專題07幾何圖形的旋轉變換問題

幾何窗形的旋轉變換在中考壓軸題中的考查非常頻繁。

旋轉變換的性質：圖形通過旋轉，圖形中每一點都繞著旋轉中心沿相同的方向旋轉了同

樣大小的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相

等，對應線段相等，對應角相等，旋轉過程中，圖形的形狀、大小都沒有發生變化。

在解決旋轉變換的題目時，不僅要把握旋轉的性質和幾何圖形的性質外，還要求考生能

夠在圖形變換中找到不變的量，通過轉化等數學思想，將未知條件轉化為已知條件，陌生模

型轉化為熟悉模型。

真題精析

例孽1

(2022?山東荷澤?統考中考真題)如圖1,在AABC中，4位^=45。,4。，8(7于點。，在

上取點￡,使DE=DC,連接BE、CE.

圖1圖2圖3

⑴直接寫出CE與AB的位置關系；

⑵如圖2,將ABED繞點。旋轉，得到△BED(點"，尻分別與點8,E對應)，連接CE'、AB',

在ABED旋轉的過程中CE與的位置關系與(1)中的CE與的位置關系是否一致？

請說明理由；

(3)如圖3,當ABED繞點。順時針旋轉30。時，射線CE，與A。、AB，分別交于點G、F,若

CG=FG,DC=y/3,求AV的長.

郵甌

(1)由等腰直角三角形的性質可得NABC=NZMB=45。，ZDCE=ZDEC=ZAEH=45°,可

得結論；

(2)通過證明三ACDE,可得ZDAB^NDCE,由余角的性質可得結論；

(3)由等腰直角的性質和直角三角形的性質可得A8，=百A。，即可求解.

［答案與解析】

【答案】（1）CE_LAB,理由見解析；（2）一致，理由見解析；（3）

【詳解】（1）如圖，延長CE交A5于

VZABC=45°,AD±BC,

：.ZADC=ZADB=90°,ZABC=ZDAB=45°,

?；DE=CD,

：.ZDCE=ZDEC=ZAEH=45°,

:.ZBHC=ZBAD+ZAEH=90°,

：.CE±AB；

(2)在△甌*旋轉的過程中CW與AM的位置關系與(1)中的CE與48的位置關系是一

致的，理由如下：

如圖2,延長交49于H,

圖2

由旋轉可得：CD=DE',B'D=AD,

■:ZADC=ZADB=90°,

工NCDE=ZADB',

.?.C=D---A-D=1,

DE'DB'

:.AADB'YDE',

NDAB'=ZDCE',

■:ZDCE'+ZZ>GC=90°,ZDGC=ZAGH,

：.ZDAB'+ZAGH=9Q°,

:.NAHC=90。，

.\CE,.LABf；

(3)如圖3,過點。作于點H,

圖3

V/\BED繞點D順時針旋轉30°,

NBDB'=30°,BD'=BD=AD,

ZADB'=120°,ZDAB'=ZAB'D=30°,

DHLAB',AD=B'D,

：.AD=2DH,AH=6DH=B'H,

AB'=y/3AD,

由（2）可知：AADB'fCDE，

ZDAB'=ZDCE'=30°,

'：AD±BC,CD=B

：.DG=1,CG=2DG=2,

：.CG=FG=2,

ZDAB'=30°,DH±AB',

：.AG=2GF=4,

：.AD=AG+DG=4+1=5,

/.AB'=y/3AD=5y/3.

總結與斯

本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，旋轉的性質，相似

三角形的判定和性質等知識，證明三角形相似是解題的關鍵.

(2022?遼寧錦州?統考中考真題)如圖，在AABC中，AB=AC=2yf5,BC=4,D,E,E分

別為AC,AB,3c的中點，連接DE,DF.

A

AA

M

E

Q，NFC

圖1圖2圖3

⑴如圖1,求證:DF=—DE；

2

(2)如圖2,將/EZ加繞點。順時針旋轉一定角度，得到NP。。，當射線D尸交A3于點G,

射線。。交BC于點N時，連接在并延長交射線。尸于點判斷加與￡河的數量關系,

并說明理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，當時，求DN的長.

