2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)的特殊三角形存在性問題》專項測試卷(附答案)

學(xué)校:班級：姓名:考號：

一、二次函數(shù)的特殊三角形存在性問題

1.如圖，已知拋物線人可=一/與直線y=-1相交于/、B.

(1)4B=；

(2)拋物線h隨其頂點沿直線y=：久向上平移，得到拋物線與，拋物線人與直線y=-1相交于C,D(點

C在點D左邊)，已知拋物線乙2頂點M的橫坐標(biāo)為m.

①當(dāng)加=6時，求拋物線幻的解析式及CD的值；

②連接當(dāng)為等邊三角形時，求點/的坐標(biāo).

2.已知拋物線與x軸交于點4(—2,0)、B(3,0),與y軸交于點C(0,4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點，請連接BC,求出ABPC的面積最大值及此時點

(3)如圖2,將拋物線向右平移得個單位，再向下平移2個單位.記平移后的拋物線為y',若拋物線y'與

原拋物線對稱軸交于點Q.點E是新拋物線y'對稱軸上一動點，在(2)的條件下，當(dāng)APQE是等腰三角

形時，求點E的坐標(biāo).

圖2

3.如圖、已知直線、=玄久+4與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線y=a/+bx+c經(jīng)過A,C兩

點，且與x軸的另一個交點為B,對稱軸為直線x=-1.

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)拋物線對稱軸上的點P,使得以點B,C,P為頂點的三角形是等腰三角形，這樣的點P稱為“圣

和點”、此題中，是否存在“圣和點”、若存在，請求出“圣和點”P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

4.如圖，拋物線y=a/+汝+。的圖象與x軸交于A(-1.0),B(3,0)兩點，與y軸交于點C(0,

-3),頂點為D.

(1)求此拋物線的解析式.

(2)求此拋物線頂點D的坐標(biāo)和對稱軸.

(3)探究對稱軸上是否存在一點P,使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求

出所有符合條件的P點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

（1）若該二次函數(shù)的圖象與久軸僅有一個公共點4求實數(shù)zn的值.

（2）在（1）的條件下,若直線y-kx-1的圖象與二次函數(shù)的圖象交于兩點3（%1，%）,。（久2,3/2），且無1<x2-

請直接寫出當(dāng)k的值為多少時，為直角三角形.

6.如圖，已知二次函數(shù)了=aN+2x+c的圖象與x軸交于/,B兩點,/點坐標(biāo)為（-1,0）,與了軸交于點

C（0,3）,點/為拋物線頂點，點E為中點.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在直線8C上方的拋物線上存在點0.使得口。。8=2口/3。，求點。的坐標(biāo)；

（3）已知。，尸為拋物線上不與8重合的相異兩點.

①若點尸與點C重合，D（%，-12）,且相>1,求證：D,E,尸三點共線；

②若直線/D,BF交于點、P,則無論D,尸在拋物線上如何運動，只要D,E,尸三點共線，口/兒0,

DMEP,口/8尸中必存在面積為定值的三角形，請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明

理由.

7.已知四個不同的點4（久1，丫1）,8（久2，丫2）（（久3，丫3），。（久4,3/4）都在關(guān)于久的函數(shù)丫=a/+bx+c（a,b,c是常

數(shù)，aH0）的圖象上.

(1)當(dāng)A,B兩點的坐標(biāo)分別為(-1,一4),(3,4)時，求代數(shù)式2024a+1012b+&的值；

(2)當(dāng)A,B兩點的坐標(biāo)滿足a?+2(y1+y2)a+4yly2=。時，請你判斷此函數(shù)圖象與久軸的公共點的

個數(shù)，并說明理由；

2

(3)當(dāng)a＞。時，該函數(shù)圖象與x軸交于E,F兩點，且A,B,C,D四點的坐標(biāo)滿足：2a+2優(yōu)+y2)a+

222a

71+y2=0,2a-2(y3+y4)+為之+=0.請問是否存在實數(shù)＞1),使得ZB,CD,m-EF這三條

線段組成一個三角形，且該三角形的三個內(nèi)角的大小之比為1：2：3?若存在，求出m的值和此時函數(shù)的

最小值；若不存在，請說明理由(注：血?EF表示一條長度等于EF的加倍的線段).

