2023八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十三章軸對(duì)稱13.3等腰三角形13.3.2等邊三角形第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)教學(xué)實(shí)錄（新版）新人教版學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具教材分析2023八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十三章軸對(duì)稱13.3等腰三角形13.3.2等邊三角形第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)教學(xué)實(shí)錄（新版）新人教版。本節(jié)課以等腰三角形和等邊三角形為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生探究含30°角的直角三角形的性質(zhì)，通過實(shí)際操作和推理，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.發(fā)展學(xué)生的空間觀念，通過圖形變換和性質(zhì)探究，提升幾何直觀能力。

2.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，通過等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)，鍛煉學(xué)生的推理和論證能力。

3.增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，將幾何知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題解決，提高數(shù)學(xué)建模能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了等腰三角形和等邊三角形的基本性質(zhì)，包括它們的對(duì)稱性、角度關(guān)系和邊長(zhǎng)關(guān)系等。此外，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角三角形的性質(zhì)，如勾股定理和角度和為180°的原理。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣通常集中在幾何圖形的直觀性和動(dòng)手操作上。他們的能力在幾何證明和推理方面逐漸增強(qiáng)，但不同學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象力存在差異。學(xué)習(xí)風(fēng)格方面，有的學(xué)生偏好通過圖形直觀理解概念，而有的學(xué)生則更傾向于邏輯推理和文字表述。

3.學(xué)生在探究含30°角的直角三角形的性質(zhì)時(shí)可能遇到的困難包括：理解等邊三角形中30°角與60°角的關(guān)系，掌握勾股定理在特殊直角三角形中的應(yīng)用，以及將幾何性質(zhì)應(yīng)用于解決實(shí)際問題。此外，學(xué)生在進(jìn)行幾何證明時(shí)可能會(huì)遇到邏輯推理的困難，特別是在構(gòu)建合理的論證步驟上。教學(xué)資源-幾何圖形教具：等腰三角形模型、等邊三角形模型、直角三角形模型

-教學(xué)軟件：幾何繪圖軟件（如GeoGebra）

-教學(xué)視頻：相關(guān)幾何性質(zhì)的教學(xué)視頻

-教學(xué)課件：PPT或PDF格式的教學(xué)課件

-實(shí)物教具：直角三角板、量角器

-信息化資源：在線幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)平臺(tái)

-教學(xué)手段：實(shí)物演示、小組合作、課堂討論教學(xué)實(shí)施過程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過在線平臺(tái)或班級(jí)微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。

設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題：圍繞含30°角的直角三角形的性質(zhì)，設(shè)計(jì)問題如“如何證明含30°角的直角三角形的兩條直角邊相等？”和“如何利用等腰三角形的性質(zhì)來證明含30°角的直角三角形的斜邊是直角邊的倍數(shù)？”

監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：利用平臺(tái)功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進(jìn)度，確保預(yù)習(xí)效果。

學(xué)生活動(dòng)：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：按照預(yù)習(xí)要求，自主閱讀預(yù)習(xí)資料，理解含30°角的直角三角形的性質(zhì)。

思考預(yù)習(xí)問題：針對(duì)預(yù)習(xí)問題，進(jìn)行獨(dú)立思考，記錄自己的理解和疑問。

提交預(yù)習(xí)成果：將預(yù)習(xí)成果（如筆記、思維導(dǎo)圖、問題等）提交至平臺(tái)或老師處。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主思考，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。

信息技術(shù)手段：利用在線平臺(tái)、微信群等，實(shí)現(xiàn)預(yù)習(xí)資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學(xué)生提前了解含30°角的直角三角形的性質(zhì)，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立思考能力。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

-導(dǎo)入新課：通過展示含有30°角的直角三角形的實(shí)際應(yīng)用案例，如建筑設(shè)計(jì)或日常生活中的角度測(cè)量，引出課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解含30°角的直角三角形的性質(zhì)，如30°角的鄰邊是斜邊的一半，以及如何利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算。

組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論，讓學(xué)生根據(jù)預(yù)習(xí)內(nèi)容，探討如何證明含30°角的直角三角形的性質(zhì)。

