考前突破03函數的實際應用（4大必考題型）

題型一：分段函數的應用問題

題型二：費用最少、利潤最大問題

題型三：方案選擇問題

題型四：拋物線型應用問題

題型一：分段函數的應用問題

【中考母題學方法】

1．（2023·江蘇無錫·中考真題）某景區旅游商店以20元/kg的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價格

不低于22元/kg，不高于45元/kg，經市場調查發現每天的銷售量y(kg)與銷售價格x（元/kg）之間的函數

關系如圖所示．

(1)求y關于x的函數表達式：

(2)當銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？【銷售

利潤=（銷售價格一采購價格）×銷售量】

2．（2023·江蘇泰州·中考真題）某公司的化工產品成本為30元/千克．銷售部門規定：一次性銷售1000千克

以內時，以50元/千克的價格銷售；一次性銷售不低于1000千克時，每增加1千克降價0.01元．考慮到降價

對利潤的影響，一次性銷售不低于1750千克時，均以某一固定價格銷售．一次性銷售利潤y（元）與一次

性銷售量x（千克）的函數關系如圖所示．

(1)當一次性銷售800千克時利潤為多少元？

(2)求一次性銷售量在1000～1750kg之間時的最大利潤；

(3)當一次性銷售多少千克時利潤為22100元？

3．（2024·天津·中考真題）已知張華的家、畫社、文化廣場依次在同一條直線上，畫社離家0.6km，文化廣

場離家1.5km．張華從家出發，先勻速騎行了4min到畫社，在畫社停留了15min，之后勻速騎行了6min到

文化廣場，在文化廣場停留6min后，再勻速步行了20min返回家．下面圖中x表示時間，y表示離家的距

離．圖象反映了這個過程中張華離家的距離與時間之間的對應關系．

請根據相關信息，回答下列問題：

(1)①填表：

張華離開家的時間/min141330

張華離家的距離/km0.6

②填空：張華從文化廣場返回家的速度為______km/min；

③當0x25時，請直接寫出張華離家的距離y關于時間x的函數解析式；

(2)當張華離開家8min時，他的爸爸也從家出發勻速步行了20min直接到達了文化廣場，那么從畫社到文化

廣場的途中0.6y1.5兩人相遇時離家的距離是多少？（直接寫出結果即可）

4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）領航無人機表演團隊進行無人機表演訓練，甲無人機以a米/秒的速度

從地面起飛，乙無人機從距離地面20米高的樓頂起飛，甲、乙兩架無人機同時勻速上升，6秒時甲無人機

到達訓練計劃指定的高度停止上升開始表演，完成表演動作后，按原速繼續飛行上升，當甲、乙無人機按

照訓練計劃準時到達距離地面的高度為96米時，進行了時長為t秒的聯合表演，表演完成后以相同的速度

大小同時返回地面．甲、乙兩架無人機所在的位置距離地面的高度y(米)與無人機飛行的時間x(秒)之間的函

數關系如圖所示．請結合圖象解答下列問題：

(1)a______米/秒，t______秒；

(2)求線段MN所在直線的函數解析式；

(3)兩架無人機表演訓練到多少秒時，它們距離地面的高度差為12米？(直接寫出答案即可)

5．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）甲、乙兩貨車分別從相距225km的A、B兩地同時出發，甲貨車從

A地出發途經配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續駛往B地，乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地，但

乙貨車到達配貨站時接到緊急任務立即原路原速返回B地，結果比甲貨車晚半小時到達B地．如圖是甲、

乙兩貨車距A地的距離ykm與行駛時間xh之間的函數圖象，結合圖象回答下列問題：

(1)甲貨車到達配貨站之前的速度是km/h，乙貨車的速度是km/h；

(2)求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中，甲貨車距A地的距離ykm與行駛時間xh之間的函數解

析式；

(3)直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中，出發多長時間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．

6．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）一條公路上依次有A、B、C三地，甲車從A地出發，沿公路經B地到

