重難點03力與曲線運動

（運動的合成與分解、平拋運動、斜拋運動、圓周運動及其臨界問題）

■遜r題趨勢.

考點分析三年考情分析2025命題熱點

2023：江蘇卷、遼寧卷

運動的合成與分解

2022：湖南卷

2024：江蘇卷、浙江1月選考卷、福建卷、湖

北卷1、運動合成與分解的運

拋體運動問題

2023：新課標卷、湖北卷用

2022：河北卷、廣東卷2、生活中的拋體運動

2024：廣東卷、全國甲卷、江蘇卷3、圓周運動問題

2023：江蘇卷、北京卷、山東卷、全國甲卷、

圓周運動問題

福建卷

2022：福建卷、遼寧卷

【課標要求】

1.掌握運動的合成與分解的方法及兩種重要模型：關聯速度問題和小船渡河問題。

2.掌握平拋運動、斜拋運動、類平拋運動的分析方法，能從實際情景中抽象出拋體運動模

型。

3.會分析常見圓周運動的向心力來源，并會處理圓周運動的問題。

【考查方向】

高考命題一方面以選擇題的形式出現，重點考查平拋運動、圓周運動等運動特點和動力學

規律，另一方面與其他知識點綜合出現在計算題中。可能單獨考查某一種運動形式，也可能把

多過程的曲線運動與功能關系、受力分析結合進行考查。

【備考建議】

復習本專題時，要熟練掌握拋體運動的分析方法合成與分解的方法；靈活運用動力學方法

分析圓周運動的瞬時問題；熟練掌握用動能定理分析豎直平面內圓周運動的過程問題，提升處

理多過程問題的能力；熟練掌握豎直面內的圓周運動的輕繩模型和輕桿模型在最高點的臨界特

點。

重難詮釋

【情境解讀】

1.生活實際場景：如汽車在彎道上轉彎，需分析向心力的來源（摩擦力等）；又如運動員投擲

鉛球,考慮鉛球出手后受重力作用做曲線運動，通過運動軌跡和速度變化考查力與運動的關系,

涉及平拋運動知識，包括水平勻速、豎直自由落體的運動規律，以及速度、位移的合成與分解。

2.科技應用領域：像衛星繞地球的橢圓軌道運動，依據萬有引力定律，分析不同位置的速度、

加速度變化，涉及開普勒定律；還有帶電粒子在磁場中受洛倫茲力做圓周運動，通過給定磁場

強度、粒子電量和質量等條件，求解粒子運動半徑、周期等，常與幾何知識結合確定圓心和半

徑。

3.實驗情境模擬：例如在光滑水平面上，用繩子系著小球做圓周運動，通過改變繩子拉力、小

球質量等因素，探究向心力與各物理量的關系，考查學生對實驗原理、數據處理和誤差分析的

能力，可能涉及控制變量法的運用以及對向心力公式的理解和驗證。

【高分技巧】

一、關聯速度中常見的速度分解模型

二、平拋運動

L飛行時間:由/=、也知,飛任時間取決于上落高度人與初速度V0無關.

Ng~

2.水平射程：x=即水壬射程由初速度四困I下落高度入共同決定，與其他因素無

Vg

關.

3.落地速度：F=正+V；=超二），以。表示落地速度與X軸正方向間的夾角，有

tan，='=且豆，所以落地速度只與初速度vo和下落高度〃有關.

囁%

4.速度改變量:物體在任意相等時間內的速度改變量△丫=gt相同,方向恒為豎直向下.

5.平拋運動的兩個重要結論

①做平拋運動的物體在任意時刻（任意位置）處，有tan。=2tana.

推導:

tan0=—gt

,%>=>tan9=2tana

?ygt

tancc——

x2%,

②做平拋運動的物體在任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過水平位移的中點,

如圖所示，即犯=2XB.

推導：

tan6=—'一

%可

三、圓周運動

動力學公式：F=ma=nr^=mco2R=mcov=nr^R=m47i2fR.

