專題25相似模型之母子型（共邊共角）模型

相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，

是中考的?？碱}型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解

模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“母子”模型。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.“母子型”模型（共邊共角模型）......................................................................................................1

...................................................................................................................................................6

【知識(shí)儲(chǔ)備】母子型相似證明題一般思路方法:

①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；

②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；

③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；

④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。

模型1.“母子型”模型（共邊共角模型）

“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似

子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三

角形相似。

圖1圖2圖3圖4

1）“母子”模型（斜射影模型）

條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.

ADAB2

證明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，△∴ADB∽△BAC，∴，∴AB＝AD·AC.

ABBC

△

2）雙垂直模型（射影模型）

條件：如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；

結(jié)論：ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.

證明：△∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，

ACAD222

∵∠A=∠A，∴ACD∽△ABC，∴，∴AC＝AD·AB.同理可證：BC＝BD·BA，CD＝DA·DB.

ABAC

△

3）“母子”模型（變形）

條件：如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：ABD∽△ECA；

證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=△∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴ABD∽△ECA

4）共邊模型△

條件：如圖1，在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD平分ABC，ADBDCB，結(jié)論：BD2BABC；

證明：∵對(duì)角線BD平分ABC，∴∠ABD=∠CBC，

ABDB2

∵ADBDCB，∴ADB∽△DCB，∴，∴BDBABC

DBBC

△

例1．（2024·河北石家莊·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC為對(duì)角線，BAEDAC，AB9，

AD12，則CE長(zhǎng)為（）

2148

A．B．3C．9D．

47

例2．（2023·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點(diǎn)P

BPAP

是線段AB上一點(diǎn)(APBP)，若滿足，則稱點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)．黃金分割在我們的數(shù)學(xué)學(xué)

APAB

習(xí)中也處處可見，比如我們把有一個(gè)內(nèi)角為36的等腰三角形稱為“黃金三角形”．

(1)應(yīng)用：如圖1，若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)(ACBC)，若AB1，則AC的長(zhǎng)為______．

(2)運(yùn)用：如圖2，已知等腰三角形ABC為“黃金三角形”，ABAC，A36，BD為ABC的平分線．求

證：點(diǎn)D是AC的黃金分割點(diǎn)．(3)如圖3中，ABAC，A36，BF平分ABC交AC于F，取AB的

中點(diǎn)E，連接EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于M．BC1，請(qǐng)你直接寫出CM的長(zhǎng)為__________．

例3．（22-23八年級(jí)下·湖南衡陽·期中）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，CEBD于

點(diǎn)E，已知BE:DE3:1，BD23，則矩形ABCD的周長(zhǎng)為

例4．（2024·廣西南寧·三模）閱讀與思考，完成后面的問題．

射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理．如圖，在Rt△ABC中，BAC90，AD是

斜邊BC上的高，則有如下結(jié)論：

①AD2BDDC；②AB2BDBC；③AC2CDBC．下面是該定理的證明過程（部分）：

∵AD是斜邊BC上的高，∴ADB90ADC．∵BBAD90，BC90，

BDAD

∴BADC．∴△ABD∽△CAD（依據(jù)）．∴．即AD2BDDC．

ADCD

(1)材料中的“依據(jù)”是指；(2)選擇②或③其中一個(gè)結(jié)論加以證明；

(3)應(yīng)用：ABC中，A90，B1,0，C3,0，點(diǎn)A在y軸上，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．

例5．（2023·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知ABP，點(diǎn)C，D在邊AB上，連接PC，PD，使ADP60，

且ACP∽PDB．(1)請(qǐng)判定PCD的形狀，并說明理由；(2)若AC2，BD3，求ABP的面積．

例6．（2024·浙江溫州·三模）如圖，在銳角三角形ABC中，ACBC．以點(diǎn)C為圓心BC長(zhǎng)為半徑畫弧，

交邊AB于點(diǎn)D，連接CD．點(diǎn)E是CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接AE，若AB平分CAE．

BC

(1)求證：ACD∽AEB．(2)當(dāng)ADBD時(shí)，求的值．

EB

例7．（2024·河南·二模）三角形的布洛卡點(diǎn)（Brocardpoint）是法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾

（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意．1875年，布洛卡點(diǎn)被

一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者法國(guó)軍官布洛卡（Brocard1845-1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．如圖1，若ABC內(nèi)

