第四章概率與統計章末題型大總結

知識網絡

概

率

與

統

計

題型總結

兩點分布

二項分布

條件概率、乘法公式及全概率公式

超幾何分布

相互獨立事件的概率、獨立重復試驗的概率

正態分布

隨機變■分布列及性質

題型分類一元線性回歸方程

隨機變■的期望與方差

非線性回歸方程

期望與方差的性質獨立性檢驗

概率統計的綜合問題

02題型精講

題型01條件概率、乘法公式及全概率公式

解題錦囊

1.求條件概率的主要方法

P(AAB)

（1）利用條件概率公式P（B|A）

尸⑷

（2）針對古典概型，可通過縮減基本事件總數求解.

2.應用乘法公式的注意點

在利用乘法公式解決實際問題時，要注意區分P（B|A）和P（A|B）的不同，P（B|A）表示在事件A發生的條件下,

事件8發生的概率；而P（A|B）則表示在事件B發生的條件下，事件A發生的概率.

【典例1]（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習）秋冬季節是某呼吸道疾病的高發期，為了解該疾病的

發病情況，疾控部門對該地區居民進行普查化驗，化驗結果陽性率為1.96%,但統計分析結果顯示患病率為

1%,醫學研究表明化驗結果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗結果呈陽性的概率為0.01,

則該地區患有該疾病的居民化驗結果呈陽性的概率為（）

A.0.99B.0.98C.0.97D.0.96

【變式工】（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習）如圖，一個質點從原點0出發，每隔一秒隨機等可能

地向左或向右移動一個單位，共移動4次，在質點第一秒位于1的位置的條件下，該質點共經過兩次2的

位置的概率為（）

-4-3-2-101234x

1131

A.-B.-C.—D.一

4886

【變式2】（23-24高二下?浙江寧波?期中）已知甲、乙兩個袋子各裝有10個球，其中甲袋子中裝有4個黑

球、3個白球和3個紅球，乙袋子中裝有3個黑球、2個白球和5個紅球.規定拋擲一枚質地均勻的硬幣，若

正面朝上，則從甲袋子中隨機摸出一個球：若反面朝上，則從乙袋子中隨機換出一個球，下列概率中等于04

的為（）

A.摸到黑球B.摸到紅球

C.在拋出的硬幣正面朝上的條件下，摸到白球D.在拋出的硬幣反面朝上的條件下，摸到紅球

【變式3]（23-24高二下?重慶九龍坡?期中）在某次流感疫情爆發期間，A,B,C三個地區均爆發了流感，

經調查統計A,B,C地區分別有10%,9%,8%的人患過流感，且A,B,C三個地區的人數的比為9:6:7.現

從這三個地區中隨機選取一人，則此人患過流感的概率為（）

111911

A.—B.—C.---D.

1150100150

【變式4】（23-24高二下?內蒙古通遼?階段練習）某廠生產螺口燈泡和卡口燈泡兩種燈泡，其中螺口燈泡的

產量占70%,螺口燈泡的合格率是95%,卡口燈泡的合格率是85%.現隨機取一只燈泡，發現是合格的，這

只燈泡是螺口燈泡的概率約為（）

A.0.665B.0.723C.0.7D.0.737

題型02相互獨立事件的概率、獨立重復試驗的概率

lr=========================:------==.----11

||解題錦囊|

1.求相互獨立事件同時發生的概率需注意的三個問題

III

||（1）“P（A8）P（A）P（B）”是判斷事件是否相互獨立的充要條件，也是解答相互獨立事件概率問題的唯一工具.|

11（2）涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問題，務必分清事件間的相互關系.I

III

II（3）公式“P（A+B）1—P（彳三）”常應用于求相互獨立事件至少有一個發生的概率.I

2.在解決概率問題時，一定要根據有關概念判斷是互斥事件、相互獨立事件，條件概率等，用基本事件表示?

