專題26相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型

梅涅勞斯（Menelaus，公元98年左右），是希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，梅涅勞斯定理是平面幾何

中的一個(gè)重要定理。

塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師．他在1678年發(fā)表了一個(gè)著名的定理，

后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理。

使用梅涅勞斯和塞瓦定理可以進(jìn)行直線形中線段長(zhǎng)度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來進(jìn)行三點(diǎn)共線、

三線共點(diǎn)等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用．

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.梅涅勞斯（定理）模型及其逆定理..................................................................................................1

模型2.塞瓦（定理）模型..............................................................................................................................7

.................................................................................................................................................11

模型1.梅涅勞斯（定理）模型及其逆定理

梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn)，

AFBDCE

那么1。其中：這條直線叫△ABC的梅氏線，△ABC叫梅氏三角形。

FBDCEA

注意：梅涅勞斯（定理）特征是三點(diǎn)共線；我們用梅涅勞斯（定理）解決的大部分問題，也可添加輔助線

后用平行線分線段成比例和相似來解決。

1）梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、

AFBDCE

E點(diǎn)，那么1。其中：這條直線叫△ABC的梅氏線，△ABC叫梅氏三角形。

FBDCEA

圖1圖2

證明：證明：如圖2，過點(diǎn)A作AGBC，交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，易證：AGF∽BDF，AGE∽CDE，

AFAGCECDAFBDCEAGBDCD

∴，；1．

FBBDEAAGFBDCEABDDCAG

2）梅涅勞斯定理的逆定理模型：如圖1，若F、D、E分別是△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線的三

AFBDCE

點(diǎn)，如果1，則F、D、E三點(diǎn)共線．

FBDCEA

AFBDCP

證明：先假設(shè)F、D、E三點(diǎn)不共線，直線DF與AC交于P，由梅涅勞斯定理的定理得1。

FBDCPA

AFBDCECPCECPCECPCE

∵1，∴，∴，∴。

FBDCEAPAEAPACPEACEACAC

∴CP=CE；即P與E重合，∴D、E、F三點(diǎn)共線。

例1．（23-24九年級(jí)上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，已知，AD是VABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，則

AF:FC．

【答案】1:2

【分析】法1：這道題是梅氏定理的直接應(yīng)用，難點(diǎn)在于找梅氏線：直線FEB。

CDCHAFAE

法2：過點(diǎn)D作DH∥BF，交AC于H，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，，根據(jù)

DBHFFHED

線段中點(diǎn)的性質(zhì)得到BDDC,AEED，得到CHHF，AFFH，計(jì)算即可．

本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

AEDBCFBD1

【詳解】法1：∵直線EBF是VADC的梅氏線，∴1．∵AD是VABC的中線，∴，

EDBCFABC2

11CF

∵E是AD的中點(diǎn)，∴AEED，∴1，AF:FC1:2．故答案為：1:2．

12FA

CDCHAFAE

法2：過點(diǎn)D作DH∥BF交AC于H，則，AD是VABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，

DBHFFHED

BDDC，AEED，CHHF，AFFHAF:FC1:2．故答案為：1:2．

例2.（23-24八年級(jí)下·廣東潮州·期中）VABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，直線BE交AC于F，求證：

AC3AF．

【答案】見解析

【分析】法1：這道題是梅氏定理的直接應(yīng)用，難點(diǎn)在于找梅氏線：直線FEB。

法2：本題考查了三角形中位線的性質(zhì)及平行線分線段成比例定理，作CF的中點(diǎn)G，連接DG，證明DG∥BF，

即可得出AE:EDAF:FG，進(jìn)而可證明AFFG，即可得出AC3AF．

AEDBCFBD1

【詳解】法1：∵直線EBF是VADC的梅氏線，∴1．∵D為BC中點(diǎn)，，∴，

EDBCFABC2

11CF

∵E是AD的中點(diǎn)，∴AEED，∴1，F(xiàn)C2AF．AC3AF．

12FA

法2：作CF的中點(diǎn)G，連接DG，則FGGC，

∵BDDC，∴DG∥BF，∴AE:EDAF:FG，∵AEED，∴AFFG，∴AC3AF．

例3.如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，AE:EF:FD4:3:1．求AG:GH:AB．

