以|尸囿=、（_1）2+（4—1）2+（4—2『=所以D正確.

故選：ACD.

12.【正確答案】①③

【詳解】對于①，因為"辦-20+4,所以y-4=a（x-2）,所以直線過定點（2,4）,故

①對；

對于②，令久=0得丫=-1,所以直線在V軸上的截距為-1,故②錯；

對于③，直線可變形為y=-@x-@,設其傾斜角為凡所以斜率左=tan”-立，

333

因為6?0,180。），所以6=150。，故③對；

對于④，當直線/的截距為0時，可設/：y=Ax,

代入尸（2,4）可得4=2"解得左=2,此時直線/：y=2x,即2x-y=0；

當直線/的截距不為0時，因為直線/在陽/軸上的截距相等，可設

aa

代入P（2,4）得2+±=1,解得0=6,此時直線/:土+上=1,即/:x+y-6=0,故④錯.

aa66

故答案：①③

2

13.【正確答案】j

【分析】求出直線跖的方程為：bx+cy-bc=0,根據點到直線的距離得到方程，求

出9eZ-18e+8=0,求出離心率即可.

【詳解】依題意，工（。,0）,8（0*），F（c,0）,所以直線班'的方程為：

bx+cy-bc=0f

11\ab-bc\

又直線8尸與以/為圓心半徑為②的圓相切，故=1/,一,

33^b2+c2

即9a2-18ac+9c2=Z72+c2,8a2-1Sac+9c2=0,

24

方程兩邊同除以/得9e2-18e+8=0,解得e=（或e=；

2

又橢圓的離心率0<e<l,所以e=§.

2

故答案為

14.【正確答案】2百

【詳解】如圖所示，因為拋物線丁=4瓜,所以22=4而，p=2岳

因為拋物線的準線過雙曲線的左焦點與，所以|月月|=p=29,

所以￡（一店,0）,c2=a2+b2=U

又因為雙曲線的一條漸近線/“：y=-2x,

a

所以《（一瓦,地電）,

a

ITM印

因為/月8/=],所以tan/「&"=

1^1

Ab

即/，化簡得2Ga=b，

_2V13

又因為c?=/+〃=13,聯立解得°=1,6=26

故答案為.28

15.【正確答案】（l）x2+（y-2『=4

【詳解】（1）設圓C方程：x2+（y-6）2=r2（r>0）,

22

b=r6=2

由已知，—可+（3””一解得

r=2

...圓C的方程為一+。-2）2=4.

(2)設點MQ,y),B(x0,y0).

?；/(4,一2),

丫_尤。+

人—4

.2

.?二2?

I2

整理得x（）=2x-4,yQ=2y+2,

:點3在圓C上，A（2X-4）2+（2J）2=4,

.?.點”的軌跡方程為（X-2）2+?2=I.

16.【正確答案】（1）逅

6

【詳解】（1）取/O的中點為。一以=尸。,，。尸，/。.

:平面尸4D_L平面/5C￡>,OPu平面尸4D,平面P4DC平面48a>=40,;.OP_L平面

ABCD.

以點。為坐標原點，分別以直線。2。尸為y軸，z軸，過O且平行N8的直線為x軸,

建立如圖的空間直角坐標系O-xyz,

.?.^(o,-i,o),s(2,-i,o),c(i,i,o),g(i,o,1),5g=(-i,i,i),eg=(o,-i,i),

設平面03c的法向量為力=(x,y,z),

.n-BQ=0\-x+y+z=0,>ix^y+z,

n-CQ=0,[-y+z=0-,b=z-

令z=l,貝!|>=1,》=2,:.元=（2,1,1）.

又平面/3C的法向量為灰=（0。1）,貝ijcos而，萬=?==

設二面角0-BC-/的平面角為6,由圖形知。為銳角，

COS0=^~,即二面角。-BC-/的余弦值為好.

66

（2）設曲=2礪（04241）,?.?）=（1,一1,_1）,二西=（4一幾_2）,

:.AM=AQ+QM=（1+2,1-2,1-2）.

又平面08c的法向量為萬=（2,1,1）,，平面。8C,n//AM，

.1+A1-A1-A

>>——.-.2=1,即麗=；夠

211

\QM\1\QM\1

.,?勒=:故在線段。5上存在點M,使/ML平面3C,且扃的值是I

供|333

17.【正確答案】（1）二+其=1

82

/、48

（2）—

-25

a=2女

【詳解】解得＜

b=V2

故橢圓C.

82

TT

（2）如圖，設直線NP的傾斜角為由/尸力0=5，2a+/PAQ=7i,

即4尸：y=x-3,AQ：y=-x+l,

y=x-3

聯立/產解得％=《或2（舍），故尸

——十一二

82

y=-x+l

2

聯立d/解得x=-1或2（舍），故。

—+—=

182

又“（2,-1）,

，|）。|=

故口小叩。I小警X竽=!!.

18.【正確答案】(1)證明見詳解；

3V1?_

19

【詳解】(1)由題知，因為NB為圓2的直徑，所以/C，3C,

又AB=4,AC=2G.,所以NB=yjAB2-AC2=272，

因為外為N5的中點，所以QCL/2，

由圓臺性質可知，。。2,平面/Be,且a,a,尸,0四點共面，

因為NBu平面ABC,所以OR1AB,

因為QQ，QC是平面0。2cp內的兩條相交直線，所以N5，平面0。2cp，

因為尸Cu平面。。2。尸，所以NB_LPC.

(2)圓臺OR的體積/=：(兀%2+兀+6彳:?￥)x3=7兀，其中外=尸。一

解得。=1或4=一3(舍去).

由(1)知a。?,43,2c兩兩垂直，分別以asacaq為x軸、＞軸、z軸建立空間

直角坐標系，如圖，

則A(-2,0,0),5(2,0,0),C(0,2,0),P(0,1,3),

所以方=(4,0,0),BP=(-2,1,3),BC=(-2,2,0).

設平面PBC的一個法向量為萬=(x,y,z),

n-BP=-2x+y+3z=0,[x=y,

則_解得;

ii-BC=-2x+2y=0,[x=3z,

于是可取元=(3,3,1).

設直