兩類模型對比

輕繩模型（最高點無支撐）輕桿模型（最高點有支撐）

球與繩連接、水流星、沿內軌道運動的“過

實例球與桿連接、球在光滑管道中運動等

山車”等

/繩

圖示

1

V、、、

F彈

受力卜、

%尸彈

mgmgmgmgmg

示意

001。1。0

圖

R彈痘1下或等一于零R彈向下、等于零或1句上

力學V2V2

用g+尸彈=相無mg±F憚=m示

方程

產彈=0

v=0

臨界1V,mi.n2

mg—mR即r'向=0

特征

即Vmn=y[gRF『mg

(1)當v=0時，R彈=機g,R彈背離圓心

2

2v

p⑵當時，mg—Fnrn，R彈背離

(1)最高點，若必相，F彈+?叫=嗎,繩稗=

討論圓心并隨V的增大而減小

或軌道對球產生彈力R彈

分析(3)當丫=病時，R彈=0

(2)若3面，則不能到達最高點，即到達

2

最高點前小球已經脫離了圓軌道(4)當丫＞代天時，mg+F彈="年,R彈指向圓

心并隨V的增大而增大

限時提升練

(建議用時：40分鐘)

一、單選題

1.(2024?廣東深圳?模擬預測)圖甲是我國古代重要技術發明——扇車，圖乙是某理想化扇車的截面圖。圖

乙中A位于喂料斗入口的正下方，A、B、C、。在同一水平面上，8c和C。是兩個出料口，AB,BC、CD

的長度相等。當喂料口有谷物由靜止落入扇車后，運動中受到風扇勻速轉動所產生的恒定水平風力，能使

不同飽滿程度的谷粒從不同出料口離開扇車，達到分揀谷物的目的。設質量為機的飽滿谷粒在重力和風力

的作用下恰好落在出料口的B點，已知谷粒P質量為06〃，谷粒Q的質量為0.3根，它們所受的水平風力

和飽滿谷粒相同。則P、Q自進料口由靜止落下后離開扇車的位置，正確的是()