AHBCDF

【解析】∵HFC是△的梅氏線，∴1，

ABDHBDCFA

BC2DF1AH21AH7

∵D為BC的中點(diǎn)，AE:EF:FD4:3:1，∴，．∴1，∴．

DC1FA7HB17HB2

AGBCDE

∵GEC是△ABD的梅氏線，∴1，

GBDCEA

AG21AG1

∴1，∴．∴AG:GH:HB3:4:2．∴AG:GH:AB3:4:9．

GB11GB2

【點(diǎn)睛】這道題主要考查多個(gè)梅氏定理的應(yīng)用，考查相對(duì)綜合．

例4.（24-25重慶九年級(jí)校考期中）如圖，等邊ABC的邊長(zhǎng)為2，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至D，使CD＝

BC，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積△為．

AFBDCE

【解析】∵DEF是ABC的梅氏線，∴由梅涅勞斯定理得，1，

FBDCEA

△

14CECE111

即1，則，連FC，SBCF＝SABC，SCEF＝SABC，

12EAEA226

△△△△

221432323

于是SBCEF＝SBCF+SCEF＝SABC＝××2×2sin60°＝×＝．故答案為．

3323233

例5.如圖，CD△、BE、△AF分別為△△ABC（△ABC不是等邊三角形）的三個(gè)外角平分線，分別交AB、AC、

BC于D、E、F．證明：D、E、F三點(diǎn)共線．

【解析】過C作BE的平行線，則BCPCBEEBDCPB，所以△BPC是等腰三角形．則PBCB．

CEPBCBADACBFBACEADBFCBACBA

則有：．同理；．所以1．

EABABADBCBFCACEADBFCBACBAC

所以D、E、F共線．

【點(diǎn)睛】這道題主要是考查梅氏定理逆定理判定三點(diǎn)共線．

例6．（24-25·廣東·九年級(jí)校聯(lián)考期中）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定

理，定理的內(nèi)容是：如圖1，如果一條直線與ABC的三邊AB,BC,CA或它們的延長(zhǎng)線交于F、D、E三點(diǎn)，

AFBDCE

那么一定有1．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過程：

FBDCEA

AFAGCECD

證明：如圖2，過點(diǎn)A作AGBC，交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則有，，

FBBDEAAG

AFBDCEAGBDCD

∴AGF∽BDF，AGE∽CDE，1．

FBDCEABDDCAG

請(qǐng)用上述定理的證明方法解決以下問題：

BXCZAY

（1）如圖3，ABC三邊CB,AB,AC的延長(zhǎng)線分別交直線l于X,Y,Z三點(diǎn)，證明：1．

XCZAYB

請(qǐng)用上述定理的證明方法或結(jié)論解決以下問題：（2）如圖4，等邊ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

點(diǎn)F在AB上，且BF2AF,CF與AD交于點(diǎn)E，試求AE的長(zhǎng)．（3）如圖5，ABC的面積為4，F(xiàn)為AB中

點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至D，使CDBC，連接FD交AC于E，求四邊形BCEF的面積．

38

【答案】（1）詳見解析；（2）AE3；（3）

43

【分析】(1)過點(diǎn)C作CN∥XZ交AY于點(diǎn)N，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例，化簡(jiǎn)計(jì)算即可．

(2)根據(jù)定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)解答即可．(3)根據(jù)定理，計(jì)算比值，后解答即可．

【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)C作CN∥XZ交AY于點(diǎn)N，

BXBYCZYNBXCZAYBYYNAY

則,．故：1．

XCYNZAAYXCZAYBYNAYYB

AFBDDE

（2）解：如圖，根據(jù)梅涅勞斯定理得：1．

FBDCEA

AF1BC

又BF2AF，∴,2，DEAE．在等邊ABC中，AB3，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

BF2CD

333

ADBC,BDCD．由勾股定理知：AD3AE3．

224

（3）解：線段DEF是ABC的梅氏線，

AFBDCE12CECE1

由梅涅勞斯定理得，1，即1，則．如圖，連接FC，

FBDCEA11EAEA2

11228

S△S△,S△S△，于是S四邊形S△BCFS△CEFS△4．

BCF2ABCCEF6ABCBCFF3ABC33

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，熟練

掌握定理是解題的關(guān)鍵．

模型2.塞瓦（定理）模型

塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長(zhǎng)AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，

AFBDCE

如圖3，則1。△

FBDCEA

注意：塞瓦（定理）的特征是三線共點(diǎn)，我們用塞瓦（定理）解決的大部分問題，也可添加輔助線后用平

行線分線段成比例和相似來解決。

塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長(zhǎng)AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，

