江蘇無錫市東林中學2024-2025學年七下數學第4周階段性訓練一．選擇題（共8小題）1．）三角形三邊的長都是正整數，其中最長邊的長為10，這樣的三角形有（）A．55種 B．45種 C．40種 D．30種2．如圖，△ABC中，BD、BE分別是高和角平分線，點F在CA的延長線上，FH⊥BE，交BD于點G，交BC于點H；下列結論中正確的結論有（）①∠DBE＝∠F；②∠F＝（∠BAC﹣∠C）；③2∠BEF＝∠BAF+∠C；④∠BGH＝∠ABE+∠C．A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④3．現有長度分別是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12的木棒各一根，從中選出若干根，首尾順次連接構成一個等邊三角形．等邊三角形的邊長為a，則a的所有可能的值有（）種．A．21 B．22 C．25 D．264．如圖所示，將紙片△ABC沿著DE折疊壓平，則（）A．∠A＝∠1+∠2 B．∠A＝（∠1+∠2） C．∠A＝（∠1+∠2） D．∠A＝（∠1+∠2）5．三個內角的度數都是質數的三角形的種數（三個內角的度數對應相等的兩個三角形視為一種）是（）A．7 B．8 C．9 D．106．7條長度均為整數的線段a1，a2，…，a7滿足a1＜a2＜…＜a7，且這7條線段中的任意三條線段都不能構成三角形，若a1＝1，a7＝21，則a6＝（）A．18 B．13 C．8 D．57．如圖，∠ABD、∠ACD的角平分線交于點P，若∠A＝60°，∠D＝20°，則∠P的度數為（）A．15° B．20° C．25° D．30°8．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分線BE交AD于點F，AG平分∠DAC，給出下列結論：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．其中正確的結論是（）A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③二．填空題（共7小題）9．如圖，∠CAD和∠CBD的平分線相交于點P．設∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度數依次為a、b、c、d，用僅含其中2個字母的代數式來表示∠P的度數：．10．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周長為20cm，則AB邊的取值范圍是cm．11．已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，有以下三個結論：①以，，為邊長的三角形一定存在；②以a2，b2，c2為邊長的三角形一定存在；③以|a﹣b|+1，|b﹣c|+1，|c﹣a|+1為邊長的三角形一定存在．其中正確結論的序號為．12．將長度為25cm的細鐵絲折成邊長都是質數（單位：cm）的三角形，若這樣的三角形的三邊的長分別是a，b，c，且滿足a≤b≤c，則（a，b，c）有組解，所構成的三角形都是三角形．13．已知如圖，∠3+∠5+∠7＝200°，則∠1+∠2+∠4+∠6+∠8＝．14．已知△ABC的兩條高線的長分別為5和20，若第三條高線的長也是整數，則第三條高線長的最大值為．15．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE、BF分別是∠BAC、∠ABC的平分線，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，則∠EAD+∠ACD＝°．三．解答題（共5小題）16．周長為30，各邊長互不相等且都是整數的三角形共有多少個？17．（1）如圖①，凹四邊形ABDC形似圓規，這樣的凹四邊形稱為“規形”，易證∠BDC＝∠A+∠B+∠C．（2）如圖②，在凹四邊形ABDC中，已知∠ABD與∠ACD的平分線交于點E．求證：∠E＝.18．小明把一副三角尺按如圖所示的方式擺放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，求∠α+∠β的度數．19．平面內，四條線段AB、BC、CD、DA首尾順次相接，∠ABC＝24°，∠ADC＝42°．（1）∠BAD和∠BCD的角平分線交于點M（如圖1），求∠AMC的大小；（2）點E在BA的延長線上，∠DAE的平分線和∠BCD的平分線交于點N（如圖2），則∠ANC＝．20．給定n（n＞4）條線段，已知用其中任意的n﹣1條線段均可作成一個n﹣1邊形．求證：可用其中的某三條線段為邊作成一個三角形．參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．【解答】解：當2邊長分別為10，10時，第3邊可取1，2，3，4，5…9，10，這樣的三角形有10種；當2邊長為10，9時，第3邊可取2，3，4，5，…9，這樣的三角形有8種；當2邊長為10，8時，第3邊可取3，4，5，6，7，8，這樣的三角形有6種；當2邊長為10，7時，第3邊可取4，5，6，7，這樣的三角形有4種；當2邊長為10，6時，第3邊可取5，6，這樣的三角形有2種；這樣的三角形共有10+8+6+4+2＝30（組）．