哪甌

(1)連接AF,可得AP1BC,根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得

DF=3ACY,根據中位線定理可得DE=(BC=2,即可得證；

22

(2)證明AONFSAOME,根據(1)的結論即可得印="EM；

2

(3)連接AF,過點C作于證明AAGIX-AAHC,可得GO=』//C=痍，勾

25

A(Z3

股定理求得GE,AG,a$gtanZAr>G=—=-,ZEMG=ZADG,可得

GD4

FG3

tanZEA/G=--進而求得MG,根據ME>=MG+GO求得MD,根據(2)的結論

MG4

DN=—DM,即可求解.

2

［答案與解析】

FN=—EM—

【答案】⑴見解析；⑵2,理由見解析；⑶3

【詳解】(1)證明：如圖，連接",

A

圖1

?；AB=AC=25BC=4,D,E,尸分別為AC,AB,BC的中點,

:.DE^-BC=2,AF1BC,

2

DF=-AC=y/5,

2

DF=~DE,

2

FN=-EM

(2)2,理由如下，

連接AF,如圖，

vAB=AC=2y/5,BC=4,D,E,歹分別為AC,A3,3C的中點,

EF^-AC=CD,EF//DC,

2

四邊形C￡(E尸是平行四邊形，

:.ZDEF=NC,

DF=-AC=DC,

2

:.ZDFC=ZC,

ZDEF=ZDFC,

:A800-ZDEF=180°-ZDFC,

ZDEM=NDFN,

圖2

:將/EDF繞點。順時針旋轉一定角度，得到NPDQ,

■.ZEDF=ZPDQ,

ZFDN+ZNDE=NEDM+ZNDE,

\AFDN=ZEDM,

,.△DNFs^DME,

,NF_DF_45

'EM~DE~~2,

FN=—EM,

2

(3)如圖，連接"，過點C作C//LAB于H,

AF=y]AC2-FC2=4*

■：S^ABC=^BCAF=-ABCH,

“BCAF4x484

..1J.C——=9

AB2755

,/DP人AB,

:.△AGD^AAHC,

.GPAD

'Hc~^C~29

:.GD=-HC=^~,

25

RtAGED中，

3A/5

AG亨=3

二.tan/AZ)G=-----

GD#4

???EF〃AD,

..ZEMG=ZADG9

EG3

tan/EMG=-----

MG4

:.MG=-GE=-x^-8A/5

335IF

..3MG+GO*+哈竽

△DNFSQME,

DNDF_后

DM~DE~2'

f舊M754A/510

DN=~DM=—x------=—?

2233

總結與點撥

本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線的性質定理，相

似三角形的性質與判定，求角的正確，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

例孽3

（2022?山西?中考真題）綜合與實踐

問題情境：在必AABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板EDF中NEDF=90。，

將三角板的直角頂點。放在MA4BC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點。旋轉，三角板

的兩邊OE,。F分別與邊AB,AC交于點M,N,猜想證明:

(1)如圖①，在三角板旋轉過程中，當點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMLW的形

狀，并說明理由；

問題解決：

(2)如圖②，在三角板旋轉過程中，當=時，求線段CN的長；

(3)如圖③，在三角板旋轉過程中，當AM=AN時，直接寫出線段AN的長.

鰥甌

(1)由三角形中位線定理得到，證明NA=NAMO=NATON=90。，即可證明結論;

(2)證明ANOC是等腰三角形，過點N作NGJ_3C于點G,證明△CGNs/\CAB,利用

相似三角形的性質即可求解；

(3)延長NZ>,DH=DN,證明△BOHgZkCDN,推出5H=CN,ZDBH=ZC,證明

ZMBH=90°,設4M=AN=x,在RfA5MH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解.

[答案與解析】

2525

【答案】(1)四邊形AMDN為矩形；理由見解析；(2)CN==I-；(3)AN=].

【詳解】解：(1)四邊形AM0V為矩形.

