第02講塞的乘方與積的乘方（2大知識點+6大題型）

——?模塊導航?——素養目標

模塊一思維導圖串知識模塊1.能說出事的乘方與積的乘方的運算性質，

二基礎知識全梳理（吃透教材）并會用符號表示；2.使學生能運用塞的乘方

模塊三核心考點舉一反三與積的乘方法則進行計算，并能說出每一步

模塊四小試牛刀過關測運算的依據

模塊一思維導圖串知識

題型一：幕的乘方運算

幕題型二：幕的乘方的逆用

的

乘

知識點01郵乘方法則方題型三：積的乘方運算

與

積

知識點02積的乘方法則的題型四：積的初的逆用

乘

方\''一題型五：幕的乘方與積的乘方綜合運算

題型六：有關規律探究與新定義運算

6模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

知識點01募的乘方法則

底數不變，指數相乘.（a"?）n—amn（正，〃是正整數）

注意：①嘉的乘方的底數指的是哥的底數；

②性質中“指數相乘”指的是塞的指數與乘方的指數相乘，這里注意與同底數幕的乘法中“指

數相加”的區別.

知識點02積的乘方法則

把每一個因式分別乘方，再把所得的累相乘.（ab）n=anbn（〃是正整數）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；

②運用時數字因數的乘方應根據乘方的意義，計算出最后的結果.

試卷第1頁，共10頁

?＞模塊三核心考點舉一反三------------------------------

題型一：塞的乘方運算

（22-23七年級下?江蘇淮安?期中）

1.若3,=27,則x的值為.

（23-24七年級下?江蘇泰州?階段練習）

2.若/.（優）3="1貝心=.

（23-24七年級下?江蘇泰州?階段練習）

3.（1）已知：4"=3,8"=4,計算2為+3"的值.

（2）已知：3x+5y=5,求8*.32,的值.

（23-24七年級下?江蘇淮安?期中）

4.若曖=優（。＞0且awl,機、”是正整數），則加=".利用上面結論解決下面的問題:

⑴如果2、=，貝！J尤=；

⑵如果8、"=2,，求x的值；

（3）如果3--3"工=54,求x的值.

題型二：幕的乘方的逆用

（22-23七年級下?江蘇揚州?期中）

5.若心=3,a"=4,貝跖2〃，+"=.

（23-24七年級下?江蘇泰州?期末）

6.若x、了均為實數，43*=2024,47,=2024,貝|43%47孫=（尸+L

（23-24七年級下?江蘇泰州?期末）

7.若優=w=2,則優+2y的值為.

（23-24七年級下?江蘇連云港?階段練習）

8.己知10"=5,10s=2,求：

（l）102a+103ft的值；

（2）1。2“+3"的值.

⑵-24七年級下?江蘇蘇州?期中）

9.（1）已知2"+3〃=3,求9嘰27"的值.

（2）已知10、=5,10f=6,求1（）3，+2＞，的值.

試卷第2頁，共10頁

（23-24七年級下?江蘇南京?期中）

10.（1）已知3〃7+2〃-6=0,求8叫4"的值；

（2）已知2X8，X16=223,求x的值.

題型三：積的乘方運算

（22-23七年級下?江蘇常州?階段練習）

11.計算的結果是.

（22-23七年級下?江蘇淮安?期中）

12.化簡（2x2丫的結果為.

（23-24七年級下?江蘇鹽城?階段練習）

13.計算：—.

（23-24七年級下?江蘇揚州?階段練習）

14.基的運算性質在一定條件下具有可逆性,如曖〃"=（"『，則（°""=屋〃".（°、6為非

負數、加為非負整數）請運用所學知識解答下列問題：

⑴已知2'+3守+3=36>2,求X的值.

（2）已知:3X2"3X4'+3=96,求x的值.

題型四：積的乘方的逆用

（23-24七年級上?江蘇無錫?階段練習）

15.計算：（-0.25）2°23X（-4）2024=.

（23-24七年級下?江蘇鹽城?期中）

16.計算：X22025=.

（22-23七年級下?浙江杭州?單元測試）

17.若43、=2021,47〉=2021,試探究代數式中與x+y之間關系.

（23-24七年級下?江蘇揚州?階段練習）

18.計算：

試卷第3頁，共10頁

(2)已知〃為正整數,且一=2,求(3一戶4(尤2)2”的值.

(22-23七年級上?江蘇揚州?階段練習)

19.閱讀材料：根據乘方的意義可得：24=2x2x2x2;34=3x3x3x3;(2x3)4=

(2x3)x(2x3)x(2x3)x(2x3)=(2x2x2x2)x(3x3x3x3),gp24x34=(2x3)4.通過觀察上面

的計算過程，完成以下問題：

(1)計算：86X0.1256=；

(2)由上面的計算可總結出一個規律：(用字母表示)a"-b"=;

(3)用(2)的規律計算:-0.42021X(-1)2022X(|)2022

題型五：幕的乘方與積的乘方綜合運算

(22-23七年級下?江蘇常州?期末)

20.計算：(-3/切2=.

(22-23七年級上?江蘇南通?階段練習)

21.計算：(-0.125)2023X22022X42021=.

