學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2017-2018學年河北省邯鄲市雞澤一中高三(上)第一次月考數學試卷（文科)一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A=｛x|y=}，B={x｜|x|≤2｝,則A∪B=（）A．［﹣2，2] B．[﹣2，4］ C．[0，2] D．［0，4]2．（5分）下列命題是真命題的為（）A．若，則x=y B．若x2=1，則x=1C．若x=y,則 D．若x＜y,則x2＜y23．（5分）已知f（x）滿足對?x∈R,f（﹣x）+f（x)=0，且x≥0時，f（x)=ex+m（m為常數），則f(﹣ln5）的值為（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣64．（5分)若△ABC的內角A滿足sin2A=，則sinA+cosA=（)A． B． C． D．5．（5分）已知向量與的夾角是，且|｜=1，|｜=4，若(3+λ）⊥，則實數λ=（）A．﹣ B． C．﹣2 D．26．（5分）已知直線y=kx是y=lnx的切線，則k的值是（)A．e B．﹣e C． D．﹣7．(5分)函數f(x)=Asin(ωx+φ）（其中A＞0，｜φ|＜）的圖象如圖所示，為了得到g（x）=sin2x的圖象，則只要將f（x）的圖象（)A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度8．（5分）若x，y滿足,則2x+y的最大值為（）A．0 B．3 C．4 D．59．（5分）若對任意的x∈R,y=均有意義，則函數y=loga｜｜的大致圖象是（）A． B． C． D．10．（5分)已知a＞0，b＞0，且2a+b=1,則+的最小值為（）A．7 B．8 C．9 D．1011．（5分）已知f（x）=lnx﹣+，g(x)=﹣x2﹣2ax+4，若對?x1∈(0，2］，?x2∈[1，2］,使得f（x1）≥g(x2）成立,則a的取值范圍是（）A．［﹣，+∞) B．［，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，]12．(5分）設函數，若關于x的方程[f（x）]2﹣af（x）=0恰有三個不同的實數解，則實數a的取值范圍為（）A．（0，1］ B．(0，1） C．[1,+∞） D．（﹣∞，1）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分,滿分20分。13．（5分)已知數列{an}是遞增的等比數列，a1+a4=9，a2a3=8，則數列{an}的前n項和等于．14．（5分）若函數f（x）=4sin5ax﹣4cos5ax的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則實數a的值為．15．(5分）甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，兩船相距a海里的B處，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的倍，甲船為了盡快追上乙船,則應取北偏東(填角度）的方向前進．16．（5分）已知函數f（x）=2x，g(x)=x2+ax（其中a∈R）．對于不相等的實數x1、x2，設m=，n=．現(xiàn)有如下命題：①對于任意不相等的實數x1、x2，都有m＞0；②對于任意的a及任意不相等的實數x1、x2，都有n＞0；③對于任意的a，存在不相等的實數x1、x2,使得m=n;④對于任意的a，存在不相等的實數x1、x2,使得m=﹣n．其中的真命題有（寫出所有真命題的序號）．三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知遞增的等比數列{an｝的前n項和為Sn，a6=64，a4、a5的等差中項為3a3．（1）求{an}的通項公式；(2）設bn=，求數列bn的前n項和Tn．18．（12分）在△ABC中,角A，B，C所對的邊分別為a,b，c，若a2+c2=b2+ac．（1)求B的大小;（2)求cosA+cosC的最大值．19．（12分）等比數列{an｝中,an＞0（n∈N＊），且a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中項，若bn=log2an+1（1)求數列{bn｝的通項公式；（2）若數列{cn}滿足cn=an+1+，求數列{cn｝的前n項和．20．（12分)已知向量=(3sinx，cosx），=（﹣cosx，cosx),f（x)=?﹣．（I）求函數f(x)的最大值及取得最大值時x的值；（Ⅱ)若方程f（x）=a在區(qū)間［0,］上有兩個不同的實數根，求實數a的取值范圍．21．(12分)某商人投資81萬元建一間工作室,第一年裝修費為1萬元，以后每年增加2萬元，把工作室出租，每年收入租金30萬元．（1）若扣除投資和各種裝修費，則從第幾年開始獲取純利潤？（2）若干年后該商人為了投資其他項目，對該工作室有兩種處理方案：①年平均利潤最大時，以46萬元出售該工作室；②純利潤總和最大時,以10萬元出售該工作室．問該商人會選擇哪種方案？22．（12分)已知函數f(x）=+alnx（a≠0，a∈R)．（1）若a=1，求函數f（x）的極值和單調區(qū)間；（2）若在區(qū)間(0,e]上至少存在一點x0,使得f（x0）＜0成立，求實數a的取值范圍．