2

C地，乙車從C地出發，沿公路駛向B地．甲、乙兩車同時出發，勻速行駛，乙車比甲車早小時到達目

7

的地．甲、乙兩車之間的路程ykm與兩車行駛時間xh的函數關系如圖所示，請結合圖象信息，解答下列問

題：

(1)甲車行駛的速度是_____km/h，并在圖中括號內填上正確的數；

(2)求圖中線段EF所在直線的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

(3)請直接寫出兩車出發多少小時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．

【中考模擬即學即練】

7．（2024·福建龍巖·模擬預測）上杭縣東門大橋改建工程項目，于2023年列入上杭縣“為民辦實事”的16個

重點工程項目之一，該項目全長937.6米，橋梁全長290米，從穩定性角度考慮．通過橋梁專家設計論證，

橋梁部分按“中承式飛燕提藍拱橋雙向6車道”橋型方案設計．如下圖，該“飛燕提藍拱橋”設計數據為

55m180m55m，中間提籃拱橋部分形如拋物線，兩橋墩間距（跨徑）為180米，橋墩與橋頭間距為55

米，橋面上方的橋拱與橋面用豎直的吊桿連接，吊桿間距5米，正常水位時（水剛好淹沒橋墩），橋面距離

水面15米，拱頂距離水面60米．

(1)建立恰當的直角坐標系，求拱橋拋物線的解析式；

(2)請問每側橋拱需要幾條吊桿？（參考數據：21414.31.732,52.236）

8．（2024·江西·模擬預測）彈球游戲規則：彈球拋出后與地面接觸一次，彈起降落，若落入筐中，則游戲成

功．彈球著地前后的運動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線．如圖，甲站在原點處，從離地面高度為1m

的點A處拋出彈球，當彈球運動到最高處，即距離地面2m時，彈球與甲的水平距離為2m．彈球在B處著

地后彈起，此次彈起的最大高度為原來最大高度的一半，再落至點C處．

(1)求彈球第一次著地前拋物線的解析式．（不要求寫出x的取值范圍）

(2)若不考慮筺的因素，求彈球第二次著地點到點O的距離．

(3)如果擺放一個底面半徑為0.5m，高0.5m的圓柱形筐，且筐的最左端距離原點9m，那么甲能投球成功嗎？

9．（2024·貴州安順·二模）如圖，某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練，水面邊緣點E(1.5,10)，運動員（可

視為一質點）在空中運動的路線是經過原點O的拋物線，在跳某個規定動作時，運動員在空中最高處點

A(1,1.25)，正常情況下，運動員在距水面高度5米前必須完成規定的翻騰，打開動作，并調整好入水姿勢，

否則就為失誤．運動員入水后，運動路線為另一條拋物線．

(1)求該運動員在空中運動時所對應拋物線的解析式；

(2)若運動員在空中調整好入水姿勢時，人水點恰好距點E的水平距離為5米，問該運動員此次跳水是否失

誤？請通過計算說明理由；

(3)在該運動員入水點B的正前方M，N兩點，且EM10.5，EN13.5，該運動員入水后運動路線對應的

拋物線解析式為ya(xh)2k，且頂點C距水面4米．若該運動員的出水點D在MN之間（含M，N兩

點），求a的取值范圍．

10．（2024·四川南充·模擬預測）某工廠接到一批產品生產任務，按要求在20天內完成，已知這批產品的出

廠價為每件8元．為按時完成任務，該工廠招收了新工人，設新工人小強第x天生產的產品數量為y件，y

20x(0x5)

與x滿足關系式為：y．

10x100(5x20)

(1)小強第幾天生產的產品數量為200件？

(2)設第x天每件產品的成本價為a元，a（元）與x（天）之間的函數關系圖象如圖所示，求a與x之間的

函數關系式；

(3)設小強第x天創造的利潤為w元．

①求第幾天時小強創造的利潤最大？最大利潤是多少元？

②若第①題中第m天利潤達到最大值，若要使第(m1)天的利潤比第m天的利潤至少多124元，則第

(m1)天每件產品至少應提價幾元？

11．（2024·浙江嘉興·一模）某電腦商城準備購進A，B兩種型號的電腦，已知每臺電腦的進價B型比A型多

500元，用16萬元購進A型電腦和用18萬購進B型電腦的數量相同．

(1)A，B兩種型號電腦每臺進價各是多少？

、

(2)隨著技術的更新，A型號電腦升級為A1型號，該商城計劃一次性購進A1B兩種型號電腦共100臺，B型

號電腦的每臺售價5200元．經市場調研發現，銷售A1型號電腦所獲利潤P(萬元)與A1銷售量m臺(0m80)，

129

如圖所示，為線段，BC為拋物線一部分Pm2mc(40m80)．若這兩種電腦全部售出，

600300

則該商城如何??進貨利潤最大？(利潤銷售總價-總進價)

