專題2-12拋物線解答題十一大題型匯總

。常考題型目錄

題型1弦長問題......................................................................1

題型2中點弦問題...................................................................2

題型3直線方程問題.................................................................4

題型4面積問題......................................................................5

題型5取值范圍問題.................................................................7

題型6最值問題.....................................................................10

題型7定點問題.....................................................................12

題型8定值問題.....................................................................13

題型9定直線問題..................................................................15

題型10向量問題...................................................................18

題型11探索性問題.................................................................19

但題型分類

題型1弦長問題

【方法總結】

弦長計算方法：

(1)由已知條件，應用點斜式寫出過焦點的直線方程，聯(lián)立拋物線方程得/+%2,根據(jù)

拋物線的定義有+久2+P,求弦長；

(2)聯(lián)立直線與拋物線方程，結合弦長公式求弦長.

【例題1](21-22上?攀枝花?階段練習)已知拋物線。:外=2P久的焦點為F,為拋物

線C上的點，且|MF|=|.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線y=x-搟與拋物線C相交于A,B兩點,求弦長|AB|.

【變式1-1]1.(22-23上?南岸?期末)已知點取1,0),直線Z：x=-2,平面內存在點P,

使得點P到點M的距離比到直線/的距離小1.

(1)求點P的軌跡方程C.

(2)已知直線%：y=|%+l,求％被曲線C截得的弦長.

【變式1-1]2.(21-22上?北京?期末)已知拋物線y2=2PM>0)的準線方程是x=-|,

直線x-y-2=0與拋物線相交于M、N兩點.

(1)求拋物線的方程；

(2)求弦長|MN|；

⑶設O為坐標原點，證明：。M1ON.

【變式1-1]3.(20-21上福州?期中)已知直線/經(jīng)過拋物線必=6x的焦點尸,且與拋物線

相交于4、B兩點.

(1)若直線/的傾斜角為60。,求|明的值；

(2)若以線段AB為直徑的圓截y軸所得到的弦長為6,求此圓的半徑.

【變式1-U4.(20-21上?沙坪壩?期中)已知點M(-3,0),點P在y軸上，點Q在x軸的

正半軸上，點N在直線PQ上,且滿足加-PN=0,PN=^PQ.

(1)當P點在y軸上移動時，求動點N的軌跡C的方程；

(2)過點7(2,0)作一直線交曲線C于A,B兩點，O為坐標原點，若△4。7的面積是4BOT

面積的2倍，求弦長|48|.

【變式1-1]5.(20.21上?全國?期末)在平面直角坐標系xOy中，已知點F(0,3),E(2,-3),

動點C滿足關系式|后-EC\=3\CF\.

(1)求動點C的軌跡M的方程；

(2)過點F作一直線48交M于4,8兩點，若△B。尸的面積是△AOF的面積的2倍，求弦長|48|.

題型2中點弦問題

【方法總結】

(1)求二次曲線的標準方程的方法有：待定系數(shù)法、定義法、直接法、代入法、參數(shù)方程

法；

(2)"設而不求’是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問

題.

(3)針對中點弦這一特殊問題的專用方法一點差法.

【例題2](23-24上?漢中?模擬預測)已知拋物線C:*=2Px(p>0)的焦點為尸,點4(6,y0)

在拋物線C上,S.\AF\=10.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知直線/交拋物線C于M,N兩點，且點(4,2)為線段MN的中點，求直線/的方程.

2

【變式2-1]1.(22-23上?貴港?期末)已知F是拋物線C:%=2py(p>0)的焦點,M(4,y0)

是拋物線C上一點，且眼眉=4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線1與拋物線C交于力,B兩點，且線段的中點坐標為(8,12),求直線/的斜率.

【變式2-1]2.(23-24上?全國?課時練習)已知拋物線C：y2=2x的焦點為F,平行于x軸

的兩條直線。"分別交C于A,B兩點，交C的準線I于P,Q兩點

(1)若F在線段48上,R是PQ的中點，4R與FQ平行嗎？

(2)若APQF的面積是42B尸的2倍，求4B中點的軌跡方程.

【變式2-1]3.(22.23下?呼倫貝爾?階段練習)已知拋物線a/=—2py(p>0)的焦點為

F,2(>0，-9)是拋物線C上的點，S.\AF\=15.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知直線/交拋物線C于M,N兩點,且MN的中點為(6,-4),求直線I的方程.