解答疑問：針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問，如“為什么30°角的鄰邊是斜邊的一半？”進(jìn)行及時(shí)解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-聽講并思考：認(rèn)真聽講，積極思考老師提出的問題。

參與課堂活動(dòng)：積極參與小組討論，分享預(yù)習(xí)成果，共同探討證明過程。

提問與討論：針對(duì)不懂的問題或新的想法，勇敢提問并參與討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過詳細(xì)講解，幫助學(xué)生理解含30°角的直角三角形的性質(zhì)。

實(shí)踐活動(dòng)法：設(shè)計(jì)小組證明活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握證明過程。

合作學(xué)習(xí)法：通過小組討論等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

作用與目的：

-幫助學(xué)生深入理解含30°角的直角三角形的性質(zhì)，掌握證明方法。

通過實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和解決問題的能力。

通過合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

-布置作業(yè)：布置一些證明含30°角的直角三角形性質(zhì)的練習(xí)題，以及應(yīng)用這些性質(zhì)解決實(shí)際問題的題目。

提供拓展資源：提供與含30°角的直角三角形性質(zhì)相關(guān)的拓展閱讀材料，如相關(guān)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目或應(yīng)用案例。

反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-完成作業(yè)：認(rèn)真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

拓展學(xué)習(xí)：利用老師提供的拓展資源，進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和思考。

反思總結(jié)：對(duì)自己的學(xué)習(xí)過程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)，提出改進(jìn)建議。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)。

作用與目的：

-鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的含30°角的直角三角形的性質(zhì)和證明方法。

通過拓展學(xué)習(xí)，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野和思維方式。

通過反思總結(jié)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進(jìn)建議，促進(jìn)自我提升。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

（1）幾何圖形的對(duì)稱性：介紹軸對(duì)稱圖形的概念，以及等腰三角形和等邊三角形作為軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)。探討軸對(duì)稱圖形在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，如建筑設(shè)計(jì)、圖案設(shè)計(jì)等。

（2）勾股定理及其應(yīng)用：回顧勾股定理的定義和證明過程，介紹勾股定理在直角三角形中的應(yīng)用，如計(jì)算直角三角形的邊長(zhǎng)、角度等。探討勾股定理在其他幾何圖形中的應(yīng)用，如等腰直角三角形、等邊三角形等。

（3）三角函數(shù)：介紹三角函數(shù)的概念，如正弦、余弦、正切等，以及它們?cè)谥苯侨切沃械膽?yīng)用。探討三角函數(shù)在解決實(shí)際問題中的運(yùn)用，如測(cè)量高度、計(jì)算距離等。

（4）直角三角形的性質(zhì)：介紹直角三角形的性質(zhì)，如直角三角形內(nèi)角和為180°、勾股定理等。探討直角三角形在解決實(shí)際問題中的運(yùn)用，如建筑設(shè)計(jì)、工程測(cè)量等。

（5）等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)：介紹等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)，如等腰三角形的底角相等、等邊三角形的三邊相等、三個(gè)角都相等等。探討等腰三角形和等邊三角形在解決實(shí)際問題中的運(yùn)用，如制作對(duì)稱圖形、測(cè)量角度等。

2.拓展建議：

（1）幾何圖形的對(duì)稱性：

-學(xué)生可以嘗試自己制作軸對(duì)稱圖形，如剪紙、繪畫等，觀察對(duì)稱性質(zhì)。

-鼓勵(lì)學(xué)生觀察生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，如建筑、服飾等，提高對(duì)對(duì)稱性的認(rèn)識(shí)。

（2）勾股定理及其應(yīng)用：

-學(xué)生可以嘗試用勾股定理解決實(shí)際問題，如測(cè)量斜坡的高度、計(jì)算樓梯的長(zhǎng)度等。

-鼓勵(lì)學(xué)生探索勾股定理在其他幾何圖形中的應(yīng)用，如等腰直角三角形、等邊三角形等。

（3）三角函數(shù)：

-學(xué)生可以學(xué)習(xí)使用計(jì)算器計(jì)算三角函數(shù)的值，并觀察函數(shù)圖像。

-鼓勵(lì)學(xué)生嘗試用三角函數(shù)解決實(shí)際問題，如測(cè)量角度、計(jì)算距離等。

（4）直角三角形的性質(zhì)：

-學(xué)生可以嘗試自己證明直角三角形的性質(zhì)，如直角三角形內(nèi)角和為180°、勾股定理等。

-鼓勵(lì)學(xué)生觀察直角三角形在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，如建筑設(shè)計(jì)、工程測(cè)量等。