2017-2018學年河北省邯鄲市雞澤一中高三（上)第一次月考數學試卷（文科）參考答案與試題解析一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知集合A={x|y=},B={x｜|x|≤2｝，則A∪B=（）A．［﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2] D．[0，4］【分析】求出集合的等價條件，根據集合的基本運算進行求解即可．【解答】解：A={x｜y=}=｛x|4x﹣x2≥0}={x|0≤x≤4｝，B=｛x|｜x|≤2}={x｜﹣2≤x≤2｝，則A∪B=｛x｜﹣2≤x≤4｝,故選：B．【點評】本題主要考查集合的基本運算，求出集合的等價條件是解決本題的關鍵．2．（5分）下列命題是真命題的為（）A．若，則x=y B．若x2=1，則x=1C．若x=y，則 D．若x＜y，則x2＜y2【分析】逐一判斷即可．【解答】解:A、由得=0，則x=y,為真命題；B、由x2=1得x=±1，x不一定為1，為假命題；C、若x=y，不一定有意義，為假命題；D、若x＜y＜0，x2＞y2，為假命題；故選A．【點評】本題較簡單，A顯然正確,其它可不看．3．（5分）已知f（x）滿足對?x∈R，f（﹣x)+f（x）=0，且x≥0時，f（x）=ex+m（m為常數）,則f(﹣ln5)的值為（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6【分析】根據已知可得f（0）=0，進而求出m值,得到x≥0時,f(x）的解析式，先求出f（ln5）,進而可得答案．【解答】解：∵f（x）滿足對?x∈R,f（﹣x）+f(x）=0,故f（﹣x)=﹣f（x），故f（0）=0∵x≥0時，f(x）=ex+m，∴f（0）=1+m=0，m=﹣1，即x≥0時，f（x）=ex﹣1，則f（ln5）=4f（﹣ln5）=﹣f（ln5）=﹣4，故選：B．【點評】本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數求值，難度中檔．4．(5分)若△ABC的內角A滿足sin2A=，則sinA+cosA=（)A． B． C． D．【分析】根據(sinA+cosA）2=1+sin2A，即得答案．【解答】解：由sin2A=2sinAcosA＞0,可知A這銳角，所以sinA+cosA＞0，又，故選A．【點評】考查同角三角函數間的基本關系．5．（5分）已知向量與的夾角是，且｜｜=1，｜|=4，若（3+λ）⊥，則實數λ=（）A．﹣ B． C．﹣2 D．2【分析】直接利用向量的數量積公式求出,進一步利用向量垂直的充要條件求出結果．【解答】解:已知向量與的夾角是，且|｜=1，|｜=4，則:=2，已知：（3+λ）⊥，則：，即：，解得：，故選：A．【點評】本題考查的知識要點：向量的數量積和夾角公式的應用，向量垂直的充要條件及相關的運算問題．6．(5分）已知直線y=kx是y=lnx的切線,則k的值是(）A．e B．﹣e C． D．﹣【分析】欲求k的值，只須求出切線的斜率的值即可，故先利用導數求出在切處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：∵y=lnx，∴y’=,設切點為（m,lnm），得切線的斜率為，所以曲線在點（m，lnm）處的切線方程為：y﹣lnm=×（x﹣m）．它過原點，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e,∴k=．故選C．【點評】本小題主要考查直線的方程、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識,考查運算求解能力．屬于基礎題．7．（5分）函數f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0,|φ｜＜)的圖象如圖所示,為了得到g（x)=sin2x的圖象，則只要將f（x)的圖象(）A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【分析】首先根據函數的圖象現(xiàn)確定函數解析式，進一步利用平移變換求出結果．