【變式2-1J4.(22-23下?安康?期末)已知拋物線C：y2=2PMp>0)上一點m>

0)與焦點的距離為2.

⑴求p和m;

⑵若在拋物線C上存在點A,B,使得1MB,設AB的中點為D,且D到拋物線C的準

線的距離為藍,求點D的坐標.

題型3直線方程問題

【方法總結】

有關直線與拋物線的問題，解題方法如下：

(1)根據(jù)題意，列出等量關系式求得P的值，得到拋物線的方程，利用點在拋物線上點的

坐標滿足拋物線方程，求得加的值；

(2)根據(jù)題意，設出點的坐標，根據(jù)重心坐標公式，列出等量關系式，根據(jù)點在拋物線上，

點的坐標滿足拋物線方程，聯(lián)立求得點的坐標，進而求得直線方程.

【例題3](22-23上眉山?期中)如圖，點4(2,8)<。2必)在拋物線旬=2Px上,

且拋物線的焦點F是△2BC的重心，M為BC的中點.

(1)求拋物線的方程和點用勺坐標；

⑵求點M的坐標及8C所在的直線方程.

【變式3-1]1.(20-21上紹興?期末)已知三角形4BC內接于拋物線C4=2PMp>0),

拋物線的焦點為F,三角形頂點4(2,m)(爪>0)到拋物線C準線的距離為10.

(1)求犯p的值.

(2)若△ABC的重心恰是拋物線的焦點F,求BC所在的直線方程.

【變式3-1]2.(20-21上沈陽?期末)已知點M到點F(|,0)的距離與它到直線=-|的

距離相等

(1)求點M的軌跡方程；

(2)求過點C(0,-2)與點M的軌跡只有一個公共點的直線方程.

【變式3-1]3.(18-19下?衡陽?階段練習)已知拋物線E：/=2py(p>0)上一點P的縱坐

標為4,且點P到焦點尸的距離為5.

(1)求拋物線E的方程

(2)已知兩直線I1,％分別經(jīng)過點尸和膽。,-1)"i與拋物線E交于4B兩點，"與拋物線E在

第一象限相切于點M,且△A8M的面積為,求的直線方程

【變式3-1]4.(18-19下河南?期中)已知拋物線C：y2=2Px(p>0)的焦點為F,過產(chǎn)的

直線/與拋物線C交于4,B兩點，弦4B的中點的橫坐標為|,\AB\=5.

(I)求拋物線C的方程；

(n)若直線1的傾斜角為銳角，求與直線/平行且與拋物線C相切的直線方程.

2

【變式3-1J5.(20-21上清遠期末)已知拋物線外=2Px(p>0)的焦點與雙曲線三-y2=

1的一個焦點重合.

(1)求拋物線方程；

(2)若直線1:y-履-2=。與拋物線只有一個交點，求直線1方程.

題型4面積問題

【方法總結】

有關圓錐曲線弦長、面積問題的求解方法

(1)涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數(shù)的關系、設而不求計算弦長；涉及垂直關

系時也往往利用根與系數(shù)的關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮

用圓錐曲線的定義求解；

(2)面積問題常采用工=4底x高，其中底往往是弦長,而高用點到直線距離求解即可,

選擇底很重要，選擇容易坐標化的弦長為底.有時根據(jù)所研究三角形的位置，靈活選擇其

面積表達形式，若求多邊形的面積問題，常轉化為三角形的面積后進行求解；

(3)在求解有關直線與圓錐曲線的問題時，應注意數(shù)形結合、分類與整合、轉化與化歸及

函數(shù)與方程思想的應用.

【例題4](22-23下例江?期中)已知F是拋物線C:y2=2Px(p>0)的焦點,P(l,t)(t>0)

是拋物線上一點，且|PF|=2.

(1)求拋物線C的方程；

(2)斜率為1的且過焦點的直線/與拋物線C交于A,B兩點，求WAB的面積.

【變式重慶模擬預測)如圖,已知拋物線為其

4-1]1.(2223??C:*=2px(p>0),F

焦點，點2(2,y°)在C上,AOAF的面積為4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點PQn,O)(m>0)作斜率為-1的直線人交拋物線C于點M,N,直線MF交拋物線C

于點Q,以Q為切點作拋物線C的切線"，旦夕/4，求AMNQ的面積.