II較復雜的事件，選擇正確的計算方法，同時要注意幾種事件的綜合問題，需全面考慮.I

L=====================================U

【典例1］（24-25高二上?四川眉山?階段練習）某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而

且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨

傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設每天上班和下班時下雨的概率均為:，不

2

下雨的概率均為且與過去情況相互獨立.現在兩把雨傘均在家里，那么連續上班兩天，他至少有一天淋

雨的概率為（）

1620828

A.—B.—C.—D.—

81812781

【變式1】（24-25高二上?廣東佛山?階段練習）投籃測試中，每人投2次，至少投中1次才能通過測試.已知

某同學每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為（）

A.0.24B.0.48C.0.84D.0.94

【變式2】（24-25高二上?湖北鄂州?期中）"五道方"是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進行“五道方"比賽，

17

約定連勝兩場者贏得比賽.若每場比賽，甲勝的概率為乙勝的概率為則比賽6場后甲贏得比賽的概

率為（）

.321642

A.---B.---C.---D.---

729729729729

【變式3】（24-25高二上?湖北武漢?期中）概率論起源于博弈游戲17世紀，曾有一個“賭金分配”的問題：

博弈水平相當的甲、乙兩人進行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負，沒有平局.雙方約定：各出賭金210

枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金.但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局，問這420

枚金幣的賭金該如何分配？數學家費馬和帕斯卡都用了現在稱之為"概率"的知識，合理地給出了賭金分配方

案.該分配方案是（）

A.甲315枚，乙105枚B.甲280枚，乙140枚

C.甲210枚，乙210枚D.甲336枚，乙84枚

【變式4】（23-24高二下?貴州?期中）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間

隔相等的圓柱形鐵釘，并且每一-排鐵釘數目都比上一排多一個，一排中各個鐵釘恰好對準上面一排兩相鄰

鐵釘的正中央.從入口處放入一個直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當小球從兩釘之間的間隙下落時，由

于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘的間隙，又碰到下一排

鐵釘如此繼續下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球.理論上，小球落入2號容器的概率

是多少（）

回固國回回

題型03隨機變量分布列及性質

解題錦囊

II分布列的兩個性質

①.20,",2,???,n；②pi+p2H-----\~pnl.

―====================================

[真加1]（23-24高三木產法寶林.期東）隨加爰量丫的分編列務不袤所示，若隔就盛各1,則：（）

Y-202

p(y)abc

A.a+b+c=lB.2a+2c—4

C.-2o+2c=2D.a=c

【變式1】（23-24高二下?遼寧沈陽?期中）隨機變量X的分布列如下（上為常數）:

X012

Pk6k0.3

A.0.6B.0.7C.0.9D.1.2

【變式2】（23-24高二下?河北滄州?期末）設隨機變量乂的分布列尸（*=左）=61仕=1,2,3,4,5）,則

—1

P（X"）=（）

【變式3】（23-24高二下?福建莆田?期末）隨機變量自服從兩點分布，其分布列如下

題型04隨機變量的期望與方差

11解題錦囊

II

離散型隨機變量的期望和方差是隨機變量中兩種最重要的特征數,它們反映了隨機變量取值的平均值及其穩

11定性.期望與方差在實際問題中有廣泛的應用，是高考的熱點.

II

I解決均值、方差的應用時，先要將實際問題數學化，然后求出隨機變量的概率分布列.對于一般類型的隨機

11變量，應先求其分布列，再代入公式計算，此時解題的關鍵是概率的計算.計算概率時要結合事件的特點，靈活

II地結合排列組合、古典概型、獨立重復試驗概率、互斥事件和相互獨立事件的概率等知識求解.

IL=====================================

（2/25高二上?湖1層麻期中5示迷麗扇盒中有通個除所標雙號函知同■的底，它行務可標有

數字1,1,2,3,現從中隨機取2個球.

⑴求取到2個標有數字1的球的概率；

（2）設X為取出的2個球上的數字之和，求X的分布列和數學期望.

