河南省九師聯(lián)盟2024屆高三下學期2月開學考試數(shù)學試卷學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2024春·高三·河南·開學考試]已知集合,或,則()A. B.C.或 D.或1．答案：A解析：因為,或,所以.故選：A.2．[2024春·高三·河南·開學考試]()A. B. C. D.2．答案：C解析：.故選：C.3．[2024春·高三·河南·開學考試]已知單位向量,滿足,則,夾角的余弦值為()A. B. C. D.3．答案：B解析：由已知,則,即,則,所以,故選：B.4．[2024春·高三·河南·開學考試]已知復數(shù)z滿足;則()A. B. C.8 D.204．答案：B解析：由,得,所以.故選：B.5．[2024春·高三·河南·開學考試]若直線與拋物線只有1個公共點,則C的焦點F到l的距離為()A. B. C. D.5．答案：D解析：由,得.因為l與C只有1個公共點,所以,結合,解得,所以,所以F到l的距離.故選：D.6．[2024春·高三·河南·開學考試]已知的展開式中,前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列,則展開式中二項式系數(shù)最大的項是()A. B. C. D.6．答案：C解析：展開式中的第項為,所以前三項的系數(shù)依次為,依題意,有,即,整理得,解得（舍去）或.由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知,展開式中第5項的二項式系數(shù)最大,即.故選：C.7．[2024春·高三·河南·開學考試]函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B.C. D.7．答案：D解析：,由題意單調(diào)遞減,且,則,,解得,,所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：D.8．[2024春·高三·河南·開學考試]已知是定義域為R的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減,,則()A. B. C. D.8．答案：A解析：因為是定義域為R的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞增;,即;令,當時,,則單調(diào)遞增,所以,即,所以.而在上單調(diào)遞增,故有,即.故選：A.二、多項選擇題9．[2024春·高三·河南·開學考試]已知數(shù)列滿足,,則()A.是等差數(shù)列B.的前n項和為C.是單調(diào)遞增數(shù)列D.數(shù)列的最小項為49．答案：BC解析：由,得,因為,所以,,···,,從而,所以是首項為1,公比為的等比數(shù)列,所以,即.所以,所以,所以A錯誤,B正確;由,易知是單調(diào)遞增數(shù)列,C正確;當時,,當時,,D錯誤.故選：BC.10．[2024春·高三·河南·開學考試]已知函數(shù)（,其中表示不大于x的最大整數(shù)）,則()A.是奇函數(shù) B.是周期函數(shù)C.在上單調(diào)遞增 D.的值域為10．答案：BD解析：由題意,表示不大于x的最大整數(shù),則,所以,,則函數(shù)是以3為周期的函數(shù),當時,;當時,,則又是以3為周期的函數(shù),則的值域為,B和D均正確;,所以,故不是奇函數(shù),A錯誤;當時,,故在上無單調(diào)性,C錯誤.故選：BD.11．[2024春·高三·河南·開學考試]已知正四面體ABCD的棱長為4,點P是棱AC上的動點（不包括端點）,過點P作平面平行于AD,BC,與棱AB,BD,CD交于Q,S,T,則()A.該正四面體可以放在半徑為的球內(nèi)B.該正四面體的外接球與以A點為球心,2為半徑的球面所形成的交線的長度為C.四邊形PQST為矩形D.四棱錐體積的最大值為11．答案：AC解析：對于A,易算出該正四面體外接球的半徑,所以該正四面體可以放入半徑為的球內(nèi),故A正確;對于B,由A可知四面體外接球的半徑,如圖,在中,,所以;在中,,易知兩個球面的交線為圓,其周長為,故B錯誤;對于C,取BC的中點M,連接AM,DM.易證平面ADM,所以;又平面,平面平面,所以,同理,所以,同理,所以四邊形PQST為平行四邊形;又是AD與BC所成的角,所以,于是四邊形PQST為矩形,則C正確;對于D,設,易證,所以,可得,同理可得.取AD中點N,連接MN,交平面PQST于點I.由上面的論證可知平面PQST.因為平面PQST與AD,BC都平行,所以可得,又易知,所以,即C到平面PQST的距離為,所以..令,,因為,,所以,所以,故D錯誤.故選：AC.三、填空題12．[2024春·高三·河南·開學考試]2023年度,網(wǎng)絡評選出河南最值得去的5大景點：洛陽龍門石窟,鄭州嵩山少林寺,開封清明上河園,洛陽老君山,洛陽白云山,小張和小李打算從以上景點中各自隨機選擇一個去游玩,則他們都去洛陽游玩,且不去同一景點的概率為_______________.12．答案：解析：小張和小李從5個景點中各自選擇1個,共有種可能,5個景點中有3個在洛陽,則他們都選擇去洛陽游玩,且不去同一景點的情況有種,故所求概率.13．