【變式4-1】2.(23-24上?南京?階段練習股拋物線C：*=2PMp>0)的焦點為F,M&C,

Q在準線上，Q的縱坐標為百p,尸到點Q距離為4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過產(chǎn)且斜率為2的直線/與C交于4B兩點，求A4BQ的面積.

【變式4-1】3.(22-23上?省直轄縣級單位?階段練習)已知點M(2,-2夜)在拋物線C4=

2PMp>0)上，傾斜角為45。的直線I經(jīng)過拋物線C的焦點F.

(1)求拋物線C的標準方程；

⑵求線段AB的長及△48。的面積

【變式4-1】4.(22-23下?靜安期中)已知斜率為k的直線/經(jīng)過拋物線=4比的焦點F,

且與拋物線。交于不同的兩點401，%),8(>2，丫2)，記點M的坐標為(5,0).

(1)若點4和B到拋物線準線的距離分別為|和3,求|AB|；

(2)若斜率k=1,求44MB的面積；

(3)若ATIMB是等腰三角形目|M4|=\MB\,求實數(shù)k.

題型5取值范圍問題

【方法總結】

圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：

(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的

等量關系；

(3)利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(4)利用已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的

取值范圍.

【例題5](21-22下?嘉興?模擬預測)已知拋物線f=2px(p>0)的焦點為F,點M是拋

物線的準線x=-2上的動點.

(1)求p的值和拋物線的焦點坐標；

(2)設直線I與拋物線相交于A、B兩點，目MF1AB.AF1MB,求直線I在X軸上截距b

的取值范圍.

【變式5-1]1.(21-22下?大連?二模)已知拋物線E"=2Px(p>0)的焦點為F,點P在

拋物線上，O為坐標原點，且|OP|=|PF|=j.

⑴拋物線E的標準方程；

(2)如圖所示，過點和點N(2t,0)(2<t<6)分別作兩條斜率為k的平行弦分別和拋物

線E相交于點A,B和點C,D,得到一個梯形ABCD.記梯形兩腰AD和BC的斜率分別為r

和B,目?k[+七一匕%=0.

(i)試求實數(shù)k的值；

(ii)若存在實數(shù)4,使得s卷中=ASAOAB,試求實數(shù)4的取值范圍.

【變式5-1]2.(21.22下?江西?二模)設拋物線C：y2=2Px(p>0)的焦點為F,點

M(2,m)(m>0)在拋物線C上,且滿足|MF|=3.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)過點G(0,a)(a>0)的兩直線兒"的傾斜角互補，直線。與拋物線C交于A,B兩點，直

線12與拋物線C交于P.Q兩點，△FAB^AFPQ的面積相等，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式5-1]3.(21-22下紹興?模擬預測)已知橢圓G吟+5=l(a>b>0)的短軸長為

2,離心率為弓，拋物線C2：V=2Px(p>0)的焦點為橢圓C1的右焦點.

(1)求橢圓G及拋物線金的方程；

(2)如圖，過M(-0)(m>1)作直線I交拋物線。2于P,Q兩點(P在Q的左側)，點Q關

于x軸的對稱點為g,求證直線PQi過定點N;并求當I的傾斜角為30。時，點M到直線PQi

距離d的取值范圍.

22

【變式5-1]4.(21-22下?棗莊?三模)已知雙曲線。橐―a=l(a>0,b>0)的實軸長為

2.點(夕1)是拋物線E：/=2py的準線與C的一個交點.

(1)求雙曲線C和拋物線E的方程；

(2)過雙曲線C上一點P作拋物線E的切線，切點分別為A,B.求4P力B面積的取值范圍.

【變式5-1]5.(21-22下岳陽一模)已知拋物線C4=2Px(p>0)上一點PQ0,2),拋

物線C的焦點尸在以。P為直徑的圓上(。為坐標原點).

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點P引圓M:(光-3)2+y2=r2(1<r<遮)的兩條切線PA、PB,切線PH、PB與拋物

線C的另一交點分別為人B,線段中點的橫坐標記為t,求實數(shù)珀勺取值范圍.