(23-24七年級下?江蘇南京?階段練習)

22.用兩種不同方法計算

(23-24七年級下?江蘇常州?階段練習)

23.已知10、=見5，=6,求下列代數式的值：(結果用含。力的代數式表示)

(1)50,的值；

(2)2,的值；

(3)20"的值.

(23-24七年級下?江蘇揚州?階段練習)

24.計算：

(l)a3-a5+(/『+(2/『.

(2)(-2X2)3+X2-X4-(-3X3)2.

(2024七年級下?江蘇?專題練習)

25.計算：

試卷第4頁，共10頁

⑴京/

⑵(打；

(、2。。4

⑶22。,)

(4).々2+(〃4)2+(—2/)4

2mn+1?

（/N6A）（/〃?aI-am.

（23-24七年級下?江蘇無錫?階段練習）

26.計算：

⑴簡便計算：（2，x（一》“x（一;產；

（2）已知9向-32*=72,求”的值.

（23-24七年級下?江蘇泰州?階段練習）

27.①若/=2,求（2-）2_（3/）2的值.

②已知x=-5,j=1,求彳2“嘰（/+）的值.

（22-23七年級下?江蘇南京?期中）

28.（1）若2枚=8,貝1」加=;若2"?3"=36,貝|"=_；

（2）若2-3"6=36"3求x的值.

（2023七年級下?江蘇?專題練習）

29.基本事實：若曖=a"（。>0且awl,m、”是正整數），則

試利用上述基本事實分別求下列各方程中x的值：

①2x8'=2，；

②2同乂3*+|=36>2；

（3）2^+2+21+1=24.

（2023七年級下?江蘇?專題練習）

30.（1）若x3加=4,嚴=5,求（/"）3+（力：0的值；

（2）已知2x+5y-3=0,求32》的值;

（3）已知x"=2,/=3,求任了廣的值.

試卷第5頁，共10頁

（22-23七年級下?江蘇鹽城?階段練習）

31.閱讀下面的材料：

材料一：比較322和4口的大小

解：因為4U=Q2）"=222,且3>2,所以322>222,即322>4匕

小結：指數相同的情況下，通過比較底數的大小，來確定兩個事的大小，

材料二：比較28和82的大小.

解：因為8?=（23）2=26,且8>6,所以愛>26,即28>82,

小結：底數相同的情況下，通過比較指數的大小，來確定兩個幕的大小

解決下列問題：

（1）比較3*、433、6-的大小:

（2）比較8P、27次、9"的大小:

（3）比較412x51°與410x5的的大小.

題型六：有關規律探究與新定義運算

（22-23七年級下?江蘇南京?期中）

32.^23+43+63+83+103+123+143+163+183=16200,貝U

33+63+93+123+153+183+213+243+273=.

（23-24七年級下?江蘇淮安?開學考試）

33.規定：如果兩數。，6滿足a"=6,則記為（。*）=機.例如：因為2'=8,所以

（2,8）=3.我們還可以利用該規定來說明等式（3,3）+（3,5）=（3,15）成立.證明如下：設

（3,3）=加，（3,5）=77,則3必=3,3"=5,故3"'x3"=3爪'=3x5=15,則（3,15）=加+〃，即

（3,3）+（3,5）=（3,15）.

⑴根據上述規定，填空：（6,36）=；

⑵計算（7,3）+（7,10）=；

（3）如果（3,機+17）=4,（9,刃）=〃，那么⑶）=2"；

（4）若（3",2"）=s,（3,2）=/,請說明s與r的關系.（”為正整數）

（23-24七年級下?江蘇?期中）

試卷第6頁，共10頁

34.閱讀材料：3,的末尾數字是3,32的末尾數字是9,尸的末尾數字是7,3,的末尾數字是

1，3,的末尾數字是3,……，觀察規律：

34n+l=（3?x3,

?.?34的末尾數字是1,

.?.（34）”的末尾數字是1,

」.（34）"x3的末尾數字是3,

同理可知，3"+2的末尾數字是9,S’"的末尾數字是7.

解答下列問題：

（1）32024的末尾數字是,142024的末尾數字是

⑵求22024的末尾數字；

⑶求證：122024+37刈8能被5整除.

6模塊四小試牛刀過關測

單選題

（23-24七年級下?江蘇淮安?期中）

35.下列計算正確的是（）

A.?=a5B.a3-a4=a12

C.a3+a4=a7D.

（2023春?玄武區期中）

36.計算（OY的結果是（）

A.x5yB.x5y2C.x6y2D.x3y2

（23-24七年級下?江蘇無錫?期中）

37.已知（x”".J=彳9爐5,則優、及的值分別為（）

A.3、4B.4、3C.3、5D.9、6

二、填空題

（2023春?興化市月考）

試卷第7頁，共10頁

38.計算：（屋b）3=_.

（2023秋?新吳區校級月考）

39.（-0.25）2023X42024=

（2023春?海州區期末）

40.若優=2,ay=3,則a""=.

（23-24七年級下?江蘇泰州?期末）

41.已知2》-3尸6=0,則代數式4也82—的值為.

（23-24七年級下?江蘇淮安?期末）

42.若0m=l,a"=2,則°m+2"=.

（23-24七年級下?江蘇揚州?期末）

43.已知2m+5,-4=0,則￥x32"的值為.