題型二：費用最少、利潤最大問題

【中考母題學方法】

1．（2023·湖北襄陽·中考真題）在襄陽市創建“經濟品牌特色品牌”政策的影響下．每到傍晚，市內某網紅燒

烤店就食客如云，這家燒烤店的海鮮串和肉串非常暢銷，店主從食品加工廠批發以上兩種產品進行加工銷

售，其中海鮮串的成本為m元/支，肉串的成本為n元/支；兩次購進并加工海鮮串和肉串的數量與成本如

下表所示（成本包括進價和其他費用）：

數量（支）

次數總成本（元）

海鮮串肉串

第一次3000400017000

第二次4000300018000

針對團以消費，店主決定每次消費海鮮串不超過200支時，每支售價5元；超過200支時、不超過200支

的部分按原價，超過200支的部分打八折．每支肉串的售價為3.5元．

(1)求m、n的值；

(2)五一當天，一個旅游團去此店吃燒烤，一次性消費海鮮串和肉串共1000支，且海鮮串不超過400支．在

本次消費中，設該旅游團消費海鮮串x支，店主獲得海鮮串的總利潤為y元，求y與x的函數關系式，并寫

出自變量x的取值范圍；

(3)在（2）的條件下，該旅游團消費的海鮮串超過了200支，店主決定給該旅游團更多優惠，對每支肉串降

價a（0a1）元，但要確保本次消費獲得肉串的總利潤始終不低于海鮮串的總利潤，求a的最大值．

2．（2023·江蘇南通·中考真題）為推進全民健身設施建設，某體育中心準備改擴建一塊運動場地．現有甲、

乙兩個工程隊參與施工，具體信息如下：

信息—

工程隊每天施工面積（單位：m2）每天施工費用（單位：元）

甲x3003600

乙x2200

信息二

甲工程隊施工1800m2所需天數與乙工程隊施工1200m2所需天數相等．

(1)求x的值；

(2)該工程計劃先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續施工，兩隊共施工22天，且完成的施

工面積不少于15000m2．該段時間內體育中心至少需要支付多少施工費用?

3．（2023·湖南湘西·中考真題）2023年“地攤經濟”成為社會關注的熱門話題，“地攤經濟”有著啟動資金少、

管理成本低等優點，特別是在受到疫情沖擊后的經濟恢復期，“地攤經濟”更是成為許多創業者的首選，甲經

營了某種品牌小電器生意，采購2臺A種品牌小電器和3臺B種品牌小電器，共需要90元；采購3臺A種

品牌小電器和1臺B種品牌小電器，共需要65元銷售一臺A種品牌小電器獲利3元，銷售一臺B種品牌小

電器獲利4元．

(1)求購買1臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器各需要多少元？

(2)甲用不小于2750元，但不超過2850元的資金一次性購進A、B兩種品牌小電器共150臺，求購進A種

品牌小電器數量的取值范圍．

(3)在（2）的條件下，所購進的A、B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元，請說明甲

合理的采購方案有哪些？并計算哪種采購方案獲得的利潤最大，最大利潤是多少？

4．（2023·山東濟南·中考真題）某校開設智能機器人編程的校本課程，購買了A，B兩種型號的機器人模型．A

型機器人模型單價比B型機器人模型單價多200元，用2000元購買A型機器人模型和用1200元購買B型

機器人模型的數量相同．

(1)求A型，B型機器人模型的單價分別是多少元?

(2)學校準備再次購買A型和B型機器人模型共40臺，購買B型機器人模型不超過A型機器人模型的3倍，

且商家給出了兩種型號機器人模型均打八折的優惠．問購買A型和B型機器人模型各多少臺時花費最少?

最少花費是多少元?

