2024－2025學年度第一學期期末質(zhì)量檢測九年級數(shù)學試卷親愛的同學：在你答題前，請認真閱讀下面的注意事項．1.本卷共6頁，24題，滿分120分．考試用時120分鐘．2.答題前，請將你的學校、班級、姓名、考號填在試卷和答題卡相應的位置，并核對條碼上的信息．3.答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后再選涂其他答案．答在“試卷”上無效．4.答非選擇題時，答案用0.5毫米黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上．答在“試卷”上無效．5.認真閱讀答題卡上的注意事項．預祝你取得優(yōu)異成績！第I卷（選擇題共30分）一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標號涂黑．1.2024年7月27日，第33屆夏季奧運會在法國巴黎舉行，如圖所示巴黎奧運會項目圖標，它（）A.是軸對稱圖形 B.是中心對稱圖形C.既不軸對稱圖形也不是中心對稱圖形 D.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形2.下列事件中，必然事件是（）A.明天是晴天 B.地球自西向東自轉C.籃球隊員在罰球線投籃一次，投中 D.擲一枚硬幣，正面朝上3.解一元二次方程，配方后正確的是（）A. B. C. D.4.在平面直角坐標系中，以為圓心，1為半徑圓與坐標軸的位置關系()A.與x軸相切 B.與x軸相離 C.與y軸相切 D.與y軸相交5.已知是一元二次方程的兩個根，則的值為（）A. B. C.1 D.36.為了促進經(jīng)濟發(fā)展，從年月日至年月日，國家對貸款市場報價利率（）進行了兩次下調(diào)，年期以上從降到了，設年期以上平均每次下調(diào)的百分率為，根據(jù)題意，所列方程正確的是（）A. B.C. D.7.在平面直角坐標系中，將拋物線向左平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度，得到的拋物線頂點坐標為()A B. C. D.8.把三張形狀、大小相同但畫面不同的風景圖片，都按照同樣的方式剪成相同的三段，然后將上、中、下三段分別混合洗勻，從三堆圖片中隨機各抽出一張，求這三張圖片恰好組成一張完整風景圖片的概率為（）A. B. C. D.9.如圖，已知點M是的內(nèi)心，分別是點M關于的對稱點，點B在的外接圓上，且點A在邊上，若的外接圓半徑為2，則長為（）A. B. C. D.10.如圖，點F是矩形內(nèi)部一個動點，E為上一點且，當，，時，則的最小值為（）A.10 B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）將答案直接寫在答題卡指定的位置上．11.在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是______．12.某射擊運動員在同一條件下射擊成績記錄如下：射擊次數(shù)10501002004001000“射中9環(huán)以上”的次數(shù)64379156326803“射中9環(huán)以上”的頻率0.600.860.790.780.8150.803由上表，估計這名運動員射擊一次時“射中9環(huán)以上”的概率為___________（結果保留小數(shù)點后兩位）．13.用一個圓心角為的扇形做一個圓錐的側面，此時圓錐的底面圓半徑為3，則這個圓錐的母線長為___________．14.如圖，將繞點A順時針旋轉得到，若點B，D，E在同一條直線上，，則度數(shù)為___________．15.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸相交于、兩點，與軸交于點．對稱軸為直線，且，下列結論：①；②；③若，則；④若點、點在該二次函數(shù)圖象上，當且時，則其中正確的結論是___________(填寫正確結論的序號)16.如圖，邊長為的正方形的頂點、在半徑為的圓上，頂點、在圓內(nèi)，將正方形沿圓的內(nèi)壁按逆時針方向作無滑動的滾動，當點再一次落在圓上時，點運動的路徑長為___________．三、解答題（共8小題，共72分）在答題卡指定的位置上寫出必要的演算過程或證明過程．17.關于x的一元二次方程有一個根是，求m的值及方程的另一個根．18.如圖，在中，，在同一平面內(nèi)，將繞點旋轉到，使得，求的度數(shù)．19.一個不透明盒子里裝有2個黑球，5個白球和1個紅球．它們除顏色不同外其余都相同．