喂料斗

B.P和Q都從C。口離開

C.P從BC口離開，Q從。E口離開D.P從C￡>口離開，Q從DE口離開

【答案】C

【知識點】平拋運動位移的計算、兩個變速直線運動的合成

【詳解】設A8=BC=CO=x,所有谷粒從入料口到出料口的高度相同，則運動時間相同，設為3則對落到8

點的飽滿顆粒

1F2

X-.......1

2m

對谷粒P

1F

t2--x<2x

20.6m3

可知落到口離開；對谷粒Q

1F210

t——x>3ox

20.3m3

則Q從。E口離開。

故選Co

2.（2024.湖南.模擬預測）如圖所示，豎直平面內有半徑為R的光滑半圓環BCD,AB在同一豎直線上且與

直徑的夾角為。，現有一質量為根的小球（大小忽略不計）從A點靜止釋放，落到B點時可通過一大小

忽略不計的拐角與半圓8C。平滑相接，認為通過時無能量損失，小球恰好能通過半圓軌道最高點。，在空

中運動一段時間后又恰好落在2點。下列說法中正確的是（）

AO

c.過。點的速度為亞百

D.48的長度為述R

4

【答案】D

【知識點】斜拋運動、用動能定理求解外力做功和初末速度

【詳解】沿2。和垂直3。方向建立直角坐標系，可以知道從。點飛出后

1?2

ax=gcos0,2R=-axt

12

ay=gsin0,O=vDt--ayt

又因為小球恰好通過。點，即

FL

有

mgcos0=氏。

聯立上式可得

14后’號R4到。過程中,由動能定理可得

<9=45。，t

12

mg(Ji-2Rcos°)=5mvD

所以

〃=也

4

故選D。

3.（2024.山西.一模）大同市永泰門的音樂噴泉，為南城墻的城門廣場增加了吸引力和活力。已知噴泉豎直

噴射時，能噴射的最大高度為31.25m。若噴頭方向與水平方向夾角為45°,不計噴頭高度和空氣阻力，重力

加速度g取lOm/s?,則噴出的水落地時到噴頭的距離為（）

A.62.5mB.25mC.125mD.150m

【答案】A

【知識點】斜拋運動

【詳解】噴泉豎直噴射的最大高度為31.25m,由

v2=2gh

得

v=25m/s

設噴頭與水平方向夾角為凡則射程

x=vcos0-2t

using

t=-------

g

聯立得

v2?Zcosesing

x=-----------------

g

當夾角為45°,尤為62.5m

故選Ao

4.（2024.浙江寧波.一模）同學們設計了一個“地面飛鏢”的游戲，如圖所示，投擲者需站在投擲線后的一條

直線上將飛鏢水平拋出，飛鏢落在水平放置的盤面內即可獲得獎勵。如圖所示，甲同學將飛鏢從較高的

A點以水平速度匕拋出，乙同學從較低的8點以水平速度V2拋出，兩飛鏢落于盤面的同一點C,且兩飛鏢與

盤面夾角a相同，不計空氣阻力。下列說法正確的是（）

A.兩飛鏢落到C點的速度相同

B.拋出點43與落點C三點必共線

C.要使飛鏢均落到盤面內，則從A點拋出的水平速度范圍更大

D.從43兩點水平拋出的飛鏢，只要落到盤面內則必落到同一點

【答案】B

【知識點】速度偏轉角與位移偏轉角

【詳解】A.甲同學飛鏢落在C點時豎直方向上的分速度

甲同學飛鏢落到C點的速度

仰—一

cosacosa

乙同學飛鏢落在C點時豎直方向上的分速度

乙同學飛鏢落到C點的速度

cosacosa

由于九＞色，故兩飛鏢落到C點的速度不同，A錯誤;

B.由于兩飛鏢在C點速度與水平方向夾角相同，根據平拋運動的推論速度與水平方向夾角的正切值為位移

方向夾角正切值的2倍，二者位移方向的偏角相等，故4B,C三點必共線，B正確

C.結合上述分析可知

“

可知匕＞丫2，同時運動時間甲同學的飛鏢運動時間更長，而水平變化位移相同，對應的甲的變化時間更小,

故從A點拋出的水平速度范圍更小，C錯誤；

D.由于運動時間與水平拋出的速度大小均不相同，二者可能會落在同一點，也可能不落在同一點，D錯誤。

故選B。

5.（2024.北京朝陽?模擬預測）一個質量為優的空心環形薄板（其厚度一定、質量均勻分布），內徑為「，內

徑和外徑之比為1：虎。當薄板在水平冰面上以角速度。勻速轉動時，其因轉動而具有的動能大小為（）

.322422CA/2+122+1]

D2

A.-ma>rB.-mcorC.-------mcorD.\)加)2r2

ACoflLLU，

4338

【答案】D

【知識點】周期、角速度、轉速、頻率與線速度之間的關系式、動能的定義和表達式

【詳解】空心環形薄板具有的平均速度為

r+yflr

v=co----------

2

所以因轉動而具有的動能大小為

2222

191.(1+72)\(1+V2)mcor

Ek=—mv=—ma)----------------=--------------------

2248

故選D。

6.（2024.河南.模擬預測）A、8兩個粗細均勻的同心光滑圓環固定在豎直轉軸上，圓心。在轉軸上，兩環

和轉軸在同一豎直面內，a、b兩個小球分別套在A、2兩個圓環上，當兩環繞豎直軸勻速轉動后，a、b兩

球在環上的位置可能是（）

【答案】B

【知識點】圓錐擺問題

【詳解】對小環受力分析如圖

\L//IIh

41—-

//—

mg

由牛頓第二定律得

mg—'=m(D2r

h

兩小球角速度相同，故//相同，即在同一個水平面內做圓周運動。

故選B。

二、多選題

7.（2024?全國?模擬預測）如圖所示，光滑水平面內有一墻面，A點處有兩個小球，小球甲以恒定速率%斜

向墻面射出，小球甲與墻發生碰撞前速度方向與法線夾角為a。小球甲與墻面碰撞前后速度方向關于法線

對稱，速度大小不變，小球甲與墻面碰撞前后均做勻速直線運動，在擊出小球甲的同時將小球乙以與小球

甲速度方向夾角為夕（尸中0）的方向、恒定速率v射出，要使小球甲能夠與小球乙發生碰撞，不計小球甲與墻

面的碰撞時間，下列說法正確的是（）

A.當夕=30。時，小球乙的最小速度%=；%，此時￡=30°

B.當夕=30。時，小球乙的最小速度％=；%，此時〃=60°

C.當戊=60。時，小球乙的最小速度%=g%，此時尸=30°

D.當&=60。時，小球乙的最小速度%此時〃=60°

【答案】BC

【知識點】合運動與分運動的概念及關系

【詳解】設小球甲與墻面碰撞前位移為瓦，經歷時間為4,則為,與墻面碰撞后與乙碰撞前的位移為$2,

經歷時間為L，則

S2=

小球乙從開始運動到碰撞過程的位移為*，則

vM+r?）

根據正弦定理有

$1_$2_邑

sin（2a+尸）sin/?sin2a

聯立解得

sin2a

v=-----------------------7---------------rvn

sin/?+sin（2a+〃）

sin[3+sin(2a+/7)=(1+cos2a)sin/3+sin2acos/3,

令

sin2a

siny=「一

J(l+cos2a)+sin22a

1+cos2a^2(1+cos2a)

