專題34最值模型之阿氏圓模型

最值問題在中考數學常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉化與化歸等的

數學思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進

行梳理及對應試題分析，方便掌握。

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模型1.阿氏圓模型..........................................................................................................................................1

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模型1.阿氏圓模型

動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點A、B，動點P滿足PA/PB=k（k為常數，且k≠1）），

那么動點的軌跡就是圓，因這個結論最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發現的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯

圓，簡稱為阿氏圓。

OP

如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB（即k），連

OB

接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？最小值是多少呢？

OCOPOPOC

如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r（即k），∵k，∴，

OPOBOBOP

PC

∵∠POC=∠BOP，∴POC∽BOP，∴k，即k·PB=PC。

PB

△△

故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉化為“PA+PC”的最小值。

其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小，如圖3所示。

阿氏圓求最值的本質就是通過構造母子相似，化去比例系數，轉化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在

于如何構造母子相似。

阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內取點（系數小于1）；點在圓內：向外取點（系數大于1）；一內

一外：提系數；隱圓型阿氏圓等。

注意區分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點

軌跡是直線，而當P點軌跡變為圓時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．

例1．（2024·安徽合肥·二模）在ABC中，ACB90，AC6，BC8，點D是平面上一點，且CD4，

連接AD、BD，則下列說法正確的是（）

28

A．AD長度的最大值是9B．ADBD的最小值是10

33

C．CBD30D．△ABD面積的最大值是40

例2．（2024·廣東·模擬預測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個

1

動點，則PDPC的最大值為_______．

2

例3.（2023·北京·九年級專題練習）如圖，邊長為4的正方形，內切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則2PA

＋PB的最小值為________．

例4．（2024·江蘇·無錫市九年級期中）如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點M、點N，⊙O半徑

為3，點A（0，1），點B（2，0），點P在弧MN上移動，連接PA，PB，則3PA+PB的最小值為___．

例5．（2024·山東·模擬預測）如圖，在ABC中，ABC90，AB2BC6，BD1，P在以B為圓心

3為半徑的圓上，則AP6PD的最小值為．

例6．（2024·廣東·模擬預測）如圖，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，D、E分別是邊BC、

1

AC上的兩個動點，且DE4，P是DE的中點，連接PA，PB，則PAPB的最小值為．

4

例7．（2024·福建·校考一模）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，M為AB上一點，且BM2，N為邊BC

上一動點．連接MN，將BMN沿MN翻折得到PMN，點P與點B對應，連接PA，PC，則PA2PC的

最小值為．

例8．（2024·廣東·校考二模）（1）初步研究：如圖1，在PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點且

AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結論運用：如圖2，已知正△方形ABCD的邊長為4，⊙A的半徑為2，點P是

⊙A上的一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，

⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC?PB的最大值．

例9．（2023·山東煙臺·統考中考真題）如圖，拋物線yax2bx5與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點

C,AB4．拋物線的對稱軸x3與經過點A的直線ykx1交于點D，與x軸交于點E．

(1)求直線AD及拋物線的表達式；(2)在拋物線上是否存在點M，使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角

形?若存在，求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由；(3)以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為B

1

上一個動點，請求出PCPA的最小值．

2

1．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，已知AB3，BC6，E為AD邊上一動點，將ABE

1

沿BE翻折到FBE的位置，點A與點F重合，連接DF，CF，則DFCF的最小值為（）

2

913313

A．B．C．4D．

222

2．（2024年廣東深圳中考模擬試題）如圖，矩形ABCD中AB8，AD6，點E是矩形ABCD內部一個動

點，且EB4，連接CE，則DE三分之二CE的最小值為（）

2623

A．8B．C．D．9

33

3．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，已知AB3，BC6，E為AD邊上一動點，將ABE

1

沿BE翻折到FBE的位置，點A與點F重合，連接DF，CF，則DFCF的最小值為（）

2

913313

A．B．C．4D．

222

4．（2024·山東泰安·二模）如圖，在RtABC中，ACB90，CB22，AC9，以C為圓心，3為半

1

徑作C，P為C上一動點，連接AP、BP，則APBP的最小值為（）

3

A．1B．2C．3D．4

5．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB6，AD9，點P為邊CD的中點，點E在邊

10

AD上，連接BP，點F為BP上的動點，則EFBF的最小值為．

10

6．（2024·安徽合肥·模擬預測）如圖所示，正方形ABCD邊長為8，M為BC中點，E為AC上的動點，F為

BE上的點，且BF3，連接DE，則2MFDE的最小值是（）

A．65B．37C．214D．217

7．（2024·江蘇鎮江·二模）如圖，邊長為2的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的動點，BECF，