[2024春·高三·河南·開學考試]已知,分別是雙曲線的左?右焦點,過點且垂直x軸的直線與C交于A,B兩點,且,若圓與C的一條漸近線交于M,N兩點,則__________.13．答案：解析：設,解得,解得,所以漸近線方程為,由對稱性,不妨取進行計算,弦長.14．[2024春·高三·河南·開學考試]若圓錐SO的母線長為3,則圓錐SO體積的最大值為__________.14．答案：解析：設底面半徑為r,則圓錐的高,體積.令,則,當時,單調(diào)遞增,當時,單調(diào)遞減;所以當,即時,V取最大值,此時.四、解答題15．[2024春·高三·河南·開學考試]已知在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,.（1）若,證明：是等腰三角形;（2）若,求a的值.15．答案：（1）見解析（2）解析：（1）證明：由,及正弦定理,得,即,即.因為,所以,即.因為,所以或.因為,所以,又,所以.故是等腰三角形.（2）因為,,即,則.由（1）可得.因為,所以.由正弦定理,得.因為,所以.結合,解得.16．[2024春·高三·河南·開學考試]2022年日本17歲男性的平均身高為,同樣的數(shù)據(jù)1994年是,近30年日本的平均身高不僅沒有增長,反而降低了.反觀中國近30年,男性平均身高增長了約.某課題組從中國隨機抽取了400名成年男性,記錄他們的身高,將數(shù)據(jù)分成八組：,,···,;同時從日本隨機抽取了200名成年男性,記錄他們的身高,將數(shù)據(jù)分成五組：,,···,整理得到如下頻率分布直方圖：（1）由頻率分布直方圖估計樣本中日本成年男性身高的分位數(shù);（2）為了了解身高與蛋白質(zhì)攝入量之間是否有關聯(lián),課題組調(diào)查樣本中的600人得到如下列聯(lián)表：身高蛋白質(zhì)攝入量合計豐富不豐富低于108不低于100合計600結合頻率分布直方圖補充上面的列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗,推斷成年男性身高與蛋白質(zhì)攝入量之間是否有關聯(lián)？附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．答案：（1）（2）成年男性身高與蛋白質(zhì)攝入量之間有關聯(lián)解析：（1）由頻率分布直方圖可知,解得.因為,所以分位數(shù)位于,設為m,則有,解得.故日本成年男性身高的分位數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖知,樣本中身高低于的中國成年男性人數(shù)是208（人）,樣本中身高低于的日本成年男性人數(shù)是（人）,故樣本中身高低于的共有348人,可得下表：身高蛋白質(zhì)攝入量合計豐富不豐富低于108240348不低于152100252合計260340600零假設：成年男性身高與蛋白質(zhì)攝入量之間無關聯(lián),則由列聯(lián)表數(shù)據(jù)可得：,依據(jù)的獨立性檢驗,我們推斷不成立,即認為成年男性身高與蛋白質(zhì)攝入量之間有關聯(lián).17．[2024春·高三·河南·開學考試]如圖,正方體的棱長為2,E,F分別為棱AB,的中點.（1）請在正方體的表面完整作出過點E,F,的截面,并寫出作圖過程;（不用證明）（2）求點到平面的距離.17．答案：（1）見解析（2）解析：（1）連接并延長交DC延長線于點I,連接IE并延長交BC于點H,交DA延長線于點J,連接交于點G,則截面即為所求.（2）如圖,以D為原點,棱DA,DC,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系Dxyz.因為正方體的棱長為2,所以,,,,,設平面的法向量為,則即取,得平面的法向量為.設點到平面的距離為d,則,故點到平面的距離為.18．[2024春·高三·河南·開學考試]已知橢圓的離心率為e,點在C上,C的長軸長為.（1）求C的方程;（2）已知原點為O,點P在C上,OP的中點為Q,過點Q的直線與C交于點M,N,且線段MN恰好被點Q平分,判斷是否為定值？若為定值,求出該定值;若不為定值,說明理由.18．答案：（1）（2）解析：（1）因為C的長軸長為,所以,由得,把代入C的方程得,即,解得,所以,解得,所以C的方程為.（2）法一：設,,由題意可知,點Q既是OP的中點,又是MN的中點,所以即因為點P在C上,所以,整理得,因為M,N在C上,所以,,.將兩邊平方,得,又,展開,得,所以,所以,又.所以為定值.法二（通性通法）：當軸且MN在y軸右側(cè)時,顯然,,,,則,同理,當軸且MN在y軸左側(cè)時,.當MN與x軸不垂直時,設直線MN的方程為.由得,則,化簡,得.設,,則,.設,則,,所以,代入,得,化簡,得,適合..綜上,為定值.19．[2024春·高三·河南·開學考試]已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;（2）若有2個極值點,,求證：.19．答案：（1）（2）見解析解析：（1）法一：因為,所以,若,則,在上單調(diào)遞增;若,令,則,時,單調(diào)遞減