難點與解題模型14四邊形中模型、角度與面積（6大熱考題型）

題型一：中點四邊形模型

題型二：十字架模型

題型三：對角互補模型

題型四：半角模型

題型五：四邊形中特殊角度問題

題型六：四邊形中的面積問題

題型一：中點四邊形模型

“中點四邊形”，也叫瓦里尼翁平行四邊形，是順次連接四邊形各邊中點而組成的四邊形，是四邊

形的內接四邊形的一種特殊情況，一般有以下三種形態：

（原四邊形ABCD依次是：凸四邊形，凹四邊形，折四邊形）

（一）中點四邊形一定是平行四邊形

1.當原四邊形對角線相等時，其中點四邊形為菱形

2.當原四邊形對角線垂直時，其中點四邊形為矩形

3.當原四邊形對角線垂直且相等時，其中點四邊形為正方形

（二）中點四邊形的周長等于原四邊形對角線之和

（三）中點四邊形的面積等于原四邊形面積的二分之一

【中考母題學方法】

【典例1-1】（2024·青海·中考真題）綜合與實踐

順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中．點．四．邊．形．．數學

興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用．

以下從對角線的數量關系和位置關系兩個方面展開探究．

【探究一】

原四邊形對角線關系中點四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

如圖1，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是各邊的中點．

求證：中點四邊形是平行四邊形．

證明：∵E、F、G、??H??分別是、BC、、DA的中點，

∴EF、GH分別是VABC和?A?CD的中位?線?，

11

∴EFAC，GHAC（____①____）

22

∴EFGH．

同理可得：EHFG．

∴中點四邊形是平行四邊形．

????

結論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形．

（1）請你補全上述過程中的證明依據①________

【探究二】

原四邊形對角線關系中點四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

ACBD菱形

從作圖、測量結果得出猜想Ⅰ：原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形．

（2）下面我們結合圖2來證明猜想Ⅰ，請你在探究一證明結論的基礎上，寫出后．續．的證明過程．

【探究三】

原四邊形對角線關系中點四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

ACBD②________

（3）從作圖、測量結果得出猜想Ⅱ：原四邊形對角線垂直時，中點四邊形是②________．

（4）下面我們結合圖3來證明猜想Ⅱ，請你在探究一證明結論的基礎上，寫出后．續．的證明過程．

【歸納總結】

（5）請你根據上述探究過程，補全下面的結論，并在圖4中畫出對應的圖形．

中點四邊形形狀

原四邊形對角線關系

③________④________

結論：原四邊形對角線③________時，中點四邊形是④________．

【典例1-2】（2023·山西·中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應

任務．

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1，在四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD，DA的中點，順次連接E,F,G,H，

得到的四邊形EFGH是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里

尼翁Varingnon，Pierre1654－1722是法國數學家、力學家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切．

①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正

方形．

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系．

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2，連接AC，分別交EH,FG于點P,Q，過點D作DMAC于點M，交HG于點N．

1

∵H,G分別為AD,CD的中點，∴HG∥AC,HGAC．（依據1）

2

DNDG1

∴．∵DGGC，∴DNNMDM．

NMGC2

∵四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．

∵HG∥AC，即HG∥PQ，

1

∴四邊形HPQG是平行四邊形．（依據2）∴SHGMNHGDM．

HPQG2

11

∵S△ACDMHGDM，∴SS△．同理，…

ADC2HPQG2ADC

任務：

(1)填空：材料中的依據1是指：_____________．

依據2是指：_____________．

(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH，使得四邊形EFGH

為矩形；（要求同時畫出四邊形ABCD的對角線）

(3)在圖1中，分別連接AC,BD得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線AC,BD長度

的關系，并證明你的結論．

【典例1-3】（2024·江蘇泰州·三模）如圖，點E、F、G、H分別在菱形ABCD的各邊上．

【初步認識】

（1）如圖1，若AEAHCFCG，則四邊形EFGH一定是（）

A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形

【變式探究】

（2）如圖2，若AC、BD交于點O，E、H分別是AB、AD上一點，OEOH，AEAH，EO、HO的延

長線分別交在CD、BC于點G、F，求證：四邊形EFGH是矩形．

【深入思考】

（3）如圖3，若AC、BD交于點O，且AO10，OD5，當AH滿足什么條件時，可作出兩個不同矩形EFGH，

請直接寫出你的結論．

（4）在（3）的條件下，設AHx，AEy，請探索y與x滿足的關系式．

【中考模擬即學即練】

【變式1-1】（2024·貴州·模擬預測）如圖1，已知四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H、依