（1）若從中任意摸出1個球，摸出黑球的概率是___________；（2）將盒子中的白球取出4個后，利用剩下的球小張和小王進行摸球游戲，他們約定：先摸出1個球后放回，再摸出1個球，若這兩個球中有紅球，則小張勝，否則小王勝，問該游戲是否公平？請用列表或畫樹狀圖說明理由．20.如圖，為圓O的直徑，C為圓上一點，E為弦的中點，過C作圓O的切線交延長線于點P，交圓O于點D．連接．（1）證明：為圓O的切線；（2）過點D作，交于H，交于F，，求圓O的半徑．21.如圖，是由邊長為的小正方形組成的的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，圓過格點，，，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示，按步驟完成下列問題．（1）在圖1中畫圓心，并過點作圓的切線；（2）在圖2中作的角平分線，與圓交于點；（3）在圖2中，作弦，使．22.【問題背景】洪山區(qū)某校開展綜合與實踐活動．同學們發(fā)現(xiàn)在相同玻璃水杯內(nèi)加入不同高度的水量，用筷子敲擊玻璃水杯會發(fā)出不同音調(diào)．【實驗操作】由于頻率不同則音調(diào)不同，因此同學們用頻率儀作測量實驗，獲得如下水量高度與頻率數(shù)據(jù)對照表．水量高度頻率【建立模型】用x表示對應的水量高度，用y表示頻率，同學們運用信息技術描出數(shù)據(jù)散點圖并發(fā)現(xiàn)可用二次函數(shù)近似刻畫水量高度與頻率關系如圖．任務1當水量高度為時，計算頻率值為___________．任務2若要敲擊出高音3，玻璃水杯水量高度為多少？(結果保留整數(shù))(C調(diào)音符與頻率對照表：低音，中音，高音，其他參考數(shù)據(jù)：)【反思優(yōu)化】同學們通過觀察圖1，發(fā)現(xiàn)第十一組數(shù)據(jù)與利用二次函數(shù)計算得出的頻率值偏差較大．決定將其數(shù)據(jù)優(yōu)化為，減少偏差．通過查閱資料后知道：可將水量高度對應的頻率值進行次測量，得到個結果，再計算個結果與之差的平方和，記為；越小，偏差越小．任務3當偏差最小時，說明y與之間關系，并闡述理由．23.（1）【提出問題】數(shù)學課上，老師提出問題：如圖1，在等腰中，，點E在邊上，以為邊作正方形，點F在邊上，連接，點P為線段的中點，連接．以點P為對稱中心，畫出關于點P對稱的圖形，并直接寫出與的位置及大小關系_____；（2）【類比探究】在等邊中，D、E分別是邊上一點，且，以、為鄰邊作菱形，再將菱形繞C點順時針旋轉一定角度后得到新的菱形如圖2，連接，點P為線段的中點，連接、，判斷與的位置及大小關系，并證明你的結論；（3）【遷移運用】在（2）的條件下，若，，菱形在旋轉過程中，當最小時，直接寫出的值_________．24.在平面直角坐標系中，拋物線過，，三點，且與x軸交于另一點F．（1）求拋物線的對稱軸方程；（2）如圖1，點C為拋物線對稱軸與x軸的交點，連接，直線交拋物線于另一點H，P為直線下方拋物線上的點，連接，若，求P點坐標；（3）如圖2，點M為第一象限內(nèi)拋物線上一點，過點M的直線與拋物線交于第四象限內(nèi)一點N，連接，分別交y軸于點D、E，且，求證：直線恒經(jīng)過一定點，并求出定點坐標．

2024－2025學年度第一學期期末質(zhì)量檢測九年級數(shù)學試卷親愛的同學：在你答題前，請認真閱讀下面的注意事項．1.本卷共6頁，24題，滿分120分．考試用時120分鐘．2.答題前，請將你的學校、班級、姓名、考號填在試卷和答題卡相應的位置，并核對條碼上的信息．3.答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后再選涂其他答案．答在“試卷”上無效．4.答非選擇題時，答案用0.5毫米黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上．答在“試卷”上無效．5.認真閱讀答題卡上的注意事項．預祝你取得優(yōu)異成績！第I卷（選擇題共30分）一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標號涂黑．1.2024年7月27日，第33屆夏季奧運會在法國巴黎舉行，如圖所示巴黎奧運會項目圖標，它（）A.是軸對稱圖形 B.是中心對稱圖形C.既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形 D.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形【答案】D【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，解題的關鍵是正確掌握中心對稱圖形的定義．