(1)求拋物線Ci的表達(dá)式;

(2)將拋物線Ci向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線。2,求拋物線C2的表達(dá)式，并判

斷點。是否在拋物線C2上；

(3)在調(diào)由上方的拋物線上，是否存在點P，使APB。是等腰直角三角形.若存在，請求出點P的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

9.如圖，拋物線y=—/+bx+c與久軸交于點2(—3,0)和點B,與y軸交于點C(0,3),點。在拋物線上.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點。在第二象限內(nèi)，且△4CD的面積為3時，求點。的坐標(biāo);

(3)在直線BC上是否存在點P,使AOPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點尸的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

10.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c交x軸于點A(1,0)和點B(3,0),交y軸于點C,拋物線上一點D

的坐標(biāo)為(4,3)

(1)求該二次函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)解析式；

(2)如圖1,點P是直線BC下方拋物線上的一個動點，PE//X軸，PF//y軸，求線段EF的最大值；

(3)如圖2,點M是線段CD上的一個動點，過點M作x軸的垂線，交拋物線于點N,當(dāng)DCBN是

直角三角形時，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標(biāo).

參考答案

1.【答案】(1)2

(2)解：①對于了=基，

當(dāng)X=6時，y=劣x6=3,

拋物線力2的頂點坐標(biāo)為(6,3),

拋物線人的解析式為y=-(久—6)2+3,

當(dāng)、=一1時，-1=一(K一6)2+3,

解得：久=8或4,

."(4,-1),B(8,-1)

ACD=4；

故答案為：、=一(無-6)2+3；4

②解：：點M在直線y=上，

.1

，拋物線乙2的解析式為y=—(x—m)2+*Tn,

當(dāng)y=一1時，一1=—(%—m)2+《m.

解得：%=也娶+巾或無=—駕王1+m,

?J2m+4,V2m+4,

??C(——-----Fin,-1)'D(-------------Fzn,-1),

**?CD—+4,

則ME=/m+l,CE=，2：+4,

/z

：.Z.MCE=60°,

ME%7l+lL

tanzAfCE=—/=V3,

CEJ27n+4

2

解得：TH=4或-2(不合題意，舍去)，

???點M的坐標(biāo)為(4,2)

2.【答案】(1)解：???拋物線與％軸交于點4(一2,0)、5(3,0),

?,?設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+2)(%-3)(。W0),

把C(0,4)代入y=a(x+2)(、—3)(aW0)中，得

4=—6a,

2

??.a=一可

???拋物線的解析式為：y=-|(%+2)(%-3),

即y=-^x2+^%+4；

⑵解：設(shè)P點的坐標(biāo)為9―|/+|t+4),過點P作PN1無軸于點N,與交于點M,如圖1,

圖1

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(kHO),則

(3k+b=0

tb=49

解得卜=_g,

Ib=4

.??直線BC的解析式為：y=—g%+4,

4

M(t,—可￡+4)9

2

?*.PM——W*2+2t,

,SABPC=S>PMC+S>PMB=2PM-ON+^PM-BN=2PM-OB,

2

-，-S^BPC—‘J’產(chǎn)+2t)x3=—t2+3t=—(t—

Va=-1<0,

???當(dāng)Z時,S^pc的最大值為，

???此時尸點的坐標(biāo)為(|3)；

(3)解：??,拋物線y=_J/+、=+4=_,)2+”,

將拋物線向右平移得個單位，再向下平移2個單位.記平移后的拋物線為y',

???y'的解析式為y'=+^-2=-j(x-I)2+^-

???拋物線y'的對稱軸為直線X=1,

拋物線y=—|x2+|x+4=—|(x—扔+?

;拋物線y=—|%2+1%+4的對稱軸為直線x=i,

J332

把％=1代入y'=—+g%+2中，得y'=2,

Q點的坐標(biāo)為g,2),

設(shè)E的坐標(biāo)為(Ln)；

①當(dāng)PE=QE時，則PE2=QE2,

427212、

即6-1)+6一2=(1-1)+5—2)2，

解得，n=￥，

???也號).