理由如下：二,點M為45的中點，點。為的中點，

：.MD//AC,

：.ZAMD+ZA=180°,

VZA=90°,

:.ZAMD=9Q°,

■:NED尸=90°,

ZA=ZAMD=ZMDN=90°,

四邊形AMDN為矩形；

(2)在RSABC中，ZA=90°,AB=6,AC=S,

NB+NC=90°,BC=^AB2+AC2=10?

?點。是8c的中點，

：.CD=^BC=5.

VZEDF=90°,

:.ZMDB+Z1=9O°.

?：NB=NMDB,

.*.Z1=ZC.

：.ND=NC.

過點N作NGtBC于點G,貝!|NCGN=90。.

VZC=ZC,ZCGN=ZCAB=9Q°,

:./\CGNs/\CAB.

(3)延長A?至H,使DH=DN,連接MH,NM,BH,

H

'：MDVHN,：.MN=MH,

,。是8c中點,

：.BD=DC,

又,：NBDH=NCDN,

：.BH=CN,NDBH=NC,

'：ZBAC=90°,

":ZC+ZABC=90°,

：.ZDBH+ZABC=9Q°,

：.ZMBH=9Q°,

設AM=4N=x,則5M=6-x,BH=CN=8-x,MN=MH=^.x,

在RQgMff中，Bl^+BH^MH2,

(6-x)2+(8-x)2=(72x)2,

解得“=，25，

線段AN的長為，25.

總結與點撥

本題考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，矩形的判定，勾股定理,

解第(3)問的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題.

精電那題

1.(2022?山東德州?統考二模)如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,BE平分/ABC交

AD于點E.連接CE,點尸是助上一動點，過點尸作FG〃CE交于點G.將ABFG繞點

8旋轉得到AB尸G'.

⑴連接CG',EF',求證：ABEF'~￡\BCG'；

(2)當點G'恰好落在直線AE上時，若BF=3,求EG'的值.

EG=3-叵3+近

【答案】⑴見解析；(2)2或2

【分析】(1)先證得受=器，/F'BE=NCBG',從而證明了結論；

BEBC

(2)先求得5G的長，進而求得2G=3G=逑，然后利用勾股定理解直角三角形ABG',

2

即可求得結果.

【詳解】(1)證明：；FG//CE,

:?/\BFG?ABEC,

.BFBG

?,拓一拓’

.BFf_BG

??一，

BEBC

由旋轉可知：/F'BG=/EBC,

：.NFBG+NEBG'=ZEBC+ZEBG',

即/戶8E=/CBG',

，ABEF'~ABCG'；

(2)如圖1,

:四邊形A3CD是矩形，

ZD=Z.BAD=ZABC=90°,

8E平分N7U3C,

/.ZABE=-ZABC=45°,

2

ZAEB=90°-ZABE=45°,

，ZAEB=ZABE,

AE=AB=39

,?BE=J32+32=3A/2,

,.BGBF

由(I)知：=二=，

nCDE

?BG3

??可一

?

??ntr------，

2

…G考

\2

(5亞-T

在RGABG'中，由勾股定理得，AGjBG'?-AB?二

2；

2.(2022?內蒙古包頭?包鋼第三中學校考三模)已知AABC中，點。、E分別在邊相>、AC

上，且DE〃BC,將VADE繞點A逆時針旋轉.設旋轉角為￡(0°<&<180。)

ECACA

⑴試說明AADBs△AEC；

s

(2)若/班C=90。，ZACB=30°,當OE〃AC時，若點E恰好落在5c邊中點處，求瞪”

的值；

⑶若ZABC=90。，AB=CB,當點E恰好落在A3邊上時，延長CE交于V,若

BE=2AE,求鋰的值.

2四

【答案】⑴見解析；⑵2；⑶13

【分析】(1)根據DE〃3C,證明得出爺=笠，根據旋轉的性質可

AEAC

得Z.DAB=Z.EAC—oc,即可得證△AD500Z\AEC；

(2)根據三角形中線的性質，中位線的性質，設So5C=l,求得SACEM，根據相似三角形

的性質求得5?加，進而即可求解.

