湖南師大附中學(xué)年度高二第二學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)時量：分鐘滿分：分一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模及除法運算化簡復(fù)數(shù)，即可得到復(fù)數(shù)對應(yīng)點得解.【詳解】，復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D2設(shè)集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】,得到集合與集合在全集中的補集，最后求出.【詳解】已知，因為指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以由可得，即.已知，.因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以由可得，即.第1頁/共23頁因為，所以.可得.故選：C.3.在等差數(shù)列中，已知，，則等于（）A.B.13C.15D.16【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式和前項和表達式即可得到方程，解出即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，解得，則.故選：A.4.甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（）A.12種B.24種C.36種D.48種【答案】B【解析】【分析】分別考慮甲站在排頭或排尾再結(jié)合捆綁法，求解即可.【詳解】若甲站在排頭，則丙和丁相鄰，則共有種方法，若甲站在排尾，則丙和丁相鄰，則共有種方法，則共有：種方法.故選：B.5.圓和圓交于、兩點，則線段的垂直平分線的方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】AB第2頁/共23頁心坐標和直線的點斜式方程即可求解.【詳解】將兩圓的方程相減，得直線AB的方程，則線段AB的垂直平分線的斜率為，由兩圓的方程知，兩圓的圓心分別為，所以線段AB的垂直平分線的方程為，即.故選：C.6.在的展開式中，的系數(shù)是（）A.690B.C.710D.【答案】D【解析】【分析】本題可先根據(jù)等比數(shù)列求和公式對原式進行化簡，再根據(jù)二項式展開式的通項公式求出的系數(shù).【詳解】觀察原式，這是首項為，公比為（項數(shù)為的等比數(shù)列的和.根據(jù)等比數(shù)列求和公式要求原式展開式中的系數(shù)，即求展開式中的系數(shù).根據(jù)二項式展開式的通項公式分別求出和展開式中的系數(shù).對于，，令，則的系數(shù)為.對于，，令，則的系數(shù)為.所以展開式中的系數(shù)為，即原式展開式中的系數(shù)為.故選：D.7.已知點O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足第3頁/共23頁，則點P的軌跡一定通過的（）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【答案】B【解析】【分析】根據(jù)是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量，可知點軌跡，據(jù)此可求解.【詳解】，,令，則是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線上的向量，即在的平分線上，，共線，故點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，故選：B8.已知對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】為恒成立問題，最后通過求函數(shù)在上的最大值來確定的取值范圍.【詳解】設(shè)，對求導(dǎo)，可得.因為時，，，所以，這表明在上單調(diào)遞增.第4頁/共23頁已知對恒成立，當時，，則有，當時，可變形為.因為在上單調(diào)遞增，且，（可得對恒成立.設(shè)，對求導(dǎo)，可得.當時，，所以，，則.這說明在上單調(diào)遞減，那么在上的最大值為.因為對恒成立，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A.二、選擇題：本大題共3個小題，每小題6分，共分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分遠為0得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)，為兩個隨機事件，以下命題正確的是（）A.若與對立，則B.若與互斥，，，則C.數(shù)據(jù)，，，，，，，，，的分位數(shù)是7.8D.若與相互獨立，，，【答案】BD【解析】ABC選項根據(jù)百分位數(shù)的定義可得；D選項根據(jù)事件相互獨立性的概念可得.【詳解】對于A選項，因為與對立，，則，所以A錯誤；對于B選項，，則，因為與互斥，第5頁/共23頁所以，所以B正確；對于C選項，這組數(shù)據(jù)一共有10個數(shù)，所以分位數(shù)為第8個數(shù)與第9個數(shù)的平均數(shù)，為，所以C錯誤；對于D選項，若與相互獨立，則與也相互獨立，因為，，所以，，所以，所以D正確.故選：BD.10.如圖，兩兩互相垂直，三棱錐是正四面體，則下列結(jié)論正確的是（）A.二面角的大小為B.C.若的中心為，則三點共線D.三棱錐的外接球過點【答案】BCD【解析】【分析】由已知可得，取的中點，可得，，所以為二面角、中由余弦定理可判斷A，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可判斷B；根據(jù)三棱錐是正三棱錐得平面，三棱錐是正三棱錐得平面可判斷C；幾何體與棱長為正方體有相同的外接球可判斷D.【詳解】對于A，由已知可得，，，而，所以，取的中點，連接、，第6頁/共23頁可得，，所以為二面角的平面角，設(shè)，則，，，在中，由余弦定理可得，故A錯誤；對于B，由A選項連接，因為，所以，因為，平面，所以平面，平面，所以，故B正確；對于C，由選項A可知三棱錐是正三棱錐，且平面，三棱錐也是正三棱錐，平面，則三點共線，故C正確；對于D，由A選項是棱長為正四面體，三棱錐是側(cè)棱長為，第7頁/共23頁底面邊長為的正三棱錐，所以幾何體與棱長為正方體有相同的外接球，故D正確.故選：BCD.加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓（圖2）.已知橢圓：，，均在的蒙日圓上，，分別與相切于，，則下列說法正確的是（）A.的蒙日圓方程是B.設(shè)，則的取值范圍為C.若點在第一象限的角平分線上，則直線的方程為D.若直線過原點，且與的一個交點為，，則【答案】BC【解析】【分析】對于A，根據(jù)橢圓的兩條特殊切線的交點求出蒙日圓的半徑，可得A錯誤；對于B，利用橢圓的定義求出的取值范圍可得BCCD第8頁/共23頁據(jù)橢圓的定義以及平面向量數(shù)量積的運算律可求出，可得D錯誤.