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，據(jù)此進行判斷即可．【詳解】解：該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形故選：D．2.下列事件中，必然事件是（）A.明天是晴天 B.地球自西向東自轉C.籃球隊員在罰球線投籃一次，投中 D.擲一枚硬幣，正面朝上【答案】B【解析】【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【詳解】解：A、明天是晴天是隨機事件，本選項不符合題意；B、地球自西向東自轉必然事件，本選項符合題意；C、籃球隊員在罰球線投籃一次，投中是隨機事件，本選項不符合題意；D、擲一枚硬幣，正面朝上是隨機事件，本選項不符合題意；故選：B．3.解一元二次方程，配方后正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法步驟是解題的關鍵．利用配方法對一元二次方程進行變形即可．【詳解】解：由題知，∴．故選：A．4.在平面直角坐標系中，以為圓心，1為半徑的圓與坐標軸的位置關系()A.與x軸相切 B.與x軸相離 C.與y軸相切 D.與y軸相交【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了直線與圓的位置關系，坐標與圖形的性質(zhì)等知識，熟練掌握點到直線的距離與半徑的大小關系是判斷直線與圓位置關系的關鍵．根據(jù)，可判斷直線與圓的位置關系．【詳解】解：點到軸的距離為，，點為圓心，為半徑的圓與軸相切，故選：A．5.已知是一元二次方程的兩個根，則的值為（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】本題考查根與系數(shù)關系，解題的關鍵是掌握．利用根與系數(shù)關系求解．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個根，∴，，∴．故選：C．6.為了促進經(jīng)濟發(fā)展，從年月日至年月日，國家對貸款市場報價利率（）進行了兩次下調(diào)，年期以上從降到了，設年期以上平均每次下調(diào)的百分率為，根據(jù)題意，所列方程正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．利用經(jīng)過兩次下調(diào)后的年期以上下調(diào)前年期以上（年期以上平均每次下調(diào)的百分率），即可列出關于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故選：B．7.在平面直角坐標系中，將拋物線向左平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度，得到的拋物線頂點坐標為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，先把配成頂點式，得到拋物線的頂點坐標為，再把點向左平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度得到點的坐標為．【詳解】解：，即拋物線的頂點坐標為，把點向左平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度得到．故選：D．8.把三張形狀、大小相同但畫面不同的風景圖片，都按照同樣的方式剪成相同的三段，然后將上、中、下三段分別混合洗勻，從三堆圖片中隨機各抽出一張，求這三張圖片恰好組成一張完整風景圖片的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法．三張圖片上、中、下三段分邊表示為A、a、1；B、b、2；C、c、3．先畫樹狀圖展示27種等可能的結果，再找出這三張圖片恰好組成一張完整風景圖片的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算．【詳解】解：三張圖片上、中、下三段分邊表示為A、a、1；B、b、2；C、c、3．畫樹狀圖為：共有27種等可能的結果，其中這三張圖片恰好組成一張完整風景圖片的結果數(shù)為3，所以這三張圖片恰好組成一張完整風景圖片的概率．故選：C．9.如圖，已知點M是內(nèi)心，分別是點M關于的對稱點，點B在的外接圓上，且點A在邊上，若的外接圓半徑為2，則長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)心、外心、軸對稱、特殊直角三角形等內(nèi)容．