5．（2023·山東日照·中考真題）要制作200個A，B兩種規格的頂部無蓋木盒，A種規格是長、寬、高都為20cm

的正方體無蓋木盒，B種規格是長、寬、高各為20cm，20cm，10cm的長方體無蓋木盒，如圖1．現有200

張規格為40cm40cm的木板材，對該種木板材有甲、乙兩種切割方式，如圖2．切割、拼接等板材損耗忽

略不計．

(1)設制作A種木盒x個，則制作B種木盒__________個；若使用甲種方式切割的木板材y張，則使用乙種

方式切割的木板材__________張；

(2)該200張木板材恰好能做成200個A和B兩種規格的無蓋木盒，請分別求出A，B木盒的個數和使用甲，

乙兩種方式切割的木板材張數；

(3)包括材質等成本在內，用甲種切割方式的木板材每張成本5元，用乙種切割方式的木板材每張成本8元．根

1

據市場調研，A種木盒的銷售單價定為a元，B種木盒的銷售單價定為20a元，兩種木盒的銷售單價

2

均不能低于7元，不超過18元．在（2）的條件下，兩種木盒的銷售單價分別定為多少元時，這批木盒的

銷售利潤最大，并求出最大利潤．

6．（2023·內蒙古·中考真題）隨著科技的發展，掃地機器人已廣泛應用于生活中，某公司推出一款新型掃地

機器人，經統計該產品2022年每個月的銷售情況發現，每臺的銷售價格隨銷售月份的變化而變化、設該產

品2022年第x（x為整數）個月每臺的銷售價格為y（單位：元），y與x的函數關系如圖所示（圖中ABC

為一折線）．

(1)當1x10時，求每臺的銷售價格y與x之間的函數關系式；

1

(2)設該產品2022年第x個月的銷售數量為m（單位：萬臺），m與x的關系可以用mx1來描述，求哪

10

個月的銷售收入最多，最多為多少萬元？（銷售收入每臺的銷售價格銷售數量）

7．（2023·四川綿陽·中考真題）隨著國家鄉村振興政策的推進，鳳凰村農副產品越來越豐富．為增加該村村

民收入，計劃定價銷售某土特產，他們把該土特產（每袋成本10元）進行4天試銷售，日銷量y（袋）和

每袋售價x（元）記錄如下：

時間第一天第二天第三天第四天

x/元15202530

y/袋25201510

若試銷售和正常銷售期間，日銷量y與每袋售價x的一次函數關系相同，解決下列問題：

(1)求日銷量y關于每袋售價x的函數關系式；

(2)請你幫村民設計，每袋售價定為多少元，才能使這種土特產每日銷售的利潤最大？并求出最大利潤.（利

潤銷售額成本）

8．（2024·山東濟寧·中考真題）某商場以每件80元的價格購進一種商品，在一段時間內，銷售量y（單位：

件）與銷售單價x（單位：元/件）之間是一次函數關系，其部分圖象如圖所示．

(1)求這段時間內y與x之間的函數解析式；

(2)在這段時間內，若銷售單價不低于100元，且商場還要完成不少于220件的銷售任務，當銷售單價為多

少時，商場獲得利潤最大？最大利潤是多少？

9．（2024·貴州·中考真題）某超市購入一批進價為10元/盒的糖果進行銷售，經市場調查發現：銷售單價不

低于進價時，日銷售量y（盒）與銷售單價x（元）是一次函數關系，下表是y與x的幾組對應值．

銷售單價x/元…1214161820…

銷售量y/盒…5652484440…

(1)求y與x的函數表達式；

(2)糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？

(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為m元的禮品，贈送禮品后，為確保該種糖果日

銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值．

10．（2024·山東煙臺·中考真題）每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美

好生活”，康寧公司新研發了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售，根據市場調查，每輛輪椅盈利200元時，每