AFBDCE

如圖3，則1。△

FBDCEA

CBDOAE

塞瓦（定理）證明：法1：可利用梅涅勞斯定理證明：在ADC中，割線BOE∴1①

BDOAEC

BCDOAF△BDCEAF

在ABD中，割線COF，∴1②，由②÷①：即得：1。

CDOAFBDCEAFB

△BDSABDSBODBDSSSCESAFS

法2：∵；∴ABDBODAOB①；同理：BOC②；AOC③；

DCSACDSCODDCSACDSCODSAOCEASAOBFBSBOC

AFBDCESSS

由①×②×③得：AOCAOBBOC1。

FBDCEASBOCSAOCSAOB

BDCEAF

塞瓦定理的逆定理：如果有三點(diǎn)F、D、E分別在ABC的三．邊．AB、BC、CA上，且滿足1，

DCEAFB

△

那么AD、BE、CF三線交于一點(diǎn)。

塞瓦定理的逆定理證明：設(shè)AD、BE交于點(diǎn)O，聯(lián)結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB于F'；

AF'BDCEAF'AFABAB

根據(jù)塞瓦定理：1。∴，∴，

F'BDCEAF'BFBF'BFB

∴F'BFB，∴F'與F重合，即證。

注意：利用塞瓦定理的逆定理可判定三線共點(diǎn)，如證明三角形三條中線交于一點(diǎn)；三角形三條角平分線必

交于一點(diǎn)；三角形三條高線交于一點(diǎn)等。

例1.如圖，設(shè)M為ABC內(nèi)的一點(diǎn)，BM與AC交于點(diǎn)E，CM與AB交于點(diǎn)F，若AM通過BC的中點(diǎn)，

求證：EF//BC。△

【詳解】證明：在ABC中，∵點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，∴BDCD．

BDCEAF

對(duì)ABC和點(diǎn)M應(yīng)用賽瓦定理可得：1．

DCEABF

△CEAFAFAE

∴1，∴．即EF//BC；

EABFBFCE

點(diǎn)評(píng)：本題考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．

例2.如圖，在銳角ABC中，AD是BC邊上的高線，H是線段AD內(nèi)任一點(diǎn)，BH和CH的延長(zhǎng)線分別交

AC、AB于E、F，求△證：∠EDH=∠FDH。

【詳解】證明：過點(diǎn)A作PQ//BC，與DF，DE的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)P、Q，則DA⊥PQ。

BDCEAF

對(duì)ABC和點(diǎn)H應(yīng)用賽瓦定理可得：1．

DCEABF

△

AFAPCECDAPBDCD

∵PQ//BC，∴,,∴1,∴AP=AQ

BFBDEAAQBDCDAQ

根據(jù)垂直平分線，∴PD=QD，∴PQD是等腰三角形，∴∠EDH=∠FDH。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了賽瓦定理，要熟△練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．

例3.如圖，四邊形ABCD的對(duì)邊AB和CD，AD、BC分別相交于L、K，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)M，

KFKG

直線KL與BD，AC分別交于F、G，求證：.

LFLG

DAKFLC

對(duì)DKL和點(diǎn)B應(yīng)用賽瓦定理可得：1．①

AKFLCD

△DAKGLC

對(duì)△和截線ACG，由梅氏定理得：1②

DKLAKGLCD

KFKG

由①②得：

FLLG

點(diǎn)評(píng)：本題考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．

例4.已知：ABC內(nèi)角平分線AD、BE、CF與對(duì)邊分別交于點(diǎn)D、E、F。

求證：三角形三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。（用塞瓦定理的逆定理證明）

ABBDACAFBCCE

證明：由角平分線定理知,,.

ACDCBCFBABEA

BDCEAFABBCAC

因此1.由塞瓦定理逆定理得AD、BE、CF交于一點(diǎn)。

DCEAFBACABBC

例5．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：

塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．塞瓦是意大利偉大

的水利工程師，數(shù)學(xué)家．

定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長(zhǎng)AO，BO，CO分別交對(duì)邊于D，E，F(xiàn)，則

BDCEAF

1．

DCEABF

數(shù)學(xué)意義：使用塞瓦定理可以進(jìn)行直線形中線段長(zhǎng)度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來進(jìn)行三點(diǎn)共線、三

線共點(diǎn)等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用．

任務(wù)解決：(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；(2)若ABC為等

邊三角形（圖3），AB12，AE4，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，求BF的長(zhǎng)，并直接寫出BOF的面積．