(3)根據勾股定理求得CE,進而根據相似三角形的性質求得5。的長，證明△￡A"S^E4C,

FM

根據相似三角形的性質求得石即可求刀三的值.

BD

【詳解】⑴證明：?:DE〃BC、

.\AADE^AABCf

AD_AE

*AB-AC?

.ADAB

,次一就‘

???YADE繞點、A逆時針旋轉.設旋轉角為c(0°<?<180°),

/./DAB=Z.EAC=oc，

ADAB

?AE-AC?

z.Z\ADBsZ\AEC,

(2)???點E恰好落在BC邊中點處，ZBAC=90°,

AE=EC-BE,

,/Z\ADBsAAEC,

.DB=DA,

.。石垂直平分A5,

.DE//AC,

.△BMEs汪AC,

BMBEEM1

.EM=-AC,BM=AM,

2

?ME//CA,BM=AM,

?q—v—v

-ZEMC_U&AME_QABME，

設S/^ABC=1，

則S^EMC=S小乂="

「.￡為3c的中點，

.o_lo_1

一0/\AEC_]°AABC_2，

VZACB=30°,

/.tanABAC=—=tan30°=—

AC3

*/Z\ADBsz\AEC,

.%ADB

^/\AEC

.s_11_1

一^AADB-彳X7：，

326

1

-

q43

.%CEM---

-q12

°AABD6-

(3)vZABC=90°?AB=CB,

/.ZBAC=45°,

「.△ABC是等腰直角三角形，

.BA-1

?,沃二G

'：Z\ADBs/\AEC,

ADAB1

??瓦一就一萬

設AD=a,則=

vBE=2AE,

AB=,BE=2\/5a,

?.AB=BC=3y/2a,

22

RtABEC中，EC=4BC+BE=,卜缶『+(2缶丫=后a,

,//\ADBsZ\AEC,

ADAB_BD_1

,AE-AC-EC-V2?

:.BD=—EC=yJV3a.

2

???ZMEB=ZAEC,NMBE=ZECA,

:AEMBS八EAC,

.EMBE

…AEBEy/2a-2y/2a4

EM=----------=---------------=—=a,

ECy/26aV26

(1)如圖①，當x=2時，求A。的長；

⑵如圖②，當x=3時，把△CP。繞點C逆時針旋轉夕度，(0＜夕＜90。)，求此時AQ的

長；

(3)如圖③，將APCQ沿PQ翻折，得到APOM,點M是否可以落在△ABC的某邊的中垂

線上？如果可以，求出相應的尤的值；如果不可以，說明理由。

r的室1八\4c164>/91—16/°、75?25

【答案】⑴AQ=丁；(2)X2=----------；⑶*=■或高

35326

【分析】(I)根據平行線分線段成比例定理得出噌=華，求出C。的長度，即可求解答

CBCA

案；

(2)先證明APCQFBCI,利用相似三角形的性質求出CQ=4,過點C作C￡>,尸。于點

12

D,再利用等面積法求出CD=〈，然后根據勾股定理分別求出。。、A。長度，求解即可；

(3)分別討論當點M落在三角形A8C的邊AC的中垂線上時，當點M落在三角形ABC的

8c的中垂線上時，當點M落在三角形A2C的血的中垂線上時三種情況，根據矩形的判定

和性質及相似三角形的判定和性質進行求解即可.

【詳解】⑴??J。//"

,CPCQ

一方一演’

BC=6,AC=8,PC=2,

.1_CQ

"6~8，

??.ce=|.

