第4節反比例函數

（6年6考,3分）

?命題分析

從近6年陜西中考的考試內容來看，反比例函數的考查均出現在填空題.考查形式包括:①

己知正比例函數與反比例函數圖象的交點坐標，利用反比例函數k的幾何意義求含有點坐標

的代數式的值;②已知一次函數與反比例函數圖象的交點情況，利用一元二次方程根的判別式

或利用線段間的數量關系求表達式.

【回歸教材?過基礎】

【知識體系】

待定系數法利用左的幾何特點所在象限增減性對稱性比例系數上

求表達式意義求表達式的幾何意義

【知識清單】

知識點1反比例函數的概念檢專

（定義：y=-（k為常數,kwO）

反比例函數《x.

（表達形式:y=-或y=kx-i或xy=k

知識點2反比例函數的面象與性質第春

大而③________大而④________

漸近趨勢圖象無限接近坐標軸，但永遠不會與坐標軸⑤_______(x#0,y#0)

中心對稱圖形:關于原點成中心對稱

對稱性

軸對稱圖形:關于直線y=x,y=-x成軸對稱

知識點3反比例函數的解析式學考

反比例函數的解析式

1.設:設y=5（k70）

_k

待定系數法求解析式的步驟卡.代：已知點P(a,b),將坐標代入y=不

3.解：解關于k的一元一次方程

.4.寫：寫出解析式

4.S^PMP=⑦

【真題精粹?重變式】

考向1反比例函數的圖象與性質

1.(2021.陜西12題3分)若A(l,yi),B(3,y2)是反比例函數y上展(m<?圖象上的兩

點，則yi,y2的大小關系是yiy2.(填“〉”"=”或“<”)

2.(2019?陜西13題3分)如圖,D是矩形AOBC的對稱中心,A(0,4),B(6,0),若一個反

比例函數的圖象經過點D,交AC于點M,則點M的坐標為.

3.(2024.陜西12題3分)已知點A(-2,yi)和點B(m,y2)均在反比例函數y=-|的圖象

上.若則yi+y20.（填“〉”"=”或“<”）

；拓展訓練:

4.【原創好題】如圖，點A在反比例函數y=T(x<0)的圖象上,AB〃x軸與y軸交于

點C,且BC=2AC,設點B(a,。,則k的值為

a

考向2反比例函數表達式的確定

5.(2023?陜西12題3分)如圖,在矩形OABC和正方形CDEF中，點A在y軸的正

半軸上，點C,F均在x軸的正半軸上，點D在邊BC上,BC=2CD,AB=3.若點B,E在

同一個反比例函數的圖象上，則這個反比例函數的表達式是.

6.若一個反比例函數的圖象經過點A(m,m)和B(2m,-1),則這個反比例函數的表達

式為.

考向3反比例函數的綜合應用

7.(2020.陜西13題3分)在平面直角坐標系中，點A(-2,l),B(3,2),C(-6,m)分別在三個

不同的象限.若反比例函數y=%k和)的圖象經過其中兩點，則m的值為.

8.反比例函數的圖象經過點(m+2,n),(m,-4)及(8,-n),則m+n=.

【核心突破?拓思維】

題型I反比例函數圖象上點坐標的特征

部1已知A(m+3,2),B(3,9是同一個反比例函數圖象上的兩個點，則

m=.

2若點Pi(xi,yi),P2(X2,y2)在反比例函數y=-|的圖象上，且yi>0>y2,貝Ixi,X2,0的

大小關系為.

,變式設問

1.已知反比例函數y=：的圖象經過點A(2,m),B(m+3,l),則k的值等于.

2.點(a,yi),(a+2,y2)都在反比例函數y=gk<0)的圖象上，若yi>y2,則a的取值范圍

是.