次連接EF、FG、GH、HE、得到四邊形EFGH．

(1)求證:四邊形EFGH為平行四邊形；

(2)連接AC與BD，當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形？

(3)如圖2，若四邊形ABCD是菱形，則四邊形EFGH是什么圖形，請說明理由．

【變式1-2】（2024·陜西寶雞·模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，已知對角線ACBD，點E，F，G，H

分別為AB，BC，CD，DA邊上的中點，連接EF，FG，GH，HE．求證：四邊形EFGH為菱形．

【變式1-3】（2023·陜西寶雞·一模）問題提出

如圖1，在VABC中，AB12,AC9,DE∥BC．若AD4，則AE的值為__________．

問題探究

如圖2，在四邊形ABCD中，對角線AC、相交于點O，E、F、G、H分別為、BC、、的中

點，連接EF、FG、GH、HE．若AC?14?,BD16,AOB60，求四邊形?的?面積．????

問題解決????

如圖3，某市有一塊五邊形空地ABCDE，其中BAEABCBCD90,AB600米，BC800米，

AE650米，DC400米，現計劃在五邊形空地內部修建一個四邊形花園MNGH，使點M、N、G、H

3

分別在邊、BC、、AE上，要求AHCN,AMCG,tanBNM,請問，是否存在符合設計要求的

4

面積最大的??四邊形花?園?MNGH？若存在，求四邊形MNGH面積的最大值；若不存在，請說明理由．

【變式1-4】（2024·寧夏銀川·一模）如圖1．在VABC中，D、E分別為AB、AC的中點，連接DE：

操作1．將VADE繞點E按順時針方向旋轉180到△CFE的位置．

操作2．延長DE到點F，使EFDE，連接CF．

試探究DE與BC有怎樣的位置關系和數量關系？

（1）請結合操作1或操作2的方法所得出的結論，我們可以得到三角形中位線定理，

．

【結論應用】

（2）如圖2，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，四條邊上的中點分別為E、F、G、H、依次

連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH．

①求證：四邊形EFGH為平行四邊形；

②當AC與BD滿足時，四邊形EFGH是矩形，當AC與BD滿足時，四邊形EFGH是菱形.

③若AC16，BD20，AOB60，求四邊形EFGH的面積．

【問題解決】

（3）如圖3所示，在一個四邊形ABCD的草坪上修一條小路，其中點P和點Q分別為邊AB和邊CD的中

點，且AABC90，BC6，AD8，求小路PQ的長度．

【變式1-5】（2023·黑龍江齊齊哈爾·三模）折紙是一項有趣的活動，有的同學玩過折紙，可能折過小動物、

飛機、小船等．在折紙過程中，不僅可以得到一些美麗的圖形，而且其中還蘊含著豐富的數學知識．

如圖①，菱形紙片ABCD中，AB4,A60．

(1)活動一：

如圖②，折疊菱形紙片ABCD，使點A落在點B處，則折痕的長為_________；菱形紙片ABCD的面積是

_________；

(2)活動二：

如圖③，E,F,G,H分別是菱形紙片ABCD各邊的中點，分別沿著EF,FG,GH,HE折疊并展開．猜想四邊

形EFGH是什么特殊四邊形，并證明你的猜想；

(3)活動三：如圖④，先將菱形紙片ABCD沿AC折疊再展開，點E,F,G,H分別在邊AB,BC,CD,DA上且

EF∥AC，再分別沿著EF,FG,GH,HE折疊再展開，若四邊形EFGH是正方形，則AE_________；

(4)活動四：如圖⑤，折疊菱形紙片ABCD，使點A落在BC邊的中點F處，則折痕MN的長為_________．

題型二：十字架模型

在正方形或矩形中存在兩條線段相交且垂直,因其形似“十字架”,所以我們稱其為“十字架”模型.