（23-24七年級下?江蘇南京?期末）

44.已知3"=2,3"=5,則3協+2"的值是.

（23-24七年級下?江蘇揚州?期末）

45.計算：（-2）2024-（-0.5）2023=.

（23-24七年級下?江蘇無錫?期中）

46.已知2"=a,2"=b,m?為正整數，貝I22m+3,,=.

三、解答題

（2023春?高港區月考）

47.（1）已知優"=3,a"=2,求產+2"的值.

（2）已知22.3工+3=621,求x的值.

（23-24七年級下?江蘇淮安?期中）

48.已知5"=4,5。=6,5。=9,探究a,b,c之間滿足的等量關系并給出證明過

程.

（23-24七年級下?江蘇南京?期中）

49.已矢口：5。=2,5"=6,5°=48.

（1）求52f的值;

（2）。、b、c之間的數量關系為

試卷第8頁，共10頁

（23-24七年級下?江蘇南京?期中）

50.（1）若2X8，X16，=222,求x的值;

（2）若y"=2,/=4,/=8,求證a+c=26.

（23-24七年級下?江蘇南京?期中）

51.（1）若25+25=2",37+37+37=3\則。+6=.

（2）若2Mx3”=（4x27）7,求加，

（3）若2〃=加，mq=n,ri'=32,求。".

（23-24七年級下?江蘇揚州?期中）

52.若0m=a"（。>0且。片1）,則於=".利用上面結論解決下面的問題：

（1）已知82,=232,求x的值.

⑵若3Xx9'x27，=3。，求x的值.

⑶若x=5-3,y=4-25m,用含'的代數式表示九

（23-24七年級下?江蘇揚州?期末）

53.若。"二屋（a>0且"1,m、〃是正整數），則於=".

利用上面結論解決下面的問題：

（1）如果3'=34,則x=；

（2）如果8工=23求x的值.

（3）如果5'+2_5田=100,求x的值.

（23-24七年級下?江蘇淮安?期中）

54.求值：

⑴已知921.27川=315,求x的值；

（2）已知x3n=2,求（2針丫+4（_/7的直

（23-24七年級下?江蘇蘇州?期中）

55.根據下列條件回答問題

⑴已知3x27"義81"=9%求〃的值;

⑵已知x=-5,y=|,求//4".（_/）4的值.

（23-24七年級下?江蘇連云港?期中）

56.募的運算性質在一定條件下具有可逆性，如“%”=30",則（必）m=屋緲.（人b

試卷第9頁，共10頁

為非負數、加為非負整數)請運用所學知識解答下列問題：

(1)已知：22.3?3=36-2,求X的值.

(2)已知：3x2%+1x4v+1=192,求x的值.

(22-23七年級上?江蘇揚州?期中)

57.閱讀下列各式：(aZ))2=a2b2,{ab^=a3b3,(aZ>)4=a4Z>4...

回答下列三個問題：

(1)驗證：(5x0.2)10=_；5loxO.2lo=_.

(2)通過上述驗證，歸納得出：(助"=_；(必)

(3)請應用上述性質計算：

①4⑼x(0.25*；

②(-0.125產，22。外42。22.

試卷第10頁，共10頁

1.3

【分析】本題主要考查幕的乘方.利用塞的乘方的法則進行求解即可.

【詳解】解：?/3、=27,

/.3%=33,

..x=3,

故答案為：3.

2.2

【分析】本題考查了事的乘方，同底數幕的乘法和解一元一次方程，根據塞的乘方，同底數

幕的乘法法則和解一元一次方程步驟，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】解：由a5-(a")3=a5.a3,=a5+3,=au,

5+3?=11,

解得n=2,

故答案為：2.

3.(1)12；(2)32

【分析】本題考查了幕的乘方、同底數幕的乘法，熟練掌握以上運算法則是解題的關鍵.

(1)根據幕的乘方、同底數幕的乘法進行計算即可；

(2)根據幕的乘方、同底數募的乘法進行計算即可.

【詳解】⑴解：4"=(22)m=22ra=3,8"=(23)"=*=4,

故22"，+3"=22"，.23"=3x4=12.

(2)解:8"-32y=(23)X?(25)y=23x-2Sy=,

??,3x+5y=5f

?-Sx-32y=23x+5y=25=32.

4.(1)5

7

⑵x=§

⑶x=2

【分析】(1)根據a=1"(。＞0且“Hl,機、〃是正整數)，則加=〃即可求解;

(2)根據累的乘方法則計算即可;

(3)根據同底數幕的乘法逆用以及幕的乘方與積的乘方法則計算即可;

答案第1頁，共28頁

本題主要考查了同底數累的乘法逆用以及累的乘方與積的乘方,解題的關鍵是熟練利用哥的

乘方與積的乘方對式子進行變形.

【詳解】（1）解：???2*=25,

x-5,

故答案為：5；

（2）8"=27,

.?.（23）X=27,

23X=27,

3x=7,

7

解得：x=］；

（3）?.-3x+2-3x+1=54,

?■?3x3I+1-3-v+1xl=54,

2x3x+1=54,

.?.3川=27=33,

???x+1=3,

解得：x=2.

5.36

【分析】本題主要考查累的乘方與同底數累的乘法的逆運算.將d=3、a"=4代入原式

=a2m-a"=（am）2-a\計算可得.