②當(dāng)PQ=QE時，貝UPQ2=QE2,

242

即6+)+&-2)=(1-1)+5-2)2,

解得，n=2+V3>

???E點的坐標(biāo)為(1,2+遮)或(1,2-V3)；

③當(dāng)PQ=PE時，則PQ2=PE2,

Q-12r-j2Q212

即6小)+g-2)=(|-1)+(—)，

解得，n=^+V3>

???點E的坐標(biāo)為(1；+遮)或(1；-V3).

綜上，當(dāng)小PQE是等腰三角形時，點E的坐標(biāo)為(1,孕)或(1,2+遍)或(1,2—8)或(1[+B)或(1[一V3).

3.【答案】(1)解：?.?一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=gx+4,

4

解

諄

y=O此O--X+X-

34,-3當(dāng)％=0時，y=4,

???/(-3,0),C(0,4),

?.?二次函數(shù)稱軸為直線久=一1,

.".5(1,0),

設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：y=a(x+3)0-1),

把C(0,4)代入得：4=a(0+3)(0-l),解得：a=-全

，二次函數(shù)表達(dá)式為：y=-1(%+3)(久一1),

整理得：y=——肛+4.

(2)解：存在，理由如下

VB(1,O),C(0,4),

-'-BC=BP=Vl2+42=V17>

令對稱軸與x軸交于點Q,

:對稱軸為直線％=-1,

：.BQ=1-(-1)=2,

-'-PQ=V17-22=V13，

,

..P2(-I,VT3),P3(-I)-VT3)；

③當(dāng)BP=CP時，過點C作CM垂直于對稱軸，垂足為點M,

:對稱軸為直線久=-1,

.?.點P橫坐標(biāo)為—1,CM=1,BQ=2,

設(shè)點P(-l,a),

PM=4—a,PQ=a,

：.CP2=CM2+PM2=1+(4-a)2,BP2=BQ2+PQ2=4+a2,

■:BP=CP,

?*-1+(4—a)2=4+a2,解得：a=導(dǎo)，

o

“4(-得)?

綜上存在“圣和點”，點P坐標(biāo)為：(一1,0)或(-1,履)或(—1,—履)或(-1,豹

4.【答案】解：(1)因為拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(-1.0),B(3,0)兩點，與y軸

a—b+c=0(a=1

交于點C(0,-3),所以9a+3b+c=0,解得：b=—2,

、c=—31c=—3

即此拋物線的解析式是y=X2-2X-3；

(2)因為一次函數(shù)可化為y=x2-2x-3=(%-I)2-4,

所以此拋物線頂點D的坐標(biāo)是(1,-4),對稱軸是直線x=l；

(3)存在一點P,使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形，

設(shè)點P的坐標(biāo)為(1,y),分三種情況討論：

①當(dāng)PA=PD時J(_i_+(0_y)2=J(l_+(-4―y)?，

解得，y=—|,即點P的坐標(biāo)為(1,—|)；

②當(dāng)DA=DP時,-I)2+[0-(-4)]2=J(1-l)2+(-4-y)2-

解得，y=—4±2A/5，即點P的坐標(biāo)為(1,—4—2A/5)或(1，—4+2V5);

③當(dāng)AD=AP時,-I)2+[0-(-4)]2=J(-1-l)2+(0-y)2?

解得，y=±4,即點P的坐標(biāo)是(1,4)或(1,-4),

當(dāng)點P為(1,-4)時與點D重合，故不符合題意.

由上可得，以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形時，點P的坐標(biāo)為(1,-|)或(1,-4-2V5)

或(1,—4+2遙)或(1,4).

5.【答案】(1)解：二?二次函數(shù)的圖象與久軸僅有一個公共點4

.,.□=22-4-m'(-l)=0,

/.m=-l.

(2)解：由(1)知:y=-x2+2x-l=-(x-l)2,

AA(1,0),

：直線y=k%-1的圖象與二次函數(shù)的圖象交于兩點BQi，%),。(久2，、2)，且y=上久一1過定點(0,-1)，

久

1<%2>

AB(0,-1),

/.yAB=x-l,

???□ABC為直角三角形，

□BAC=90°^,nABC=90°,

當(dāng)□ABC=90°時，即直線AB□直線y=kx-1,則KAB-K=-1,

k=-l,

當(dāng)□BAC=90。時，即直線AB□直線AC,

/.yAc=-x+l,

聯(lián)立院「答「解得｛『i或｛譯,

AC(2,-1)

AyBc=-1,

k=0,

綜上可知：當(dāng)k=0或k=-l時，△4BC為直角三角形.