【答案】(1)證明見解析(2)BF8；BOF的面積為63

【分析】（1）根據(jù)塞瓦定和中點(diǎn)的性質(zhì)即可求解；

（2）根據(jù)塞瓦定和等邊三角形的性質(zhì)即可求出BF，然后過點(diǎn)F作FG⊥BC于G，證明CODCFG，可

AF1

求出OD，從而求出BOC的面積，然后根據(jù)可求BCF的面積，從而得解．

BF2

△△

【詳解】（1）證明：在ABC中，∵點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)，∴BDCD，CEAE．

BDCEAFAF

由賽瓦定理可得：1．∴1，∴AFBF．即點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；

DCEABFBF

（2）解：∵ABC為等邊三角形，AB12，∴BCAC12

∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴BDDC6，

∵AE4，∴CE8．由賽瓦定理可得：BF8；過點(diǎn)F作FG⊥BC于G，

∴BGBFcos604，F(xiàn)GBFsin6043，∴CG=BC-BG=8，

∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD∥FG，∴CODCFG，

ODCDOD61

∴，即，∴OD33，∴SBCOD183，

FGCG438BCO2

AF1S1

∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴，∴ACF

BF2SBCF2

322

又S12363，∴SBCFSABC243，∴SBOFSBCFSBOC63．

ABC43

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、中點(diǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，讀懂題意，學(xué)會(huì)運(yùn)用塞

瓦定理是解題的關(guān)鍵．

AF1

1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）如圖，AD是VABC的中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F，若，

FD4

AE

則為（）

AC

1111

A．B．C．D．

891011

【答案】B

【分析】法1：這道題是梅氏定理的直接應(yīng)用，難點(diǎn)在于找梅氏線：直線EFB。

法2：本題考查了構(gòu)造平行線并利用平行線分線段成比例進(jìn)行解決問題，正確構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．過

AE1

點(diǎn)D作DM∥BE交AC于點(diǎn)M，利用BDCD，得EMCM，再利用平行線分線段成比例可得，

EM4

再利用比例的性質(zhì)即可求解．

AFDBCE

【詳解】法1：∵直線EFB是VADC的梅氏線，∴1。

FDBCEA

DB1AF111CEAE1AE1

∵AD是VABC的中線，∴，∵，∴1，，∴，故選：B．

BC2FD442EAEC8AC9

法2：過點(diǎn)D作DM∥BE交AC于點(diǎn)M，如圖，

∵AD是VABC的中線，∴BDCD，∵DM∥BE，∴EMCM，

AFAE1AE1AE1

∵DM∥BE，∴，∴，∴，故選：B．

FDEM4EC8AC9

2．（23-24上·上海閔行·九年級(jí)校考期中）如圖，D、E、F內(nèi)分正ABC的三邊AB、BC、AC均為1:2兩

部分，AD、BE、CF相交成的PQR的面積是ABC的面積的（）

1111

A．B．C．D．

10987

【答案】D

【分析】法1：利用梅氏定理和等積模型求解即可。

法2：如圖，過D作DH//AC,交BE于H,設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為：3a,結(jié)合題意可得：

PD1EQFR1

BDAFCEa,CDBFAE2a證明BDH∽BCE,PDH∽PAE,證明,,

AP6BQRC6

3m1

設(shè)等邊三角形ABC的面積為：3m,可得SSSS四邊形S四邊形=S,從而可得

PQRCBFBPDBPRFPDCQ77ABC

答案.

BDCEAF1BC3AFBCDR

【解析】法1：∵，∴，對(duì)△ABD和截線CRF，由梅氏定理得：1，

DCEAFB2CD2FBCDRA

13DRDR4AR3S3

即1，∴，∴，∴ARC.

22RARA3AD7SADC7

SDC2SSS322S2SQBC2

∵ADC，∴ARCADCARC,同理：ABP，，

SABCBC3SABCSABCSADC737SABC7SABC7

SQRPSABCSQBCSARCSABPSQBCSS1

故1ARCABP.