cosy=i

J(l+cos2a)+sin22a2

可得

sin/7+sin(2a+0=^(1+cos2a)2+sin22asin(p+y)

usin2a

J(1+cos2a『+si〉'2asin('+y)

當月+「=90。時v最小，此時有

^2(1+cos2a)

sin廿=cosy=

2

最小速度

sinla

2%

J(l+cos2a『+sin2a

AB.當&=30。時，小球乙的最小速度v?,=；%，此時〃=60°,故A錯誤，B正確；

CD.當《=60。時，小球乙的最小速度%=g%,此時尸=30。，故C正確；D錯誤。

故選BC。

8.（24-25高三上?廣東深圳?階段練習）小明設計實驗研究“淋雨量”與移動速度的關系。分別把面積相同的

吸水紙擋在頭頂和擋在身前，以速度大小v向右穿過長度相同的一段下雨的區域，如圖所示。擋在頭頂的吸

水紙質量增加△叫,擋在身前的吸水紙質量增加△色。已知雨滴勻速下落，可視作密度均勻的介質。下列關

于和A,巧的說法正確的有（)

水平放置

\S

I

吸水紙擋在頭頂吸水紙擋在身前

A.A叫與v無關B.v越大越小

c.A，％與V無關D.v越大巧越小

【答案】BC

【知識點】生活中其他的運動分解現象、生活中其他的運動分解現象、合運動與分運動的概念及關系、合

運動與分運動的概念及關系

【詳解】由題意，可知吸水紙質量增加量等于紙檔通過下雨區域時，所吸收的雨水質量。設紙檔面積為S,

單位時間降雨量質量為叫），則紙檔擋在頭頂時，穿過該下雨區域吸水紙質量增加量為

.。

△叫=m5v一L

00v

紙檔擋在身前時，則紙檔穿過該下雨區域吸水紙質量增加量為

Am2=m0SL

顯然，△叫與V有關，V越大，A叫越小；A恤與V無關。

故選BC。

9.（2024?海南省直轄縣級單位?模擬預測）某種窗戶支架如圖甲所示，其工作原理簡化圖如圖乙所示。4桿

的。點通過錢鏈固定在滑槽導軌中，d點通過較鏈固定在窗戶底面，滑塊可在滑槽導軌中自由滑動，be桿的

c點通過錢鏈固定在滑塊上，b點通過較鏈固定在4桿上。某次關閉窗戶的過程中，油桿繞。點勻速轉動,

則下列說法正確的是（）

A.b點的線速度小于d點的線速度B.d點的加速度不變

C.6點和c點的速度大小可能相等D.c點的速度不變

【答案】AC

【知識點】周期、角速度、轉速、頻率與線速度之間的關系式、斜牽引運動的運動分解

【詳解】A.ad桿繞a點勻速轉動，因61兩點繞a點同軸轉動，可知角速度相等，根據可知，6點的

線速度小于d點的線速度，選項A正確；

B.加桿繞。點勻速轉動，1點的加速度大小不變，但方向不斷變化，選項B錯誤；

C.由速度的分解知識可知

vbCOSOC=VcCOSP

則當a=/?時b點和c點的速度大小相等，因w,大小不變，則選項C正確；

D.6點的速度不變，則根據

vbcosa=vccosp

可知c點的速度大小不斷變化，選項D錯誤。

故選AC?