6.【答案】(1)解：將A(-1,0),C(0,3)代入y=ax2+2x+c,

彳日(ci—2+c=0,

Ic=3'

解得：

Ic=3

???拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

(2)解：對于y=-x2+2x+3,令y=0,

-x2+2x+3=0,

解得：Xl=-1,X2=3,

AB(3,0),

???OB=OC=3,

ADOBC是等腰直角三角形，

???□ABC=45。，

VDQCB=2DABC,

???□QCB=90。，

如圖所示，過點C作CQDBC交拋物線于點Q,過點Q作QGDy軸于點G,

VCG=QG,

設(shè)Q(q,-q2+2q+3),則G(0,-q2+2q+3),

；.CG=-q2+2q,GQ=q,

/--q2+2q=q,

解得：q=0(舍去)或q=l,

；.Q(1,4)；

(3)解：①證明：點F與點C重合，則F(0,3),

?.?點E為AB中點，A(-1,0),B(3,0),

：.E(1,0),

設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b(原0),代入E(1,0),F(0,3),

(k+b=0

"Ib=3，

解得:仁3

???y——3x+3,

2

聯(lián)w"+4fy=y—=%-3+x2+%3+3'

解得:=

AD(5,-12),在直線EF上，即D,E,F三點共線；

②解：DABP的面積為16是定值.

7.【答案】⑴解:將4(—1,—4),B(3,4)代入y=a/+bx+c得

a—b+c=—4,①

9。+3b+c=4,②

②-①得8a+4b=8,即2a+b=2.

所以2024a+1012b=1012(2a+Z))+1=2024宗

(2)解：此函數(shù)圖象與久軸的公共點個數(shù)為兩個.

由+2(y1+y2)a+4yly2=。，得(a+2yi)(cz+2y2)=0.

可得當(dāng)=一3或為=一￡

當(dāng)a>0時，-±<0,此拋物線開口向上，而A,B兩點之中至少有一個點在％軸的下方，此時該函數(shù)圖象

與為軸有兩個公共點；

當(dāng)a<0時，-多>0,此拋物線開口向下，而A,B兩點之中至少有一個點在無軸的上方，此時該函數(shù)圖象

與x軸也有兩個公共點.

綜上所述，此函數(shù)圖象與久軸必有兩個公共點.

(3)解：因為a>0,所以該函數(shù)圖象開口向上.

由2a2+2(y1+y2)a+yj+y?2=0,得(a+y1))+(a+當(dāng)心=可得當(dāng)=當(dāng)=~a'

22

由2a2—2(y3+yQa+乃2+—0,得(a-y3)+(a—y4)=0,可得當(dāng)==a.

所以直線AB,CD均與％軸平行.

2

由(2)可知該函數(shù)圖象與久軸必有兩個公共點，設(shè)E05,0),F(X6,0)?由圖象可知一a>4段"，即M_dac>

4a

4a2.

所以a/+bx+c=—a的兩根為久1，久2,可得AB<|X1-x2\=4a(c+a)

I可

同理a/+^%+c=a的兩根為X3,久4,可得CD=|%3-￡J=；：(。一。).

同理a/+bx+c=°的兩根為久5,久6，可得加.EF=m?|久5—久61=小??

156,|a|

由于?n>1,結(jié)合圖象與計算可得4B<EF<m-EF,AB<CD.

若存在實數(shù)>1),使得AB,CD,這三條線段組成一個三角形，且該三角形的三個內(nèi)角的大小之

比為1：2：3,則此三角形必定為兩銳角分別為30°,60°的直角三角形，所以線段AB不可能是該直角三角

形的斜邊.

①當(dāng)以線段CD為斜邊，且兩銳角分別為30°,60°時，因為所以必須同時滿足：AB2+(m-

EF)2=CD2,m-EF=WAB.

將上述各式代入化簡可得血2=普上〈譬=2,且/=3(叱4al吟,聯(lián)立解之得廬一4四二

b—4ac4ab—4ac

竽即2==|<2,解得巾=等>1符合要求.