【解答】解：根據函數的圖象:A=1又解得：T=π則：ω=2當x=,f(）=sin(+φ）=0解得：所以：f（x）=sin（2x+）要得到g（x）=sin2x的圖象只需將函數圖象向右平移個單位即可．故選：A【點評】本題考查的知識要點：函數圖象的平移變換，函數解析式的求法．屬于基礎題型8．（5分）若x，y滿足，則2x+y的最大值為（）A．0 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，目標函數的幾何意義是直線的縱截距，利用數形結合即可求z的取值范圍．【解答】解:作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：(陰影部分）．設z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當直線y=﹣2x+z經過點A時，直線y=﹣2x+z的截距最大，此時z最大．由，解得，即A（1，2）,代入目標函數z=2x+y得z=1×2+2=4．即目標函數z=2x+y的最大值為4．故選：C．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數的幾何意義,結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．9．（5分）若對任意的x∈R，y=均有意義，則函數y=loga|｜的大致圖象是（）A． B． C． D．【分析】由對數函數的定義知a＞0且a≠1，函數y=loga||的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞)，y=均有意義，判斷a的范圍,推出0＜a＜1，再把函數表達式中的絕對值去掉，再討論函數的單調性．【解答】解：由對數函數的定義知a＞0且a≠1，函數y=loga||的定義域為(﹣∞,0)∪（0，+∞)若當x∈R，y=均有意義，則1﹣a|x|≥0，恒成立,可得0＜a＜1．又x＞0時，,∵u=單調遞減,y=logau單調遞減,∴由復合函數的單調性知單調遞增，∵y=loga｜|=loga為偶函數,其圖象應關于y軸對稱，∴x＜0時,單調遞減，綜上知，選項B符合，故選：B．【點評】本題主要考查函數的性質，利用函數的奇偶性判斷函數的單調性，其中還應用了復合函數單調性的判斷，較為綜合．10．（5分)已知a＞0，b＞0，且2a+b=1，則+的最小值為(）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】利用“乘1法"、基本不等式的性質即可得出．【解答】解：∵a＞0,b＞0，2a+b=1，∴+=（2a+b）=5+=9,當且僅當a=b=時取等號．∴+的最小值為9．故選：C．【點評】本題考查了“乘1法”、基本不等式的性質，屬于基礎題．11．（5分)已知f（x）=lnx﹣+，g（x）=﹣x2﹣2ax+4,若對?x1∈(0，2],?x2∈[1，2]，使得f（x1)≥g（x2）成立，則a的取值范圍是（）A．[﹣，+∞） B．[，+∞） C．［﹣，] D．（﹣∞，］【分析】由題意，要使對?x1∈（0，2],?x2∈[1，2］，使得f(x1）≥g（x2)成立,只需f(x1）min≥g（x2）min，且x1∈（0，2]，x2∈[1，2]，然后利用導數研究它們的最值即可．【解答】解：因為f′（x)===,易知當x∈（0，1)時，f′（x）＜0，當x∈(1，2）時,f′(x）＞0,所以f(x）在(0，1)上遞減，在［1,2］上遞增，故f（x)min=f(1)=．對于二次函數g（x)=)=﹣x2﹣2ax+4，該函數開口向下，所以其在區(qū)間［1，2］上的最小值在端點處取得，所以要使對?x1∈（0，2]，?x2∈［1，2],使得f(x1）≥g（x2)成立，只需f(x1）min≥g(x2）min，即或，所以或．解得．故選A．【點評】本題考查了不等式恒成立問題以及不等式有解問題的綜合思路，概念性很強，注意理解．12．（5分）設函數,若關于x的方程[f(x)]2﹣af（x)=0恰有三個不同的實數解,則實數a的取值范圍為()A．（0，1］ B．（0，1） C．［1，+∞） D．(﹣∞，1）【分析】畫出函數,令t=f（x），則要使方程[f(x）］2﹣af（x）=0恰有三個不同的實數解,可得方程t2﹣at=0一個根為0,另一根a∈（0,1］．【解答】解：作出函數的圖象如圖，令t=f（x）,要使方程[f(x）]2﹣af(x）=0恰有三個不同的實數解，則方程t2﹣at=0一個根為0，另一根a∈（0，1］．故選：A．【點評】本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題．二、填空題：本大題共4小題,每小題5分，滿分20分。13．（5分)已知數列｛an}是遞增的等比數列，a1+a4=9，a2a3=8，則數列{an}的前n項和等于2n﹣1．【分析】利用等比數列的性質，求出數列的首項以及公比，即可求解數列{an}的前n項和．