PAGE1-第1講概率eq\a\vs4\al\co1()考點1古典概型1．古典概型的概率：P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(事務A中所含的基本領件數,試驗的基本領件總數).2．古典概型的兩個特點：(1)全部可能出現的基本領件只有有限個；(2)每個基本領件出現的可能性相等．[例1](1)[2024·全國卷Ⅱ]生物試驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標．若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)(2)[2024·全國卷Ⅲ]兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)【解析】(1)本題主要考查古典概型；考查學生的邏輯推理和運算求解實力；考查的核心素養是數學運算與數據分析．記5只兔子分別為A，B，C，D，E，其中測量過某項指標的3只兔子為A，B，C，則從這5只兔子中隨機取出3只的基本領件有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10種，其中恰有2只測量過該指標的基本領件有ABD，ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共6種，所以所求事務的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)本題考查古典概型，以現實生活中常見的學生排隊問題為背景，考查學生對數學學問的應用意識．設兩位男同學分別為A、B，兩位女同學分別為a、b，則四位同學排成一列，全部可能的結果用樹狀圖表示為共24種結果，其中兩位女同學相鄰的結果有12種，∴P(兩位女同學相鄰)＝eq\f(12,24)＝eq\f(1,2)，故選D.【答案】(1)B(2)D古典概型求解的三步(1)推斷本次試驗的結果是否是等可能的，設出所求的事務為A；(2)分別計算基本領件的總個數n和所求的事務A所包含的基本領件個數m；(3)利用古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)求出事務A的概率.『對接訓練』1．[2024·廣東深圳模擬]拋兩個各面上分別標有1,2,3,4,5,6的質地勻稱的骰子，向上一面的兩個數字之和為3的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,36)D.eq\f(1,18)解析：向上的兩個數之和為3的有(1,2)，(2,1)兩種狀況，拋擲兩個骰子一共有36種狀況，故向上一面的兩個數字之和為3的概率是eq\f(1,18)，故選D.答案：D2．[2024·四川成都一診]齊王有上等、中等、下等馬各一匹；田忌也有上等、中等、下等馬各一匹．田忌的上等馬優于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．現從雙方的馬匹中隨機各選一匹進行一場競賽，若有優勢的馬肯定獲勝，則齊王的馬獲勝的概率為()A.eq\f(4,9)B.eq\f(5,9)C.eq\f(2,3)D.eq\f(7,9)解析：設齊王的上等、中等、下等馬分別為A，B，C，田忌的上等、中等、下等馬分別為a，b，c，現從雙方的馬匹中隨機各選一匹進行一場競賽，基本領件有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，共9種，∵有優勢的馬肯定獲勝，∴齊王的馬獲勝包含的基本領件有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，b)，(B，c)，(C，c)，共6種，∴齊王的馬獲勝的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3)，故選C.答案：Ceq\a\vs4\al\co1()考點2幾何概型1．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\f(構成事務A的區域長度面積或體積,試驗的全部結果所構成的區域長度面積或體積).2．幾何概型應滿足兩個條件：基本領件的無限性和每個基本領件發生的等可能性．[例2](1)[2024·長沙聯考]長郡中學夏季運動會上，鐵餅項目運動員往一矩形區域進行扔餅訓練，該矩形長為6，寬為4，鐵餅是半徑為1的圓，該運動員總能將鐵餅圓心扔在矩形區域內，則該運動員能將鐵餅完全扔進矩形區域的概率為()A.eq\f(π,24)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(π,8)(2)[2024·陜西漢中二模]某電視臺每天中午12：30到13：00播放當地新聞，在此期間將隨機播出時長5分鐘的當地文化宣揚片．