一點(diǎn)P滿足PABPBCPCA，則點(diǎn)P是ABC的布洛卡點(diǎn)，是布洛卡角．

（1）如圖2，點(diǎn)P為等邊三角形ABC的布洛卡點(diǎn)，則布洛卡角的度數(shù)是______；PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系

是______；（2）如圖3，點(diǎn)P為等腰直角三角形ABC（其中BAC90）的布洛卡點(diǎn)，且123．

5

①請(qǐng)找出圖中的一對(duì)相似三角形，并給出證明；②若ABC的面積為，求PBC的面積．

2

例8．（2024·四川廣元·中考真題）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能經(jīng)歷知識(shí)“再創(chuàng)造”的過程，更是

培養(yǎng)動(dòng)手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對(duì)“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形

（如圖1）產(chǎn)生了如下問題，請(qǐng)同學(xué)們幫他解決．

在ABC中，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，連接CD．(1)初步探究：如圖2，若ACDB，求證：AC2ADAB；

(2)嘗試應(yīng)用：如圖3，在（1）的條件下，若點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，BC4，求CD的長(zhǎng)；(3)創(chuàng)新提升：如圖4，

點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，連接BE，若CDBCBD30，ACDEBD，AC27，求BE的長(zhǎng)．

1

1．（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，ABAC,B36．分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC

2

的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，E，作直線DE分別交AC，BC于點(diǎn)F，G．以G為圓心，GC長(zhǎng)為半

徑畫弧，交BC于點(diǎn)H，連結(jié)AG,AH．則下列說法錯(cuò)．誤．的是（）

A．AGCGB．B2HABC．CAHBAGD．BG2CGCB

2．（2024·河北張家口·一模）如圖，點(diǎn)D在ABC的邊AC上，添加一個(gè)條件，使得ADB∽ABC．以下是

天翼和往琛的做法．下列說法不正確的是（）

天冀的做法：添加條件ABDC．

證明：∵ABDC，AA．∴ADB∽ABC（兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）

ABBD

往琛的做法：添加條件．

ACCB

ABBD

證明：∵AA,．∴ADB∽ABC（兩組對(duì)應(yīng)邊成比例及一組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似）

ACCB

A．天翼的做法證明過程沒有問題B．往琛的做法證明過程沒有問題

C．天翼的做法添加的條件沒有問題D．往琛的做法添加的條件有問題

3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，點(diǎn)E在線段BD上(不與點(diǎn)B，點(diǎn)D重

合)，AED2ADE，則DE的長(zhǎng)為()

A．7.8B．51C．7.5D．8

4．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為4，則這個(gè)正五邊形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)是．

5．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，C90，AD是ABC的一條角平分線，E為AD

中點(diǎn)，連接BE．若BEBC，CD2，則BD．

6．（23-24九年級(jí)下·遼寧本溪·階段練習(xí)）如圖，在ABC中，AB2AC．以點(diǎn)A為圓心，以AC的長(zhǎng)為半

1

徑作弧交邊AB于點(diǎn)D．分別以點(diǎn)D，C為圓心，以大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交

2

EC

BC于點(diǎn)E，則的值為．

BE

7．（23-24九年級(jí)上·陜西漢中·期中）如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，且CD是等腰直角PCD的底邊．當(dāng)

△PDB∽△ACP時(shí)（P與A、B與P分別為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)），APB．

5

8．（2024·河北邢臺(tái)·?？级＃┤鐖D1，在ABC中，ABAC，BC24，tanC，點(diǎn)P為BC邊上一

12

點(diǎn)，則點(diǎn)P與點(diǎn)A的最短距離為______．如圖2，連接AP，作APQ，使得APQB，PQ交AC于Q，

則當(dāng)BP11時(shí)，AQ的長(zhǎng)為______．

9．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，以點(diǎn)C為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AC，BC

1

于點(diǎn)D，E；分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F；作射線CF交AB于點(diǎn)G，

2

若AC9，BC6，BCG的面積為8，則ACG的面積為．

10．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC,AD,CE是正五邊形ABCDE的對(duì)角線，AD與CE相交于點(diǎn)F．下