故選：D．2．【解答】解：∵BD⊥AC，FH⊥BE，∴∠FEB+∠F＝90°，∠FEB+∠DBE＝90°，∴∠DBE＝∠F，故①正確；∵∠C+∠ABC+∠BAC＝180°，∴∠C+2∠ABE+∠BAC＝180°，∴∠C+2∠DBE+2∠ABD+∠BAC＝180°，∴∠C+2∠F+180°﹣2∠BAC+∠BAC＝180°，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C），故②正確；③∵∠BAF＝∠C+∠ABC，∴∠BAF＝∠C+2∠EBC，∴∠BAF+∠C＝2∠C+2∠EBC，∵∠C+∠EBC＝∠BEF，∴∠BAF+∠C＝2∠BEF；故③正確；④∠BGH＝∠FGD＝90°﹣∠F＝∠BEF＝∠C+∠EBC＝∠C+∠ABE，故④正確；故選：D．3．【解答】解：木棒總長度為：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12＝78，∵78÷3＝26，∴最大只能組成邊長為26的等邊三角形，∵1+2+3+4+5＝15，15÷3＝5，∴最小只能組成邊長為5的等邊三角形，∴等邊三角形的邊長為a的所有可能的值有22種，故選：B．4．【解答】解：根據折疊及鄰補角的性質，得∠1＝180°﹣2∠ADE，∠2＝180°﹣2∠AED，∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠ADE+∠AED），∴∠ADE+∠AED＝[360°﹣（∠1+∠2）]＝180°﹣（∠1+∠2），∴在△ADE中，由內角和定理，得∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣180°+（∠1+∠2）＝（∠1+∠2）．故選：B．5．【解答】解：∵三個內角的和是180°，是一個偶數，∴三個內角中必要一個內角是偶數，又∵三角形三個內角的度數都是質數，既是偶數又是質數的只有2，∴這三個內角中必定有一個內角等于2°，∴共有以下7種情況：①2°，5°，173°；②2°，11°，167°；③2°，29°，149°；④2°，41°，137°；⑤2°，47°，131°；⑥2°，71°，107°；⑦2°，89°，89°．故選：A．6．【解答】解：不能構成三角形，那么前兩個數之和小于或等于第三個數字，最小的a1是1，情況如下：1，2，3，5，8，13，21，34滿足條件若a1＝1，a7＝21，則a6＝13．故選：B．7．【解答】解：延長AC交BD于點E，設∠ABP＝α，∵BP平分∠ABD，∴∠ABE＝2α，∴∠AED＝∠ABE+∠A＝2α+60°，∴∠ACD＝∠AED+∠D＝2α+80°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠ACD＝α+40°，∵∠AFP＝∠ABP+∠A＝α+60°，∠AFP＝∠P+∠ACP∴α+60°＝∠P+α+40°，∴∠P＝20°，故選：B．8．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC＝90°，∠BAD+∠ABC＝90°，∴∠BAD＝∠C，故①正確；∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，又∵∠AFE＝∠BFD（對頂角相等），∴∠AEF＝∠AFE，故②正確；∵∠ABE＝∠CBE，∴只有∠C＝30°時∠EBC＝∠C，故③錯誤；∵∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正確．綜上所述，正確的結論是①②④．故選：C．二．填空題（共7小題）9．【解答】解：∵∠BFA＝∠PAC+∠P，∠BFA＝∠PBC+∠C，∴∠PAC+∠P＝∠PBC+∠C．∵∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度數依次為a、b、c、d．∴a+∠P＝b+c①．同理：b+∠P＝a+d②．①式+②式，得.2∠P＝c+d，∴∠P＝．故答案為：．10．【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB＝AC，其周長為20cm，∴設AB＝AC＝xcm，則BC＝（20﹣2x）cm，∴，解得5cm＜x＜10cm，故答案為：5＜x＜1011．【解答】解：不妨設a≤b≤c，則必有a+b＞c，①+＞＞，此結論正確；②設a＝3，b＝4，c＝5，則a2，b2，c2構不成三角形，此結論不正確；③|a﹣b|+1+|b﹣c|+1≥|a﹣c|+2＞|c﹣a|+1，∴以|a﹣b|+1，|b﹣c|+1，|c﹣a|+1為邊長的三角形一定存在，此結論正確．故其中正確結論的是①③兩個．故答案為：①③．12．【解答】解：∵a+b+c＝25，a+b＞c，∴c＜12.5．∵a≤b≤c，a+b+c＝25，∴c≥∴≤c＜12.5．∵c為質數，∴c為11．∵a，b，c均為質數，a≤b≤c．