【變式工】（23-24高二下?青海?期末）已知一組數據1,2,2,5,5,6的第80百分位數為機，隨機變量

X的分布列為

X2m14

P0.30.60.1

D（X）=（）

A.5B.6C.9.8D.10.8

【變式2】（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?期中）高考數學試題第二部分為多選題，共3個小題，每小題有4個

選項，其中有2個或3個是正確選項，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.若正確答案是2

個選項，只選對1個得3分，有選錯的得。分；若正確答案是3個選項，只選對1個得2分，只選對2個得4分，

2

有選錯的得。分.小明對其中的一道題完全不會，該題有兩個正確選項的概率是記X為小明隨機選擇1個

選項的得分，記y為小明隨機選擇2個選項的得分，則（）

A.尸（X=3）=尸（y=4）+尸（y=6）B.E（y）＜E（X）

C.O（x）=：D.E（X2）"（X）=；

【變式3】（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?期中）某志愿者社團計劃在周一和周二兩天各舉行一次活動，分

別由甲、乙兩人負責活動通知，已知該社團共有〃位同學，每次活動均需左位同學參加.假設甲和乙分別將

各自活動通知的信息獨立、隨機地發給該社團％位同學，且所發信息都能收到.

⑴當〃=8,左=3時，求該社團只有小明同學同時收到甲、乙兩人所發活動通知信息的概率；

（2）記至少收到一個活動通知信息的同學人數為X

①設〃=5,k=2,求隨機變量X的分布列和數學期望；

②求使尸（X=m）取得最大值的整數m.

題型05期望與方差的性質

解題錦囊II

II均值、方差的性質

（1）若〃b是常數），忑是隨機變量，則〃也是隨機變量，且E（〃）E（逋+b）aE（J+6.

II（2）r>（a<f+Z?）a2O（a.

y—————————————————————————————————————=u

C.E（x）=2,D（x）=1.8D.E（Y）=3,D（Y）=7.2

【變式1］（23-24高二下?新疆?期中）已知E（X）=3,D（2X-1）=8,則（）

A.￡（2X-1）=5B.E（2X-1）=6

C.D（X）=2D.D（X）=4

【變式3】（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習）（多選）某中學組織了足球射門比賽.規定每名同學有

5次射門機會，踢進一球得8分，沒踢進得-4分.小明參加比賽且沒有放棄任何一次射門機會，每次踢進

2

的概率為I，每次射門相互獨立.記X為小明的得分總和，J為小明踢進球的次數，則下列結論正確的是（）

A.E⑷=gB.

C.P（X=4）=C嘲D.E（X）=20

【變式4】（2024高二?全國?專題練習）（多選）如圖，一個質點在隨機外力的作用下，從原點。出發，每隔

1s等可能地向左或向右移動一個單位.設移動“次后質點位于位置X.,則下列結論正確的是（）

-6-5-4-3-2-10123456

A.P（X5=-1）=A

B.￡（X5）=0

C.D（X6）=3

D.移動6次后質點位于原點。的概率最大

題型06兩點分布

解題錦囊I

I

兩點分布：是很簡單的一種概率分布，其實驗結果只有兩種可能，且概率和為1；兩點分布列又稱°一1分|

II布列或佰努利分布列；兩點分布能清晰的反映出事件的正反兩面.兩點分布的應用十分廣泛，如抽取的彩票是否11

I

11中獎，買回的意見產品是否為正品，新生兒的鑒定，投籃是否命中等.|

U======================================y

【典例1】已知隨機變量X服從兩點分布，且P（X=l）=0.4,設y=2X—1,那么P（y=-1）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

【變式1】已知隨機變量X服從兩點分布，且尸（X=l）=0.6.設y=3X-2,那么尸（y=-2）等于（）

A.0.6B.0.3C.0.2D.0.4

【變式2】已知離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，且尸（X=0）=2—5P（X=l）=a,貝（）

3112

A.-B.-C.—D.一

4233

【變式3】隨機變量X服從兩點分布，且尸（X=l）=0.2,令y=3X—2,則p（y=-2）=（）

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.8

題型07二項分布

lr==============:=======================Tl

||解題錦囊|

11二項分布11

III

||若。?3（〃，p）,貝！IEfp,D^np{\—p）.|

根據獨立重復試驗求二項分布的有關問題時，關鍵是理清事件與事件之間的關系，確定二項分布的試驗次數I

III

II”和變量的概率，求得概率.