10.（2024?四川遂寧?模擬預測）如圖所示，內壁光滑的四分之一圓弧軌道豎直固定放置，軌道半徑為4,

圓心為A點，AB,AC分別是豎直半徑和水平半徑。現讓光滑水平面上的小球獲得一個水平向右的速度/（未

知量），小球從A點離開后運動到圓弧上的。點，重力加速度為g,小球可視為質點，下列說法正確的是（）

A.若小球運動到。點時速度與水平方向的夾角為夕，則有tanetan〃=l

B.若小球從A到。運動時間為％,則%二也底-gM

2%

C.改變%的大小，小球落到圓弧上的速度最大值為您嬴

D.改變%的大小，小球落到圓弧上速度的最小值為WT嬴

【答案】BD

【知識點】曲面結合的平拋運動、平拋運動速度的計算、速度偏轉角與位移偏轉角

【詳解】A.設440=。，則平拋運動位移的偏轉角為

a=9（f-0

當速度的偏轉角為夕時，根據平拋運動的推論，可得

tan/?=2tana

綜合可得

tan6tan'=2

故A錯誤；

B.小球從A到。，由平拋運動的規律可得

12,

由幾何關系可得

J+,2=用

綜合解得

%=--------------

2%

故B正確；

CD.若讓小球從A點以不同初速度%水平向右拋出，由平拋運動的規律可得小球剛到達某點尸點時的速度

為

結合

22

x=vot,y=；gj,x+y=Rg

綜合可得

由數學知識可得

則力的最小值為曲無，故C錯誤，D正確。

故選BD。

11.（2024?四川達州?一模）滑滑板是一項青少年酷愛的運動，依靠自身的體能，快速的運動藝術。一青少

年在一次訓練中的運動簡化如圖所示，青少年以速度6.0m/s從尸點進入曲面軌道，從O點離開曲面軌

道，離開。點時的速度與水平方向夾角為30。，最后恰好落在平臺上的N點，。、N兩點的連線與水平方向

夾角也為30。。已知重力加速度g取10m/s2,平臺到曲面軌道右側距離尸點到。點的豎直高度

2

h=0.5m,青少年和滑板（視為質點）總質量機=60kg,忽略空氣阻力。青少年在此運動過程中，下列說

法正確的是（）

A.從。點到N點的運動時間為2s

B.在曲面軌道上克服摩擦力做的功為30J

C.青少年落在N點前瞬間重力的功率為4500W

D.青少年離ON連線的最遠距離為1m

【答案】BC

【知識點】斜拋運動、平均功率與瞬時功率的計算、應用動能定理求變力的功

【詳解】A.設。點的速度為V,根據矢量三角形定則，知水平分速度為

vcos3an0=——v

2

豎直分速度為

V

vsin30=—

2

從。點到N點，青少年水平做勻速直線運動

—vt=d

2

豎直方向做豎直上拋運動

V1

—t——2V0=-dtan30

22

聯立解得

f=ls（負值舍去）

v=5m/s

故A錯誤;