連接，易得四邊形是正方形，再證，即可得解．【詳解】解：如圖，連接，設與交于點G，與交于點H，與交于點K，∵的外接圓半徑為2，且點B也在的外接圓上，∴，∵分別是點M關于的對稱點，∴，，，，，∴，∴，∵，∴，∴、、、都是等腰直角三角形，∴，∵，且，∴四邊形是正方形，∴，，在中，，∴，∴，，同理，∴，∴，∵，∴；故選：D．10.如圖，點F是矩形內(nèi)部一個動點，E為上一點且，當，，時，則的最小值為（）A.10 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等內(nèi)容．在上截取，先證，得到，從而得出，當且僅當C、F、G三點共線時取等，再根據(jù)題干條件求解即可．【詳解】解：如圖，在上截取，連接，在和中，，∴，∴，∴，當且僅當C、F、G三點共線時取等號，∵，且，∴，∴，∵四邊形是矩形，，∴，，在中，，即，∴的最小值為，故選：C．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）將答案直接寫在答題卡指定的位置上．11.在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是______．【答案】【解析】【分析】本題考查關于原點對稱的點的坐標特征．掌握關于原點對稱的點的橫縱坐標都互為相反數(shù)是解題關鍵．根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特征求解即可．【詳解】解：點關于原點對稱的點的坐標是．故答案為：．12.某射擊運動員在同一條件下射擊成績記錄如下：射擊次數(shù)10501002004001000“射中9環(huán)以上”的次數(shù)64379156326803“射中9環(huán)以上”的頻率0.600.860.790.780.8150.803由上表，估計這名運動員射擊一次時“射中9環(huán)以上”的概率為___________（結果保留小數(shù)點后兩位）．【答案】0.80【解析】【分析】本題考查了利用頻率估計概率．大量重復試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．【詳解】解：根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知：根據(jù)頻率穩(wěn)定在0.80，估計這名運動員射擊一次時“射中9環(huán)以上”的概率是0.80．故答案為：0.80．13.用一個圓心角為的扇形做一個圓錐的側面，此時圓錐的底面圓半徑為3，則這個圓錐的母線長為___________．【答案】6【解析】【分析】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．設圓錐底面的半徑為r，由于圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，則，然后解方程即可．【詳解】解：設圓錐底面的半徑為r，根據(jù)題意得，解得：．故答案為：6．14.如圖，將繞點A順時針旋轉得到，若點B，D，E在同一條直線上，，則的度數(shù)為___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了旋轉的性質(zhì)．根據(jù)旋轉的性質(zhì)得出，，，推出，即可推出結果．【詳解】解：∵將繞點A順時針旋轉得到，∴，，，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案為：．15.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸相交于、兩點，與軸交于點．對稱軸為直線，且，下列結論：①；②；③若，則；④若點、點在該二次函數(shù)圖象上，當且時，則其中正確的結論是___________(填寫正確結論的序號)【答案】①③④【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．拋物線與軸的交點，熟練掌握圖象與系數(shù)的關系以及二次函數(shù)與不等式的關系是解題的關鍵．特別是利用好題目中的，是解題的關鍵．由二次函數(shù)圖象的對稱軸而可判斷①；由時，，結合，即可判斷②；判斷直線過，兩點，根據(jù)圖象即可判斷③；由題意可知點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離即可判斷④．