專題8.4空間點、直線、平面之間的位置關系【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平面的基本性質及推論】 3【題型2空間中的點共線、點（線）共面問題】 3【題型3空間中的線共點問題】 5【題型4由平面的基本性質作截面圖形】 7【題型5平面分空間的區域數量】 10【題型6直線與直線的位置關系】 10【題型7直線與平面的位置關系】 11【題型8平面與平面的位置關系】 13【知識點1平面】1．平面(1)平面的概念

生活中的一些物體通常給我們以平面的直觀感覺，如課桌面、黑板面、平靜的水面等.幾何里所說的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.(2)平面的畫法

①與畫出直線的一部分來表示直線一樣，我們也可以畫出平面的一部分來表示平面.我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面.

②當平面水平放置時，如圖(1)所示，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；當平面豎直放置時，如圖(2)所示，常把平行四邊形的一邊畫成豎向.(3)平面的表示方法

平面一般用希臘字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱.如圖中的平面可以表示為：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.2．點、直線、平面的位置關系的符號表示點、直線、平面的位置關系通常借助集合中的符號語言來表示，點為元素，直線、平面都是點構成的集合.點與直線(平面)之間的位置關系用符號“”“”表示，直線與平面之間的位置關系用符號“”“”表示.3．三個基本事實及其推論(1)三個基本事實及其表示基本事實自然語言圖形語言符號語言基本事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.A,B,C三點不共線存在唯一的平面α使A,B,C∈α.基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α.基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.(2)三個基本事實的作用

基本事實1：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面.

基本事實2：①判斷直線是否在平面內，點是否在平面內；②用直線檢驗平面.

基本事實3：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點.(2)基本事實1和2的三個推論推論自然語言圖形語言符號語言推論1經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.點A?aa與A共面于平面α，且平面唯一.推論2經過兩條相交直線，有且只有一個平面.a∩b=Pa與b共面于平面α，且平面唯一.推論3經過兩條平行直線，有且只有一個平面.直線a//b直線a,b共面于平面α，且平面唯一.【題型1平面的基本性質及推論】【例1】（23-24高一下·新疆·期末）給出下列四個結論：①經過兩條相交直線，有且只有一個平面；②經過兩條平行直線，有且只有一個平面；③經過三點，有且只有一個平面；④經過一條直線和一個點，有且只有一個平面.其中正確結論的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-1】（23-24高一下·河南安陽·階段練習）下列命題正確的是（

）A．過三個點有且只有一個平面B．如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線不一定共面C．四邊形為平面圖形D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線【變式1-2】（24-25高一下·全國·課后作業）下列說法正確的是（

）①一條直線上有一個點在平面內，則這條直線上所有的點在這平面內；②一條直線上有兩點在一個平面內，則這條直線在這個平面內；③若線段AB?α，則線段AB延長線上的任何一點一點必在平面α內；④一條射線上有兩點在一個平面內，則這條射線上所有的點都在這個平面內．A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③【變式1-3】（24-25高二上·上海靜安·期末）下列命題中真命題是（

）A．四邊形一定是平面圖形B．相交于一點的三條直線只能確定一個平面C．四邊形四邊上的中點可以確定一個平面D．如果點A，B，C∈平面α，且A，B，C∈平面β，則平面α與平面β為同一平面【題型2空間中的點共線、點（線）共面問題】【例2】（2024·寧夏固原·一模）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是DB的中點，直線①C1?M?O②C1?M?O?C③C1?O?B1?④D1?D?O?MA．①② B．①②③④ C．①②③ D．①③④【變式2-1】（23-24高一下·江蘇·階段練習）下列選項中，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的是（

）A． B．C． D．【變式2-2】（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，在空間四面體ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且CG=13BC，CH=13DC.求證：E、【變式2-3】（23-24高二上·北京·階段練習）如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.

(1)求證：EF//(2)設EG與FH交于點P，求證：P,A,C三點共線.【題型3空間中的線共點問題】【例3】（23-24高一下·山東威海·期末）在空間四邊形ABCD中，若E，F分別為AB，BC的中點，G∈CD，H∈AD，且CG=2GD，AH=2HD，則（

）A．直線EH與FG平行 B．直線EH，FG，BD?C．直線EH與FG異面 D．直線EG，FH，AC相交于一點【變式3-1】（24-25高一下·河南洛陽·階段練習）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，Q分別是棱AAA．l過點BB．l不一定過點BC．D1P的延長線與DA的延長線的交點在D．D1Q的延長線與DC的延長線的交點在【變式3-2】（2024高一·江蘇·專題練習）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，

【變式3-3】（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=4，(1)證明：三條直線MN,QP,D(2)求三棱錐C?MNP的體積．【題型4\o"由平面的基本性質作截面圖形"\t"/gzsx/zj168432/_blank"由平面的基本性質作截面圖形】【例4】（23-24高一下·河南三門峽·期末）在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=4,AAA．142 B．182 C．10+62【變式4-1】（23-24高一下·安徽宣城·期末）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4，B1P=2PC，