5

連接AE、BF交于點P，則PDPC的最小值為．

5

8.（2024·浙江溫州·模擬預測）如圖，在正方形ABCD中，點M，N分別在邊AB，BC上（不與頂點重合），

且滿足AMBN，連接AN，DM交于點P．E，F分別是邊AB，BC的中點，連結接PE，PF．若正方

1

形的邊長為8，則PEPF的最小值為．

2

9．（2024·廣西·一模）圖所示，在半徑為6的扇形ABC中，∠BAC＝60°，點D，E分別在半徑AB，

3

AC上，且BD＝CE＝2，點F是弧BC上的動點，連接DF，EF，則DF＋EF的最小值為．

2

10．（23-24九年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖正方形ABCD的邊長是4，A的半徑是2，點E是A上一

1

動點，連接EB，EC．則ECEB的最小值=．

2

11．（2024九年級·廣東·專題練習）如圖，在VABC中，ACB90,ACBC4，C的半徑為2，D是C

1

上一動點，點E在CB上，CE1，連接AD,DE，則AD2DE的最小值

2

12．（2024·四川·校考一模）如圖，AB為O的直徑，AB＝2，點C與點D在AB的同側，且ADAB，BCAB，

2

AD＝1，BC＝3，點P是O上的一動點，則PDPC的最小值為．

2

13．（23-24九年級上·江蘇鹽城·期末）已知：等腰Rt△ABC中，ACB90，ACBC4，O是AB上一

2

點，以O為圓心的半圓與AC、BC均相切，P為半圓上一動點，連PC、PB，如圖，則PCPB的最小

2

值是．

14．（2024·江蘇鎮江·二模）如圖，邊長為2的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的動點，BECF，

5

連接AE、BF交于點P，則PDPC的最小值為．

5

15．（2024·江蘇·校考二模）如圖，在ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點C為圓心，6為半徑的

圓上有一個動點D.連接AD、BD、CD△，則2AD+3BD的最小值是.

16．（23-24九年級上·江蘇南京·期末）如圖，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，D、E分別

1

是邊BC、AC上的兩個動點，且DE4，P是DE的中點，連接PA，PB，則PAPB的最小值為．

4

17．（2024·江蘇·無錫市九年級階段練習）問題提出：如圖①，在Rt△ABC中，∠C90，CB4，CA6，

1

⊙C的半徑為2，P為圓上一動點，連接AP、BP，求APBP的最小值．

2

（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點D，使CD1，

CDCP1PDCD1

則．又PCDBCP，所以PCD∽BCP．所以．

CPCB2BPCP2

11

所以PDPB，所以APBPAPPD．

22

1

請你完成余下的思考，并直接寫出答案：APBP的最小值為________；

2

1

（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求APBP的最小值；

3

（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，COD90，OC6，OA3，OB5，P是CD上一點，

求2PAPB的最小值．

18．（2023春·江蘇宿遷·九年級校考開學考試）

1

【問題呈現】如圖1，∠AOB=90°，OA=4，OB=5，點P在半徑為2的⊙O上，求APBP的最小值．

2

OC1OP

【問題解決】小明是這樣做的：如圖2，在OA上取一點C使得OC=1，這樣可得，又因為∠

OP2OA

CPOP111

COP=∠POA，所以可得COP∽△POA，所以，得CPAP所以APBPCPBP．

APOA222

△1

又因為CPBPCBOC2OB2，所以APBP最小值為．

2

1

【思路點撥】小明通過構造相似形（圖3），將AP轉化成CP，再利用“兩點之間線段”最短”求出CP+BP

2

的最小值．

2

【嘗試應用】如圖4，∠AOB=60°，OA=10，OB=9，點P是半徑為6的⊙O上一動點，求AP+BP最小

3

值．

【能力提升】如圖5，∠ABC=120°，BA=BC=8，點D為平面內一點且BD=3CD，連接AD，則ABD面

積的最大值為．△

19．（2023·江蘇連云港·統考一模）如圖1，平面內有一點P到ABC的三個頂點的距離分別為PA、PB、PC，

若有PA2PB2PC2，則稱點P為ABC關于點A的勾股點．

(1)如圖2，在55的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B、C、D、E均在小正方形的格點上，則

點D是ABC關于點______的勾股點；若點F在格點上，且點E是△ABF關于點F的勾股點，請在方格紙

中畫出△ABF；(2)如圖3，菱形ABCD中，AC與BD交于點O，點E是平面內一點，且點