類型正方形過頂點型矩形過頂點型

圖示

條件在正方形ABCD中,點E,F分別在邊在矩形ABCD中,點在邊AD上,CE

CD,AD上,AE⊥BF⊥BD

解題思路利用正方形的各邊相等且四個角利用矩形的四個角均為直角及

均為直角,及AE⊥BF將同角的余CE⊥BD將同角的余角進行轉化.

角進行轉化,證明△ABF和△DAE證明△BCD和△CDE相似,進而得

全等進行求解到對應邊成比例進行求解

結論△≌△BDBC

ABFDAE.BF=AEBCD~CDE,

CECD

【中考母題學方法】

【典例2-1】（2021·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為3，E為BC邊上一點，BE＝1.

將正方形沿GF折疊，使點A恰好與點E重合，連接AF，EF，GE，則四邊形AGEF的面積為（）

A．210B．25C．6D．5

【典例2-2】（2024·重慶·模擬預測）學習了正方形后，小飛同學對正方形中兩條互相垂直線段，且兩條線段

的端點分別在正方形兩組對邊上的數量關系進行探究．請根據他的思路完成以下作圖與填空：

如圖，正方形ABCD中，點F、E、G分別在AB、BC、CD上，且AEFG．

(1)尺規作圖：過點G作AB垂線交AB于點H．（只保留作圖痕跡）

(2)證明AEFG，將下面的過程補充完整．

證明：四邊形ABCD是正方形，

BC90，BCAB，

QHGAB，

GHF90，

B①

FGAE，

AFGBAE90，

BAEAEB90，

②AFG

BCGHB90，

四邊形BCGH為矩形，

BCGH，

③GH．

△ABE≌△GHF（④____）

AEFG．

【典例2-3】（2024·河南·一模）綜合與實踐

數學課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，已知AEBF，求證：AEBF．

甲小組同學的證明思路如下：

由同角的余角相等可得ABFDAE．再由ABDA，BAFD90，證得ABF≌DAE（依據：

________），從而得AEBF．

乙小組的同學猜想，其他條件不變，若已知AEBF，同樣可證得AEBF，證明思路如下：

由ABDA，BFAE可證得RtABF≌RtDAEHL，可得ABFDAE，再根據角的等量代換即可證

得AEBF．

完成任務：

（1）填空：上述材料中的依據是________（填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”）

【發現問題】

同學們通過交流后發現，已知AEBF可證得AEBF，已知AEBF同樣可證得AEBF，為了驗證這

個結論是否具有一般性，又進行了如下探究．

【遷移探究】

（2）在正方形ABCD中，點E在CD上，點M，N分別在AD,BC上，連接AE,MN交于點P．甲小組同學

根據MNAE畫出圖形如圖2所示，乙小組同學根據MNAE畫出圖形如圖3所示．甲小組同學發現已知

MNAE仍能證明MNAE，乙小組同學發現已知MNAE無法證明MNAE一定成立．

①在圖2中，已知MNAE，求證：MNAE；

②在圖3中，若DAE，則APM的度數為多少?

【拓展應用】

（3）如圖4，在正方形ABCD中，AB3，點E在邊AB上，點M在邊AD上，且AEAM1，點F，N

分別在直線CD，BC上，若EFMN，當直線EF與直線MN所夾較小角的度數為30時，請直接寫出CF的

長．

【典例2-4】（2024·河南商丘·三模）（1）【操作判斷】

如圖1，在正方形ABCD中，點E，F，G，H分別在邊AB，CD，AD，BC上，且EFGH，則EF與GH的

數量關系為；

（2）【遷移探究】

如圖2，在矩形ABCD中，AB3，BC5，點E，F，G，H分別在邊AB，CD，AD，BC上，且

EFGH，EF與GH交于點O，試說明（1）中的結論是否發生變化，如果結論不變，請說明理由；如果變

化，請寫出新結論并給出證明；

（3）【拓展應用】

如圖3，在RtABC中，BAC90，ABAC，當點D為AC的三等分點，且AEBD時，直接寫出AE與

BD的數量關系．

【中考模擬即學即練】

【變式2-1】（2024·江蘇徐州·模擬預測）某興趣小組在數學活動中，對四邊形內兩條互相垂直的線段進行了

如下探究：

【初探猜想】如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別是AB、AD上的兩點，連接DE，CF，若DECF，