若小張于某天12：50打開電視，則他能完整收看到這個宣揚片的概率是()A.eq\f(2,5)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)【解析】(1)由題意，得該運動員總能將鐵餅圓心扔在矩形區域內，即鐵餅圓心所在區域為矩形ABCD，要使該運動員能將鐵餅完全扔進矩形區域，則鐵餅圓心所在矩形為EFGH，由幾何概型的概率公式，得該運動員能將鐵餅完全扔進矩形區域的概率為P＝eq\f(4×2,6×4)＝eq\f(1,3)，故選C.(2)他能完整收看到這個宣揚片的時間是12：50到12：55，共5分鐘，12：30到12：55，共25分鐘，∴所求概率P＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).故選C.【答案】(1)C(2)C(1)當試驗的結果構成的區域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應考慮運用幾何概型求解；(2)利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區域和事務發生的區域的找尋，有時須要設出變量，在坐標系中表示所須要的區域.『對接訓練』3．[2024·江西上饒“山江湖”協作體三模]如圖，若將一個質點隨機投入正方形ABCD中，其中AB＝2，則質點落在以AB為直徑的半圓內(陰影部分)的概率是()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,8)D.eq\f(π,16)解析：依據幾何概型概率的計算公式，可知所求概率為eq\f(\f(1,2)π×12,2×2)＝eq\f(π,8)，故選C.答案：C4．[2024·山東青島調研]有一底面圓的半徑為1，高為2的圓柱，點O為圓柱下底面圓的圓心，在這個圓柱內隨機取一點A，則點A到點O的距離大于1的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,4)解析：設點A到點O的距離小于或等于1的概率為P1，則P1＝eq\f(V半球,V圓柱)＝eq\f(\f(2π,3)×13,π×12×2)＝eq\f(1,3)，故點A到點O的距離大于1的概率P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故選B.答案：B考點3概率與其他學問的交匯概率考點是近幾年高考的熱點之一，主要考查隨機事務的概率、古典概型、幾何概型等學問，近幾年高考對概率的考查由單一型向學問交匯型轉化，多與統計、函數、方程、數列、平面對量、不等式(線性規劃)等學問交匯命題．[例3][2024·四川成都摸底]2024年央視大型詩詞文化音樂節目《經典詠流傳》熱播，掀起了全民誦讀詩詞的熱潮．某高校社團調查了該校文學院300名學生每天誦讀詩詞的時間(全部學生誦讀的時間不超過兩小時)，并按時間(單位：min)分成六個組：[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，[100,120]．依據統計數據得到了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計該校文學院的學生每天誦讀詩詞的平均時間(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)；(2)若2名同學誦讀詩詞的時間分別為x，y，當x，y滿足|x－y|＞60時，這2名同學組成一個小組，已知從每天誦讀時間小于20min和大于或等于80min的全部學生中用分層抽樣的方法抽取5人，現從這5人中隨機選取2人，求選取的2人能組成一個小組的概率．【解析】(1)各組數據的頻率之和為1，即全部小矩形的面積和為1，故(a＋a＋6a＋8a＋3a＋a)×20＝1，解得a＝0.0025，所以該校文學院的學生每天誦讀詩詞的平均時間為10×0.05＋30×0.05＋50×0.3＋70×0.4＋90×0.15＋110×0.05＝64(min)．(2)由頻率分布直方圖知誦讀詩詞的時間在[0,20)，[80,100)，[100,120]內的學生人數的頻率之比為1：3：1，故抽取的5人中誦讀詩詞的時間在[0,20)，[80,100)，[100,120]內的學生人數分別為1,3,1.設在[0,20)內的1名學生為A，在[80,100)內的3名學生分別為B，C，D，在[100,120]內的1名學生為E，則抽取2人的全部基本領件有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10種．選取的2人能組成一個小組的狀況有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，共4種．故選取的2人能組成一個小組的概率為P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).解決概率與統計綜合問題的一般步驟『對接訓練』5．[2024·貴州貴陽監測]互聯網使我們的生活日益便捷，網絡外賣也起先成為人們日常生活中不行或缺的一部分．