第六章方差分析基本原理多重比較線性模型和期望均方單向分組資料的方差分析兩向分組資料的方差分析基本假定和數據轉換

方差分析(analysisofvariance,簡稱ANOVA)由英國統計學家R.A.Fisher于1923年提出。這種方法是將

k

個樣本的觀測值作為一個整體，把觀測值總變異的平方和和自由度分解為不同變異來源的平方和及自由度，進而獲得不同變異來源方差的估計值；通過對這些方差的估計值進行比較，就能測驗各樣本所屬總體平均數是否相等。從總變異中扣除了各種原因所引起的變異后，剩余變異做為試驗誤差的無偏估計量。第一節方差分析的基本原理本節結合單因素試驗結果的方差分析介紹方差分析的原理。

一、自由度和平方和的分解假設某單因素試驗有

k

個處理，每個處理有

n

次重復，則共有

nk

個觀測值。這類試驗資料的數據模式如表6-1所示。表6-1每組有n個觀測值的k個處理的數據模式xij表示第i個處理的第j個觀測值（i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）Ti表示第i個處理n個觀測值的和；T表示全部觀測值的總和；xi.表示第i個處理的平均數；x..表示全部觀測值的總平均數；（一）總平方和的分解

全部觀測值總變異的平方和是各觀測值xij與總平均數的離均差平方和，記為SST。即C

稱矯正數因為=0所以

上式中，為各處理平均數與總平均數的離均差平方和與重復數n的乘積，反映了容量為n的樣本間的變異，即處理間變異，稱為處理間平方和，記為SSt，即上式中，為各處理內離均差平方和之和，反映了各處理內的變異即誤差，稱為處理內平方和或誤差平方和，記為SSe，即于是有SST=SSt+SSe

平方和的計算三個平方和的計算公式

（二）總自由度的分解

總自由度記為dfT，dfT=nk-1。處理間自由度dft，dft=k-1處理內自由度dfe，dfe=K(n-1)自由度分解式為

nk-1=(k-1)+k(n-1)各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內均方，分別記為MST（或）、MSt（或）和MSe（或）。即

【例題1】以A、B、C、D四種藥劑處理水稻種子，其中A為對照，每處理各得4個苗高觀察值（cm)，其結果見下表，試分解其平方和與自由度。這是一個單因素試驗，處理數k=4，重復數n=4。各項平方和及自由度計算如下：矯正數

C=T2/nk=3362/(4×4)=7056總平方和dfT=nk-1=

4×4-1=15處理間平方和處理內平方和dft=k-1=4-1=3dfe=K(n-1)=4×(4-1)=12進而得各項變異的均方總變異均方

MST=SST/dfT=602/15=40.13處理均方

MSt=SSt/dft=504/3=168.00誤差均方

Mse=SSe/dfe=98/12=8.17二、F分布與F測驗

（一）F

分布

在一正態總體N（μ，σ2）中隨機抽取樣本容量為n1

和n2

的兩個樣本分別求得其均方s12和s22，統計學上把兩個均方之比值稱為F值。即

F=s12/

s22

給定n1和n2

時，按上述方法進行一系列抽樣，則可獲得一系列的F值。這些F值所具有的概率分布稱為F分布。

F分布曲線是隨自由度υ1（n1–1）、υ2（n2–1）而變化的一組偏態曲線，其形態隨著υ1、υ2的增大逐漸趨于對稱。F

分布的取值范圍是（0，+∞），

=1

(二)F測驗

用F值出現概率的大小推斷兩個總體方差是否相等的方法稱為F測驗(F-test)。（1）（2）

F測驗目的在于檢驗某項變異因素的效應或方差是否真實存在。因此，總是以被測驗的那一項變異因素的方差作分子，以另一項變異（如試驗誤差）的均方作分母。F值越大，因素的效應或方差越有可能真實存在。當F大于臨界Fɑ時，認為效應或方差在顯著或極顯著水平下真實存在。附表4（P340-344）右尾臨界F0.05和F0.01值

（1）F＜，則P＞0.05，接受H0，認為處理效應/方差不存在。（2）≤F＜，則0.01＜P≤0.05，在ɑ=0.05水平上否定H0，即在0.05水平上處理效應/方差顯著存在，在F值的右上方標記“*”。（3）F≥，則P≤0.01，在ɑ=0.01水平上否定H0，即在0.01上處理效應/方差極顯著存在，在F值的右上方標記“**”。【例題1】不同藥劑處理水稻觀察苗高的試驗中，測驗藥劑間變異是否顯著大于藥劑內變異？已算出：MSt=168.00,df1=3

MSe=8.17,df2=12則：F=MSt/MSe=168.00/8.17=20.56**根據df1=3，df2=12查附表5，得F0.05（3，12）=3.49，F0.01（3，12）=5.95因為F＞F0.01(3，16),P＜0.01推斷：藥劑間的變異顯著大于藥劑內變異。