【解答】解:數列{an}是遞增的等比數列，a1+a4=9,a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2,數列｛an}的前n項和為：=2n﹣1．故答案為：2n﹣1．【點評】本題考查等比數列的性質，數列｛an}的前n項和求法,基本知識的考查．14．(5分)若函數f（x）=4sin5ax﹣4cos5ax的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則實數a的值為±．【分析】利用輔助角公式化簡函數的解析式,再利用正弦函數的圖象的周期性和對稱性,可得|｜=，由此求得實數a的值．【解答】解：∵函數f（x）=4sin5ax﹣4cos5ax=8（sin5ax﹣cos5ax)=8sin（5ax﹣)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為｜|=，∴a=±，故答案為:．【點評】本題主要考查輔助角公式，正弦函數的圖象的周期性和對稱性，屬于基礎題．15．（5分）甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，兩船相距a海里的B處，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的倍，甲船為了盡快追上乙船，則應取北偏東30°（填角度)的方向前進．【分析】根據題意畫出圖形,求出∠CAB與∠B的度數，設出追上乙船的時間，表示出BC與AC，在三角形ABC中，利用正弦定理列出關系式，即可求出θ的度數．【解答】解：根據題意得：∠CAB=60°﹣θ，∠B=120°，設追上乙船的時間為x，則有BC=x，AC=x，在△ABC中，利用正弦定理，即=，∴=sin(60°﹣θ），即sin(60°﹣θ）=,∴60°﹣θ=30°，即θ=30°．故答案為：30°【點評】此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵，屬于基本知識的考查．16．（5分）已知函數f（x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R）．對于不相等的實數x1、x2，設m=,n=．現(xiàn)有如下命題：①對于任意不相等的實數x1、x2，都有m＞0；②對于任意的a及任意不相等的實數x1、x2，都有n＞0；③對于任意的a，存在不相等的實數x1、x2，使得m=n;④對于任意的a，存在不相等的實數x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命題有①④（寫出所有真命題的序號）．【分析】運用指數函數的單調性，即可判斷①;由二次函數的單調性，即可判斷②；通過函數h（x）=x2+ax﹣2x,求出導數判斷單調性，即可判斷③;通過函數h(x）=x2+ax+2x，求出導數判斷單調性，即可判斷④．【解答】解：對于①，由于2＞1，由指數函數的單調性可得f（x）在R上遞增，即有m＞0，則①正確;對于②,由二次函數的單調性可得g（x）在（﹣∞,﹣）遞減，在（﹣,+∞）遞增，則n＞0不恒成立，則②錯誤;對于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g(x1)﹣g（x2），即為g（x1）﹣f(x1）=g（x2）﹣f（x2），考查函數h（x)=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2xln2，當a→﹣∞，h′（x)小于0,h（x)單調遞減，則③錯誤;對于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2)=﹣［g（x1)﹣g（x2）］，考查函數h（x）=x2+ax+2x,h′（x）=2x+a+2xln2，對于任意的a,h′（x）不恒大于0或小于0，則④正確．故答案為：①④．【點評】本題考查函數的單調性及運用,注意運用指數函數和二次函數的單調性，以及導數判斷單調性是解題的關鍵．三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知遞增的等比數列｛an｝的前n項和為Sn，a6=64，a4、a5的等差中項為3a3．（1）求{an}的通項公式；（2）設bn=，求數列bn的前n項和Tn．【分析】（1）根據已知條件列出方程組,求出a1，q，代入通項公式即可；（2）根據｛bn}的通項公式特點可知使用錯位相減法求和．【解答】解：（1）設等比數列{an}的公比為q，∵a6=64,a4、a5的等差中項為3a3．∴,解得或．∵{an｝是遞增數列，∴a1=2，q=2．∴an=a1qn﹣1=2n．(2）bn==．∴Tn=++++…++．∴=++++…++．∴=++++…+﹣=﹣=(1﹣)﹣=﹣?﹣．∴Tn=﹣?﹣．【點評】本題考查了等比數列的通項公式及數列求和，弄清數列類型找到與之對應的求和方法是關鍵．18．