題型6最值問題

【方法總結】

求解直線與拋物線綜合應用中的三角形面積最值(取值范圍)問題的基本思路如下：

①假設直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關于X或y的一元二次方程的形式；

②利用△>0求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；

③表示出所求三角形的面積，代入韋達定理的結論；

④將所求三角形面積轉化為關于某一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)的單調性或基本不等式

求解出最值(范圍).

【例題6](22-23下?新疆?模擬預測)已知拋物線C:y2=2Px(p>0)，圓E:(%-4)2+y2=

12與拋物線C有且只有兩個公共點.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設。為坐標原點，過圓心E的直線與圓E交于點48,直線O4OB分別交拋物線C于點P,Q

(點P,Q不與點。重合)記小。48的面積為Si,AOPQ的面積為S2,求f1的最大值.

【變式6-1]1.(22-23下?武漢一模)過坐標原點。作圓C：(x+27+*=3的兩條切線,

設切點為P,Q,直線PQ恰為拋物E：y2=2px,(p>0)的準線.

⑴求拋物線E的標準方程；

⑵設點T是圓C上的動點，拋物線E上四點48,M,N滿足：刀=2TM,TB=2TN,設4B中點

為D.

(i)求直線TO的斜率；

(ii)?ATAB面積為S,求S的最大值.

【變式6-1]2.(22-23下?蚌埠?二模)已知拋物線C：y2=2px,點力(1,2)在C上，A關于

動點7(t,0)(t<3)的對稱點記為M,過M的直線I與C交于P(xi，為)，Q(X2,光)，M為P,

Q的中點.

(1)當直線I過坐標原點。時，求△4PQ外接圓的標準方程；

(2)求4APQ面積的最大值.

【變式6-1]3.(22-23上?烏魯木齊?期末)已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在V軸

上,且拋物線上有一點M(m,2)到焦點的距離為3.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知直線I交拋物線C于A,B兩點，且線段AB中點的縱坐標為2，則MB|的最大值為

多少？

【變式6-1]4.(22.23下?安慶?二模)已知點F是拋物線C:*=2Px(p>0)的焦點,準線仇

與久軸的交點為K,點P是拋物線C上任一動點.當點P的橫坐標為8時，△PFK的面積為4魚.

⑴求拋物線C的方程；

(2)設48是拋物線C的準線上的兩個不同點，點P的橫坐標大于1,坐標原點。到APAB的邊

P4PB的距離都等于1,求4PAB的周長的最小值

【變式6-1]5.(23-24上?湖北?階段練習)設拋物線Ey=2PMp>0)的焦點為F,E上點

2(%0,2)：兩足|力F|—2.

(1)求拋物線E的方程；

(2)已知正方形48CD有三個頂點在拋物線E上,求該正方形面積的最小值.

題型7定點問題

【方法總結】

求解直線過定點問題常用方法如下：

(1)"特殊探路，一般證明"：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的

一般性證明；

(2)”一般推理，特殊求解"：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線

系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的

解為坐標的點即為所求點；

(3)求證直線過定點(久。,小),常利用直線的點斜式方程y-y0=k(x-久°)或截距式y(tǒng)=

kx+b來證明.

【例題7](2223?九江一模)已知過點P(2,0)的直線[與拋物線E:y2=2px(p>0)交于48

兩點，過線段AB的中點M作直線MN1y軸，垂足為N,且PM1PN.

(1)求拋物線E的方程；

(2)若C為E上異于點48的任意一點，目直線2&BC與直線x=-2交于點，證明：以DR為

直徑的圓過定點.

【變式7-1]1.(22.23上?齊齊哈爾?期末)已知F是拋物線C:y2=2PMp>0)的焦點,

M(3,。是拋物線上一點，且|MF|=4.

(1)求拋物線C的方程；

⑵直線I與拋物線C交于A,B兩點，若瓦？-0B=-4(0為坐標原點)，則直線I否會過

某個定點？若是，求出該定點坐標.

【變式7-1]2.(2223?西安?三模)在平面直角坐標系xOy中，已知動圓C與圓。1：%2-2%+

y2=。內切，且與直線％=-2相切,設動圓圓心C的軌跡為曲線E.

⑴求E的方程；

⑵已知P(4,yo)(y0>0)是曲線E上一點，4B是曲線E上異于點P的兩個動點，設直線P4P8

的傾斜角分別為&￡，且a+￡=干，請問：直線4B是否經(jīng)過定點？若是，請求出該定點，

若不是，請說明理由.