【詳解】解：對稱軸為直線，，，，故①正確；時，，，，，，故②錯誤；，，，，直線與軸的交點為，直線過，兩點，觀察圖象，若，則，故③正確；由題意可知點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，拋物線開口向下，．故④正確；故答案為：①③④．16.如圖，邊長為正方形的頂點、在半徑為的圓上，頂點、在圓內(nèi)，將正方形沿圓的內(nèi)壁按逆時針方向作無滑動的滾動，當點再一次落在圓上時，點運動的路徑長為___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了軌跡，正方形的性質(zhì)，弧長公式等知識，解決問題的關鍵是弄清運動的過程．可得出經(jīng)過三次點再次落在圓上，其中兩次是在半徑為，圓心角是度的弧上運動，一次是在半徑為圓心角是度的弧上運動，根據(jù)弧長公式得出結果．【詳解】解：如圖，設圓心為，連接，，，，和是等邊三角形，，，，點運動的路徑長為故答案：．三、解答題（共8小題，共72分）在答題卡指定的位置上寫出必要的演算過程或證明過程．17.關于x的一元二次方程有一個根是，求m的值及方程的另一個根．【答案】，方程的另一個根為．【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關系，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵；根據(jù)一元二次方程解的定義把代入方程即可求出；根據(jù)根與系數(shù)的關系可直接求出另一根．【詳解】解：把代入得：，解得：，此時，符合題意設方程另一根為根據(jù)根與系數(shù)的關系可得：，解得：，即方程的另一個根為．18.如圖，在中，，在同一平面內(nèi)，將繞點旋轉到，使得，求的度數(shù)．【答案】【解析】【分析】本題考查了旋轉的性質(zhì)，熟記旋轉的性質(zhì)是解題的關鍵．由旋轉的性質(zhì)得出，再結合，可推出結果．【詳解】解：將繞點旋轉到，，，又，，，∴．19.一個不透明的盒子里裝有2個黑球，5個白球和1個紅球．它們除顏色不同外其余都相同．（1）若從中任意摸出1個球，摸出黑球的概率是___________；（2）將盒子中的白球取出4個后，利用剩下的球小張和小王進行摸球游戲，他們約定：先摸出1個球后放回，再摸出1個球，若這兩個球中有紅球，則小張勝，否則小王勝，問該游戲是否公平？請用列表或畫樹狀圖說明理由．【答案】（1）（2）不公平，理由見解析【解析】【分析】本題考查了概率公式和列表法與樹狀圖法；游戲公平性：判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．（1）直接利用概率公式求解；（2）畫樹狀圖展示所有16種等可能的結果，再找出兩個球中有紅球的結果數(shù)為7，再根據(jù)概率公式計算出小張勝的概率和小王勝的概率，然后比較兩概率的大小可判斷游戲是否公平．【小問1詳解】解：從中任意摸出1個球，摸出黑球的概率為故答案為：．【小問2詳解】該游戲不公平．理由如下：畫樹狀圖為：共有16種等可能的結果，其中兩個球中有紅球的結果數(shù)為7，所以小張勝的概率；，小王勝的概率為∵所以該游戲不公平．20.如圖，為圓O的直徑，C為圓上一點，E為弦的中點，過C作圓O的切線交延長線于點P，交圓O于點D．連接．（1）證明：為圓O的切線；（2）過點D作，交于H，交于F，，求圓O的半徑．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了垂徑定理、切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，靈活運用相關知識是解題的關鍵．（1）由得，由E為弦的中點，根據(jù)垂徑定理可得垂直平分，則，所以，由切線的性質(zhì)得，則，即可再證明結論；（2）由證明，則，推導出再證明得，而，所以，則，求得，則，于是得方程求解即可．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵E為弦的中點，∴，∵垂直平分，點P在的延長線上，∴，∴，∵與相切于點C，∴，∴，∵是的半徑，且，∴為的切線．【小問2詳解】解：∵E為弦的中點，∴于點E，∵于點H，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，且，∴，解得：．∴⊙O的半徑長為．21.如圖，是由邊長為的小正方形組成的的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，圓過格點，，，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示，按步驟完成下列問題．