試判斷線段DE與CF的大小關系，并說明理由；

【類比探究】如圖2，在矩形ABCD中，AD6，CD3，點E、F分別是邊AD、BC上一點，點G、H

EF

分別是邊AB、CD上一點，連接EF，GH，若EFGH，則______；

GH

【知識遷移】如圖3，，在四邊形ABCD中，DAB90，點E、F分別在線段AB、AD上，且CEBF，

CE

連接AC，若VABC為等邊三角形，求的值；

BF

【拓展應用】如圖4，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F、G分別是邊AB、CD上的動點，且FGAE

交AE于M，連接EF和AG，當AB2時，則EFAG的最小值為______．

【變式2-2】（2024·湖北恩施·三模）綜合與探究

問題背景：如圖3，四邊形ABCD是矩形，ABmBC，點G、H、E分別是線段AD、BC、AB上的動點，

連接GH，過點E作GH的垂線交線段CD于點F（只考慮F在CD上的情況）

AH

（1）①如圖1，當點G運動到A點，點E運動到B點時，若AB6，BH2，m2，則的值為______

BF

（直接寫答案）

GH

②如圖2，當點G不與A點重合，點E運動到B點時，若m2，試求的值．

BF

問題探究：

GH

（2）如圖3，當G不與A重合，E不與B重合時，用含m的式子表示的值．

EF

問題拓展：

9

（3）如圖4，將背景問題中的矩形改成已知“在四邊形GBCF中，C90，BG2BC，sinGBC，

10

GH

GHBF，則的值為______．（直接寫答案）

BF

【變式2-3】（2023·廣東深圳·模擬預測）【探究證明】

（1）如圖1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB、CD于點E、F，GH分別交AD、BC于點G、H，

EFAD

求證：；

GHAB

【模型應用】

（2）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點M、N分別在邊BC、

DN

AB上，求的值．

AM

【變式拓展】

（3）如圖3，平行四邊形ABCD，AB2，AD6,BAD60，直線l與平行四邊形相交，將平行四邊形

沿直線l折疊，當其中有一組對角頂點重合時，請直接寫出折痕的長度．

題型三：對角互補模型

模型1:全等形一-90°對角互補模型

模型2:全等形--120°對角互補模型

模型3:全等形一一任意角對角互補模型

模型4:相似形一-90°對角互補模型

【中考母題學方法】

【典例3-1】（2023·四川成都·統考中考真題）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以

下探究．

AD1

在Rt△ABC中，C90,ACBC，D是AB邊上一點，且（n為正整數），E是AC邊上的動點，

BDn

過點D作DE的垂線交直線BC于點F．

2

【初步感知】(1)如圖1，當n1時，興趣小組探究得出結論：AEBFAB，請寫出證明過程．

2

【深入探究】(2)①如圖2，當n2，且點F在線段BC上時，試探究線段AE，BF，AB之間的數量關系，

請寫出結論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE，BF，AB之間數量關系的一般結論（直

接寫出結論，不必證明）

【拓展運用】(3)如圖3，連接EF，設EF的中點為M．若AB22，求點E從點A運動到點C的過程中，

點M運動的路徑長（用含n的代數式表示）．

【典例3-2】（2024·四川成都·二模）如圖，在矩形ABCD中，ADnAB（n為正整數），點E是BC邊上一

動點，P為BD中點，連接PE，將射線PE繞點P按逆時針方向旋轉90，與矩形的邊交于點F．

【嘗試初探】（1）在點E的運動過程中，當點F在CD邊上時，試探究線段PE，PF之間的數量關系，請

寫出結論并證明；

EF

【深入探究】（2）若n2，在點E的運動過程中，當點F在BC邊上時，求的最小值；

BC

【拓展運用】（3）若AB2，設EF的中點為M，求點E從點B運動到點C的過程中，點M運動的路程（用

含n的代數式表示）．

【典例3-3】（2024·河南·一模）已知AOB90，點C是AOB的角平分線OP上的任意一點，現有一個

直角MCN繞點C旋轉，兩直角邊CM，CN分別與直線OA，OB相交于點D，點E.