【詳解】解：當曖=3,a"=4時，

原式=//優=（a”7優=32*4=36,

故答案為：36.

6.2024

【分析】本題主要考查了累的乘方逆運算，同底數累的乘法，解題的關鍵是掌握同底數暴相

乘，底數不變，指數相加；塞的乘方，底數不變，指數相乘.根據嘉的乘方逆運算得出

43"=（43。'，47"=（47＞）',即可解答.

【詳解】解：43%470=（43、）’?（47〉）'=2024yx2024'=2024x+y,

故答案為：2024.

答案第2頁，共28頁

7.4

【分析】本題考查了幕的乘方的逆用，同底數幕乘法的逆用；

逆用事的乘方法則求出a2y=4,再逆用同底數塞的乘法法則進行計算即可.

【詳解】解:?”=2,

二。"==22=4,

二。*+2，=。工/2y=1x4=4,

故答案為：4.

8.(1)33

(2)2000

【分析】本題主要考查同底數哥乘法、累的乘方運算能力，恰當地選擇運算法則是解題關鍵,

屬中檔題.

(1)根據幕的乘方變形，代入計算即可；

(2)先根據同底數暴乘法變形，再根據幕的乘方變形，最后代入計算可得.

【詳解】(1)解：當10"=5,10"=2時,

1020+103〃

=(10a)2+(10ft)3

=52+23

=33；

(2)解:102a+36+1

=102axl03Axl0

=(10a)2x(10A)3xl0

=52X23X10

=2000.

9.(1)27；(2)4500

【分析】本題主要考查了幕的乘方及其逆運算，同底數幕乘法及其逆運算：

(1)根據塞的乘方的逆運算法則得到9八27”=3叭3加，進而根據同底數塞乘法計算法則把原

式變形為32M+3〃，據此代值計算即可；

(2)先由幕的乘方計算法則得到125,10"'=36,再根據同底數累乘法的逆運算法則

得到103*+維=lO^.IO2",據此代值計算即可.

答案第3頁，共28頁

【詳解】解:(1)???2用+3]=3,

=33

=27；

解：???10、=5,10,=6,

??.(10')3=53,(10V)2=62,

??-103x=125,102y=36,

...103x+2y=i03x.[02y=125x36=4500.

10.(1)64；(2)x=6

【分析】本題考查了事的乘方、同底數塞的乘法，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵.

(1)利用幕的乘方與同底數幕的乘法法則解答即可；

(2)利用哥的乘方與同底數塞的乘法法則得出3x+5=23,解方程即可.

【詳解】解：(1)?.-3m+2n-6=0,

3m+2〃=6

(2)?.?2X8JCX16=223,

;.2X23JX24=223,

3x+5=23,

解得：x=6.

11.--a6b3

8

【分析】本題考查的是積的乘方運算，直接利用積的乘方運算法則計算即可.

【詳解】解：[--a2b\=--abb\

答案第4頁，共28頁

故答案為：

o

12.8尤6

【分析】此題主要考查了積的乘方運算.利用積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把

所得的幕相乘，進而得出答案.

【詳解】解:（2X2）3=8X6.

故答案為：8x6.

13.x6y2##y2x6

【分析】本題考查了積的乘方運算，解題的關鍵是掌握積的乘方運算法則.

直接根據積的乘方運算法則計算即可.

【詳解】解：（x3y^=x6y2,

故答案為：

14.（l）x=7；

4

⑵

【分析】本題主要考查事的乘方，積的乘方，同底數幕的乘法.

（1）利用積的乘方的法則變形，得到6，+3=6火-2）,即x+3=2（x-2）,再進行運算即可；

（2）利用同底數累的乘法法則變形，得到3（x+3）=5,再進行運算即可.

【詳解】（1）解：0工+七川=36>2,

.-.（2x3）x+3=（62f2,即67=622）,

x+3=2（x-2）,

解得x=7；

（2）解：?.?3X2-X4"3=96,

???2X+3X22（I+3）=32，

23（X+3）=25，

:3（x+3）=5,

4

解得￥=一§.

15.-4

答案第5頁，共28頁

【分析】本題主要考查積的乘方運算.根據逆用積的乘方運算即可解答.

【詳解】解：(-0.25戶23義(一4二

=-0.252023X42024

=-0.252023X42023X4

=-(0.25x4產x4

=-12023X4

=-4.

故答案為：-4.

16.2

【分析】本題考查了積的乘方的逆運算.熟練掌握積的乘方的逆運算是解題的關鍵.

\2024z1\2024

:x22025=-1x2x2,計算求解即可.

、2024z1、2024z1、2024

:x22025=x22024x2=-1x2x2=2,

故答案為：2.

17.xy=x+y

【分析】由條件可得(43?'=202匕卜7?=2021、可得

43取.47郎=(43?x(47?=202Px202V=202a,而43"x47"=(43x47戶=202產，從

而可得答案.

【詳解】解：,??43,=2021,47嗔2021,

.,.(43。'=202F,(47vy=2021",

43*"-47V=(43、丫x(47v)'=202Vx2021、=202lx+y,

...43-v*47"=(43x47)*=2021”,

???2021鏟=202產%

,-.xy=x+y

【點睛】本題考查的是同底數幕的乘法運算，積的乘方的逆運算，掌握“利用幕的運算與逆

運算進行變形”是解本題的關鍵.

