第第頁2025屆高三年級2月調研測試數學注意事項1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將各答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，若，則實數的取值構成的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運用集合與集合之間的關系構造方程計算參數即可.【詳解】由得.當時，，滿足；當時，因為，所以或，解得或.故選：C.2.若復數（其中是虛數單位），則復數的共軛復數的模為A.1 B.C D.2【答案】B【解析】【詳解】試題分析：，故選B.考點：復數及其運算．3.已知命題：，為真命題，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】二次不等式恒成立問題可轉化為二次方程解的情況，可得不等式，解不等式即可.【詳解】因為命題：，為真命題，所以不等式的解集為.若，則不等式可化為，解得，不等式解集不；若，則根據一元二次不等式解集的形式可知：，解得，綜上可知：，故選：D.4.下列說法中，正確的是（）A.一組數據的第70百分位數為13B.若樣本數據的方差為2，那么數據的方差為6C.已知隨機事件A和B互斥，且，，則D.某一組樣本數據為，則樣本數據落在區間內的頻率為【答案】ACD【解析】【分析】根據，向后推一位即可；利用方差的性質計算即可；根據互斥求出，再利用對立事件來求解；利用古典概型求解即可．【詳解】A選項，數據從小到大排列為，由，故第5個數作為第70百分位數，即13，A正確；B選項，樣本數據的方差為2，則數據方差為，所以B選項錯；C選項，因為A和B互斥，則，可得，所以，C正確；D選項，樣本數據落在區間有有4個，所以樣本數據落在區間內的頻率為，故選D；故選：ACD．5.設定義域為的單調函數，對任意，都有，若是方程的一個解，則可能存在的區間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，結合條件可得，即，通過求導結合零點存在性定理可確定答案.【詳解】設，則，且，當時，，由函數在上為增函數，且得，，∴，故，由得，，設，則，，∴根據零點存在性定理可知在內存在零點，即.故選：B.6.若滿足條件的△ABC有兩個，那么a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據正弦定理得出，由于滿足條件的△ABC有兩個，則函數與函數的圖象有兩個交點，畫出圖象，即可得出a的取值范圍.【詳解】根據正弦定理可知，代入可求得因為滿足條件的△ABC有兩個，所以有兩個角即函數與函數的圖象有兩個交點，如下圖所示由圖可知，，所以故選：C【點睛】本題主要考查了根據三角形解的個數求參數的范圍，屬于中檔題.7.在平面直角坐標系中，若圓上存在點，且點關于直線的對稱點在圓上，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出圓關于直線的對稱圓的方程，由對稱圓與圓有公共點可得答案．【詳解】圓的圓心為，設關于直線的對稱點為，所以，解得，關于直線的對稱點為，由題意得，以為圓心，以為半徑的圓與圓有公共點，所以，解得：.故選：B．【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是求出圓關于直線的對稱的圓與圓有公共點，考查了學生思維能力.8.如圖，直角的斜邊長為2，，且點分別在軸，軸正半軸上滑動，點在線段的右上方．設，（），記，，分別考查的所有運算結果，則A.有最小值，有最大值 B.有最大值，有最小值C.有最大值，有最大值 D.有最小值，有最小值【答案】B【解析】【分析】設，用表示出，根據的取值范圍，利用三角函數恒等變換化簡，進而求得最值的情況.【詳解】依題意，所以.設，則，所以，，所以，當時，取得最大值為.，所以，所以，當時，有最小值為.故選B.【點睛】本小題主要考查平面向量數量積的坐標運算，考查三角函數化簡求值，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結論中正確的有（）A.若為正實數，，則B.若a，b，m為正實數，，則C.若，則D.當時，的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】A，B選項考查不等式的證明，應用作差法判斷正負即可解決；C選項考查不等式的性質，在不等式左右兩邊同時乘以正數，不等號不變；D選項考查基本不等式，正數時，乘積確定可以求出和的最小值.【詳解】解：對于A，∵為正實數，，∴，故A正確；對于B，若為正實數，，則，則，故B錯誤；對于C，，若，則，故C正確；對于D，當時，根據基本不等式可得：，的最小值為，當且僅當時取等號，故D正確.故選：ACD10.已知函數，則下列說法正確的是（）A.是偶函數 B.是周期函數C.關于直線對稱 D.當時，【答案】BCD【解析】【分析】A項特值可得；B項由定義證明；C項證明成立即可；D項由對稱性分析當時，是否成立即可.【詳解】A項，，，得，所以不是偶函數，故選項A錯誤；B項，，所以是以為周期的周期函數，故選項B正確；C項，，所以關于直線對稱，故選項C正確；D項，由關于直線對稱，只需看當時，是否成立.當時，，，，，所以，即；又因為，所以，所以，即，所以，故選項D正確.故選：BCD.11.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為的中點，點滿足，則下列結論正確的是（）A.若，則四面體的體積為定值B.若的外心為，則為定值2C.若，則點的軌跡長度為D.