3b'—4ac55

2

所以加=%，此時該函數(shù)的最小值為4ac—一牛—5a.

54a一^^一一百

②當(dāng)以線段m?EF為斜邊時，必有力5+CD2=(m?EF}2,同理代入化簡可得2(廿—4ac)=m2(b2-

4ac),解得m=V2.

因為以線段或后尸為斜邊，且有一個內(nèi)角為60°,而CD>AB,所以CD=AB?tan60°,即Jb2-4a(c-a)

>]3-Jb2-4a(c+a),化簡得反—4ac=8cz2>4a2符合要求.

所以加=魚，此時該函數(shù)的最小值為4。。-『=二=_2a-

4a4a

綜上所述，存在兩個m的值符合題意；

當(dāng)血=等時，此時該函數(shù)的最小值為-苧；

當(dāng)租=魚時，此時該函數(shù)的最小值為-2a.

8.【答案】⑴解：：拋物線Ci：y=a久2+如—4的圖象經(jīng)過點。(1,一1)

a+|-4=-l

解得a=|

4

二拋物線的表達(dá)式為久+-X-4

Ciy=|23

(2)解：點D在拋物線上；

5452264

24

y--X+-X---+---

333rx515

將拋物線C1向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線C2，

拋物線。2的表達(dá)式為y=|2-1|

；.x=l,y=^(1)_*=/

.?.點D(1,-1)在拋物線C2上.

(3)解：存在點P,使△PBD是等腰直角三角形

①當(dāng)必通口=90。，PiB=BD,如圖所示，過點B作直線「y軸，過點P1作PiEDl于E,過點D作DFD1

于F,則□EPiB+EIEBPi=90°

□PiEB=DBFD=90°,□EBPi+DFDB=90°,

□EPiB=DFDB

；.AEPiB三AFBD(AAS)

EPi=FB=l,EB=FD=3

.?.點Pi的橫坐標(biāo)為一1,點Pi的縱坐標(biāo)為3,

...把-1代入拋物線的表達(dá)式y(tǒng)=|夕―|)2—超得y=3=EB,則Pl在拋物線C2上

.?.點P1存在，坐標(biāo)為(-1,3).

②當(dāng)□P2DB=90。，P2D=BD,如圖所示，過點D作直線Ex軸，過點P?作PiFDl于F,過點B作BED1

于E,

同理可證^FP2D=l^EDB(AAS)

：.FD=EB=1,P2F=DE=3

.?.點PI的橫坐標(biāo)為2點P2的縱坐標(biāo)為P2F-BE=3-1=2

.?.把2代入拋物線C2的表達(dá)式y(tǒng)=|夕-|)2—也得y=2,則P2在拋物線C2上

...點P2存在，坐標(biāo)為(2,2).

③當(dāng)口：6「3口=90。，P3D=P3B,如圖所示，過點P3作直線Ex軸，過點B作BEE于E,過點D作DFE

于F,

同理可證AERBmAFDP3(AAS)

：

.BE=P3F=1,EP3=FD

設(shè)點P3(m,n)

/.m+2=n+1,l-m=l

解得：m=0,n=l

/.P3(0,1)

則m=0時，y=|《0一|)2一羚1

則P3不存在

綜上，在久軸上方的拋物線的上，存在點P，使△PBC是等腰直角三角形，點P的坐標(biāo)為Pi(-1,3)或

P2(2,2).

9.【答案】(1)解：把2(-3,0),C(0,3)代入y=—久2+次+c得:

[—9—3b+c=0

Ic=3

解得F=-2.

???拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；

(2)解:過。作OK||y軸交AC于K,如圖：

由4(一3,0),C(0,3)得直線4c解析式為y=x+3,

設(shè)O(t,-/—2t+3),則K(t,t+3),

DK——t2—2t+3—(t+3)=—產(chǎn)—33

???△ACD的面積為3,

11

*'?2DK,—%cI=3，即2(—產(chǎn)—3t)X3=3,

解得t=-1或七二—2,

???。的坐標(biāo)為(一1,4)或(-2,3)；

(3)解：P的坐標(biāo)為(0,3)或產(chǎn)和邱,-7+浮、或(25：產(chǎn),-7-2巧或(、1|).

10.【答案】(1)解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-b)(x-c),

：y=ax?+bx+與