方法歸納

kk

若點M(xo,yo)在反比例函數yq的圖象上，則yo=—,BPxoyo=k.

k

當點(Xl,yl),(X2,y2),(X3,y3),...,(Xn,yn)在反比例函數yq的圖象上時，根據反比例函數圖象上

點坐標的特征得xiyi=x2y2=X3y3=...=xnyn=k.

題型2反比例函數圖象的對稱性

部3如圖,A,B是雙曲線y=；上關于原點對稱的任意兩點,AC〃y軸,BD〃y軸，則

四邊形ACBD的面積為

3.若直線y=kx(k>0)與雙曲線y=|的交點為(xi,yi),(x2,y2),則2xiy2-5x2yi的值

為.

若正比例函數y=mx與反比例函數y=*曲圖象交于A(xi,yi),B(X2,y2)兩點，則有

xi=-x2,yi=-y2,即兩個交點的橫、縱坐標互為相反數.

題型3反比例函數與一次函數圖象的交點問題

部4若點(a,b)是一次函數y=-|x+6的圖象與反比例函數圖象的交點，則牌的

值為..

部5如圖，一次函數y=-x+b的圖象與反比例函數y=：(k/))的圖象相交于點P,則

關于x的方程-x+bJ的解是.

X

6一次函數y=kx+k-l(k和)的圖象與反比例函數y=：的圖象交點的個數

為.

?變式設問

4.設函數y=|的圖象與y=x-l的圖象的交點坐標為(a,b),則M的值為.

5.如圖，反比例函數y=/的圖象與一次函數y=kx-b的圖象交于點P,Q,點P的坐標

為(4,1),點Q的縱坐標為-2,根據圖象信息可得關于x的方程±=kx-b的解

為.

6.若雙曲線y=1與直線y=|x無交點，則k的取值范圍是-----.

方法歸納

(1)判斷反比例函數與一次函數圖象的交點情況：

①聯立反比例函數y=：與一次函數y=mx+n的方程，消去y,整理得一元二次方程

mx2+nx-k=0;

②利用一元二次方程根的判別式A=b2-4ac進行判斷.

若AA。,反比例函數與一次函數圖象有兩個交點；

若A=0,反比例函數與一次函數圖象有一個交點；

若A<0,反比例函數與一次函數圖象無交點.

(2)若反比例函數y=g的圖象和一次函數y=mx+n圖象的交點坐標為(a,b),則

k=ab,ma+n=b.

題型4借助反比例函數與一次函數圖象解決不等式問題

>7如圖，一次函數y=x-2的圖象與反比例函數y=§的圖象交于點A(3,l)、點B,

則不等式/x-2<0的解集是.

I變式設問

7.如圖，一次函數yi=ax+b的圖象與反比例函數y2=|的圖象相交于A,B兩點，當

yi>y2時或x>3,則一次函數的表達式為.

方法歸納

在判斷分式不等式時，只需對比相應的反比例函數圖象以及直線位置情況即可，其具體范

圍的分界點即兩個圖象的交點橫坐標.

題型5反比例函數圖象與一次函數圖象共存問題

18函數y=kx-l與y=：(k/))在同一平面直角坐標系內的圖象可能是

CD

,變式設問

8.已知ab<0,一次函數y=ax-b與反比例函數y=：在同一平面直角坐標系中的圖象

可能是()

題型6反比例函數k值幾何意義的運用

[9如圖，直線y=mx與雙曲線y=§交于A,B兩點，過點A作AM_Lx軸,垂足為

M,連接BM,若SAABM=4,則k=.

。如圖，過y軸正半軸上任意一點P,作x軸的平行線，分別與反比例函數

y=：(x<0)的圖象和y=|(x>0)的圖象交于A點和B點,C為x軸上任意一點，連接

AC,BC,若SAABC=3,則k=.

::如圖，矩形OABC被三條直線分割成六個小矩形,D,E是CO邊上的三等分

點，反比例函數y=：(k/))的圖象剛好經過小矩形的頂點F,G,若圖中的陰影矩形面

積SI+S2=5,則反比例系數k的值為.