天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛

輪椅的利潤不低于180元，設每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元．

(1)求y與x的函數關系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？

(2)全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？

【中考模擬即學即練】

11．（2025·湖北黃石·一模）某商家購進一批單價為20元的日用商品，如果以單價30元銷售，那么一個月

內可以售出400件．根據銷售經驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量

相應減少20件；同樣地，銷售單價每降低1元，銷售量相應增加20件．若按照這個規律，則當單價提高x

元時，銷售量m（件）與x的關系如下表：

單價（元/件）銷售量（件）

提高1元31380

提高2元32360

………

提高x元30x

(1)求銷售量m（件）與x之間的函數關系式；

(2)求銷售利潤y（元）與x之間的函數關系式；

(3)若限定每月的銷售量在320件到460件之間（可以包括320件或460件），則如何定價，才能獲得最大銷

售利潤？最大銷售利潤是多少？

12．（2025·廣東·模擬預測）廣東某鎮盛產的荔枝遠近聞名，深受廣大消費者喜愛，某超市每天購進一批成

本價為每千克6元的該荔枝，以不低于成本價且不超過每千克元的價格銷售．當每千克售價為7元時，

每天售出荔枝950kg；當每千克售價為8元時，每天售出荔枝9100kg，通過分析銷售數據發現：每天銷售荔

枝的數量ykg與每千克售價x(元)滿足一次函數關系，

(1)請直接寫出y與x的函數關系式；

(2)超市將該荔枝每千克售價定為多少元時，每天銷售該荔枝的利潤可達到1800元？

(3)當每千克售價定為多少元時，每天獲利最大？最大利潤為多少？

13．（2025·廣西柳州·一模）某店銷售某種進價為40元/kg的產品，已知該店按60元/kg出售時，每天可售

出100kg，后來經過市場調查發現，單價每降低1元，則每天的銷售量可增加10kg．

(1)若單價降低2元，則每天的銷售量是______千克，若單價降低x元，則每天的銷售量是______千克；（用

含x的代數式表示）

(2)若該店銷售這種產品計劃每天獲利2160元，單價應降價多少元？

(3)當單價降低多少元時，該店每天的利潤最大，最大利潤是多少元？

14．（2025·山西長治·模擬預測）山藥是山中之藥、食中之藥，有“神仙之食”的美名，為方便人們使用，現在

很多企業將山藥加工成山藥粉進行銷售，小李想要購進一批山藥粉，了解到某品牌山藥粉有罐裝500g和

2

盒裝270g兩種規格，每件盒裝山藥粉的價格是每件罐裝山藥粉價格的，用500元購買盒裝山藥粉的數量

5

比用500元購買罐裝山藥粉的數量多6件．

(1)求該品牌罐裝山藥粉和盒裝山藥粉的單價．

(2)小李打算購買該品牌罐裝山藥粉和盒裝山藥粉共100件進行銷售，且購買盒裝山藥粉的數量不超過罐裝山

藥粉數量的3倍，求最低的購買費用．

15．（2024·廣東深圳·模擬預測）綜合與實踐．

如何分配工作，使公司支付的總工資最少

壯錦是工藝美術織品，是壯族人民最精彩的文化創造之一，其

素歷史也非常悠久．某公司承接到2160個壯錦手提包的訂單，計

材劃將任務分配給甲、乙兩個生產部門去完成．

1甲部門每天生產的總數是乙部門每天生產總數的2倍，甲部門

單獨完成這項任務所需的時間比乙部門單獨完成少18天．

素

材經調查，這項訂單需要支付甲部門4800元/天，乙部門3000元/天．

2

素

材由于甲部門有其他工作任務，甲部門工作天數不超過乙部門工作天數的一半．

3

問題解決

任

務確定工作效率求甲、乙部門原來每天分別生產多少個壯錦手提包；

1

①若設甲部門工作m天，則甲部門完成壯錦手提包______個，

任

乙部門工作時間可表示為______天；

務擬訂設計方案

②如何安排甲、乙兩部門工作的天數，才能使正好完成任務時

2

該公司支付的總工資最少？最少需要多少元？

16．（2024·廣東深圳·模擬預測）寶安公明臘腸是深受當地民眾喜愛的一種美食，其制作技藝至今已有百余

年歷史，該項目2017年被列入寶安區區級非物質文化遺產保護名錄．某臘腸制作坊計劃購買A，B兩種香

料制作臘腸．已知購買1千克A種香料和1千克B種香料共需60元，購買3千克A種香料和4千克B種

香料共需220元．

(1)求A，B兩種香料的單價；

(2)該小吃店計劃購買兩種香料共20千克，其中購買A種香料的重量不超過B種香料重量的3倍，當A，B

兩種香料分別購買多少千克時，總費用最少？并求出最少總費用．

17．（2024·廣東廣州·模擬預測）2024年4月25日20點58分，神舟十八號載人飛船在酒泉發射中心發射升

空，某中學組織畢業班的同學到當地電視臺演播大廳觀看現場直播，學校準備為同學們購進A，B兩款文化

衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數量相

同．

(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？

(2)已知畢業班的同學一共有300人，要求購買的A款文化衫的數量不少于B款文化衫數量的兩倍，學校應

如何設計采購方案才能使得購買費用最低，最低費用為多少？

18．（2024·湖南·二模）在人們高度關注我國神舟十七號載人飛船成功發射的時候，某商家看準商機，推出

了“神舟”和“天宮”兩種航天模型進行銷售．已知每個天宮模型的成本比神舟模型低4元，商家購進10個天

宮模型和8個神舟模型共花費320元．

(1)每個神舟模型和天宮模型的成本分別是多少元？

(2)該商家計劃購進兩種模型共100個，每個神舟模型的售價為34元，每個天宮模型的售價為26元．設其

中購進的神舟模型為a個，銷售這批模型所得利潤為w元．

①求w與a之間的函數關系式（不要求寫出a的取值范圍）；

②若購進神舟模型的數量不超過天宮模型數量的一半，則購進神舟模型多少個時，銷售完這批模型可以獲

得最大利潤？最大利潤是多少？

題型三：方案選擇問題

【中考母題學方法】

1．（2023·四川·中考真題）某移動公司推出A，B兩種電話計費方式．

計費方式月使用費/元主叫限定時間/min主叫超時費/（元/min）被叫

A782000.25免費

B5000.19免費

108

(1)設一個月內用移動電話主叫時間為tmin，根據上表，分別寫出在不同時間范圍內，方式A，方式B的計

費金額關于t的函數解析式；

(2)若你預計每月主叫時間為350min，你將選擇A，B哪種計費方式，并說明理由；

(3)請你根據月主叫時間t的不同范圍，直接寫出最省錢的計費方式．

2．（2023·內蒙古呼和浩特·中考真題）學校通過勞動教育促進學生樹德、增智、強體、育美全面發展，計劃

組織八年級學生到“開心”農場開展勞動實踐活動．到達農場后分組進行勞動，若每位老師帶38名學生，則

還剩6名學生沒老師帶；若每位老師帶40名學生，則有一位老師少帶6名學生．勞動實踐結束后，學校在

租車總費用2300元的限額內，租用汽車送師生返校，每輛車上至少要有1名老師．現有甲、乙兩種大型客

車，它們的載客量和租金如下表所示

甲型客車乙型客車

載客量/（人/輛）4530

租金/（元/輛）400280

(1)參加本次實踐活動的老師和學生各有多少名？

(2)租車返校時，既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛車上至少有1名老師，則共需租車________輛；