M市某調查機構針對該市市場占有率最高的兩家網絡外賣企業(以下簡稱外賣A、外賣B)的服務質量進行了調查，從運用過這兩家外賣服務的市民中隨機抽取了1000人，每人分別對這兩家外賣企業評分，滿分均為100分，并將分數分成5組，得到以下頻數分布表：分數種類[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]外賣A(人數)50150100400300外賣B(人數)100100300200300表中得分越高，說明市民對網絡外賣服務越滿足．若得分不低于60分，則表明該市民對網絡外賣服務質量評價較高．現將分數按“服務質量指標”劃分成以下四個檔次：分數[0,40)[40,60)[60,80)[80,100]服務質量指標0123用頻率表示概率，解決問題：從參加調查的市民中隨機抽取1人，試求其評分中外賣A的“服務質量指標”與外賣B的“服務質量指標”的差的肯定值等于2的概率．解析：記外賣A的“服務質量指標”為事務Ai，外賣B的“服務質量指標”為事務Bi，i∈{0,1,2,3}，則其評分中外賣A的“服務質量指標”與外賣B的“服務質量指標”的差的肯定值等于2的概率為P(A2B0＋A3B1＋A0B2＋A1B3)＝P(A2B0)＋P(A3B1)＋P(A0B2)＋P(A1B3)＝0.4×0.2＋0.3×0.3＋0.2×0.2＋0.1×0.3＝0.24.課時作業16概率1．[2024·新疆生產建設兵團二中模擬]有一枚質地勻稱的骰子，拋擲兩次，得到向上一面的兩個點數，則下列事務中，發生的概率最大的是()A．點數都是偶數B．點數的和是奇數C．點數的和小于13D．點數的和小于2解析：畫出樹狀圖如下：由圖可知共有36種狀況，其中點數都是偶數的狀況有9種，點數的和為奇數的狀況有18種，點數和小于13的狀況有36種，點數和小于2的狀況有0種，故選C.答案：C2．[2024·湖北宜昌聯考]某次下課后，某教室里還剩下2位男同學和1位女同學，若他們依次走出教室，則第2個走出的是女同學的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,5)解析：由題意知共有6個基本領件，第2個走出的是女同學包含2個基本領件，所以第2個走出的是女同學的概率是eq\f(1,3).答案：B3．[2024·山東青島調研]已知某運動員每次投籃投中的概率是40%.現采納隨機數法估計該運動員三次投籃中，恰有兩次投中的概率：先由計算器隨機產生0～9中的整數，指定1,2,3,4表示投中，5,6,7,8,9,0表示未投中；再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果．現產生了如下10組隨機數；907966191925271431932458569683.估計該運動員三次投籃恰有兩次投中的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(9,10)解析：隨機模擬產生了10組隨機數，在這10組隨機數中，表示三次投籃恰有兩次投中的有191,271,932，共3組，故所求概率為eq\f(3,10)，故選C.答案：C4．[2024·廣東佛山調研]將一根長為6mA.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,5)解析：繩子的長度為6m，剪成兩段后，設其中一段的長度為xm，則另一段的長度為(6－x)m，記“其中一段的長度大于另一段長度的2倍”為事務A，則A＝{x|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<6，,x>26－x或6－x>2x))}＝{x|0<x<2或4<x<6}，∴P(A)＝eq\f(2,3)，故選B.答案：B5．[2024·河北九校聯考]如圖，矩形的長為6，寬為4，在矩形內隨機撒300顆黃豆，落在橢圓外的黃豆數為96，以此試驗數據為依據可以估計出橢圓的面積為()A．16.32B．15.32C．8.68D．7.68解析：由題意，可估計橢圓的面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(96,300)))×6×4＝16.32.故選A.答案：A6．[2024·河南中原名校聯盟一模]市場調查發覺，大約eq\f(4,5)的人喜愛在網上購買家用小電器，其余的人則喜愛在實體店購買家用小電器．經工商局抽樣調查，發覺網上購買的家用小電器的合格率約為eq\f(17,20)，而實體店里的家用小電器的合格率約為eq\f(9,10).