9.如圖，已知點A在反比例函數y=g(x>0)的圖象上，點B在反比例函數y=1(x>0)的

圖象上，四邊形ABCD是長方形，則長方形ABCD的面積是.

10.(2024.鐵一中模擬)如圖尸OABC的頂點。是坐標原點，點A在x軸的正半軸上,

點B,C在第一象限，反比例函數y=：(x>0)的圖象經過點C,y=：(k/),x>0)的圖象經過

點B.若OC=AC,則k=.

(4)已知反比例函數yq(k>0)與

一次函數y=mx+n的圖象交于A,B兩

點，且A,B兩點的坐標分別為

(xi,yD,(X2,y2),則

SAAOB=|l(yi+y2)(x2-xi)|.

(5)反比例函數yi=?與y?=晟的

分支在同一平面直角坐標系中,A為

丫尸乜的圖象上一點,B為y?=乜的圖

XX

象上一點，且AB〃x軸，點C為X軸上

/工上一占[_lkll+lk2l

任忠一點，則miScAABC=------------

(6)已知反比例函數%=個■的圖象

與的圖象均在第一象限中，點A

在反比例函數yi的圖象上，點B在反

比例函數y2的圖象上，且AB〃x軸,C

為x軸上任意一點，則

0|ki|-|k2|

ABC=-.

(7)已知反比例函數與

丫2=亙的圖象如圖所示，點A在反比例

yi=力

X

函數yi的圖象上，點B在反比例函數A

y2的圖象上.若OA_LOB,則-coD__>x

OBqik2「

參考答案

回歸教材?過基礎

知識清單

、三②二、四（f減小◎曾大創目交⑥川⑦2園

真題精粹.重變式

1.<2.（；4）3.<4.35.y=-6.y=-7.-18.-15

2，,□,口

核心突破?拓思維

例1-6解析：：/（加+3,2）石（3?

是同一個反比例函數圖象上的兩個點,.：2（m+3）=3xg,.：機=6

例2xi<0<%2解析：：％=-2<0,.：圖象在第二、四象限.

:夕\>0>]2,.*X1<O<X2.

變式設問L62.-2<a<0

例32解析:連接43（圖略）.

:A3是函數>=（的圖象上關于原點。對稱的任意兩點，且AC〃丁軸,5。〃〉軸，

SAAOC=SLBOD=\,

?：2

假設點A的坐標為（x,y）,則點5的坐標為（-x,-y）,

則OC=OD=x,

「?SAAOD=SLAOC=:,SABOC=SLBOD=^-,

22

?:S四邊形ACB0=SAAOD+S^AOC+S^BOC+SABOD=^X4=2.

變式設問3.6

例42解析：丁點（a,。）是一次函數y=-|x+6的圖象與反比例函數y=|■圖象的交點,

2Q

/?b=--a+6,b=—,

3，口，

即35+2〃=18,"=9,

例5=1幽=2

解析：：3=-%+"的圖象與反比例函數y?（存°）的圖象相交于點尸（1，2）,

把點P的坐標代入函數表達式,

得-1+b=2,k=1x2=2,

解得0=3,左=2.

關于x的方程-%+6=2,即-》+3=：,

解得X1=1,X2=2.

故答案為X1=1,X2=2.

例61或2解析油■[口

(口=□□+口-1,

解得乜^(hl)尤-1=0,

?：/=(hl)2+4Z=F_2左+1+4左=(2+1)220,

?:交點個數為1或2.

變式設問4.-；5.XI=-2,X2=46.k>2

例7-l<x<0

解析：丁點A(3,l)在反比例函數廣,的圖象上,."=3x1=3,.：反比例函數的表達式

為y=],解x-2=],得XI=3,X2=-1,.：點5(-1,-3),觀察兩個函數的圖象，不等式，<x-2<0