【典例1］（23-24高二下?山東泰安?期末）若隨機變量X服從二項分布，X-5（10,0.7）；隨機變量丫服從

二項分布，且y~3（10,0.8）,則下列結果正確的有（）

A.E（X）=0.7,E（y）=6.4B,D（X）=0.21,0（7）=1.6

3773

C.P（X=3）=CjoO.7xO.3D.P（y=3）=C^OO.8X0.3

3

【變式1】【變式4】（23-24高二下?河南商丘?期末）設隨機變量X3（3,#,若O（X）="則P（XN2）=

（）

1321

A.—B.-C.-D.一

3432

【變式2】（23-24高二下?吉林白山?期末）已知隨機變量X~3（”,0.5）,當且僅當％=4時，P（X=/r）取得最

大值，貝U〃=（）

A.7B.8C.9D.10

【變式3】（23-24高二下?北京海淀?期末）小明投籃3次，每次投中的概率為0.8,且每次投籃互不影響，

若投中一次得2分，沒投中得。分，總得分為X,則（）

A.E（X）=2.4B,E（X）=4.8C.D（X）=0.48D,￡＞（%）=0.96

【變式4】（23-24高二下?四川綿陽?期末）某市政道路兩旁需要進行綠化，計劃從甲，乙，丙三種樹木中選

擇一種進行栽種，通過民意調查顯示，贊成栽種乙樹木的概率為g,若從該地市民中隨機選取4人進行訪

談，則至少有3人建議栽種乙樹木的概率為（）

5481

A.—B.—C.—D.一

2727819

題型08超幾何分布

11解題錦囊

II

II超幾何分布

"什.nM（N—M）（N—n）

||右己~H（N,n,Af）則n后“-,D?.1（__］）-

II

II對超幾何分布的三點說明

II（1）超幾何分布的模型是不放回抽樣.

II

（2）超幾何分布中的參數是M,N,n.

（3）超幾何分布可解決產品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、學生中的男和女等問題，往往由具有明

［顯差異的兩部分組成.

建=====================================

【典例1］（23-24高二下,江蘇南通?階段練習）廠家生產一種產品，產品的質量指標服從正態分布N（90,b］,

其中J不低于85的為合格品.已知合格率為80%,廠家將合格品按100件一箱包裝出廠.某經銷商購進一

批該產品分等級銷售，質量指標高于95的貼“一等品"標簽，其余貼"二等品"標簽，每件"二等品"的利潤是

12元.

⑴經銷商在購進的產品中任取一件，求該產品是"一等品"的概率；

（2）從一箱產品中任取3件，需要貼"一等品"標簽的個數為X,求X的分布列；

⑶已知一箱產品利潤的期望是1800元，求每件"一等品”的利潤.

【變式1】（23-24高二下?江蘇揚州,階段練習）己知甲參加青年志愿者的選拔，選拔以現場答題的方式進

行.已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道題，規定每次考試都從備選題中隨機抽出3道題進行

測試，設甲答對的試題數為X,則X=2的概率為（）

【變式2】（23-24高二下?山東青島?期中）數學老師從6道題中隨機抽3道讓同學檢測，規定至少要解答

正確2道題才能及格.某同學只能正確求解其中的4道題，則該同學能及格的概率為（）

,4231

A.-B.-C.—D.一

5352

【變式3】（23-24高二下?新疆省直轄縣級單位?階段練習）一個班級共有30名學生，其中有10名女生,

現從中任選三人代表班級參加學校開展的某項活動，假設選出的3名代表中的女生人數為變量X,男生的

人數為變量「則P（乂=2）+「*=2）等于（）

AcX,c；0+c；。

A*「3b,p3

joJo

rCM-+C；oC；o（C；o+C；。）.（C；o+C；。）

-

【變式4】（23-24高二下?云南保山?階段練習）為深入學習貫徹黨的二十大精神，推動全市黨員干部群眾用

好"學習強國"學習平臺，某單位組織“學習強國”知識競賽，競賽共有10道題目，隨機抽取3道讓參賽者回

答，規定參賽者至少要答對其中2道才能通過初試.已知某參賽黨員甲只能答對其中的6道，那么黨員甲抽

到能答對題目數X的數學期望為.

題型09正態分布

解題錦囊

1.正態分布

[（%—4）

若Xfz,玲，則網，萩，X的概率密度函數”）而一▽

2.正態分布的概率求法

（1）注意“3c原則”的適用范圍.記住正態總體在三個區間內取值的概率.