現工商局接到一個關于家用小電器不合格的投訴，則這臺被投訴的家用小電器是在網上購買的可能性是()A.eq\f(6,7)B.eq\f(5,6)C.eq\f(4,5)D.eq\f(2,5)解析：∵大約eq\f(4,5)的人喜愛在網上購買家用小電器，網上購買的家用小電器的合格率約為eq\f(17,20)，∴某家用小電器是在網上購買的，且被投訴的概率約為eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(17,20)))＝eq\f(3,25)，又實體店里的家用小電器的合格率約為eq\f(9,10)，∴某家用小電器是在實體店里購買的，且被投訴的概率約為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,10)))＝eq\f(1,50)，故工商局接到一個關于家用小電器不合格的投訴，則這臺被投訴的家用小電器是在網上購買的可能性P＝eq\f(\f(3,25),\f(3,25)＋\f(1,50))＝eq\f(6,7).答案：A7．[2024·湖北六校聯考]在長為10cm的線段AB上任取一點C，現作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于16cmA.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)解析：設AC＝x，則BC＝10－x，由題意知x(10－x)＜16，所以x＜2或x＞8，又0＜x＜10，所以該矩形的面積小于16cm2的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：B8．[2024·黑龍江齊齊哈爾模擬]隨著計算機的出現，圖標被給予了新的含義，有了新的用武之地．在計算機應用領域，圖標成了具有明確指代含義的計算機圖形．如圖所示的圖標是一種被稱為“黑白太陽”的圖標，該圖標共分為三部分．第一部分為外部的八個全等的矩形，每一個矩形的長為3、寬為1；其次部分為圓環部分，大圓半徑為3，小圓半徑為2；第三部分為圓環內部的白色區域．在整個“黑白太陽”圖標中隨機取一點，則此點取自圖標第三部分的概率為()A.eq\f(π,24＋9π)B.eq\f(4π,24＋9π)C.eq\f(π,18＋9π)D.eq\f(4π,18＋9π)解析：圖標第一部分的面積為8×3×1＝24，圖標其次部分的面積和第三部分的面積和為π×32＝9π，圖標第三部分的面積為π×22＝4π，故此點取自圖標第三部分的概率為eq\f(4π,24＋9π)，故選B.答案：B9．[2024·河北省級示范聯合體聯考]袋子中有四個小球，分別寫有“和”“平”“世”“界”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“和”“平”兩個字都取到才算完成．用隨機模擬的方法估計恰好取三次便完成的概率．利用電腦隨機產生0到3之間取整數值的隨機數，0,1,2,3代表的字分別為“和”“平”“世”“界”，以每三個隨機數為一組，表示取球三次的結果，隨機模擬產生了以下24組隨機數組：232321230023123021132220011203331100231130133231031320122103233221020132由此可以估計，恰好取三次便完成的概率為()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(5,24)解析：由題意可知，滿足條件的隨機數組中，前兩次抽取的數中必需包含0或1，且0與1不能同時出現，第三次必需出現前面兩個數字中沒有出現的1或0.易知符合條件的數組只有3組：021,130,031，故所求概率P＝eq\f(3,24)＝eq\f(1,8).故選A.答案：A10．[2024·云南昆明摸底]法國學者貝特朗于1899年針對幾何概型提出了貝特朗悖論，內容如下：在半徑為1的圓內隨機地取一條弦，問：其長超過該圓內接等邊三角形的邊長eq\r(3)的概率為多少？基于對“隨機地取一條弦”的不同說明，存在著不同答案．現給出其中一種說明：固定弦的一個端點A(如圖)，另一端點在圓周上隨機選取，其答案為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)解析：記圓內接等邊三角形為△ABC，弦的另一個端點為P.如圖，若弦AP的長超過AB的長，則點P落在劣弧上，所以所求概率為eq\f(1,3).故選B.答案：B11．[2024·廣東肇慶聯考]已知某條線的地鐵每10分鐘一班，每站停1分鐘，則乘客到達站臺馬上乘上車的概率是________．解析：由于地鐵每10分鐘一班，每站停1分鐘，故所求概率P＝eq\f(1－0,10－0)＝eq\f(1,10).答案：eq\f(1,10)12．[2024·貴州貴陽監測]甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，則甲不輸的概率為________．解析：設“乙獲勝”為事務A，則P(A)＝eq\f(1,3).因為甲輸便是乙獲勝，所以甲不輸的概率是1－P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)13．[2024·河北張家口模擬]已知四棱錐P－ABCD的全部頂點都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝AB＝2.現在球O的內部任取一點，則該點取自四棱錐P－ABCD內部的概率為________．