（5）等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)：

-學(xué)生可以嘗試制作等腰三角形和等邊三角形，觀察它們的性質(zhì)。

-鼓勵(lì)學(xué)生探索等腰三角形和等邊三角形在解決實(shí)際問題中的運(yùn)用，如制作對(duì)稱圖形、測(cè)量角度等。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，重點(diǎn)掌握了以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

1.等腰三角形的性質(zhì)，特別是底角相等，頂角是兩底角和的一半。

2.等邊三角形的所有邊都相等，所有角都相等，每個(gè)角都是60°。

3.含30°角的直角三角形，其中一個(gè)角是90°，另一個(gè)角是30°，那么剩下的角必然是60°，并且30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半。

4.利用勾股定理解決含30°角的直角三角形邊長(zhǎng)問題。

為了鞏固今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容，以下是對(duì)課堂學(xué)習(xí)的小結(jié)：

-我們可以通過實(shí)際操作，如使用直角三角板和量角器，來驗(yàn)證等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)。

-在解決含30°角的直角三角形問題時(shí)，首先確定哪個(gè)角是30°，然后利用其性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。

-在證明含30°角的直角三角形的性質(zhì)時(shí)，可以利用已知的等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理進(jìn)行推導(dǎo)。

當(dāng)堂檢測(cè)：

1.在一個(gè)含30°角的直角三角形中，已知斜邊長(zhǎng)度為6cm，求直角邊的長(zhǎng)度。

2.證明：如果一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角分別為30°和60°，那么它是一個(gè)等腰三角形。

3.在等邊三角形ABC中，邊長(zhǎng)為a，求角A的正弦值、余弦值和正切值。

4.設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，證明含30°角的直角三角形的斜邊是30°角所對(duì)直角邊的兩倍。

5.一個(gè)建筑工人需要測(cè)量一堵墻的高度，他發(fā)現(xiàn)從地面到墻頂?shù)闹苯侨切蔚?0°角所對(duì)的直角邊長(zhǎng)度為4米，斜邊長(zhǎng)度為5米，求墻的高度。

學(xué)生需要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成上述題目，教師可以巡視教室，觀察學(xué)生的解題過程，并根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)提供實(shí)時(shí)反饋。檢測(cè)題目旨在幫助學(xué)生鞏固今天學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)檢驗(yàn)他們的邏輯推理能力和幾何直觀能力。典型例題講解例題1：

在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6cm，求斜邊AB的長(zhǎng)度。

解答：

由于∠A=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，AB是AC的兩倍。

因此，AB=2×AC=2×6cm=12cm。

例題2：

等腰直角三角形ABC中，AB=BC=4cm，求斜邊AC的長(zhǎng)度。

解答：

在等腰直角三角形中，兩個(gè)銳角都是45°，因此可以使用勾股定理來求解斜邊。

AC2=AB2+BC2

AC2=4cm2+4cm2

AC2=16cm2+16cm2

AC2=32cm2

AC=√32cm

AC=4√2cm。

例題3：

在含30°角的直角三角形DEF中，∠D=90°，∠E=30°，DE=8cm，求斜邊EF的長(zhǎng)度。

解答：

由于∠E=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，EF是DE的兩倍。

因此，EF=2×DE=2×8cm=16cm。

例題4：

在等邊三角形GHI中，GI=8cm，求角G的正弦值。

解答：

在等邊三角形中，所有角都是60°，因此可以直接計(jì)算正弦值。

sin(G)=sin(60°)=√3/2。

例題5：

直角三角形JKL中，∠K=90°，∠J=30°，JK=10cm，求斜邊KL的長(zhǎng)度。

解答：

由于∠J=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，KL是JK的兩倍。

因此，KL=2×JK=2×10cm=20cm。

補(bǔ)充說明：

1.當(dāng)題目中給出含30°角的直角三角形時(shí)，可以利