(3)學校共有幾種租車方案？最少租車費用是多少？

3．（2024·山東東營·中考真題）隨著新能源汽車的發展，東營市某公交公司計劃用新能源公交車淘汰“冒黑

煙”較嚴重的燃油公交車．新能源公交車有A型和B型兩種車型，若購買A型公交車3輛，B型公交車1輛，

共需260萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車3輛，共需360萬元．

(1)求購買A型和B型新能源公交車每輛各需多少萬元？

(2)經調研，某條線路上的A型和B型新能源公交車每輛年均載客量分別為70萬人次和100萬人次．公司準

備購買輛A型、B型兩種新能源公交車，總費用不超過650萬元．為保障該線路的年均載客總量最大，

請設計購10買方案，并求出年均載客總量的最大值．

【中考模擬即學即練】

4．（2024·陜西西安·模擬預測）國慶節期間，小明和家人乘坐高鐵前往某市旅游，計劃第二天租用一輛新能

源汽車自駕出游，兩家公司的租賃信息如下：

甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小時租費20元計費（不足一小時按一小時計費）

乙公司：無固定租金，三小時以內每小時的租費40元，超過三小時，超過部分以每小時的租費32元計費

（不足一小時按一小時計費）．

根據以上信息，解決下列問題：

(1)設租車時間為x小時3x24，租用甲公司的車所需費用為y1元，租用乙公司的車所需費用為y2元，

分別求出y1，y2關于x的函數關系式；

(2)請你幫助小明通過計算說明選擇哪家租車公司出游比較合算．

5．（2024·陜西寶雞·三模）“生活即教育，行為即課程”．某校將勞動教育融入立德樹人全過程．學校給每個

班劃分一塊地供學生“種菜”，某班現要購買肥料對該地施肥，該班班長與農資店店主商量后，店主給出了兩

種購買方案（如表），且都送貨上門．

方案運費肥料價格

方案一12元3元/kg

方案二0元3.6元/kg

若該班購買x千克肥料，按方案一購買的付款總金額為y1元，按方案二購買的付款總金額為y2元．

(1)請分別寫出y1,y2與x之間的函數關系式；

(2)若該班計劃用180元錢購買肥料，請問該班選擇哪種購買方案購買的肥料較多？

6．（2024·陜西咸陽·模擬預測）周末，張洋去某楊梅園摘楊梅，已知該楊梅園內的楊梅單價是每千克40元．為

滿足客戶需求，該楊梅園現推出兩種不同的銷售方案：

甲方案：游客進園需購買30元的門票，采摘的楊梅按原價的七折收費；

乙方案：游客進園不需購買門票，采摘的楊梅在10千克以內按原價收費、超過10千克后，10千克部分按

原價收費，超過部分按原價的五折收費．

設張洋的采摘量為xx0千克，按甲方案所需總費用為y1元，按乙方案所需總費用為y2元．

(1)當采摘量超過10千克時，分別求出y1、y2關于x的函數表達式；

(2)若張洋的采摘量為30千克，選擇哪種方案更劃算?請說明理由．

7．（2024·四川資陽·一模）初三體育進入專項訓練，某學校打算采購一批籃球和實心球供同學們使用，調查

發現購買3個籃球和4個實心球需170元；購買4個籃球和5個實心球需220元．

(1)求籃球、實心球的單價各是多少元？

(2)該校計劃采購籃球、實心球共100個，總費用不超過2400元，且籃球個數不少于實心球個數的一半，請

為該校設計出最省錢的購買方案，并說明理由．

8．（2024·云南昆明·二模）為調動實習員工工作的積極性，某公司出臺了兩種工資方案，實習員工任選其中

一種方案與公司簽訂合同．方案一：月工資y（單位：元）與生產的產品數量x（單位：件）的函數關系如

圖所示；方案二：每生產一件產品可得25元．

(1)選擇了工資方案一的實習員工甲，第一個月生產了60件產品，他該月得到的工資是多少元？

(2)某月實習員工乙發現，他選擇方案一比選擇方案二月工資多450元，求乙員工該月生產產品的數量．

9．（2024·河南鄭州·三模）“五一”期間，某服裝商場舉行促銷活動，活動方案如下：

方案促銷方案

方案

所有服裝全場六折

一

方案“滿100送100”（如：購買199元服裝，贈100元購物券；購買200元服裝，贈200

二元購物券）

方案“滿100減50”（如：購買199元服裝，只需付149元；購買200元服裝，只需付100

三元）

（注：一人只能選擇一種方案）

(1)小明想買一件上衣和一件褲子，已知上衣的標價為290元，小明通過計算發現，若按方案一購買這兩種

服裝與用方案二先買上衣再買褲子的花費相同．

①求褲子的標價；

②請你幫小明設計此次購買應選擇哪種方案，并說明理由；

(2)小明研究了該商場的活動方案三，發現實際售價y（元）可以看成標價x（元）的函數，請你寫出，當

0x100時，y關于x的函數表達式為______，當100x200時，y關于x的函數表達式為______，當

200x300時，y關于x的函數表達式為______；

(3)小明準備用方案一或方案三購買一件標價為x元0x200的服裝，當x的取值范圍是多少時，用方案

三購買更合算？

題型四：拋物線型應用問題

【中考母題學方法】

1．（2024·甘肅·中考真題）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂的橫截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是