(12分）在△ABC中，角A，B,C所對的邊分別為a，b，c，若a2+c2=b2+ac．（1)求B的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．【分析】(1)利用余弦定理即可求出．（2）利用三角形內角和定理結合三角函數的有界限求解最大值．【解答】解:（1)由題意,a2+c2=b2+ac．余弦定理：cosB==．∵0＜B＜π∴B=，（2）∵A+B+C=π，B=，則C=．那么：cosA+cosC=cosA+cos（）==sin（A+)．∵∴＜A+＜π當A=時，取得最大值為1．即cosA+cosC的最大值1．【點評】本題考查了三角函數性質的運用和余弦定理，三角形內角和定理的計算．19．(12分）等比數列｛an}中,an＞0（n∈N*）,且a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中項，若bn=log2an+1（1）求數列｛bn}的通項公式;（2）若數列｛cn｝滿足cn=an+1+，求數列{cn｝的前n項和．【分析】（1）求數列｛an｝的通項公式,設出公比為q，由a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中項，這兩個方程聯(lián)立即可求出首項與公比，通項易求．（2）確定數列{cn}的通項，分組求和即可．【解答】解：（1)設等比數列{an｝的公比為q．由a1a3=4可得a22=4因為an＞0，所以a2=2依題意有a2+a4=2（a3+1），得2a3=a4=a3q因為a3＞0，所以，q=2所以數列{an｝通項為an=2n﹣1，所以bn=log2an+1=n；…（6分）（2）設數列｛cn}的前n項和為Sn．∵cn=an+1+=2n+（﹣）…(8分）∴Sn=+（1﹣+﹣+…﹣）=2n+1﹣2+…（12分）【點評】本題考點是等差數列與等比數列的綜合,考查等比數列的通項公式、等差數列的性質以及分組求和的技巧，以及根據題設條件選擇方法的能力20．(12分）已知向量=（3sinx，cosx），=（﹣cosx,cosx）,f（x)=?﹣．(I）求函數f（x）的最大值及取得最大值時x的值；（Ⅱ)若方程f（x）=a在區(qū)間[0，］上有兩個不同的實數根,求實數a的取值范圍．【分析】（Ⅰ）根據向量的數量積運算，化簡得到f（x）=sin（2x+），根據三角函數的性質求出最值，（Ⅱ）求出函數f（x）的單調區(qū)間，并畫出y=f（x）和y=a的圖象,由圖象可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=?﹣=﹣3sinxcosx+cos2x﹣=﹣sin2x+（1+cos2x）﹣=﹣sin2x+cos2x=sin（2x+）當2x+=2kπ+，即x=kπ﹣，k∈Z時,函數f(x）取得最大值,(Ⅱ）由于x∈[0，］時，2x+∈[，],而函數f（x）在區(qū)間［，]上單調遞減,在區(qū)間［,］上單調遞增，結合圖象（如圖)，所以方程f（x）=a在區(qū)間[0，]上有兩個不同的實數根時，a∈(﹣，﹣］．【點評】本題考查了向量的運算和三角函數的化簡,以及參數的取值范圍，屬于中檔題．21．（12分)某商人投資81萬元建一間工作室,第一年裝修費為1萬元，以后每年增加2萬元,把工作室出租，每年收入租金30萬元．(1）若扣除投資和各種裝修費，則從第幾年開始獲取純利潤？(2）若干年后該商人為了投資其他項目,對該工作室有兩種處理方案:①年平均利潤最大時，以46萬元出售該工作室；②純利潤總和最大時，以10萬元出售該工作室．問該商人會選擇哪種方案？【分析】（1）設第n年獲取利潤為y萬元．n年付出的裝修費構成一個首項為1，公差為2的等差數列，求出n年付出的裝修費之和,列出利潤y=30n﹣n2﹣81（n∈N*）．然后求解不等式即可得到結果．（2)方案①：年平均利潤t=，利用基本不等式求解最值即可；方案②：純利潤總和y=30n﹣n2﹣81利用二次函數的性質求解最值即可．【解答】解：（1）設第n年獲取利潤為y萬元．n年付出的裝修費構成一個首項為1,公差為2的等差數列,n年付出的裝修費之和為n×1+×2=n2，又投資81萬元，n年共收入租金30n萬元，∴利潤y=30n﹣n2﹣81（n∈N*)．令y＞0，即30n﹣n2﹣81＞0，∴n2﹣30n+81＜0,解得3＜n＜27（n∈N＊),∴從第4年開始獲取純利潤．（2）方案①：年平均利潤t==30﹣﹣n=30﹣(+n)≤30﹣2=12（當且僅當=n，即n=9時取等號),∴年平均利潤最大時,以46萬元出售該工作室共獲利潤12×9+46=154(萬元）．方案②:純利潤總和y=30n﹣n2﹣81=﹣（n﹣15）2+144（n∈N*），當n=15時，純利潤總和最大，為144萬元，∴純利潤總和最大時，以10萬元出售該工作室共獲利潤144+10=154(萬元），兩種方案盈利相同,但方案①時間比較短,所以選擇方案①．【點評】本題考查數列的實際應