（1）如圖1，若CDOA，猜想線段OD，OE，OC之間的數量關系，并說明理由.

（2）如圖2，若點D在射線OA上，且CD與OA不垂直，則（1）中的數量關系是否仍成立？如成立，請說

明理由；如不成立，請寫出線段OD，OE，OC之間的數量關系，并加以證明.

（3）如圖3，若點D在射線OA的反向延長線上，且OD2，OE8，請直接寫出線段CE的長度.

【典例3-4】（2024廣東中考一模）如圖，已知AOB60，在AOB的角平分線OM上有一點C，將一

個120角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與射線OA,OB相交于點D,E.

（1）如圖1，當DCE繞點C旋轉到CD與OA垂直時，請猜想ODOE與OC的數量關系，并說明理由；

（2）當DCE繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結論是否成立？并說明理由；

（3）如圖3，當DCE繞點C旋轉到點D位于OA的反向延長線上時，求線段OD,OE與OC之間又有怎樣

的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明.

【典例3-5】（2024·江蘇淮安·一模）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，我們做以下探究．

AD1

在Rt△ABC中，C90，ACBC，D是AB邊上一點，且(n為正整數），E、F分別是邊AC和

BDn

邊BC上的點，連接DE、DF，且EDF90．

2

【初步感知】（1）如圖1，當n1時，興趣小組探究得出結論：AEBFAB，請寫出證明過程．

2

【深入探究】（2）①如圖2，當n2，試探究線段AE，BF，AB之間的數量關系，請寫出結論并證明；

②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE，BF，AB之間數量關系的一般結論（直接寫出結論，不必

證明）．

【拓展運用】（3）如圖3，點D為靠近B的四等分點，連接EF，設EF的中點為M，若AB42，求點E

從點A運動到點C的過程中，請直接寫出點M運動的路徑長．

【中考模擬即學即練】

【變式3-1】（2024·江蘇·校考一模）如圖，已知四邊形ABCD的對角互補，且BACDAC，AB15，

AE

AD12．過頂點C作CEAB于E，則的值為（）

BE

A．73B．9C．6D．7．2

【變式3-2】（2024·安徽六安·三模）在數學探究活動中，某同學進行了如下操作：如圖，在直角三角形紙片

ABCC90內剪取一個直角DEFEDF90，點D，E，F分別在AB，AC，BC邊上．請

完成如下探究：（1）當D為AB的中點時，若A60，DEF

（2）當AC3，BC4、DE2DF時，AD的長為

【變式3-3】（2024·陜西·一模）問題提出(1)如圖1，將直角三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的對角

線AC上，一條直角邊經過點B，另一條直角邊交邊DC于點E，線段PB和線段PE相等嗎？請證明；

問題探究(2)如圖2，移動三角板，使三角板的直角頂點P在對角線AC上，一條直角邊經過點B，另一條直

角邊交DC的延長線于點E，(1)中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

問題解決(3)繼續移動三角板，使三角板的直角頂點P在對角線AC上，一條直角邊經過點B，另一條直角

邊交DC的延長線于點E，(1)中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

【變式3-4】（2024·吉林長春·一模）【教材呈現】下圖是華師版八年級上冊數學教材第96頁的部分內容．

我們已經知道角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是角的對稱軸．如圖所示，OC是AOB的平分線，P