Q]6

:.AQ=AC-CQ=S--=—；

(2)圖形旋轉前,

PQ//AB,

ZCPQ=NCBA,ZCQP=ZCAB,

:APCQ~A5c4,

.PC_CQ

'^C~~CA9

???PC=3,BC=6,CA=S,

.3_ce

'6-8，

解得CQ=4,

在?△CPQ中，PQ=4PC?+CQ2=5,

過點C作COLP。于點D,

B

-S^Q=^PCCQ=^OPCD,

12

即3x4=58,解得CD=不，

在肋△CCQ中，DQ=^CQ1-CD2=y,

在RAAC￡>中，AD=^AC2-CD2

4>/9-16

.-.AQ=AD-DQ=——；

(3)當點M落在三角形ABC的邊AC的中垂線上時,

設AC的中垂線交AC于點N,過點P作PDLAC的中垂線于點D,

ZCND=NC=ZPDN=90°,

二四邊形PCNO是矩形，

;.PD=CN^-AC=4

2

?.-PQ//AB,

ZCPQ=NCBA,ZCQP=ZCAB,

△尸CQ-ABG4,

PCCQPC_BC

.?葭=市’即pn&

?/PC=x,BC=6,CA=8,

6_x

加一瓦’

4

解得CQ=”

4

/.NQ=CQ-CN=-x-4f

4

由翻折可得，CQ=-x=MQ,

???ZPMQ=90°=ZPMD+ZNMQ,ZMNQ=90°=ZPDM,

ZNMQ+ZMQN=90°,

/.ZPMD=ZMQN,

：APDM?^MNQ,

4

MPMQ一x

nn3

DPMN

MN

:.DM=MN-DN=--x

3f

在RNDMP中,PM2=PD2+DM2^

25

解得

o

當點M落在三角形ABC的BC的中垂線上時,

設3c的中垂線交BC于點尸，過點。作QE,尸M于點￡

ZMEQ=ZMFP=90°=ZC,

?二四邊形/CQE是矩形，

...FC=EQ=；BC=3,

PC=x,

4

PF=3-x,MP=x,QM=CQ=-x9

???ZPMQ=ZC=9Q°,

ZPMF+ZEMQ=90°=ZPMF+ZMPF,

:.ZEMQ=ZMPF,

:.AQEMfMFP,

MF

PMMFx

--------,即43，

QMEQ-X

3

9

解得破

在中,PM2=PF2+MF2,

BP%2=(3-X)2+

解得％=考75

當點M落在三角形ABC的BA的中垂線上時,

如圖可知，點Af不可能落在三角形ABC的54的中垂線上;

7525

綜上，Xf或石.

4.(2022?浙江金華?校聯考二模)如圖，菱形ABC。中，AB^5,AC=8,點E是射線AC

上的一個動點，將線段BE繞點E順時針旋轉90。到EF,連接。E、DF.

圖1圖2備用圖

(1)求證：ED=EF；

(2)如圖2,連接8。，CF,當△班D與AEFC相似時，求CE的長;

(3)當點D關于直線EF的對稱點落在菱形的邊上時，求AE的長.

【答案】(1)見解析

(2)CE=6或7-2痣

(3)AE的長為1或3或4或5或7

【分析】（1）根據菱形的性質，利用“SAS”得出AA￡BZAAEE>,即可得出根據旋

轉的性質得出BE=EF,即可證明DE=EF；

（2）先根據菱形的性質求出8D=6,再分AfDBsAFEC或AEDBSACEF兩種情況，分別求

出CE的長即可；

（3）根據點。關于EF的對稱點在A8上，BC上,與點8重合，與自身重合，其中與自身

重合時又要根據點E在A。或OC上兩種情況進行討論，分別畫出圖形，求出AE的長即可.

【詳解】（1）證明：???四邊形ABC。為菱形，

：.AB=AD,ZBAE=ZDAE,

AB=AD

,：在4AEB和4AED中，/3AE=ZDAE,

AE=AE

：.AA￡B^AAEE）（SAS）,

：.BE=DE,

:根據旋轉可知所，

：.DE=EF.