解析：將四棱錐P－ABCD補形為正方體，則正方體的體對角線的長是球O的直徑，設球O的半徑為R，則2eq\r(3)＝2R，即R＝eq\r(3)，則四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3)，球O的體積為eq\f(4,3)π×(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π，則該點取自四棱錐P－ABCD的內部的概率P＝eq\f(\f(8,3),4\r(3)π)＝eq\f(2\r(3),9π).答案：eq\f(2\r(3),9π)14．[2024·百校聯盟培優訓練]在一個正五邊形的頂點中隨機選取三個不同的頂點，則正五邊形的中心位于所選三個點構成的三角形內部的概率為________．解析：如圖，設正五邊形的5個頂點分別為A，B，C，D，E任選三個，狀況有10種，為ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.其中符合正五邊形的中心位于所選三個點構成的三角形內部的狀況有ABD，ACD，ACE，BCE，BDE，共5種，故所求的概率為eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)15．[2024·廣東汕頭第一次聯考]某學校有初級老師21人，中級老師14人，高級老師7人，現采納分層抽樣的方法從這些老師中抽取6人對績效工資狀況進行調查．(1)求從初級老師、中級老師、高級老師中分別抽取的人數；(2)若從抽取的6名老師中隨機抽取2名進行進一步分析，求抽取的2名老師均為初級老師的概率．解析：(1)抽樣比為eq\f(6,21＋14＋7)＝eq\f(1,7)，則21×eq\f(1,7)＝3,14×eq\f(1,7)＝2,7×eq\f(1,7)＝1，所以從初級老師、中級老師、高級老師中分別抽取的人數為3,2,1.(2)在抽取的6名老師中，3名初級老師分別記為A1，A2，A3,2名中級老師分別記為A4，A5,1名高級老師記為A6，則抽取2名老師的全部可能結果有{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種．將“從6名老師中抽取的2名老師均為初級老師”記為事務B，則事務B發生的全部可能結果有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3種．所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).16．[2024·河南洛陽市尖子生其次次聯考]某港口有一個泊位，現統計了某月100艘輪船在該泊位停靠的時間(單位：時)，停靠時間不足半小時按半小時計，超過半小時且不足1小時按1小時計，以此類推，統計結果如下表：停靠時間/時2.533.544.555.56輪船數量/艘12121720151383(1)設該月100艘輪船在該泊位的平均停靠時間為a小時，求a的值；(2)假定某天只有甲、乙兩艘輪船須要在該泊位各停靠a小時，且在一晝夜的時間段中隨機到達，求這兩艘輪船有一艘在停靠時必需等待的概率．解析：(1)a＝eq\f(1,100)×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4.(2)設甲船到達的時間為x，乙船到達的時間為y，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤24，,0<y≤24，))若這兩艘輪船在停靠時有一艘須要等待，則|y－x|<4，符合題意的區域如圖中陰影部分(不包括x，y軸)所示．記“這兩艘輪船有一艘在停靠時必需等待”為事務A，則P(A)＝eq\f(24×24－2×\f(1,2)×20×20,24×24)＝eq\f(11,36).故這兩艘輪船有一艘在停靠時必需等待的概率為eq\f(11,36).17．[2024·黑龍江哈爾濱六中段考]如圖是某市3月1日至3月14日的空氣質量指數折線圖．空氣質量指數小于100表示空氣優良，空氣質量指數大于200表示空氣重度污染．某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天(包括到達當天)．(1)求此人到達當日空氣優良的概率；(2)求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率；(3)由圖推斷從哪天起先連續3天的空氣質量指數方差最大．(干脆寫出結論，不要求證明)解析：(1)由圖看出，1日至13日這13天內，空氣優良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日，共6天．由古典概型概率計算公式得，此人到達當日空氣優良的概率P＝eq\f(6,13).(2)此人在該市停留的兩天的空氣質量指數可能為(86,25)，(25,57)，(57,143)，(143,220)，(220,160