是OC上任一點，作PDOA，PEOB，垂足分別為點D和點E．將AOB沿OC對折，我們發現PD與

PE完全重合．由此即有：角平分線的性質定理角平分線上的點到角兩邊的距離相等．

已知：如圖所示，OC是AOB的平分線，點P是OC上的任意一點，PDOA，PEOB，垂足分別為

點D和點E．

求證：PDPE．

分析：圖中有兩個直角三角形PDO和PEO，只要證明這兩個三角形全等，便可證得PDPE．

（1）請根據教材中的分析，結合圖①，寫出“角平分線的性質定理”完整的證明過程．

【定理應用】（2）如圖②，已知OC是AOB的平分線，點P是OC上的任意一點，點D、E分別在邊OA、OB

上，連結PD、PE，AOBDPE180．若AOB60，ODOE53，則OP的長為______．

（3）如圖③，在平行四邊形ABCD中，ABC60，BE平分ABC交AD于點E，連結CE，將CE繞點

E旋轉，當點C的對應點F落在邊AB上時，若BFBC123，則四邊形BCEF的面積為______．

【變式3-5】（2024·北京·一模）在ABC中，AB=AC，∠A=60°，點D是BC邊的中點，作射線DE，與邊

AB交于點E，射線DE繞點D順時△針旋轉120°，與直線AC交于點F．（1）依題意將圖1補全；（2）小華

通過觀察、實驗提出猜想：在點E運動的過程中，始終有DE=DF．小華把這個猜想與同學們進行交流，通

過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：由點D是BC邊的中點，通過構造一邊的平行線，利用全等三角形，可證DE=DF；

想法2：利用等邊三角形的對稱性，作點E關于線段AD的對稱點P，由∠BAC與∠EDF互補，可得∠AED

與∠AFD互補，由等角對等邊，可證DE=DF；

想法3：由等腰三角形三線合一，可得AD是∠BAC的角平分線，由角平分線定理，構造點D到AB，AC

的高，利用全等三角形，可證DE=DF…….

請你參考上面的想法，幫助小華證明DE=DF（選一種方法即可）；

（3）在點E運動的過程中，直接寫出BE，CF，AB之間的數量關系．

題型四：半角模型

“半角”模型是從正方形的一個頂點出發,引出兩條形成45°角的射線,這兩條射線與正方形的兩邊相交,從

而形成一個特殊的幾何圖形,如圖①,四邊形ABCD為正方形,點EF分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°解決此類

問題的方法是通過旋轉構造全等三角形,具體操作如下:

第一步:如圖②,將△ADF繞點A順時針旋轉90°,使AD與AB重合,點F落在點G處;

第二步:由旋轉可知∠ABG=∠D=90°,∠BAG=∠DAF,AG=AF,可得到G、B、E三點共線∠GAE=∠EAF=45°；

第三步:得到結論:①∠GAF=90°;②ΔAGE≌ΔAFE;③EF=BE+DF.

【中考母題學方法】

【典例4-1】（2024·四川樂山·中考真題）在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：

【問題情境】

如圖1，在VABC中，BAC90，ABAC，點D、E在邊BC上，且∠DAE45，BD3，CE4，

求DE的長．

解：如圖2，將△ABD繞點A逆時針旋轉90得到△ACD，連接ED．

由旋轉的特征得BADCAD，BACD，ADAD，BDCD．

∵BAC90，∠DAE45，

∴BADEAC45．

∵BADCAD，

∴CADEAC45，即EAD45．

∴DAEDAE．

在DAE和DAE中，

ADAD，DAEDAE，AEAE，

∴___①___．

∴DEDE．

又∵ECDECAACDECAB90，

∴在Rt△ECD中，___②___．

∵CDBD3，CE4，

∴DEDE___③___．

【問題解決】

上述問題情境中，“①”處應填：______；“②”處應填：______；“③”處應填：______．

劉老師進一步談到：圖形的變化強調從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以

不變應萬變．

【知識遷移】

如圖3，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的

一半，連結AE、AF，分別與對角線BD交于M、N兩點．探究BM、MN、DN的數量關系并證明．

【拓展應用】

如圖4，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且EAFCEF45．探究BE、EF、DF的數

量關系：______（直接寫出結論，不必證明）．

【問題再探】

如圖5，在VABC中，ABC90，AB4，BC3，點D、E在邊AC上，且DBE45．設ADx，

CEy，求y與x的函數關系式．

【典例4-2】（2022·湖北十堰·中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，ABAD，BD180，

點E，F分別在BC，CD上，若BAD2EAF，則EFBEDF．

【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD．已知CDCB100m，

D60，ABC120，BCD150，道路AD，AB上分別有景點M，N，且DM100m，

BN5031m，若在M，N之間修一條直路，則路線MN的長比路線MAN的長少

m（結果取整數，參考數據：31.7）．

【典例4-3】（2022·貴州黔西·中考真題）如圖1，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD邊上的點（點E