（2）注意數形結合.由于正態分布密度曲線具有完美的對稱性，體現了數形結合的重要思想，因此運用對

稱性結合圖像解決某一區間內的概率問題成為熱點問題.

【典例1］（23-24高二下?四川德陽?期末）為弘揚我國優秀的傳統文化，某市教育局對全市所有中小學生

進行了"成語”聽寫測試，經過大數據分析，發現本次聽寫測試成績服從正態分布N（78,4）.試根據正態分

布的相關知識估計測試成績不小于90的學生所占的百分比為（）

參考數據：若t］~N出吟,貝IJP（〃一a）<X<"+￡）=0.6826,尸（〃一2a<X<〃+2cr）=0.9544,

尸（〃-3c<X<〃+3b）=0.9974.

A.0.13%B.1.3%C.3%D.3.3%

【變式1］（23-24高二下?河南安陽?期中）某次高三統考共有12000名學生參加，若本次考試的數學成績X

服從正態分布N（100Q2）,已知數學成績在70分到130分之間的人數約為總人數的（，則此次考試中數學

成績不低于130分的學生人數約為（）

A.2400B.1200C.1000D.800

【變式2］（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習）已知隨機變量X服從正態分布N（4,4）,p（x>5）=0.3,

則P（3<X<4）=（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【變式3］（23-24高二下?上海金山?期末）已知隨機變量X服從正態分布N出吟,若P（X<-1）>P（X>3）,

則實數M的取值范圍是.

題型10一元線性回歸方程

II解題錦囊

對于線性回歸直線方程的應用主要體現在以下兩個方面.II

（1）判斷兩個變量的關系，主要體現在分析兩個變量的相關性，畫出樣本點的散點圖或相關系數.確定兩變II

［量具有線性相關關系，再求出線性回歸方程.II

（2）如果x,y的線性相關關系具有統計意義，就可以用回歸直線方程進行預測和控制.預測是指對于x的取；

"值范圍內任一個xo,y取相應值加的估計；控制是指通過控制x的值把y的值控制在指定范圍內.

1!=====================================2

【典例1］市場監管部門對某線下某實體店2023年前兩季度的月利潤情況進行調查統計，得到的數據如

下：

月份X123456

凈利潤y（萬元）1.01.41.72.02.22.4

⑴是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關系？請用相關系數r加以說明；（參考：若上|20.75時，則線性

相關程度較高，0.3<卜|<0.75,則線性相關程度一般，計算「時精確度為0.01）

（2）利用最小二乘法求出y關于x的回歸方程；用樣本估計總體，請預估第9月份的利潤.

附：對于一組數據（如片）（，=1,2,3,,〃），其回歸直線￡=&+/“的斜率

￡uivj-nu-vE%%-nu.v

8="------------相關系數r=建'=[屋_

￡d-n(u)2uf-n(u)2-1^v,2-n(v)2

i=lVi=lVi=l

參考數據：y=1.78,6（y）2?19.01,Z%M=42.3,yf=20.45,J17.5xl.44=5.02，——?0.28.

i=iz=i875

【變式1】（24-25高二上?河南南陽?階段練習）某產品的廣告費用x與銷售額，的統計數據如下表：

廣告費用X/萬元4235

銷售額，/萬元49263954

根據上表可得線性回歸方程>=意+4中的A為9.4,據此模型預測廣告費用為6萬元時銷售額為（）

A.9.1萬元B.9.2萬元

C.67.7萬元D.65.5萬元

【變式2】（23-24高二下?河北?階段練習）由于人們健康意識的提升，運動愛好者人群不斷擴大，運動相

關行業得到快速發展.某運動品牌專賣店從2019年至2023年的年銷售額如下表：

年份20192020202120222023

年份編號工12345

年銷售額，/萬元3035458080

⑴請根據表中的數據用最小二乘法求'與x的經驗回歸方程亍=九+&,并預測2024年該店的年銷售額.

（2）該專賣店為了回饋廣大消費者，推出了消費抽獎返現活動，規則如下：凡一次性消費滿700元可抽獎1

次，滿1000元可抽獎2次.其中一次抽獎返現金額及概率如下表:

返現金額70100

2

概率

73

已知一位消費者一次性消費滿7。。元的概率無，滿1。。。元的概率為:，求這位消費者抽獎返現金額X的

分布列與期望.