在方差分析中，通常將變異來源、平方和、自由度、均方和F值匯總在方差分析表。第二節、多重比較

F

值顯著或極顯著，否定了無效假設HO，表明處理效應存在。有時，需要進行處理平均數間的比較，以明確平均數間的差異顯著性。

統計上把多個平均數間的相互比較稱為多重比較（multiplecomparisons）。多重比較的方法甚多，常用的有最小顯著差數法（LSD法）和新復極差法（LSR法）。

一、最小顯著差數法(LSD法)

(leastsignificantdifference)LSD法的實質是兩個平均數相比較的t測驗法。因此，顯著水平為α時的最小顯著差數LSDα

然后用任兩個平均數的差與LSDα比較，如果則這兩個平均數在α水平上顯著。反之，差異不顯著。方差分析的多重比較中

為平均數差數的標準誤。當兩樣本容量相等時，

其中為F檢驗中的誤差均方，n為各處理的重復數。為顯著水平為α、自由度為F

測驗中誤差自由度的臨界t值。當顯著水平α=0.05和0.01時，從t值表中查出和，得：試對例題資料進行多重比較四種藥劑處理水稻后對苗高的影響LSD法多重比較的步驟：(1)列出平均數的多重比較表:各處理按其平均數從大到小排列,

計算任兩個平均數的差；(2)計算最小顯著差數LSD0.05和LSD0.01；(3)將任兩個平均數的差數與LSD0.05和LSD0.01比較，作出統計推斷。

當df=12時，t0.05=2.179,t0.01=3.055

LSD0.05=t0.05

×

=4.40(cm)

LSD0.01=t0.01

×

=6.18(cm)

例如：不同藥劑處理對水稻苗高影響的多重比較結果：藥劑D與A、D與C、及B與C平均數間差異達極顯著水平，D與B、B與A處理平均數間達顯著水平，藥劑A與C處理平均數差異不顯著。二、新復極差法(LSR法)

LSD法的理論基礎是兩個樣本平均數差數的抽樣分布，但多重比較是多個平均數的比較。

當隨機抽取k（k>2）個樣本時，隨機極差與k=2是不同的。將平均數間的差值看成是平均數的極差，根據極差的抽樣分布理論、極差范圍內平均數個數不同，確定最小顯著極差（Leastsignificantranges，LSR）LSRα，可以克服LSD法的不足。

為平均數的標準誤,

α為顯著性水平

dfe

為F測驗誤差自由度

p為所有平均數按從大到小排列兩極差范圍內所包含的平均數個數。

鄧肯(Duncan)于1955年提出了新復極差法，又稱最短顯著極差法

(shortestsignificantranges簡稱SSR法)，又稱鄧肯(Duncan)法。

例題：用SSR法對不同藥劑處理對水稻苗高影響進行多重比較。

查SSR表，當df=12時，p=2,3,4的SSRα值。并計算出尺度值LSRα

三、多重比較方法的選擇：檢驗尺度有如下關系：LSD法≤SSR法當只含兩個平均數時，即k=2時，取等號；當k≥3時，取小于號。在多重比較中，LSD法比SSR法的尺度小。同一資料用LSD法測驗差數顯著，用SSR法測驗未必顯著。1、事先有比較的標準，且都與一個對照處理相比時，可以采用LSD法。若處理之間相互比較應該采用新復極差法。2、在農業田間試驗中，由于試驗誤差較大，常采用SSR法。四、多重比較結果的表示法各平均數經多重比較后，應以簡明的形式將結果表示出來，常用的表示方法有：

1、梯形表法：

將平均數按從大到小順序排列，然后算出各平均數間的差數，凡達到0.05顯著水平的，在差數右上角標一個“*”號，凡達到0.01顯著水平的，在差數右上角標兩個“**”號。我們上面舉例中應用的即是梯形表法。多重比較的梯形表示法2、字母標注法各平均數間只要有一個相同字母，即為差異不顯著，無相同字母的為差異顯著。用小寫字母表示顯著水平α=0.05，用大寫字母表示顯著水平α=0.01。此法的優點是占篇幅小，在科技文獻中常見。品種平均產量差異顯著性5%E14.2B12.4G11.9H11.4

C10.8

F10.1

A9.8

D9.0

多重比較(LSD法)假定：LSD0.05=2.35aaabbbcccccddddbbd標記字母法的步驟將各處理平均數由大到小自上而下排列；在最大平均數后標記字母a，并將該平均數與以下各平均數依次相比，凡差異不顯著的，標記同一字母a，直到某一個與其差異顯著的平均數，將之標記字母b；以標有字母b的平均數為標準，與上方比它大的各個平均數比較，凡差異不顯著一律再加標b，直至顯著為止。再以標記有字母b的最大平均數為標準，與下面各未標記字母的平均數相比，凡差異不顯著，繼續標記字母b，直至某一個與其差異顯著的平均數，標記c。如此重復