若且，則存在點，使得的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】A選項，作出輔助線，結合空間向量基本定理得到三點共線，得到平面，故點為平面的距離為定值，四面體的體積為定值，A正確；B選項，作出輔助線，結合空間向量數量積的幾何意義得到；C選項，建立空間直角坐標系，設，表達出，故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，落在正方形內的部分，結合弧長公式求出答案；D選項，求出，，得到，畫出圖形，數形結合得到其最小值.【詳解】A選項，在上分別取，使得，，因為，所以，因為，所以，即，故，即，所以三點共線，因為，，所以，故平面，故點為平面的距離為定值，又為定值，故四面體的體積為定值，A正確；B選項，取的中點，因為的外心為，所以⊥，又題意得，則，B錯誤；C選項，取的中點，因為底面為菱形，，故⊥，以為坐標原點，以，分別為軸，建立空間直角坐標系，故，設，則，化簡得，點滿足，即點在正方形內，包括邊界，故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，落在正方形內的部分，如圖所示：因為，，故，故為等腰直角三角形，，故點的軌跡長度為，C正確；D選項，若且，，即，即，又，，設，設，即，解得，即，，如圖所示，設，且⊥，⊥，在線段上取一點，設，則，故，顯然，直接連接，此時取得最小值，最小值即為，由勾股定理得，故的最小值為，D正確.故選：ACD【點睛】空間向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用空間向量的幾何意義將問題轉化為空間幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據圖形的特征直接進行求解；②數化，即利用空間向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數，不等式，方程的有關知識進行求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某次調研測試中，考生成績X服從正態分布．若，則從參加這次考試的考生中任意選取3名考生，至少有2名考生的成績高于90的概率為________．【答案】##0.104【解析】【分析】根據正態分布的概率公式和二項分布的概率公式即可求解.【詳解】因考生成績服從正態分布，所以，故任意選取3名考生，至少有2名考生的成績高于90的概率為．故答案為：.13.任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈．這就是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數，根據上述運算法則得出，共需經過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）．現給出冰雹猜想的遞推關系如下：已知數列滿足：（為正整數），，若，記數列的前項和為，則______．【答案】4725或4746【解析】【分析】根據給定的運算法則，逆推進出前4項，再結合數列周期性求出.【詳解】由，得，或，若，則數列是周期數列，其周期為3，因此；若，則數列去掉前3項后是周期數列，其周期為3，因此.故答案為：4725或4746【點睛】思路點睛：由“角谷猜想”的運算法則，利用逆推的方法求出前4項，再利用周期性求和.14.如圖所示，由半橢圓和兩個半圓，組成曲線，其中點、分別是的上、下焦點和、的圓心.若過點、作兩條平行線、分別與、和、交于、和、，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】求出橢圓的方程，設直線與橢圓的另一個交點為，由對稱性得出，進而得出，設直線的方程為，將該直線的方程與橢圓方程聯立，列出韋達定理，結合弦長公式可求得的最小值，進而得解.【詳解】半圓的圓心為，半徑為，半圓的圓心為，半徑為，對于橢圓的焦距為，則，可得，所以，橢圓的方程為，如圖所示，設直線與橢圓另一個交點為，由橢圓的對稱性可知，點與點關于原點對稱，即點為線段、的中點，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，，若的斜率不存在，則直線過點，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設直線的方程為，設點、，聯立可得，，由韋達定理可得，，所以，，故當時，取最小值，則的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵在于利用對稱性得出，由此得出，將問題轉化為橢圓的焦點弦長的最值問題.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在銳角三角形中，角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求角的大小；（2）求且，求．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化為邊，再利用余弦定理即可求出角的大小；（2）利用降冪升角公式、三角形內角和定理及逆用兩角差的正弦公式可將化為，求出的范圍，進而可求出的值，再利用角的變換即可求出．【詳解】（1）由正弦定理得，故，即，∴，∵，∴．（2）∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，得，又∵為銳角三角形，∴，∴．∴，則，∴，∴．【點睛】本題主要考查了正弦定理、二倍角公式、同角三角函數關系及兩角和與差的正弦公式，同時考查利用已知角和特殊角的變換求三角函數值，屬于中檔題.16.