（1）在圖1中畫圓心，并過點作圓的切線；（2）在圖2中作的角平分線，與圓交于點；（3）在圖2中，作弦，使．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】本題考查了圓的對稱性，圓的切線的判定等知識，解決問題的關鍵是利用一些特殊的格線．（1）根據(jù)的圓周角所對的弦是直徑，兩條直徑的交點是圓心；根據(jù)邊長矩形和的矩形的對角線垂直畫圖；（2），根據(jù)正方形的對角線平分對角，畫出圖形；（3）根據(jù)和的角平分線的對稱性畫出圖形．【小問1詳解】解：如圖1，①連接格點，及格點，，則交點是圓心，②連接格點，則是的切線；【小問2詳解】如圖2，連接格點，，交于點，則是的平分線；【小問3詳解】①連接格點，，交于點，②連接，則．22.【問題背景】洪山區(qū)某校開展綜合與實踐活動．同學們發(fā)現(xiàn)在相同玻璃水杯內(nèi)加入不同高度的水量，用筷子敲擊玻璃水杯會發(fā)出不同音調(diào)．【實驗操作】由于頻率不同則音調(diào)不同，因此同學們用頻率儀作測量實驗，獲得如下水量高度與頻率數(shù)據(jù)對照表．水量高度頻率【建立模型】用x表示對應的水量高度，用y表示頻率，同學們運用信息技術描出數(shù)據(jù)散點圖并發(fā)現(xiàn)可用二次函數(shù)近似刻畫水量高度與頻率關系如圖．任務1當水量高度為時，計算頻率值為___________．任務2若要敲擊出高音3，玻璃水杯水量高度為多少？(結果保留整數(shù))(C調(diào)音符與頻率對照表：低音，中音，高音，其他參考數(shù)據(jù)：)【反思優(yōu)化】同學們通過觀察圖1，發(fā)現(xiàn)第十一組數(shù)據(jù)與利用二次函數(shù)計算得出的頻率值偏差較大．決定將其數(shù)據(jù)優(yōu)化為，減少偏差．通過查閱資料后知道：可將水量高度對應的頻率值進行次測量，得到個結果，再計算個結果與之差的平方和，記為；越小，偏差越小．任務3當偏差最小時，說明y與之間關系，并闡述理由．【答案】任務；任務．玻璃水杯水量高度約為；任務．當偏差最小時，【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的應用．用含的式子表示出是解決本題的關鍵．任務．取，求得相應的的值即可；任務．取，用公式法求得相應的的值即可；任務．用含的式子表示出根據(jù)的開口方向，對稱軸，求得當為多少時，偏差最小即可．【詳解】解：任務．當時，．故答案為：；任務．要敲擊出高音，，，整理得，，，舍去答：玻璃水杯水量高度約為；任務．拋物線的開口向上，對稱軸為直線當偏差最小時，23.（1）【提出問題】數(shù)學課上，老師提出問題：如圖1，在等腰中，，點E在邊上，以為邊作正方形，點F在邊上，連接，點P為線段的中點，連接．以點P為對稱中心，畫出關于點P對稱的圖形，并直接寫出與的位置及大小關系_____；（2）【類比探究】在等邊中，D、E分別是邊上一點，且，以、為鄰邊作菱形，再將菱形繞C點順時針旋轉一定角度后得到新的菱形如圖2，連接，點P為線段的中點，連接、，判斷與的位置及大小關系，并證明你的結論；（3）【遷移運用】在（2）的條件下，若，，菱形在旋轉過程中，當最小時，直接寫出的值_________．【答案】（1），；（2），；見解析；（3）【解析】【分析】（1）延長至G，使，連接，利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，可得，，得出，再證得，即可得出答案；（2）作關于點P成中心對稱的，連接、，延長交于點，則，，，進而可得，再結合等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理和全等三角形的判定和性質(zhì)即可求得答案；（3）過點A作于點H，連接，交于點L，利用三角形中位線定理可得，又點H是定點，得出點P在以H為圓心，為半徑的圓上運動，可求得的最小值，再利用三角形面積公式即可求得答案．【詳解】解：（1）如圖1，延長至G，使，連接，則與關于點P對稱，即為所求作的圖形．∵四邊形是正方形，∴，∴，∵點P為線段的中點，，∴，∴，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，故答案為：，；（2）結論：，；證明如下：如圖2，作關于點P成中心對稱的，連接、，延長交于點，則，則，，，∴，由題意可知：四邊形是菱形，，∴，，∴，∴，∴，即，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，在中