答案第6頁，共28頁

2

18-(1)-J

⑵56

【分析】本題主要考查了積的乘方，同底數幕乘法的逆運算，積的乘方的逆運算:

(1)先根據同底數暴乘法的逆運算法則和積的乘方的逆運算法則把原式變形為

(2)先根據塞的乘方計算法則求出無”,=4,X6"=8,再把所求式子通過積的乘方計算法則

得到一4x"',據此代值計算即可.

22。叫)1999x(-1)1999

【詳解】⑴解:(1,5

2

3

(2)解：?.?鐘=2,

=9x6"—4x“"

=9x8-4x4

=56.

19.(1)1

⑵(9)"

⑶一

【分析】(1)根據積的乘方的逆運算直接求解即可得到答案;

(2)根據乘方的積等于積的乘方即可得到答案；

(3)根據乘方的積等于積的乘方即可得到答案.

答案第7頁，共28頁

【詳解】(1)解：原式=(8x0.125)6

=16

=1,

故答案為：1；

(2)解：由題意可得,

原式=(/)",

故答案為：(仍)"

(3)解：由題意可得,

2

【點睛】本題考查積的乘方等于乘方的積的逆應用，解題的關鍵是找出規律，進行簡便計算.

20.9x4y2

【分析】此題考查了積的乘方和幕的乘方，根據法則計算即可.

【詳解】解：(-3x2y)2=9x4y2,

故答案為：9x4/

1

21.

32

【分析】根據0.125x2x4=1,逆用積的乘方運算法則以及逆用同底數基相乘的運算法則進行

計算即可.

【詳解】解：(-0.125)2023X22022X42021

--x2x4x2

8

=(-l)x—x2

64

答案第8頁，共28頁

--32

故答案為：

【點睛】本題考查積的乘方運算法則以及同底數幕相乘的運算法則，熟練掌握并逆用積的乘

方運算法則以及逆用同底數幕相乘的運算法則是解題的關鍵.

22.見解析

【分析】本題考查了同底數幕的乘法、積的乘方與塞的乘方，熟練掌握運算法則是解題關

鍵.方法一：先計算同底數幕的乘法，再計算幕的乘方即可得；方法二：先計算積的乘方與

暴的乘方，再計算同底數累的乘法即可得.

【詳解】解：方法一：(""“")3

?3加+3〃

—a?

方法二：(a%")

3m+3n

—Q?

23.(l)ab

a

⑵石

b

【分析】本題主要考查了積的乘方的逆運算:

(1)利用積的乘方的逆運算，即可求解；

(2)利用積的乘方的逆運算，即可求解；

(3)利用積的乘方的逆運算，即可求解.

【詳解】⑴解：???10』,5,=6,

.?.50%=(5xl0f=5xxl0x=aZ)；

答案第9頁，共28頁

10"_a

(2)解：2X=

~V~~b

(3)解：20、=(2x10)*=2、x10'=

24.(l)6a8

(2)-16X6

【分析】本題考查了同底數幕的乘法、塞的乘方與積的乘方，熟練掌握運算法則是解此題的

關鍵.

(1)根據同底數幕的乘法、幕的乘方與積的乘方進行計算，再合并同類項即可；

(2)根據同底數幕的乘法、幕的乘方與積的乘方進行計算，再合并同類項即可.

【詳解】(1)解：)4+(2/)2=/+/+4/=6/；

(2)解：(-ax?)，+/.X，-(-3x)2=-8x，-9x，=-16x。.

(4)18a

(5)a3%'

【分析】本題主要考查了整式的混合運算，注意：(1)有乘方、乘除的混合運算中，要按照

先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數的混合運算順序相似.(2)“整體”思想在整

式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地解決相關問題，此時應

注意被看作整體的代數式通常要用括號括起來.同時考查了實數的運算.

(1)根據同底數幕的乘法法則計算即可求解；

(2)根據幕的乘方計算即可求解；

(3)逆用積的乘方計算即可求解；

(4)先算同底數幕的乘法，幕的乘方和積的乘方，再合并同類項即可求解；

(5)先算幕的乘方，再算積的乘方；

(6)先算積的乘方，再根據同底數暴的乘法法則計算即可求解.

答案第10頁，共28頁

I詳解】⑴解:小國抬門獷

(2)解：(―)=x2x3=X6；

(、2。。4

(3)解：22003x1

(n2003i

=2x—x—

I2j2

—_lIXx一l

2

~2;

(4)解：(“4)2+(_2/)4

=笳+/+16/

=18/;

(5)解：［(叫3.伍3)22

=a30b'2;

(6)解：(a2m-a"+l^-a"'.

=a4m-a2,,+2-am

=a5m+2n+2?

26.(1)-1

(2)〃=1

【分析】本題主要考查了積的乘方，累的乘方的性質,解題的關鍵是熟練掌握相關的性質;

(1)把式子變形成(-三x^x/Ux彳進而可求解；

5622

(2)根據72=8x9,再由9"V-32"、=9"i-9"=9"x(9-l),進而可解答;

【詳解】(1)解：(2g)"x(一1)Ux(-;產

鏟

答案第11頁，共28頁

~~2

(2)解：v9n+1-32M=9n+i-9Z7=9Hx(9-l)=9Mx8=72=9x8,

9n=9,

.".n=\

27.①14；②1.