不與點B，C重合），且EAF45．

(1)當BEDF時，求證：AEAF；

(2)猜想BE，EF，DF三條線段之間存在的數量關系，并證明你的結論；

(3)如圖2，連接AC，G是CB延長線上一點，GHAE，垂足為K，交AC于點H且GHAE．若DFa，

CHb，請用含a，b的代數式表示EF的長．

【典例4-4】（2022·貴州貴陽·中考真題）小紅根據學習軸對稱的經驗，對線段之間、角之間的關系進行了拓

展探究．

AD

如圖，在ABCD中，AN為BC邊上的高，m，點M在AD邊上，且BABM，點E是線段AM上

AN

任意一點，連接BE，將ABE沿BE翻折得FBE．

(1)問題解決：

AM

如圖①，當BAD60，將ABE沿BE翻折后，使點F與點M重合，則______；

AN

(2)問題探究：

如圖②，當BAD45，將ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求ABE的度數，并求出此時m的最小

值；

(3)拓展延伸：

當BAD30，將ABE沿BE翻折后，若EFAD，且AEMD，根據題意在備用圖中畫出圖形，并求

出m的值．

【典例4-5】（2022·遼寧朝陽·中考真題）【思維探究】如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝

120°，AB＝AD，連接AC．求證：BC+CD＝AC．

(1)小明的思路是：延長CD到點E，使DE＝BC，連接AE．根據∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝

180°，從而得到∠B＝∠ADE，然后證明ADE≌ABC，從而可證BC+CD＝AC，請你幫助小明寫出完整的

證明過程．

(2)【思維延伸】如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連接AC，猜想BC，CD，AC

之間的數量關系，并說明理由．

(3)【思維拓展】在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝6，AC與BD相交于點O．若四

邊形ABCD中有一個內角是75°，請直接寫出線段OD的長．

【中考模擬即學即練】

【變式4-1】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）問題情境：如圖1，在四邊形ABCD中ABAD，BAD120，

BADC90，E、F分別是BC，CD上的點，且EAF60，探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量

關系．小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明ABE≌ADG，

再證明AEF≌AGF，可得出BE，EF，FD之間的數量關系．

實際應用：如圖2，在新修的小區中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且ABAD，

BD180，在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達，經測

1

量得EAFBAD，BE10米，DF15米，試在小王同學研究的基礎上，求兩涼亭之間的距離

2

EF．

【變式4-2】（2023·吉林長春·二模）【問題呈現】如圖①，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，

EAF45，試判斷BE、EF、FD之間的數量關系．小聰同學延長CD至點G，使DGBE，連接AG，

可證△ABE≌△ADG，進而得到AEF≌AGF，從而得出BE、EF、FD之間的數量關系為______.(不需

要證明)．

【類比引申】如圖②，四邊形ABCD中，∠BAD90，ABAD，BD180，點E、F分別在邊BC、

CD上，請回答當EAF與BAD滿足什么關系時，仍有【問題呈現】中BE、EF、FD之間的數量關系，

并給出證明．

【探究應用】如圖③，在四邊形ABCD中，ABAD60，B=60，ADC120，∠BAD150，點E、

F分別在線段BC、CD上，且AEAD，DF30330，直接寫出線段EF的長．

【變式4-3】（2024·廣東深圳·一模）綜合與探究

【問題背景】北師大版數學八年級下冊P89第12題（以下圖片框內）．

【初步探究】

（1）我們需利用圖形的旋轉與圖形全等的聯系，并把特殊角度一般化．如圖1，在VABC與VADE中，

ABAC，ADAE，BACDAE．求證：BDCE．

【類比探究】

（2）如圖2，在邊長為3的正方形ABCD中，點E，F分別是CD，BC上的點，且DE1．連接AE，AF，

EF，若EAF45，請直接寫出BF的長．

【深入探究】

（3）如圖3，D，P是等邊VABC外兩點，連接BD并取BD的中點M，且APD120，MPC60．試

猜想PA與PD的數量關系，并證明你的結論．

【拓展應用】

（4）如圖4，在四邊形ABCD中，ABC60，ADC90，ADCD，AB23，BD62，請直接

寫出BC的長．

【變式4-4】（2024·四川達州·模擬預測）[初步探究]

（1）如圖1，在VABC與VADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，易得BDCE．請你寫出證

明過程．

[解題反思]