∴a、b的值可能為2，3，5，7，11中的一個，①當c＝11，a＝2時，b＝12不符合條件；②當c＝11，a＝3時，b＝11符合條件；③當c＝11，a＝5時，b＝9不符合條件；④當c＝11，a＝7時，b＝7符合條件；所以滿足條件的三角形共有2個，邊長分別為：3，11，11或7，7，11，都是等腰三角形．故答案為：2，等腰．13．【解答】解：如圖，連接AB、BC、CD．∵（∠3+∠9+∠10）+（∠5+∠11+∠12）+（∠7+∠13+∠14）＝180°×3＝540°，∴（∠3+∠5+∠7）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）＝540°，∵∠3+∠5+∠7＝200°，∴∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14＝540°﹣200°＝340°．∵五邊形ABCDE的內角和為（5﹣2）×180°＝540°，∴540°＝∠1+∠2+∠9+∠10+∠4+∠11+∠12+∠6+∠13+∠14+∠8＝（∠1+∠2+∠4+∠6+∠8）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）＝（∠1+∠2+∠4+∠6+∠8）+340°，∴∠1+∠2+∠4+∠6+∠8＝540°﹣340°＝200°．故答案為200°14．【解答】解：設△ABC的面積為S，所求的第三條高線的長為h，則三邊長分別為，，，根據題意得+＞且+＞，解得4＜h＜，而h為整數，所以h的最大值為6．故答案為6．15．【解答】解：∵∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，∴∠C＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝20°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝×50°＝25°，∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°，∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°．故答案為：75．三．解答題（共5小題）16．【解答】解：設三角形三邊為a、b、c，且a＜b＜c．∵a+b+c＝30，a+b＞c∴10＜c＜15∵c為整數∴c為11，12，13，14∵①當c為14時，有5個三角形，分別是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7；②當c為13時，有4個三角形，分別是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8；③當c為12時，有2個三角形，分別是：12，11，7；12，10，8；④當c為11時，有1個三角形，分別是：11，10，9；∴各邊長互不相等且都是整數的三角形共有12個．17．【解答】證明：（1）延長BD交AC于點H，如圖：∵∠BDC為△CDH的一個外角，∴∠BDC＝∠DHC+∠C，又∵∠DHC為△ABH的一個外角，∴∠DHC＝∠A+∠B，∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）∵∠ABE＝∠DBE＝x，∠ACE＝∠DCE＝y，∴∠ABD＝∠ABE+∠DBE＝2x，∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝2y，由（1）可知：∠D＝∠A+∠ABD+∠ACD，∠E＝∠A+∠ABE+∠ACE，即：∠D＝∠A+2（x+y），∠E＝∠A+x+y，∴2∠E＝2∠A+2（x+y），∴2∠E﹣∠D＝∠A，∴∠E＝．18．【解答】解：如圖，∵∠α＝∠1+∠D，∠β＝∠4+∠F，∴∠α+∠β＝∠1+∠D+∠4+∠F，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，∴∠α+∠β＝∠2+∠D+∠3+∠F＝∠2+∠3+30°+90°＝90°+30°+90°＝210°．19．【解答】解：（1）法一：如圖1，設AD與BC交于點F，BC與AM交于P，AD與CM交于Q，設∠CFD＝x°，則∠AFB＝∠CFD＝x度，△CFD中∠BCD＝180°﹣∠ADC﹣∠CFD＝180°﹣42°﹣x＝138°﹣x，∵CM平分∠BCD得到：∠BCM＝∠BCD＝69°﹣x，同理：∠BAM＝∠MAD＝78°﹣x，在△ABP中利用三角形內角和定理得到：∠APB＝180°﹣24°﹣（78°﹣x）＝78°+x，則∠CPM＝∠APB＝180°﹣24°﹣（78°﹣x）＝78°+x，在△CPM中三內角的和是180°，即：（69°﹣x）+（78°+x）+∠AMC＝180°，則∠AMC＝33°；法二：由外角定理知∠AFC＝∠B+∠BAD＝24°+∠BAD，∠AFC＝∠D+∠FCD＝42°+∠FCD，∴∠BAD＝∠AFC﹣24°，∠FCD＝∠AFC﹣42°，由燕尾模型可知，∠AFC＝∠MAF+∠MCF+∠M．∴∠M＝∠AFC﹣∠MAF﹣∠MCF＝∠AFC﹣∠BAD﹣∠FCD＝∠AFC﹣（∠AFC﹣24°）﹣（∠AFC﹣42°）＝33°（2）設AD、BC交于點F，設∠AFB＝x°，設AN與BC交于點R，（見圖2）∠EAD＝∠B+∠AFB＝24