【分析】本題考查了積的乘方與事的乘方，熟練掌握賽的混合運算是解題的關鍵.

①根據積的乘方與幕的乘方，進行計算即可求解；②根據積的乘方與幕的乘方，進行計算

即可求解；

【詳解】解：①(2鈔)2_(3/)2

=4(X2")3-9X2",

當/"=2時，原式=4x23-9x2=32-18=14；

@x2-x2"-(/+1)2

=x2-x2n-y2n-y2

=(xy)2-(xy)2"

/\2+2n

=(孫)，

1(i、2+2〃

當x=-5,N=時，原式=-5x/=(-l)2+2\

,?-2+2M為偶數,

二原式=1.

28.(1)3；2；(2)x=2

【分析】(1)由2"，=8=23,可得加的值，由2"?3"=36,可得6"=6?,從而可得”的值；

(2)把2,3*6=36i化為6?，=6再建立方程求解即可.

答案第12頁，共28頁

【詳解】解（1）-T=8=2?,

?,?加=3,

???2〃?3〃=36,

???6〃=62,

???〃=2,

故答案為：3；2；

（2）由題可知，2"?3"6=361

???（2x3）x.6'=（62）4",

...62X=6-x,

即2x=8-2x,

???4x=8,

x-2.

【點睛】本題考查的是同底數塞的乘法運算，累的乘方運算，積的乘方運算及其逆運算，一

元一次方程的應用，掌握以上運算的運算法則是解本題的關鍵.

29.①2,②5,③2

【分析】①先化為同底數幕相乘，再根據指數相等列出方程求解即可；

②先逆運用積的乘方的性質以及累的乘方的性質，然后根據指數相等列式計算即可得解；

③先把2，+2化為2X2*M,然后求出2㈤的值為8,再進行計算即可得解.

【詳解】解：①原方程可化為，2x2^=27，

???23X+1=27，

?,?3%+1=7,

解得x=2；

②原方程可化為，（2x3戶=36、一2,

...6，v+l=62（1）,

.-.x+l=2（x-2）,

解得x=5；

③原方程可化為，2x2X+1+2印=24，

.-.2X+Ix（2+1）=24,

答案第13頁，共28頁

2X+1=8，

x+1=3,

解得x=2.

【點睛】本題考查了哥的乘方的性質，積的乘方的性質，是基礎題，熟練掌握并靈活運用各

性質是解題的關鍵.

30.(1)-59；(2)8；(3)144

【分析】(1)將待求式轉化為含有X5,>3〃的式子后整體代入計算；

(2)(3)利用積的乘方與暴的乘方的逆運算對所求式子化簡，然后代入計算即可.

【詳解】解：(1)???/=4,尸=5,

???(/'")3+。"y_?V-

=卜吁+儼_1吁.優

=42+5-42X5

=-59；

(2),?,2x+5y-3=0,

,-.2x+5y=3,

???4》”

=22x-25y

_2^x+5y

=23

=8；

(3)x"=2>y"=3,

/)\2n

=24X32

=144.

【點睛】此題考查了同底數幕的乘法、募的乘方與積的乘方，掌握其運算法則是解決此題的

關鍵.

31.(D344>433>622

答案第14頁，共28頁

（2）8131>2741>961

⑶4葭51°<4八5口

【分析】⑴根據3,4=（34）"=81”,433=（43）"=64、622=（6?）"=36",再比較底數的大

小即可；

⑵根據8產=/廣=/,2741=（33）41=3123,961=（32）61=3122,再比較指數的大小即可;

⑶根據4-51°=（4x5）、4。410X512=（4X5）10X52,再由42<5?,即可得出結論.

【詳解】⑴解：???3*=（3。"=81",4為=（43）"=64",622=（62）11=3611,

??-81>64>36,

.-.8111>641|>36",

，344>433>622;

（2）-.-8131=（34）31=3124,2741=（33）41=3123,961=（32）6'=3122,

?■-124>123>22,

..3124>3123>3122；

.-.8131>2741>961；

（3）?.-412X510=（4X5）1°X42,410x512=（4x5）'°x52,

V42<52,

.?412X510<410X512.

【點睛】本題考查事的乘方與積的乘方、有理數大小比較，解答本題的關鍵是明確有理數大

小的比較方法.

32.54675

【分析】根據常用的求和公式13+2^+33+…+”3=1+0找到數的變化規律，根據

47

求解即可.

【詳解】解：23+43+63+83+103+123+143+163+183

=23X（13+23+33+---+93）

=8X-X92X102

4

=16200,

33+63+93+123+153+183+213+243+273

答案第15頁，共28頁

=33X（13+23+33+---93）

=27X-X92X102

4

=54675.

故答案為：54675.

1

【點睛】本題考查了數的變化規律，求和公式「+23+3，+…+/=+7積的乘方

4

的逆用，解題的關鍵是找到數的變化規律.