棚頂的豎直高度y（單位：m）與距離停車棚支柱AO的水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系

y0.02x20.3x1.6的圖象，點B6，2.68在圖象上．若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作

長CD4m，高DE1.8m的矩形，則可判定貨車完全停到車棚內（填“能”或“不能”）．

2．（2023·陜西·中考真題）某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門，并要求所設計的拱門的跨度

與拱高之積為48m2，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設計部門按要求價出了兩個設計方案，現

把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門的跨度ON12m，拱高PE4m其中，點N在x軸上，PEON，OEEN．

方案二，拋物線型拱門的跨度ON8m，拱高PE6m其中，點N在x軸上，PEON，OEEN．

要在拱門中設置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計），方案一中，矩形框架ABCD

的面積記為S1，點A、D在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架ABCD的面積記為S2，點A，D

2

在拋物線上，邊BC在ON上，現知，小華已正確求出方案二中，當AB3m時，S2122m，請你根

據以上提供的相關信息，解答下列問題：

(1)求方案一中拋物線的函數表達式；

，

(2)在方案一中，當AB3m時，求矩形框架ABCD的面積S1并比較S1S2的大小．

3．（2024·江西·中考真題）如圖，一小球從斜坡O點以一定的方向彈出球的飛行路線可以用二次函數

1

yax2bxa0刻畫，斜坡可以用一次函數yx刻畫，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度

4

y（米）的變化規律如下表：

x012m4567…

715157

y068n…

2222

(1)①m______，n______；

②小球的落點是A，求點A的坐標．

(2)小球飛行高度y（米）與飛行時間t（秒）滿足關系y5t2vt．

①小球飛行的最大高度為______米；

②求v的值．

4．（2024·新疆·中考真題）某公司銷售一批產品，經市場調研發現，當銷售量在0.4噸至3.5噸之間時，銷

售額y1（萬元）與銷售量x（噸）的函數解析式為y15x；成本y2（萬元）與銷售量x（噸）的函數圖象是

17

如圖所示的拋物線的一部分，其中,是其頂點．

24

(1)求出成本y2關于銷售量x的函數解析式；

(2)當成本最低時，銷售產品所獲利潤是多少？

(3)當銷售量是多少噸時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（注：利潤=銷售額成本）

5．（2024·湖北武漢·中考真題）16世紀中葉，我國發明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火

箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發火箭第二級，火箭第二級沿直線運

行．某科技小組運用信息技術模擬火箭運行過程．如圖，以發射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的

1

直線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線yax2x和直線yxb．其中，當火箭運行的

2

水平距離為9km時，自動引發火箭的第二級．

(1)若火箭第二級的引發點的高度為3.6km．

①直接寫出a，b的值；

②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低1.35km，求這兩個位置之間的距離．

(2)直接寫出a滿足什么條件時，火箭落地點與發射點的水平距離超過15km．

6．（2024·青海·中考真題）在如圖所示的平面直角坐標系中，有一斜坡OA，從點O處拋出一個小球，落到

3

點A3,處．小球在空中所經過的路線是拋物線yx2bx的一部分．

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)求拋物線最高點的坐標；

(3)斜坡上點B處有一棵樹，點B是OA的三等分點，小球恰好越過樹的頂端C，求這棵樹的高度．

7．（2024·山東青島·中考真題）5月中旬，櫻桃相繼成熟，果農們迎來了繁忙的采摘銷售季．為了解櫻桃的

收益情況，從第1天銷售開始，小明對自己家的兩處櫻桃園連續15天的銷售情況進行了統計與分析：

A櫻桃園

第x天的單價、銷售量與x的關系如下表：

單價（元盒）銷售量（盒）

/B櫻桃園

第天的利潤（元）與的關系可以近似地用二次函數

第1天5020xy2x

yax2bx25刻畫，其圖象如圖：

第2天48302

第3天4640

第4天4450

………

第x天10x+10

第x天的單價與x近似地滿足一次函數關

系，已知每天的固定成本為745元．

(1)A櫻桃園第x天的單價是______元/盒（用含x的代數式表示）；

(2)求A櫻桃園第x天的利潤y1（元）與x的函數關系式；（利潤單價銷售量固定成本）

(3)①y2與x的函數關系式是______；

②求第幾天兩處櫻桃園的利潤之和（即y1y2）最大，最大是多少元？

(4)這15天中，共有______天B櫻桃園的利潤y2比A櫻桃園的利潤y1大．

8．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，是某公園的一種水上娛樂項目．數學興趣小組對該項目中的數學問

題進行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點A處沿水滑道下滑至點B處騰空

飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過騰空點B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原點，建立

平面直角坐標系．他們把水滑道和人騰空飛出后經過的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據測量和調