SABCSABCSABCSABCSABC7

法2：如圖，過D作DH//AC,交BE于H,設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為：3a,

結(jié)合題意可得：BDAFCEa,CDBFAE2a

DH//AC,BDH∽BCE,PDH∽PAE,

a

BDDHDHPDEQFR1

,,aPD31同理：,

BCCEAEAPDH,,BQRC6

3AP2a6

設(shè)等邊三角形ABC的面積為：3m,SBCF2m,SBCEm,

1165

SSm,Sm,S四邊形SSmS四邊形，

AFR7ACF7ABP7BPRFABPAFR7CDPQ

3m1

SSSS四邊形S四邊形=S,

PQRCBFBPDBPRFPDCQ77ABC

1

PQR的面積是ABC的面積的.故選D

7

【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積問題，掌握“作出適當(dāng)

的輔助線構(gòu)建相似三角形”是解題的關(guān)鍵.

3．（24-25九年級(jí)上·上海·假期作業(yè)）如圖，VABC中，D,E是BC邊上的點(diǎn)，且BD:DE:EC3:2:1，P是

AC邊上的點(diǎn)，且AP:PC2:1，BP分別交AD,AE于M,N，則BM:MN:NP等于（）

A．3:2:1B．5:3:1C．25:12:5D．51:24:10

【答案】D

【分析】本題考查的是平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，作PF∥BC交AE于點(diǎn)F，作

DG∥AC交BP于點(diǎn)G，設(shè)ECa，則BD3a，DE2a，設(shè)PCb，則AP2b，根據(jù)平行線分線段成

比例定理，推導(dǎo)出BM,MN,NP與BP之間的數(shù)量關(guān)系，即可求解．

【詳解】解：作PF∥BC交AE于點(diǎn)F，作DG∥AC交BP于點(diǎn)G，

BD:DE:EC3:2:1，設(shè)ECa，則BD3a，DE2a，同理，設(shè)PCb，則AP2b，

PFAP2b2NPPF

PF∥BC，∴APF∽ACE，PFN∽BEN，===，=，

ECAC3b3NBBE

2

22aNPNP22

PF=EC=a，則NP32，==，則NP=BP，

33==BPNP+NB1717

NB3a+2a15

111

DG∥AC，BDDC3a，BGBP，DGPCb，

222

1

bGM111

DG∥AC，GMDG21，=，GM=GP=BP，

===GP5510

MPAP2b4

11224

MN=BP-BG-GM-NP=BP-BP-BP-BP=BP，

2101785

1133242

BMBGDMBPBPBP，BM:MN:NP::51:24:10，故選D．

210558517

4．（2024廣東校考一模）如圖，AB為O的直徑，C為O上一點(diǎn)，O的切線BD交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，

E為BD的中點(diǎn)，CE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若AC4，OBBF，則BD的長(zhǎng)為．

82

【答案】/2

33

【分析】法1：連接BC，先根據(jù)梅氏定理求出CD的長(zhǎng)度，再射影定理求得BD的長(zhǎng)度即可。

法2：連接OC，BC，根據(jù)AB為O的直徑，可得∠ACB=∠BCD=90°，再由E為BD的中點(diǎn)，可得CE=BE=DE，

從而得到∠BCE=∠CBE，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠ABD=90°，再由OC=OB，可得∠OCF=90°，然后根據(jù)

OBBF，可得OBC是等邊三角形，進(jìn)而得到∠A=30°，∠CBD=30°，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可求解．

DCAFBE

【詳解】法1：∵△CEF是△ABD的梅氏線，由CEF截△ABD可得，1

CAFBED

∵E為BD的中點(diǎn)，∴BE=DE，∵OBBF，∴AF:FB=3:1，

DC31416416648

∵AC=4，∴1，即DC，∴DA，由射影定理：BD2DCDA∴BD.

411333393

法2：如圖，連接OC，BC，

∵AB為O的直徑，∴∠ACB=∠BCD=90°，∵E為BD的中點(diǎn)，∴CE=BE=DE，∴∠BCE=∠CBE，

∵BD是O的切線，∴∠ABD=90°，即∠CBD+∠OBC=90°，

∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB+∠BCE=∠OBC+∠CBD=90°，即∠OCF=90°，

∵OBBF，∴BC=OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC=∠OBC=60°，∴∠A=30°，∠CBD=30°，

43

343BC388

∵AC4，∴BCACtanA4，∴BD，故答案為：

33cosCBD333

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知

識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

5．（24-25·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，ABC的面積為10，D、E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且ADCD,

AE:BE=2:1．連接BD,CE交于點(diǎn)F,連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H．則四邊形BEFH的面積為．

5

【答案】.