33.（1）2

（2）（7,30）

⑶64

⑷s=，

【分析】（1）令（6,36）=〃?，根據所給的定義可得6"，=36,于是可求出俏=2；

（2）令（7,3）=加，（7,10）=",根據所給的定義可得7"、3,7"=10,因而可得

7“*7"=7"""=30，則（7,3）+（7,10）=加+”=（7,30）；

（3）由題意可得3,=加+17,解得加=64,再由9"=3?"=64,即可求解；

（4）由題意可得3'3=2",3'=2,則3?=3'",從而得到$=:.

【詳解】（1）解：令（6,36）=%,

/.6"=36,

m=2,

故答案為：2；

（2）解：令（7,3）=加，（7,10）=〃，

.?7=3,7〃=10,

...7掰x7〃=7冽+〃=3x10=30,

（7,3）+（7,10）=m+n,

（7,30）=m+n,

.?.（7,3）+（7,10）=（7,30）,

答案第16頁，共28頁

故答案為：(7,30)；

（3）解：???（3,加+17）=4,

34=機+17,

解得：加二64,

,/（9,m）=n,

「.9〃=m,

9〃=（32）〃=32〃=64,

故答案為:64；

（4）解：???（3",2"）=s,

???（3,2）=/,

3'=2,

【點睛】本題主要考查了有理數的乘方運算，幕的乘方，同底數幕的乘法，解一元一次方程

等知識點，熟練掌握幕的乘方與同底數幕的乘法的運算法則，深刻理解題中新定義是解題的

關鍵.

34.(1)3,6；

(2)6；

(3)見解析.

【分析】(1)根據閱讀材料中的結論可知32°24的末尾數字；根據閱讀材料中提供的方法，可

得142"+］的末尾數字是4,14"的末尾數字是6,于是得解；

(2)先將223化成Q4廣，再利用24的末尾數字是6,從而得出結論；

(3)分別證明122024=124X506的末尾數字為6和37*374X504+2的末尾數字9推出

122°24+37刈8的末尾數字是5,則命題即可得證.

【詳解】(1)解：???32021=34*505+1,

答案第17頁，共28頁

.?.32021的末尾數字為3；

???14的末尾數字是4,14?的末尾數字是6,143的末尾數字是4,…

...142用的末尾數字是4,1不"的末尾數字是6,

...142022的末尾數字是6；

故答案為:3,6；

（2）解：22024=（24）506,

V2’的末尾數字是6,

22024的末尾數字是6；

（3）證明：的末尾數字是2,地2的末尾數字是4,設3的末尾數字是8,12”的末尾數

字是6,125的末尾數字是2,…

,124向的末尾數字是2,12,'+2的末尾數字是4,1233的末尾數字是8,12.的末尾數字是

6,

...122必=12段。6的末尾數字為6；

同理可得：

37.+1的末尾數字7,37%+2的末尾數字9,37?3的末尾數字3,37"的末尾數字1；

...372S8=37a。4+2的末尾數字以

...122024+372。”的末尾數字是5,

...122024+372018能被5整除.

【點睛】此題是一道閱讀理解題，主要考查了塞的運算、數的整除，熟練掌握同底數幕的乘

法、幕的乘方與積的乘方法則是解答此題的關鍵.

35.D

【分析】本題考查幕的乘方和積的乘方，合并同類項，同底數基的乘法，根據運算法則逐一

判斷即可.

【詳解】解：A、（/丫=/,原式計算錯誤，不符合題意；

B、/./=/,原式計算錯誤，不符合題意；

C、/與不是同類項，不能合并，不符合題意；

D、（a2b3^=a4b6,原式計算正確，符合題意；

故選：D.

36.C

答案第18頁，共28頁

【分析】積的乘方和哥的乘方的運算法則計算即可.

【詳解】解:(x3y)2=(x3)\2=x6y2.

故選：C.

【點睛】本題考查的是積的乘方和幕的乘方的運算法則，掌握相應的運算法則是解答本題的

關鍵.

37.A

【分析】根據卜*廣村=》'75得彳3加./"+3=尤9〃5,得到3加=9,3〃+3=15,計算即可，本

題考查了積的乘方，幕的乘方，同底數幕的乘法，熟練掌握公式是解題的關鍵.

【詳解1根據(xm-y"-y)3=x9yi5得x3m.j3"+3=x9y15,

故3機=9,3〃+3=15,

解得m=3,n=4,

故選A.

38.a6b3

【詳解】試題分析：根據積的乘方運算法則可得(/6)3=a6b3.

考點：積的乘方運算法則.

39.-4

【分析】本題主要考查了積的乘方公式，逆用積的乘方公式進行計算即可.

【詳解】解：(-0.25)2°23X42024

=(-0.25)2023X42023X4

=[(-0.25)X4]2°23X4

=(-1)2023X4

=-1x4

=-4.

故答案為：-4.

40.18

【分析】根據產2,=優.0進行求解即可.

xy

【詳解】解：a—2Ja=3,

答案第19頁，共28頁

ax+2y=ax-a2y=ax-(a')2=2x32=18,

故答案為：18.

【點睛】本題主要考查了同底數哥乘法的逆運算，累的乘方的逆運算，熟知相關計算法則是

解題的關鍵.

41.4

【分析】本題主要考查了同底數幕的乘法，幕的乘方等運算.將所求式化為以2為底數的幕

的形式，再利用同底數塞的乘法法則，并整體代入可解答.