（2）?.?四邊形A3CD為菱形，

.'.AC.LBD,AO—CO——AC=—x8=：4,BO-DO,

22

BO=VAB2-A（92=452—4?=3，

：.BD=2.BO=6,

???△EBD一定是一個等腰三角形，

，△BED與4EFC相似存在兩種情況，

當AED3sAFEC時，根據解析（1）可知，DE=EF,

：.AEDB^AFEC,

：.CE=BD=6；

CEEF

當AEDBsACEF時,—=—,

BEBD

?；BE=DE=EF,

BE。=CE-BD=6CE,

,：在RtABCE中，根據勾股定理可得：

BE2=BO2+OE2=BO?+（匿_=32+（CE_4）：

3?+（CE-4）2=6CE,

解得：CE=7-2#或CE=7+2#（舍去）；

綜上分析可知，CE=6或CE=1一2娓.

B

（3）①當點尸與點。重合時，點E在AO上時，點。關于石尸的對稱點為其本身，符合

題目要求，如圖所示：

■:E02BD,

：./BED=90。,

,:BO=DO,

：.EO=-BD=3

2f

VAO=4,

???AE=AO-EO=1；

②當點。關于跖的對稱點DC在5C上時，連接ED,DD=ED,AC與DD交于點G,

如圖所示：

B

根據解析（1）可知，AAEB也AAED,

:.ZAEB=ZAED,

VZAEZ）+ZDEG=180°,ZA￡B+ZBEC=180°,

/DEC=/BEC,

???EF垂直平分

:.EU=ED,

:EB=ED,

:.EB=ED',

:.ZEBDuZEDB,

,?/BEF=90°,

：.BE±FE,

'：DE/±EF,

:.BE〃DD,

NBED'=ZED'G,NBEG=ZEGD,

?/ED'=ED,

NEDG=NEDD,

：.ABED'=ZEDG,

ZEBiy+ZBD'E=ZDEG+ZEGD,

"?NBEG=ZEGD,NBEC=ZDEC,

:.ZDEC=ZDGE,

：.ZEBD'=Z.DEG=ZDGE=ZBD'E,

:.ZEBC=ZBEC,

：.EC=BC=5,

：.AE=AC-EC=3-,

③當點E在對角線的交點上時，點尸在AC上，點。關于的對稱點正好在點B上，如

圖所示：

,此時AE=AO=4；

④當點。關于的對稱點DC在AB上時，連接即'，DD',ED,AC與n。交于點G,如

圖所示：

B

D

根據解析（1）可知，AAEB^AAED,

?*.ZAEB=ZAED,

EF垂直平分DD',

:.ED'=ED,

■EB=ED,

:.EB=ED\

:.ZEBD=ZEDB,

；/BEF=90°,

：.BE±FE,

?/DD1.EF，

:.BE〃DD,

NBED'=ZED'G,NBEG=NEGD,

?/ED'=ED,

：.ZEiyG=ZEDD',

：.ABED'=ZEDG,

ZEBiy+ZBD'E=NDEG+/EGD,

VZBEG=ZEGD,ZBEG=ZAED,

\?DEG?DGE,

：.ZEBD'=NDEG=ZDGE=NBD'E,

:.ZEBA=ZBEA,

：.AE=AB=5；

⑤當點E在OC上，點。關于跖的對稱點為其本身時，符合題目要求，如圖所示:

B

根據解析（1）可知，BE=DE,

'JEOLBD,

，NBED=90。,

'：BO=DO,

：.EO=-BD=3,

2

VA0=4,

AE=AO+EO=7；

綜上分析可知，AE的長為：1或3或4或5或7.

5.（2022?遼寧沈陽?統考二模）在正方形48。中，=6,E是邊CO上一動點（不與點

C,D重合），分別連接AE,BE,將線段AE繞點E順時針方向旋轉90。得到ER將線段

BE繞點E逆時針方向旋轉90。得到EG,連接DRCG.

圖3

⑴如圖1,當點E是。的中點時，求證：EF=EG-

（2）如圖2,當CE=2DE時.直接寫出ED+CG的值；

（3汝口圖3,當FG=13時，取A8的中點X,連接

①EH的長為；

②DE的長為.