附：經驗回歸方程亍=殘+&中，B=J-----------------=號--------,a=y-x.

可2^xr-rix2

i=li=l

【變式3】（23-24高二下?內蒙古呼和浩特?階段練習）某品牌電腦專賣店的年銷售量'與該年廣告費用尤有

關，如表收集了4組觀測數據:

X（萬元）1456

y（百臺）30408070

以廣告費用了為解釋變量，銷售量y為預報變量對這兩個變量進行統計分析.

⑴已知這兩個變量呈線性相關關系，試建立丁與x之間的回歸方程y=bx+a；

⑵假如2017年該專賣店廣告費用支出計劃為10萬元，根據你得到的模型，預測這一年的銷售量，.

2（%-可（％-歹）

參考公式：b=-----------=y---------，a=y-bx.

可2支X；-標2

i=li=l

題型11非線性回歸方程

解題錦囊

II建立非線性經驗回歸模型的基本步驟

1.確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是響應變量；

II2.由經驗確定非線性經驗回歸方程的模型；

3.通過變換（一般題目都有明顯的暗示如何換元，換元成什么變量），將非線性經驗回歸模型轉化為線性經

II驗回歸模型（特別注意：使用線性回歸方程的公式，注意代入變換后的變量）；

4.按照公式計算經驗回歸方程中的參數，得到經驗回歸方程；

II5.消去新元，得到非線性經驗回歸方程；

L_________________________________=_____________________________________________________________________________________________________________________________==___________

頊碗1】痰施詢百18衽紀瑞王的一種藪學游戲，玩家需要瓶搪9x9盤面下的巨知數字，推理出訪看

剩余空格的數字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮（3x3）內的數字均含1?9,且不重復.數獨愛

好者小明打算報名參加"絲路杯"全國數獨大賽初級組的比賽.

參考數據：t=-

77

ft*t

Z=1Z=1

17700.370.55

參考公式：對于一組數據（%,匕），（M2,V2）,回，（"",乙）,其經驗回歸方程。=&+筋的斜率和截距的最小二

〃__

乘估計分別為6=中--------，6=

C2—2

z=l

⑴賽前小明進行了一段時間的訓練，每天解題的平均速度y（秒/題）與訓練天數％（天）有關，經統計得到

如下數據:

X（天）1234567

y（秒/題）910800800440300240210

現用作為回歸方程模型，請利用表中數據，求出該回歸方程；（用分數表示）

X

（2）小明和小紅玩"對戰賽"，每局兩人同時開始解一道數獨題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定

2

先勝3局者贏得比賽.若小明每局獲勝的概率為且各局之間相互獨立，設比賽X局后結束，求隨機變

量X的分布列及均值.

【變式1】（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?期中）某學校為了解校慶期間不同時段的校門人流量，從上午8點

開始第一次反饋校門人流量，以后每過2小時反饋一次，共統計了前3次的數據（i,y）,其中，=1,2,3,%

為第i次人流量數據（單位：千人），由此得到y關于，的回歸方程y=61og2，+a.已知7=4,根據回歸方程，

可預測下午2點時校門人流量為（）千人.

參考數據：log237.6

A.9.6B.10.8C.12D.13.2

【變式2]（23-24高二下?河南南陽?期中）某研發團隊實現了從單點光譜儀到超光譜成像芯片的跨越.為制定

下一年的研發投入計劃，該研發團隊需要了解年研發資金投入量x（單位：億元）對年銷售額y（單位：億

元）的影響.結合近12年的年研發資金投入量x和年銷售額九該團隊建立了兩個函數模型：=?+

②y=其中a,尸口，均為常數，e為自然對數的底數.經對歷史數據的初步處理，得到散點圖如圖.令

%=人必=lny（72,-,12），計算得到如下數據.

Ay/億元

80.

75■:

70-/

65■?

60j..?