【詳解】解：.?,2x-3y+6=0,

2x—3y=-6,

...La

-22^+1)-23(2-》)

_^2x+226-3y

_i^2x—3y+S

=2-6+8

=22

=4.

故答案為:4.

42.4

【分析】本題考查了同底數幕乘法的逆運算，幕的乘方的逆運算.熟練掌握同底數幕乘法的

逆運算，幕的乘方的逆運算是解題的關鍵.

根據42"=d./="".3)2,代值求解即可.

【詳解】解：am+ln=am-a2n=-(aH)2=1x22=4,

故答案為：4.

43.16

【分析】本題考查同底數暴的乘法和募的乘方的逆用，根據2加+5”-4=0,得到

2加+5〃=4,根據同底數嘉的乘法和暴的乘方的逆用，進行求解即可.

【詳解】解：?；2m+5"-4=0,

???2m+5n=4,

???4mx32"=22m-25,!=22m+5"=24=16;

答案第20頁，共28頁

故答案為：16.

44.50

【分析】本題考查的是同底數累的逆用，哥的乘方的逆用，逆用同底數塞的乘法和暴的乘方

變形為3”+2"=3叫(3")2,再代入已知條件即可得到答案，熟練掌握同底數幕的乘法和幕的乘

方法則是解題的關鍵.

【詳解】M：??-3W=2,3"=5,

.-.3m+2n=3m.(3")2=2x52=5O,

故答案為：50

45.-2

【分析】本題主要考查了同底數幕乘法的逆運算，積的乘方的逆運算，根據同底數塞乘法的

逆運算變形為(-2)x(-2片3.(-O.5)2023,再利用積的乘方的逆運算即可解答.

[詳解]解：(-2)2024.(-O.5)2023=[(-2)x(-O.5)]2023x(-2)=-2,

故答案為：-2.

46.a2b3

【分析】本題考查同底數基相乘和哥的乘方的逆用.解題關鍵是熟練掌握同底數哥的乘法法

則和暴的科方法則.

先逆向運用同底數幕的乘法法則，再逆用幕的乘方法則解答即可.

【詳解】解：因為2m=a,2"=皿、〃為正整數)，

所以22m+3"=22M.23"=四了.Q"y=力笊,

故答案為：a汨.

47.(1)108；(2)x=1

【分析】(1)根據塞的乘方和同底數暴除法的計算法則求解即可；

(2)根據積的乘方的逆運算法則得到6+3=621則》+3=2工-4,據此求解即可.

【詳解】解：⑴當a=3,優=2時，

/+2”=產*戶=⑷)3x(a")2=33x22=27x4=108；

(2)2A+3-3X+3=62X-4,

.-.(2X3)X+3=62X-4,BP6X+3=62X-4,

?.x+3=2x-4,解得：x=7.

答案第21頁，共28頁

【點睛】本題主要考查了哥的乘方、同底數累除法的逆運算、積的乘方的逆運算等知識點,

靈活運用相關計算法則是解題的關鍵.

48.a+c=26,理由見解析

【分析】本題主要考查了整式的有關運算，熟練掌握同底數哥乘法法則和哥的乘方法則成為

解題的關鍵.

先根據同底數塞乘法法則和暴的乘方法則計算5。與5"的關系，進而完成解答.

【詳解】解：a,b,c之間滿足的等量關系為：a+c=26,理由如下：

???5°=4,5b=6,50=9,

.?.5J5。=4x9=36,(56)2=36,

..55=(5],

5a+c=52h,即a+c=2b.

2

49.(1)-

(2)3a+b=c

【分析】本題考查嘉的乘方、同底數募的乘除法，

(1)根據同底數募的除法進行解答即可；

(2)根據同底數哥的乘法，募的乘方可得(5"5〃=5。，即可得出結論.

【詳解】(1)解:52j

=52匕5〃=(5")2+5"

=4-6

_2

=3：

(2)?.?(5"丫.5〃=23x6=8x6=48=5°,

3。+6=c.

故答案為：3a+b=c.

50.(1)x=3；(2)見解析

【分析】本題主要考查塞的乘方和積的乘方及同底數暴的乘方，熟練掌握以上知識點是解題

的關鍵.

(1)先變換，即2X8，X16'=2X2"X24"再計算，最后找到關于x的方程式即可得出答案；

答案第22頁，共28頁

(2)利用同底數哥的乘法運算法則即可得證.

【詳解】(1)解：2x8xxl6x

=2X23XX24X

_2"3X+4X

=27'+1,

22

27X+1=2,

7x+l=22,

x=3.

(2)證明：v/./=/+c=2x8=16,

(/)2=Z=42=16,

.-.ya+c=yu,

:.a+c=2b.

51.(1)14；(2)m=14,?=21；(3)pqr=5.

【分析】本題主要考查了整式的有關運算，解題關鍵是熟練掌握同底數幕相乘法則、積的乘

方和幕的乘方法則.

(1)根據乘方的意義，把加法運算寫成乘法運算，再按照同底數幕相乘法則進行計算，從

而求出“力，再求出6即可；

(2)把4和27分別寫成底數是2和3的幕，然后根據積的乘方和幕的乘方法則進行計算，