A．35 B．153 C．1515【變式4-2】（2024高三·全國·專題練習）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=1，Q是棱DD1上的動點（可與D、D1重合）.當【變式4-3】（23-24高一下·湖北武漢·期末）如圖，棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，

(1)求作過D1，E，F(2)求截面圖形的面積【知識點2空間點、線、面之間的位置關系】1．空間中直線與直線的位置關系(1)三種位置關系

我們把不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關系有三種：(2)異面直線的畫法

為了表示異面直線a,b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示.2．空間中直線與平面的位置關系直線與平面的位置關系有且只有三種，具體如下：位置關系圖形表示符號表示公共點直線在平面內有無數個公共點直線與平面相交有且只有一個公共點直線與平面平行沒有公共點3．空間中平面與平面的位置關系(1)兩種位置關系兩個平面之間的位置關系有且只有以下兩種，具體如下：位置關系圖形表示符號表示公共點兩個平面平行沒有公共點兩個平面相交有一條公共直線(2)兩種位置關系平行平面的畫法技巧

畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行.4．平面分空間問題一個平面將空間分成兩部分，那么兩個平面呢?三個平面呢?

(1)兩個平面有兩種情形：

①當兩個平面平行時，將空間分成三部分，如圖(1)；

②當兩個平面相交時，將空間分成四部分，如圖(2).(2)三個平面有五種情形：

①當三個平面互相平行時，將空間分成四部分，如圖8(1)；

②當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成六部分，如圖(2)；

③當三個平面相交于同一條直線時，將空間分成六部分，如圖(3)；

④當三個平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點時，將空間分成八部分，如圖(4)；

⑤當三個平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時，將空間分成七部分，如圖(5).【題型5平面分空間的區域數量】【例5】（24-25高二上·上海浦東新·階段練習）三個平面不可能將空間分成（

）個部分A．5 B．6 C．7 D．8【變式5-1】（23-24高一下·浙江·期末）空間的4個平面最多能將空間分成（

）個區域．A．13 B．14 C．15 D．16【變式5-2】（23-24高二上·四川樂山·階段練習）三個平面將空間分成7個部分的示意圖是（

）A．

B．

C．

D．

【變式5-3】（2024·四川內江·三模）三個不互相重合的平面將空間分成n個部分，則n的最小值與最大值之和為（

）A．11 B．12 C．13 D．14【題型6直線與直線的位置關系】【例6】（23-24高一下·北京·期中）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1DA．平行 B．相交C．異面 D．以上都不是【變式6-1】（23-24高一下·湖北·期末）若空間中四條不同的直線l1，l2，l3，l4滿足l1⊥lA．l2⊥lC．l2，l4既不垂直也不平行 D．l2【變式6-2】（23-24高一下·河南安陽·期中）如圖是一個正方體的平面展開圖，則在正方體中AB與CD的位置關系是（

）A．相交 B．平行 C．異面 D．垂直【變式6-3】（23-24高一下·浙江·期中）正方體的平面展開圖如圖所示，AB，CD，EF，GH為四條對角線，則在正方體中，這四條對角線所在直線互相垂直的有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【題型7直線與平面的位置關系】【例7】（23-24高一下·山東濟寧·階段練習）已知α,β是兩個不同的平面，l,m,n是三條不同的直線，下列條件中，可以得到l⊥α的是（）A．l⊥m,l⊥n,m?α,n?α B．l⊥m,m//αC．α⊥β,l//β D．l//m,m⊥α【變式7-1】（2024·陜西榆林·一模）若m,n為兩條不同的直線，α,β為兩個不同的平面，則下列結論正確的是（

）A．若m//α,α//β，則m//βB．若m⊥α,α⊥β，則m//βC．若m//n,n//α，則m//αD．若m⊥α,α//β，則m⊥β【變式7-2】（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點，E，F分別是BC，AD的中點．(1)判斷直線EF與平面ABC的位置關系．(2)判斷直線EF與直線BD的位置關系．【變式7-3】（24-25高一下·全國·課后作業）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1和BB1的中點，則下列直線與平面的位置關系是什么？（1）AM所在的直線與平面ABCD；（2）CN所在的直線與平面ABCD；（3）AM所在的直線與平面CDD1C1；（4）CN所在的直線與平面A1B1C1D1.【題型8平面與平面的位置關系】【例8】（24-25高三上·上海·階段練習）已知l,m,n是三條不重合的直線，α,β,γ是三個不重合的平面，下列命題中的真命題是（

）A．若l//m,m?α，則l//α B．若l?α,m?α,l//β,m//β，則α//βC．若l//α,l//β，則α//β D．若α//β,β//γ，則α//γ【變式8-1】（24-25高二上·廣東肇慶·期中）已知直線m,n與平面α,β,γ，則能使α⊥β成立的充分條件是（

）A．α⊥γ，β⊥γ B．m//αC．m//α，m⊥