如圖所示的幾何體中，為三棱柱，平面，，四邊形為平行四邊形，，.（1）求證：平面；（2）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）4【解析】【分析】（1）根據平面，可知是正方形，因而.由，可知，因而平面，即可得，從而由線面垂直判定定理可得平面；（2）求得，即可由等體積求解即可.【詳解】（1）證明:∵為三棱柱，且平面，，∴四邊形是正方形，.∵平面，∴，又∵，，∴，，∵，平面，∵平面，∴.∴平面.（2）∵，∴，，∴三棱錐的體積，.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的判定，空間中直線與直線、直線與平面的位置關系，三棱錐體積求法，屬于中檔題.17.一款擊鼓小游戲的規則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓后要么出現一次音樂，要么不出現音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現三次音樂獲得150分，出現兩次音樂獲得100分，出現一次音樂獲得50分，沒有出現音樂則獲得-300分.設每次擊鼓出現音樂的概率為，且各次擊鼓出現音樂相互獨立.（1）若一盤游戲中僅出現一次音樂的概率為，求的最大值點；（2）以（1）中確定的作為的值，玩3盤游戲，出現音樂的盤數為隨機變量，求每盤游戲出現音樂的概率，及隨機變量的期望；（3）玩過這款游戲的許多人都發現，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了.請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因.【答案】（1）；（2），；（3）見解析.【解析】【分析】（1）根據獨立重復試驗中概率計算,可得僅出現一次音樂的概率.然后求得導函數,并令求得極值點.再根據的單調情況,求得的最大值.（2）由（1）可知,.先求得不出現音樂的概率,由對立事件概率性質即可求得出現音樂的概率.結合二項分布的期望求法,即可得隨機變量的期望;（3）求得每個得分的概率,根據公式即可求得得分的數學期望.構造函數,利用導函數即可證明數學期望為負數,即可說明分數變少.【詳解】（1）由題可知,一盤游戲中僅出現一次音樂的概率為：,由得或（舍）當時,；當時,,∴在上單調遞增,在上單調遞減,∴當時,有最大值,即的最大值點；（2）由（1）可知,則每盤游戲出現音樂的概率為由題可知∴；（3）由題可設每盤游戲的得分為隨機變量,則的可能值為-300,50,100,150；∴；；；；∴；令,則；所以在單調遞增；∴；即有；這說明每盤游戲平均得分是負分,由概率統計的相關知識可知：經過若干盤游戲后,與最初的分數相比,分數沒有增加反而會減少.【點睛】本題考查了獨立重復試驗概率的求法,利用導數求得函數的最值,數學期望的求法,綜合性較強,計算量較大,屬于難題.18.已知橢圓短軸長為2，左、右焦點分別為，過點的直線與橢圓C交于兩點，其中分別在軸上方和下方，，直線與直線交于點，直線與直線交于點（1）若的坐標為求橢圓C的方程；（2）在（1）的條件下，過點并垂直于軸的直線交C于點，橢圓上不同的兩點滿足成等差數列.求弦的中垂線在軸上的截距的取值范圍；（3）若，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）短軸長為2，則有，為的重心，得，代入橢圓方程求解即可；（2）由等差中項的性質得到，再由弦長公式得到，然后分當AB斜率存在時由點差法得到，再由點斜式寫出弦的中垂線方程，得弦的中垂線在軸上的截距；當AB斜率不存在時，AD的中垂線為軸，得在軸上的截距，最后得到范圍；（3）根據重心性質及面積公式得，，再結合已知不等式條件解不等式組可得，然后直曲聯立得到，轉化為對任意的m恒成立，解不等式即可.【小問1詳解】橢圓短軸長為2，則有，故橢圓，，則為的中點，又為的中點，可知為的重心，則，故，代入橢圓方程得，解得，所以橢圓C的方程為；【小問2詳解】由橢圓C的方程得，，，成等差數列，，設，AD中點，由弦長公式，=，，，同理，代入可得，①當AD斜率存在時，由，兩式作差可得，，∴，∴弦AD的中垂線方程為，當時，AD的中垂線在軸上的截距為，AD中點在橢圓C內，∴，得，且．②當AD斜率不存在時，AD的中垂線為軸，在軸上的截距為．∴綜上所述，即弦AD的中垂線在軸上的截距的取值范圍為.【小問3詳解】，則為的中點，為的中點，又為的中點，可知點分別為，的重心，設，，設點，，則根據重心性質及面積公式得，，而，∴，∴，∴，設，則，令，任取，有，時，，，，，即；時，，，，，即；則在上單調遞增，在上單調遞減，，，可得，即，設直線，則聯立橢圓方程得，消元化簡得，，∴，，∴，∴，則對任意的m恒成立，即，得，故實數a的取值范圍為．【點睛】方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系，涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強化有關直線與圓錐曲線聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．19.設數列的前n項和為，對一切，，點都在函數圖象上.（1）求，，，歸納數列的通項公式（不必證明）：（2）將數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為、、、、、、、、、…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成新的數列為，求的值；（3）設為數列的前n項積，若不