B.從尸點到。點，根據動能定理

1212

—mgh—=—mv--mv0

解得在曲面軌道上克服摩擦力做的功為

叼=30J

故B正確；

C.青少年落在N點前瞬間豎直速度

31=一g/=gm/s-10xlm/s=-7.5m/s

故重力的功率為

-mgvyX-4500W

故C正確；

D.將O點的速度為v和重力加速度g分解到沿ON方向和垂直ON方向

vy=vsin60=2.5\/3m/s

g-gsin60=5^m/s2

垂直ON方向速度減為零時，青少年離ON連線的距離最遠，時間

：=—=0.5s

gy

青少年離ON連線的最遠距離為

15A/3

r-^=-m

故D錯誤。

故選BCo

12.（2024?全國?模擬預測）彈弓愛好者站在一斜坡的坡底練習射擊目標，如圖所示斜坡的傾角》=30。，彈

丸的質量為加，射出的初速度%=4/n/s,速度的方向與斜坡成（9=30。角斜向上，恰好擊中斜坡上的目

標（在斜坡表面）。為了擊中目標，可以調節初速度和射擊的方向，已知重力加速度g取lOm/s?,彈丸位于

斜坡底端正上方高度〃=1m的位置，斜坡足夠長。不計空氣阻力，sin3（F=:，cos30°=走，下列說法正確

22

C.彈丸在飛行的過程中距離斜坡的最遠距離為生8m

10

D.保持彈丸的初速度大小不變，調整彈丸射擊的方向可使彈丸沿斜坡有最大位移

【答案】ACD

【知識點】斜拋運動

【詳解】AB.建立平面直角坐標系如圖所示

y

垂直于斜坡方向有

2

hcosa=-v0sin6?/+：gcosa?t

解得

t=1.Os

故A正確，B錯誤；

C.當沿垂直斜坡方向的速度減到。時，彈丸離斜坡最遠，利用逆向思維，結合上述可知，最遠的距離

（%si"）2=3m

h^hcosa+

m2gcosa10

故c正確；

D.當6=60°時，彈丸拋出速度方向豎直向上，彈丸會落在斜坡的底端，沿斜坡的位移為0,可知，當選

擇合適的角度時彈丸沿斜坡有最大位移，故D正確。

故選ACD。

13.（2024?全國?模擬預測）如圖所示，水平地面上有一半徑為5m的半球形曲面，球心A點正下方2m的尸

處有一噴泉沿水平方向噴出水流，設水流垂直落到半球形曲面上，噴口橫截面積為QOln?,重力加速度

g=10m/s2,水的密度為1.0x103kg/n?,sin53°=0.8,不計空氣阻力，下列說法正確的是（）

B.任意相等時間內水流的速度變化量一定相等

C.水流落到半球形曲面上的位置離地面高度為1m

D.水流噴出的過程中，噴泉裝置對水流做功的功率為竽JiUw

4

【答案】BC

【知識點】平均功率與瞬時功率的計算、平拋運動位移的計算、平拋運動速度的計算

【詳解】A.依題意，水流做平拋運動，設垂直落到半球形曲面上時速度與水平方向夾角為。，如圖所示

可得

tan0=^=—

%%

由幾何關系，可得

2

Rcos0=vot,Rsind-2=：gf

聯立解得

.=3^^m/s,0=53°

°2

故A錯誤；

B.根據

Av=gAt

可知任意相等時間內水流的速度變化量一定相等，故B正確；

C.水流落到半球形曲面上的位置離地面高度為

//=R-Rsine=lm

故C正確；

D.水流噴出的過程中，噴泉裝置對水流做功的功率為

tt

又

m=pvotS

聯立解得

p=675V10w

4

故D錯誤。

故選BC。

14.（2024.四川瀘州.一模）如圖所示，水平地面上有一個可以繞豎直軸勻速轉動的圓錐筒，筒壁與水平面

的夾角為6（tan，=0.25）,內壁有一個可視為質點的物塊始終隨圓錐筒一起做勻速圓周運動，物塊受到的最

大靜摩擦力是正壓力的0.6倍。當物塊做圓周運動的半徑為r,受到的摩擦力恰好為零時，角速度為為。忽

略空氣阻力，取g=10m/s"則下列說法中正確的是（）

A.當廠越大，則4越大

B.當廠越大，則就越小

C.當r=L6m時，最大角速度/=2.5rad/s

D.當r=L6m時，最大角速度0m=5Orad/s

【答案】BC

【知識點】圓錐擺問題

【詳解】AB.對物塊受力分析，當摩擦力為零時，如圖所示

mgtan0-Fn=r

可知當廠越大，則。。越小。故A錯誤；B正確；

CD.當r為定值時，靜摩擦力沿筒壁向下取最大靜摩擦時，具有最大角速度，受力分析如圖所示

Nsin0+fmcos0=ma>^r,Ncos0=fmsind+mg

又

%=06N

聯立，解得

a)m=2.5rad/s

故C正確；D錯誤。

故選BCo

15.（2024?全國?模擬預測）如圖所示，可視為質點的小球a的質量是小球b質量的6倍，兩小球用一剛性

輕桿連接，置于固定的光滑半球內，輕桿長度為半球半徑的五倍，半球的直徑水平。現將a球從半球右邊

最高點由靜止釋放（如圖所示），已知兩球在運動過程中均沒有離開半球內表面，不計空氣阻力，則小球a

到達半球最低點前，下列說法正確的是（）

A.同一時刻兩球的向心加速度大小相等

B.同一時刻。球重力的功率是6球重力功率的g倍

C.當輕桿與水平方向成15。角時。球速度最大

D.當輕桿與水平方向成30。角時6球速度最大

【答案】AC

【知識點】用桿連接的系統機械能守恒問題、向心加速度的概念、公式與推導、平均功率與瞬時功率的計

算

【詳解】A.設半球半徑為R,則輕桿長度

L=y/2R

可知任意時刻兩球與半球球心。的連線與輕桿的夾角均為45。，兩球的速度為、物分別與兩球所在位置的半

徑垂直，為、出的方向與輕桿的夾角均為45。，同一時刻兩球沿桿方向的分速度相等，即

vacos45°=vbcos45°

故同一時刻兩球的速度大小

匕=2=u

2

由。=二可知同一時刻兩球的向心加速度大小相等，A正確;