萬[1015202530x/K元

121212

X(yi-y)2

Xy￡(%-呼2（元，-元）（匕-比）

i=li=li=l

206677020014

121212

S(w,-?)2

UV2("-篦)(人-刃

Z=1i=li=l

4804.2031270000.30821700

⑴設變量〃和變量y的樣本相關系數為6,變量尤和變量v的樣本相關系數為弓，請從樣本相關系數的角度,

選擇一個，與X相關性較強的模型.

⑵（i）根據（1）的選擇及表中數據，建立，關于X的經驗回歸方程（系數精確到0.01）；

（ii）若下一年銷售額需達到80億元，預測下一年的研發資金投入量.

￡（西一丁）（》一》）

附：胸土8.9443,04382。。80；樣本相關系數,=/”=經驗回歸方程勺=&+叁，其中

\￡（一）苣（…2

VZ=1Z=1

。-可（必-歹），

g=上—----------,a=y-bx.

￡（%-寸

i=l

【變式3］（23-24高二下?寧夏銀川?階段練習）紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對柚子樹造成嚴重傷害,

每只紅蜘蛛的平均產卵數V（個）和平均溫度x（C）有關，現收集了以往某地的7組數據，得到下面的散點

圖及一些統計量的值.

⑴根據散點圖判斷，y=云+。與＞=*&（其中e=2.718…為自然對數的底數）哪一個更適合作為平均產卵

數N（個）關于平均溫度x（C）的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）由（1）的判斷結果及表中數據，求出'關于x的回歸方程.（計算結果精確到0.1）

nn

￡（為一可（y-y）Zv’T政

附：回歸方程中亍=加+2A=上%-----------=嚀---------,a^y-bx

￡（七-才力-戒2

i=li=l

題型12獨立性檢驗

I解題錦囊

獨立性檢驗的兩個關鍵

I一是弄清問題中的兩個變量及其取值分別是什么，其次掌握2x2列聯表的結構特征.

二是利用2x2列聯表計算*的值，再結合常用的顯著性水平及對應的分位數表來分析兩變量相關的可能性

|大小.

L________________________________________________________

【嵬碗1】（24-25高二上嘿無遷哈爾濱?期前）隨著冬天的信逅哈爾濱氏座冰雪之城，將氤血為旅游

的熱門目的地.為更好地提升旅游品質,我市文旅局隨機選擇100名青年游客對哈爾濱出行體驗進行滿意度評

分（滿分100分），80分及以上為良好等級，根據評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴根據頻率分布直方圖，求x的值并估計該評分的上四分位數；

⑵若采用按比例分層抽樣的方法從評分在[70,80）,[80,90）的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取3

人進行單獨交流，求選取的4人中評分等級為良好的人數X的分布列和數學期望；

⑶為進一步了解不同年齡段游客對哈爾濱出行體驗的反饋，我市文旅局再次隨機選擇100名中老年游客進

行滿意度評分，發現兩次調查中評分為良好等級的人數為120名.請根據小概率值￡=0.001的獨立性檢驗，

分析游客的評分等級是否良好與年齡段（青年或中老年）是否有關.

2n^ad-bcy

附:,(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c+d

a0.050.010.001

%3.8416.63510.828

【變式1】（23-24高二下?天津濱海新?期末）現在，很多人都喜歡騎"共享單車"，但也有很多市民并不認

可.為了調查人們對這種交通方式的認可度，某同學從交通擁堵嚴重的A城市和交通擁堵不嚴重的8城市

分別隨機調查了20名市民，得到了一個市民是否認可的樣本，具體數據如下2義2列聯表：

AB總計

認可15823

不認可51217

總計202040

a0.100.050.0250.010.005

%2.7063.8415.0246.6357.879

1

2n(ad-be)

附:%=-------------------------n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)S+d)

根據表中的數據，下列說法中，正確的是（）

A.沒有95%以上的把握認為“是否認可與城市的擁堵情況有關"

B.有97.5%以上的把握認為"是否認可與城市的擁堵情況有關"

C.可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為"是否認可與城市的擁堵情況有關"

D.可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為"是否認可與城市的擁堵情況有關"

【變式2】（23-24高二下?河北?階段練習）（多選）根據分類變量x與y的成對樣本數據，計算得到/

已知尸（1.6.635）=0.01,依據&=0.01的獨立性檢驗，下列結論正確的是（）

A.若a<6.635,則變量x與