【變式7-1]3.(22-23上?綿陽?期中)已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，且經(jīng)過

點P(l,2).

(1)求拋物線方程；

(2)若直線/與拋物線交于48兩點，且滿足m-0B=-4,求證：直線1恒過定點，并求出定

點坐標.

【答案】⑴y2=4x

⑵定點(2,0),證明見解析

【變式7-1]4.(22-23上.徐州?期中)已知定點F(l,0),定直線Z：x=-1,動圓M過點F,

且與直線懷目切.

Q)求動圓的圓心M所在軌跡C的方程；

(2)已知點P(t,-1)是軌跡C上一點，點4B是軌跡C上不同的兩點(點4B均不與點P重合),

設直線APBP的斜率分別為自、k2,且滿足七+七=-1證明：直線4B過定點，并求出

定點的坐標.

題型8定值問題

【方法總結】

求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

【例題8](20-21上?西安?一模)已知拋物線C：y2=2PMp>0)的焦點F與橢圓=+[=1

的右焦點重合，點M是拋物線C的準線上任意一點，直線MA,MB分別與拋物線C相切

(1)求拋物線C的標準方程及其準線方程；

(2)設直線MA,MB的斜率分別為燈，k2,證明：七?①為定值.

【變式8-1]1.(2223?全國專題練習)已知M(4,m)是拋物線C:y2=2Px(p>0)上一點,

且M到C的焦點的距離為5.

(1)求拋物線C的方程及點M的坐標；

⑵如圖所示，過點P(2,0)的直線I與C交于A,B兩點，與y軸交于點Q,設西=XPA,

QB=fiPB,求證：Z+4是定值.

【變式8-1]2.(22-23上?南京?階段練習)已知拋物線C：y2=2PMp>0),P是C上縱

坐標為2的點，以點P為圓心，PO為半徑的圓(O為原點)交C的準線I于A,B兩點，

且|4B|=2.

(1)求拋物線C的方程.

⑵過點P作直線PM,PN分別交C于M,N兩點，且使NMPN的平分線與y軸垂直，問：

直線MN的斜率是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由.

【變式8-1]3.(2223?省直轄縣級單位?模擬預測)已知拋物線C：/=2py(p>0)的焦點

為F,準線為2,過點F且傾斜角為船勺直線交拋物線于點M(M在第一象限)，MN11,垂足

為N,直線NF交久軸于點。，|MD|=4V3.

(1)求P的值.

(2)若斜率不為0的直線。與拋物線C相切切點為G，平行于。的直線交拋物線C于P,Q兩點，

且NPGQ==，點/到直線PQ與到直線。的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；若不

是，請說明理由.

【變式8-1J4.(22-23下?廣州?期末)已知拋物線Cy=2Px(p>0)的焦點為F，點4(2,m)

在拋物線上,且滿足黑=v，其中。為坐標原點.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)直線/與拋物線C相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓過點P(l,2),作PD1MN，。為垂

足,是否存在定點Q,使得|DQ|為定值？若存在,求出點Q的坐標；若不存在,請說明理由.

題型9定直線問題

【方法總結】

點在定直線上等問題，解題方法一是應用韋達定理得出交點的坐標之和，利用焦半徑公式

求解，二是把交點坐標代入拋物線方程相減同弦中點坐標與弦所在直線斜率之間的關系.

【例題9](21-22下虹口，二模)已知拋物線C：*=2PMp>0)的焦點為F,準線為I,記

準線I與X軸的交點為A,過A作直線交拋物線C于，N(x2,y2Xx2>/)兩點.

(1)若/+x2=2p,求|MF|+|NF|的值；

(2)若M是線段AN的中點，求直線MN的方程；

(3)若P,Q是準線I上關于x軸對稱的兩點，問直線PM與QN的交點是否在一條定直線

上？請說明理由.

【變式9-1]1.(21-22下?齊齊哈爾?三模)已知點F為拋物線C：/=2py(p>0)的焦點，

點EQ。,2)在拋物線C上,且也用=4,直線/：y=，+1交拋物線C于A,B兩點，O為坐

標原點.

⑴求拋物線C的方程；

⑵若直線，:y=|x+m(m^1)交拋物線C于M,N兩點，直線AM與BN交于點T,求

證：點T在定直線上.