【詳解】對于A，分別過橢圓的頂點，作橢圓的切線，則兩切線的交點在橢圓的蒙日圓上，故該蒙日圓的半徑，即橢圓的蒙日圓的方程為，故A錯誤；對于B，由橢圓的定義得，當且僅當點在的延長線上時取等號，，當且僅當點在的延長線上時取等號，所以的取值范圍為，故B正確；對于C，在方程中，令，得，故，設(shè)切點，，因為，，所以，，由兩邊對求導(dǎo)得，所以，，第9頁/共23頁又，，所以，，所以，，所以，，所以點、都在直線上，所以直線的方程為，故C正確；對于D，，則，所以，由得①，由得②，則①②得，解得，所以，故D錯誤.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解橢圓的切線方程，利用平面向量數(shù)量積求解向量的長度是第10頁/共23頁解題關(guān)鍵.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共分．12.若函數(shù)在處取得極大值，則常數(shù)a的值為_______．【答案】3【解析】【分析】由題意得出，可求得實數(shù)的值，然后將實數(shù)的值代入導(dǎo)數(shù)，就函數(shù)是否在處極大值進行檢驗，由此可得出實數(shù)的值.【詳解】，，由題意可得，整理得，解得或.當時，，令，或;令，,此時，函數(shù)在處取得極小值，不符合題意，當時，.令，得或；令，得得.此時，函數(shù)在處取得極大值，合乎題意.綜上所述，.故答案為：3.13.如圖，過拋物線焦點的直線依次交拋物線與圓于點A，B，C，D，F(xiàn)為圓心，F(xiàn)O為半徑，則的值是_______．第11頁/共23頁【答案】1【解析】【分析】設(shè)過拋物線的焦點F的直線方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，即可求解的值，得到答案.【詳解】由題意，可得拋物線的焦點坐標為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，因為，所以.故答案為：1.14.設(shè)首項是1的數(shù)列的前n項和為,若數(shù)m的最大值是_______．【答案】【解析】【分析】分為偶數(shù)與奇數(shù)，利用遞推公式及構(gòu)造法推導(dǎo)出通項公式，進而根據(jù)分組求和結(jié)合等比求和公式可得為偶數(shù)時的前項和，再確定的值即可．【詳解】，當為偶數(shù)時，，，又，故，故；當為奇數(shù)時，，，又，第12頁/共23頁故，故；當為偶數(shù)時，由于當時，，當時，，當為奇數(shù)時，，當時，，故正整數(shù)的最大值是，故答案為：11.四、解答題：本大題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，平面四邊形中，．（1）若，求；（2）若，求四邊形的面積．【答案】（1）（2）第13頁/共23頁【解析】1）連接后由余弦定理與兩角和的正弦公式求解（2）由余弦定理與面積公式求解【小問1詳解】連接，在中，，且，，所以．在中，由余弦定理得，所以．所以【小問2詳解】在中，由余弦定理得，即，解得或所以四邊形的面積為16.的直徑為，是圓上異于、的點，是圓臺上底面圓上的點，且平面平面，，，、分別是、的中點.第14頁/共23頁（1）證明：平面；（2上平面且過點上是否存在點與平面所成的角和平面與平面的夾角相等？若存在，求出點的所有可能位置；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，點與點重合.【解析】1）證明出，利用面面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2為坐標原點，為軸，為垂直于平面的直線為系，易知軸在平面內(nèi)，分析可知，設(shè)點，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】證明：因為為圓的一條直徑，且是圓上異于、的點，故，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解：存在，理由如下：如圖，以為坐標原點，為軸，為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，易知軸在平面內(nèi)，第15頁/共23頁則，，，，，，由直線平面且過點，以及平面，得，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則則，即，取，得，易知平面的法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，平面與平面的夾角為，則，，由，得，即，解得，所以當點與點重合時，直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等.17.已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；第16頁/共23頁（2）若數(shù)列滿足為數(shù)列的前項和，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】和的值，再通過的關(guān)系得出數(shù)列的通項公式；（2）采用錯位相減法求出數(shù)列的前項和，然后證明.【小問1詳解】已知，且.當時，，即，將代入可得.當時，，即，將代入可得.聯(lián)立方程組，解得，則.所以.當時，.用減去可得：因為，所以兩邊同時除以可得：.第17頁/共23頁當時，，，上式也成立.利用累加法求：，，，，將以上個式子相加可得：因為，所以，則.當時，，上式也成立.所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】已知，則得：其中是首項為，公比為的等比數(shù)列的前項和，得，第18頁/共23頁則所以.18.已知雙曲線：離心率為，點在雙曲線上．過的左焦點F作直線交的左支于A、B兩點．（1）求雙曲線的方程．（2）若，試問：是否存在直線l，使得點M在以AB為直徑的圓上？若存在求出直線l的方程；若不存在，說明理由．（3交直線于點、的斜率分別、為定值．【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析；（3）證明見解析【解析】1）根據(jù)題意列式求，進而可得雙曲線方程；（2）設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達定理判斷是否為零即可；（3）用兩點坐標表示出直線，得點坐標，表示出，結(jié)合韋達定理，證明為定值．【小問1詳解】由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，第19頁/共23頁可得，解得，所以雙曲線的方程為．【小問2詳解】雙曲線左焦點為，當直線的斜率為0時，此時直線為，與雙曲線左支只有一個交點，不符合題意，當直線的斜率不為0時，設(shè)，由，消去得，顯然，，設(shè)，則，得，于是，，即，因此與不垂直，所以不存在直線，使得點在以為直徑的圓上．【小問3詳解】由直線，得，則，又，于是，第20頁/共23頁而，即有，且，所以，即為定值．【點睛】方法點睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當?shù)牧繛樽兞浚侔岩C明為定值的量