列結(jié)論：①CF平分ACD；②AF2DF；③四邊形ABCF是菱形；④AB2ADEF

其中正確的結(jié)論是．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

11．（2024·湖北黃石·三模）已知菱形ABCD中，點(diǎn)E、G分別為邊AD、AB上一點(diǎn)，連接CE、EG．若

22

DCEAEG，ED2AE4，EG，則CE的長(zhǎng)

3

12．（2024·廣東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，且PCD是等邊三角形．∠APB＝120°．

（1）求證：ACP∽△PDB；（2）當(dāng)AC＝4，BD＝9時(shí)，試求CD的△值．

△

13．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，ACDABE．

(1)求證：ABC∽AEB；(2)當(dāng)AB6,AC4時(shí)，求AE的長(zhǎng)．

14．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）如圖所示，在矩形ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，且AEBD．

1

(1)求證：AD2DEDC；(2)F為線段AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且滿足EFCFBD，求證：CEAD．

2

15．（2024·四川南充·二模）在矩形ABCD中，ADAB，在AD邊上截取AE，使AEAB，點(diǎn)O為AC的中

點(diǎn)．如圖1，連接EO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，連接BE交AC于點(diǎn)G．

(1)求證：CDCF；(2)若ACB30，證明GE2OCOG．

(3)如圖2，若AC10，連接CE，當(dāng)CE取最小值時(shí)，求CE的最小值及矩形ABCD的面積．

16．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）閱讀與思考

請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．

規(guī)定：在一個(gè)三角形中，若一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的n倍，則稱三角形為“n倍角三角形”．當(dāng)n1時(shí)，

稱為“1倍角三角形”，顯然等腰三角形是“1倍角三角形”；當(dāng)n2時(shí)，稱為“2倍角三角形”，小康通過探索

后發(fā)現(xiàn)：“2倍角三角形”的三邊有如下關(guān)系．

如圖，在ABC中，BAC，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若BAC2B，則a2b2bc．

下面是小康對(duì)“2倍角三角形”的結(jié)論的兩種探索證明過程：

1

證法1：如圖1，作BAC的平分線AD，∴BADCADBAC．

2

BAC2B，BADCADB

ACDCAD

ACDBCA，ACDBCA

BCACAB

設(shè)DCx，則ADBDax．ACb，BCa，ABc

bxax

b2ax，a2axbca2b2bc

abc

證法2：如圖2，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D，使得ADABc，連接BD，……

任務(wù)：(1)上述材料中的證法1是通過作輔助線，構(gòu)造出__________三角形來加以證明的（填“全等”或“相似”）．

(2)請(qǐng)補(bǔ)全證法2剩余的部分．

17．（23-24九年級(jí)下·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，在ABC中，ABCBAC45，點(diǎn)P為ABC內(nèi)的

AP

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知BPA135，APC90．(1)求證：△BPA∽△CPB；(2)求的值．

PC

18．（2023·廣東深圳·一模）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①所示，在等腰直角ABC中，點(diǎn)D，O分別為邊BA，BC

上一點(diǎn)，且OBOD，延長(zhǎng)OD交射線CA于點(diǎn)E，則有下列命題：①△BDO∽△BCA；②△EDA∽△ECO；

③△BDO∽△EDA；請(qǐng)你從中選擇一個(gè)命題證明其真假，并寫出證明過程；

【類比遷移】（2）如圖②所示，在等腰ABC中，ABAC5，BC8，點(diǎn)D，O分別為邊BA，BC上一

點(diǎn)，且OBOD，延長(zhǎng)OD交射線CA于點(diǎn)E，若OB2，求AE的值；

【拓展應(yīng)用】（3）在等腰ABC中，ABACa，BCb，ab2a，點(diǎn)D，O分別為射線BA，BC上

一點(diǎn)，且OBOD，延長(zhǎng)OD交射線CA于點(diǎn)E，當(dāng)△ADO為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出OB的長(zhǎng)（用a，b

表示）．

19．（2024·遼寧大連·三模）【課堂背景】大連市某中學(xué)的王老師以“幾何題目開放探索”為主題，開展了一節(jié)

“綜合與實(shí)踐”的數(shù)學(xué)課．課堂上，王老師給出了這樣一個(gè)圖形，供同學(xué)們發(fā)揮幾何思維．

【設(shè)置情景】王老師給出了如下幾何圖形：

“如圖1，已知ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E為ABC外一點(diǎn)，連接