【答案】⑴見解析；（2）40；（3）6.5；0.5

【分析】(1)根據正方形的性質、全等三角形的判定和性質，即可證得在利用旋

轉的性質，即可證得結論；

(2)過點尸作產MLCD交CD的延長線于點過點G作GNLCD交CD的延長線于

點N,可證得△?1￡)￡■四4BCE烏4ENG,可得。M=4,MF=2,CN=2,NG=4,再利

用勾股定理，即可求得p。與CG的值，即可求解；

(3)過點/作抨，C。，交C。的延長線于點P,過點G作GQLC。，交C。的延長線于

點。，過點尸作FSLQG,交。G于點S,過點“作交CQ于點R,可證得

4ADE/AEPF,ABCE^/\EQG,設￡>E=無，則CE=6-x,可得。尸=6-x,PF=x,CQ=x,

QG=6-x,利用勾股定理，即可求得EH,OE的長.

【詳解】(1)證明：?.?四邊形ABCD是正方形，

：.AD=BC,ZADE=ZBCE,

:點￡是C。的中點，

：.DE=CE,

在△ADE和A8CE中，

AD=BC

<NADE=NBCE,

DE=CE

：./\ADE^/\BCE(SAS),

：.AE=BE,

1/將線段AE繞點E順時針方向旋轉90。得到EF,將線段BE繞點E逆時針方向旋轉90。得

到EG,

：.AE=EF,BE=EG,

：.EF=EG.

(2)解：過點尸作FMLCD,交CD的延長線于點M,過點G作GN1CD,交CD的延長

線于點N,如圖，

"JFMLCD,GNLCD,

.\ZM=90°,NN=90。，

???四邊形A5c。是正方形，

/.ZADE=90°,NBCE=90。,

ZADE=ZM,ZBCE=ZNf

：.ZDAE+ZAED=90°,ZCBE+ZBEC=90°f

???將線段AE繞點E順時針方向旋轉90。得到EF,將線段BE繞點E逆時針方向旋轉90。得

至UEG,

：.AE=EF,BE=EG,ZAEF=90°,ZBEG=90°,

：.ZFEM+ZAED=90°f/GEN+NBEC=9。。,

：.ZDAE=ZFEM,ZCBE=ZGEN,

：.AADE^AEMF,△BCE^/\ENG,

：?MF=DE,ME=AD=6,NG=CE,EN=BC=6,

'：EC=2DE,

:?DE=2,CE=4,

：.MF=2,NG=4,

：.DM=ME-DE=6-2=4,CN=EN-CE=64=2,

由勾股定理得，DF=dDM、MF2=142+2?=26,CG=[CN2+NG=收+42=2石，

FD+CG=2非+2小=4卮

(3)解：過點尸作尸尸，C。，交CO的延長線于點尸，過點G作GQ_LC。，交CD的延長

線于點Q,過點尸作bSLQG,交QG于點S,過點H作HR，。。，交C0于點凡如圖，

設DE=x,則CE=6-x,

由(2)可同理得，匕附EQXEPF,△BCE^^XEQG,

:?PF=DE=x,PE=AD=6,QG=CE=6-x,EQ=BC=6,

：.DP=PE-DE=6-x,CQ=EQ-CE=x,

'：ZP=ZQ=ZFSQ=90°,

，四邊形ESQP是矩形，

QS=PF=x,FS=PQ=PE+EQ=12,

由勾股定理得，SG=NFG-FS。=V132-122=5，

又SG=QG-QS=6-x-x=6-2x,

6-2x=5,

解得x=0.5,

：.DE=0.5,

???ZDAH=ZADR=ZDRH=90°,

???四邊形ADR”是矩形，

：.DR=AH=-AB^3,HR=AD=6,

2

:.RE=DR-DE=2.5,

由勾股定理得，HE=dHR。+RE。=收+(2.5)2=65.

故答案為：6.5；0.5.

6.(2022?海南海口?統考二模)如圖1,在邊長為1的正方形A8CD中，點P是線段8c上

一個動點(與點B、C不重合)，將線段AP繞點P順時針旋轉90。得到線段PE,連接DE.過

點、D作DF/EP,交AB于點R交AP于點G,連接

(1)求證：