以上我們可以把圖形的旋轉與圖形全等聯系起來，并可以把特殊角度一般化．

[類比探究]

（2）如圖2，在邊長為3的正方形ABCD中，E，F分別是CD，BC上的點，且DE1．連接AE，AF，

EF，若EAF45，請直接寫出BF的長．

[深入探究]

（3）如圖3，D，P是等邊VABC外兩點，連接BD并取BD的中點M，且APD120，MPC60．試

猜想PA與PD的數量關系，并證明你的結論．

[拓展應用]

（4）如圖4，在四邊形ABCD中，ABC60，ADC90，ADCD，AB23，BD62，請直接

寫出BC的長．

【變式4-5】（2023·河南·模擬預測）問題背景如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別是BC，CD邊上的點，

且EAF45，連接EF，探究BE，EF，DF之間的數量關系．

(1)探究發現李雷同學的方法是將△ADF繞點A順時針旋轉90至ABG的位置，然后再證明

△AEF≌△AEG，從而得到BE，EF，DF之間的數量關系為：______；

(2)拓展延伸如圖2，在四邊形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90，點E，F分別是BC，CD

邊上的點，且EAF60，連接EF，則（1）中結論是否仍然成立？并說明理由；

(3)歸納應用如圖3，等邊三角形ABC的邊長為4，點D，E在直線BC上（點D在點E的左側），且DAE30，

當BD1時，請直接寫出線段CE的長．

題型五：四邊形中特殊角度問題

類型圖示條件結論

含60°角的四邊形ABCD為菱形,對1.ABD=∠CBD=30°;

菱形角線AC與BD交于點O，2.△ABC和△ACD均為等邊三角形；

∠°

ABC=603.AB:AC:BD1:1:3

13

4.SACBDBC2

菱形ABCD22

對角線夾角四邊形ABCD為矩形,對1.∠ABO=2∠CB0=60°

為60°的矩角線AC與BD交于點2.△AOB和ACOD均為等邊三角形；

形O，∠AOB=60°3.AB:BC1:3

32

4.S矩形ABBCAC

ABCD4

【中考母題學方法】

【典例5-1】（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，DAB40，連接AC，以點A為圓心，

AC長為半徑作弧，交直線AD于點E，連接CE，則AEC的度數是．

【典例5-2】（2023·江西·中考真題）如圖，在ABCD中，B60，BC2AB，將繞點A逆時針旋轉角

（0360）得到AP，連接PC，PD．當△PCD為直角三角形時，旋轉角??的度數為．

【典例5-3】（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）矩形ABCD的對角線AC，相交于點O，點F在矩形ABCD

邊上，連接OF．若ADB38，BOF30，則AOF．??

【考模擬即學即練】

【變式5-1】（2024·四川涼山·二模）如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，過點O作OEBD，交于

點E，連接BE．若ABE20，則AOE的度數是（）??

A．10B．15C．20D．

【變式5-2】（2024·重慶銅梁·一模）如圖，在正方形ABCD中，點P是對角線30A°C上一點，PEAB，PFBC，

垂足分別為E，F，連接EF．若BEF，則CDP一定等于（）

A．90B．2C．1803D．45

【變式5-3】（2024·天津·三模）已知四邊形ABCD內接于O，AB為O的直徑，AB10，連接AC．

(1)如圖①，若D為弧AC的中點，求ADC124，求CAB和CAD的大小：

(2)如圖②，若AD4，C為弧BD的中點，過點C作O的切線與弦AD的延長線相交于點E，求CE的長．

【變式5-4】（2024·廣西南寧·三模）綜合與實踐

【問題情境】四邊形ABCD是邊長為5的菱形，AC與BD相交于點O，將△BCD繞點B按順時針方向旋轉

得到△BEF，點C，D旋轉后的對應點分別為E，F，旋轉角為0180α．

【觀察思考】

（1）如圖1，當點F第一次落在對角線AC上時，求OB與BF的數量關系以及α的度數．

【探究證明】

（2）如圖2，當180，且EF∥BD時，EF與AD交于點G．試判斷四邊形BDGF的形狀，并說明理由．

【拓展延伸】

3

（3）如圖3，連接CE，在旋轉過程中，當EF與菱形ABCD的一邊平