查得到的數據和信息，設計了以下三個問題，請你解決．

7

(1)如圖1，點B與地面的距離為2米，水滑道最低點C與地面的距離為米，點C到點B的水平距離為3

8

米，則水滑道ACB所在拋物線的解析式為______；

(2)如圖1，騰空點B與對面水池邊緣的水平距離OE12米，人騰空后的落點D與水池邊緣的安全距離DE

不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線BD恰好與拋物線ACB關于點B成中心對稱．

①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線BD的解析式；

②此人騰空飛出后的落點D是否在安全范圍內？請說明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計）；

(3)為消除安全隱患，公園計劃對水滑道進行加固．如圖2，水滑道已經有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地

面4米的點M處豎直支撐的鋼架MN，另一條是點M與點B之間連接支撐的鋼架BM．現在需要在水滑道

下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與BM平行，且與水滑道有唯一公共點，一端固定在鋼架

MN上，另一端固定在地面上．請你計算出這條鋼架的長度（結果保留根號）．

【中考模擬即學即練】

9．（2025·上海黃浦·一模）體育課上投擲實心球活動，如圖，小明某次投擲實心球，實心球出手后的運動過

12

程中距離地面的高度y（米）關于水平距離x（米）的函數解析式為yxbxc，當實心球運動到點B

8

時達到最高點，那么實心球的落地點C與出手點A的水平距離OC為米．

10．（2025·甘肅·模擬預測）一種玻璃水杯的截面如圖①所示，其左右輪廓線AC，BD為某一拋物線的一部

分，杯口AB8cm，杯底CD4cm，且AB∥CD，杯深12cm，如圖②若盛有部分水的水杯傾斜45（即

ABP45），水面正好經過點B，則此時點P到杯口AB的距離為cm．

11．（2024·北京東城·一模）小明是一位羽毛球愛好者，在一次單打訓練中，小明對“挑球”這種擊球方式進行

路線分析，球被擊出后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，擊

球點P到球網AB的水平距離OB1.5m．

小明在同一擊球點練習兩次，球均過網，且落在界內．

第一次練習時，小明擊出的羽毛球的飛行高度y（單位：m)與水平距離x（單位：m)近似滿足函數關系

y0.2(x2.5)22.35．

第二次練習時，小明擊出的羽毛球的飛行高度y（單位：m)與水平距離x（單位：m)的幾組數據如下：

水平距離

01234

x/m

飛行高度

1.11.61.921.9

y/m

根據上述信息，回答下列問題：

(1)直接寫出擊球點的高度；

(2)求小明第二次練習時，羽毛球的飛行高度y與水平距離x滿足的函數關系式；

(3)設第一次、第二次練習時，羽毛球落地點與球網的距離分別為d1，d2，則d1d2（填“”，“”或“”

)．

12．（2024·遼寧撫順·模擬預測）擲實心球是某市中考體育考試的選考項目．小強為了解自己實心球的訓練

情況，他嘗試利用數學模型來研究實心球的運動情況，建立了如圖所示的平面直角坐標系，在一次投擲中，

實心球從y軸上的點A0,2處出手，運動路徑可看作拋物線的一部分，實心球在最高點B的坐標為4,3.6，

落在x軸上的點C處．

(1)求拋物線的解析式；

(2)某市男子實心球的得分標準如表：

得分10095908580767066605040302010

擲遠（米）12.411.29.69.18.47.87.06.55.35.04.64.23.63.0

請你求出小強在這次訓練中的成績，并根據得分標準給小強打分；

(3)小強在練習實心球時，他的正前方距離投擲點9米處有一個身高1.2米的小朋友在玩耍，問該小朋友是否

有危險（如果實心球在小孩頭頂上方飛出為平安，否則視為危險），請說明理由．

13．（2024·浙江·模擬預測）某個農場有一個花卉大棚，是利用部分墻體建造的．其橫截面頂部為拋物線型，

大棚的一端固定在墻體OA上，另一端固定在墻體BC上，其橫截面有2根支架DE，FG，相關數據如圖1

所示，其中支架DEBC，OFDFBD，這個大棚用了400根支架．

為增加棚內空間，農場決定將圖1中棚頂向上調整，支架總數不變，對應支架的長度變化，如圖2所示，

調整后C與E上升相同的高度，增加的支架單價為60元/米（接口忽略不計），需要增加的經費不超過32000

元．

(1)分別以OB和OA所在的直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系．

①求出改造前的函數解析式．

②當CC1米，求GG的長度．

(2)只考慮經費情況下，求出CC的最大值．

14．（2024·云南怒江·一模）某地欲搭建一橋，橋的底部兩端間的距離ABL稱跨度，橋面最高點到AB的

距離CDh稱拱高，如圖，已知這座橋的跨度L20米，拱高h5米，且設計方案為拋物線型．

(1)建立合適的平面直角坐標系，并確定這座橋