3

BH1

【分析】法1：對(duì)ABC和點(diǎn)F應(yīng)用賽瓦定理得到，再利用面積關(guān)系求解即可。

HC2

△

法2：先畫出圖形,再作DJ∥EC交AB于J,交AH于K，作DG∥BC交AH于G，由題推出EF:FC=1:3，BH:CH=1:2，

求出BEF,BFH的面積即可．

△△AEBHCD

【詳解】證明：在ABC中，∵ADCD,AE:BE=2:1．對(duì)ABC和點(diǎn)F應(yīng)用賽瓦定理可得：1．

EBHCDA

2BH1BH1△SVBFC1SV1

∴1，∴．∵ADCD，AE:BE=2:1∴，BFE

1HC1HC2SVAFC1SVAFE2

BHSS1

∵ABHBFH；設(shè)，則，，故，，

SBFHxSCFH2xSAFB3xSBFExSABH4x

HCSACHSCFH2

11055

∵ABC的面積為10；∴S10，∴x，∴S四邊形BEFH=2x，

ABH3363

法2：根據(jù)題意畫出圖形:作DJ∥EC交AB于J,交AH于K作DG∥BC交AH于G，

∵DJ∥EC,AD=DC，∴AJ=JE,AK=KF，∴EF=2JK,DJ=2EF,CF=2DK，

設(shè)JK=m,則EF=2m,DJ=4m,DK=3m,CF=6m，∴EF:CF=1:3，

∵AE=2BE，∴BE=EJ，∵EF∥DJ，∴BF=DF，∵GD∥BH，∴∠GDF=∠FBH，

∵∠GFD=∠HFB,BF=DF，∴DFG≌△BFH（ASA），∴DG=BH，

∵DG∥CH,AD=DC，∴AG=G△H，∴CH=2DG，∴BH=2CH，

11101155

∵BE=AB，∴SBEC=SABC=，∵EG=EC，∴SBEF=SBEC=,SBFC=，

3334462

△△△△△

1155555

∵BH=BC，∴SBHF=×=，∴S四邊形BEFH=+=．

3326663

△

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的全等及輔助線的做法,關(guān)鍵在于通過輔助線將面積分成兩個(gè)三角形面積求證．

6.（24-25·成都·九年級(jí)校考期中）如圖，△ABC中，D、E分別是BC、CA上的點(diǎn)，且BD：DC=m：1，CE：

S

EA=n：1，AD與BE交于F，求ABF的值。

SABC

BCm1

【解析】∵BD：DC=m：1，∴，

BDm

AECBDF

對(duì)△ACD和截線BFE，由梅氏定理得：1，

ECBDFA

1m1DFDFmnDFFAmnm1DA

即1，∴，∴.

nmFAFAm1FAm1FA

SSSFABDm1mm

∴ABFABFABD.

SABCSABDSABCADBCmnm1m1mnm1

另解：此題也可過點(diǎn)E或D作平行線，利用平行線分線段成比例或相似求解。

【點(diǎn)睛】這道題主要考查梅氏定理和面積問題．

BPCQAR

7．如圖：P，Q，R分別是ABC的BC，CA，AB邊上的點(diǎn)．若AP，BQ，CR相交于一點(diǎn)M，求證：1．

PCQARB

△

證明：如圖，由三角形面積的性質(zhì)，

BPSSSSSCQSARS

∵ABPPMBABPPMBAMB①；同理：BMC②；AMC③；

PCSACPSPMCSACPSPMCSAMCQASAMBRBSBMC

BPCQARSSS

由①×②×③得：AMBBMCAMC1。

PCQARBSAMCSAMBSBMC

8.如圖，在ABC中，F(xiàn)、E分別在邊AB、AC上，且FE//BC,設(shè)BE與CF交于點(diǎn)G，求證：AG通過

BC的中點(diǎn)△M.

A

FE

G

B

MC

AFAE

證明：連結(jié)AM∵FE//BC∴

FBEC

AFBMCE

∵BMCM∴1∴AM、BE、CF三線共點(diǎn)，

FBMCEA

∵BE與CF交于點(diǎn)G∴AG通過BC的中點(diǎn)M.

9.已知：銳角ABC三邊上的高線AD、BE、CF與對(duì)邊分別交于點(diǎn)D、E、F。求證：三角形三條高

線交于一點(diǎn)。（用塞瓦定理的逆定理證明）

ABAEACCDBCBF

證明：在銳角三角形中，易證ABE∽△ACF，即;同理可證,.

ACAFBCCEABBD

ABACBCAE△CDBFAECDBFAECDBF

所以1。即1。

ACBCABAFCE