R

B.重力的功率

P=mgvcosB

同一時刻兩球速度方向與豎直向下方向的夾角￡不一定相等，故。球重力的功率不一定等于6球重力功率的

百倍，B錯誤；

CD.不計空氣阻力，兩球及輕桿組成的系統在運動過程中機械能守恒，設輕桿與水平方向的夾角為。時a

球所在位置的半徑與水平方向的夾角為a,此時系統的總動能

線=-AEp=mag/?sina-(1-cosar)

整理可得

”=2rnbgRsin(a+30°)-mbgR

可知當a=60。時&最大，此時兩球的速度同時達到最大，根據幾何關系可得

。=60°—45°=15°

C正確，D錯誤。

故選ACo

16.（2024.安徽?模擬預測）如圖所示，可視為質點、質量相等的A、B兩球套在粗細均勻的光滑水平直桿上。

分別用長度相等的兩輕質細線，一端連接小球，另一端固定在豎直細桿上。現讓整個裝置繞豎直細桿勻速

轉動，下列判斷正確的是（）

A.兩細線上的拉力大小一定不等

B.兩細線上的拉力大小一定相等

C.若A球不受桿的彈力，則B球也不受桿的彈力

D.若B球不受桿的彈力，則A球受到桿的彈力方向豎直向下

【答案】BD

【知識點】圓錐擺問題

【詳解】AB.設細線長為3細線與豎直方向的夾角為。，細線的拉力為E則

Fsin0=mLsinOco1

即

F=mLa>2

由此判斷兩細線上的拉力大小相等，A項錯誤、B項正確；

C.由于兩球重力相等，兩細線拉力大小相等，若A球不受桿的彈力，即A球上細線的豎直分力等于重力，

則B球上細線拉力的豎直分力小于重力，則桿對B球的彈力方向豎直向上，C項錯誤；

D.若B球不受桿的彈力，即B球上細線的豎直分力等于重力，則A球上細線拉力的豎直分力大于重力，

則桿對A球的彈力方向豎直向下，D項正確。

故選BD。

三、解答題

17.(2024?四川遂寧?模擬預測)如圖所示，內壁光滑的細圓管道固定在光滑水平地面上，管道由必、be兩

部分組成，ab、秘段是關于6點對稱的拋物線形態，。、c兩點處的切線水平。質量為加的小球乙放置在光

滑水平地面上，現讓質量也為機的小球甲從。點由靜止開始沿著管壁下滑，小球甲、乙發生碰撞生成的熱量

為Q,碰撞剛結束時，甲、乙的速度之比為1:3,重力加速度取g,求：

(1)小球甲到達c點時的速度以及。、c兩點的高度差;

(2)若在。點給小球甲一個水平向右的初速度%=2,則甲在細圓管內從。運動到6,且與內壁間恰無作

用力，求甲從。到6的運動時間以及6點切線與水平方向夾角的正切值;

(3)接第(2)問6點的傾角條件，甲再從。點由靜止開始沿著管壁下滑，求運動到6點時重力的瞬時功率。

【答案】⑴4信.

⑵『產」

3g\m

⑶午7^

【知識點】平均功率與瞬時功率的計算、速度偏轉角與位移偏轉角、利用動量守恒及能量守恒解決(類)

碰撞問題

【詳解】（1）設甲從。點由靜止開始沿著管壁下滑，運動到C點時速度為匕，碰撞剛結束時甲、乙的速度分

別為八3v,由動量守恒可得

mv=mv+3mv

由能量守恒可得

Q=；mv；-1mv2-gm(3v)2

聯立解得

V3m

設公C兩點的高度差為九，甲從。點由靜止開始沿著管壁下滑運動到C點，由機械能守恒定律可得

,12

mgn=—mvc

解得

,80

n=------

3mg

（2）當在。點給甲一個水平向右的初速度%=2、彥，則甲從。到6做平拋運動，則有

V3m

0.5h=^gf

解得

設軌道在b點的切線與水平方向的夾角為。，由平拋運動的規律可得

tan0=-

%

可得