【變式9-1]2.(21-22下?全國?階段練習)如圖,已知拋物線Cy=2Px(p>0)的焦點為

F,過點F的直線I交拋物線C于A,B兩點，動點P滿足APAB的垂心為原點O.當直線I

的傾斜角為30。時，|力B|=16.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)求證：點P在定直線上.

【變式9-1]3.(2122?新疆?二模)已知F為拋物線Cy=2Px(p>0)的焦點，點M在

拋物線C上，O為坐標原點，△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓周長為3兀.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設4(1,2),B是拋物線C上一點，且功力1，直線力B與直線y=x—1交于點Q,過點Q

作y軸的垂線交拋物線C于點N,證明：直線BN恒過一定點，并求出該定點的坐標.

【變式9-1J4.(20-21下?宣城?模擬預測)已知橢圓C：g+g=l(a>0,b>0)過點(2,—1),

離心率為日,拋物線f=-16久的準線及x軸于點4,過點4作直線交橢圓C于M,N.

(1)求橢圓C的標準方程和點力的坐標；

(2)設。，Q是直線Z上關于x軸對稱的兩點，問：直線PM與QN的交點是否在一條定直線上？

請說明你的理由.

【變式9-1]5.(20-21下廣西?模擬預測)已知F為拋物線C：/=2py(p>0)的焦點,直

線]:y=2x+l與C交于A,B兩點且|4F|+|BF|=20.

(1)求C的方程.

(2)若直線m:y=2x+力1)與C交于M,N兩點，且AM與BN相交于點T,證明：點

T在定直線上.

題型10向量問題

【例題10】2223下長沙?期末)已知拋物線/=2py點P(2,8)在拋物線上直線y="+2

交C于4,B兩點，M是線段48的中點，過M作x軸的垂線交C于點N.

(1)求點P到拋物線焦點的距離；

(2)是否存在實數(shù)k使涵-NB=0,若存在，求k的值；若不存在，說明理由.

【變式10-1]1.(2223?河北?模擬預測)已知拋物線C:y2=2PHp>0)的焦點為F,圓

D-.(x-l)2+(y-2)2=4恰與C的準線相切.

(1)求C的方程及點F與圓。上點的距離的最大值；

(2)0為坐標原點，過點M(0,l)的直線/與C相交于A,B兩點，直線4。，B。分別與y軸相交

于點P,Q,MP=mMO,MQ=nMO,求證：/合為定值.

【變式10-1】2.(2223?江西模擬預測)過坐標原點。作圓C：(X+2)2+*=3的兩條切

線，設切點為P,Q,直線PQ恰為拋物線4必=2PMp>0)的準線.

⑴求拋物線E的標準方程；

⑵設點T是圓C的動點，拋物線E上四點滿足：TA^2TM,TB=2TN,設力B中點

為D.

(i)證明：TD垂直于y軸；

(ii)TAB面積為S,求S的最大值.

【變式10-1]3.(22-23下?安陽?開學考試)已知P(4,y0)是焦點為尸的拋物線=

2px(0<p<4)上一點，以P為圓心，|PF|為半徑的圓過點M(7,0).

Q)求C的方程；

(2)過點(2,0)作直線/交拋物線于4、B,求方?麗的最大值.

【變式10-114.(21-22下?赤峰?三模)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準線經(jīng)過點

H(-1,2夜)，過點Q(0,l)的直線1與拋物線C有兩個不同的交點4B，點P(l,zn)(其中爪>0)在

拋物線C上,且直線24交y軸于M,直線P8交y軸于M

(1)求直線1斜率的取值范圍；

⑵設。為原點，若麗=^QO,QN=4而，求證：；+二為定值.

【變式10-1]5.(2223?泰安二模)已知點M(0,l)和點N(x°,2)(X。>0)之間的距離為2,

拋物線=2PMp>0)經(jīng)過點N，過點M的直線I與拋物線C有兩個不同的交點A,B,

點E,F分別在直線M4,NB上,且麗=2(溫-麗),MO=〃(而-NM)(O為坐標原

點).

(1)求直線I的傾斜角的取值范圍；

(2)求4+〃的值.

題型11探索性問題

【例題11](22-23下?廣東?期末)設點F為拋物線C:%2=2py(p>0)的焦點，過點F且

斜率為遍的直線與C交于A,B兩點Su*=276(0為坐標原點)

(