重難點12直線與圓易錯題十大題型匯總

題型解讀

好量滿分技巧/

易錯一.斜率公式k=紇"中的條件冷牛對容易被忽略.

%2一%1

易錯二.忽視直線斜率不存在的情況

由于直線的斜率k=tana,a為直線的傾斜角.，當a=90。時k不存在，在解題時容易忽略.

易錯三.混淆直線斜率與直線傾斜角的關系致錯

直線的斜率是傾斜角的正切，所有直線都有傾斜角，但不是所有直線都有斜率，傾斜角為90。的直線沒有斜

率.

易錯四.忽略直線的截距為零的情況

在利用截距式'+設方程時，容易忽略截距為零的情況.

aab=1

易錯五.兩直線平行時忽略重合的情況

在求解兩條直線平行的問題是，一定要檢驗是否平行

易錯六.忽視兩條平行直線距離公式系數統一

在運用舉例公式時，不要忘記統一系數

易錯七.半圓問題不要忽略范圍

數形結合是通過數與形之間的轉化，來達到解題的目的，在轉化過程中難免會出現范圍的變化，在解題過

程中，應注意.

易錯八.圓的一般式方程忽視成立的條件

1.當D2+E2-4F>0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0稱為圓的一般方程,其圓心為

半徑為r=5tD2+E2-4F.

(DE)

2.當D2+E2-4F=0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示點=、.

3.當D2+E2-4F<0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何圖形.

易錯九.求過一點的切線方程時忽略斜率不存在

求切線方程時，如果需要設直線的斜率時，需要考慮直線的斜率部存在的情況是否滿足題

意.

易錯十.兩圓相切時忽略內切外切兩個情況

圓與圓相切時，有兩種情況即內切和外切，但是在題設告知相切的情形下，我們往往會考慮其中一種情況,

而忽視另外一種情況.

蜀*題型提分練

題型1忽略斜率公式的應用條件

【例題1](2023上?黑龍江哈爾濱?高二哈爾濱市第三十二中學校校考期中)已知直線Z：mx+y+1^0,

4(l,0),B(3,l),則下列結論正確的是()

A.直線I恒過定點(0,1)

B.當爪=1時，直線I的傾斜角為?

4

c.當巾=0時，直線I的斜率不存在

D.當m=2時，直線I與直線不垂直

【變式1-1]1.(2022上?江蘇連云港?高二期末)若4(1,2),B(3,m),C(7,m+2)三點共線,則實數m的

值為()

A.—2B.2C.13D.3

【變式1-1]2.(2023上?云南曲靖?高三曲靖一中校考階段練習)若直線x+ysina+2=0(aeR)的傾斜

角的取值范圍是

【變式1-1]3.(2023上?河南三門峽?高二校考階段練習)過點4(犯3),B(-l,m)兩點的直線與直線I垂

直，直線I的斜率為-1，則澳=

【變式1-U4.(2023上?安徽亳州?高二蒙城縣第六中學校考期中)過4(/0),8(1,2)的直線的斜率大于2,

則滿足條件的一個a值可以為

【變式1-1]5.(2023上?高二課時練習)已知4(—L2),B(m,3)

(1)求直線AB的斜率k；

⑵已知實數小￡[-^-1,0],求直線AB的傾斜角a的取值范圍.

【變式1-1]6.(2023?高二課時練習)已知AABC中的兩個頂點是C(0,6),B(0,-6),4B邊與力C邊所在直

線的斜率之積是]求頂點4的軌跡.

題型2忽視直線斜率不存在

[例題212023?全國?模擬預測)/=1"是"直線》+ay=2與直線ax-y=2垂直"的條件(填

"充分不必要""必要不充分""充要"或"既不充分也不必要")

【變式2-1】L(2023上?陜西西安?高二長安一中校考期中直線4：ax+y+1=0與直線必效+ay+2=0

平行，則實數a的值為

【變式2-1】2.(2020上?天津?高二校聯考期中)已知點4(1,3)和點8(5,2)到直線1的距離相等且1過點(3,-1),

則直線泊勺方程為

【變式2-1J3.(2023上?四川涼山?高二寧南中學校聯考期中)已知實數滿足x-3y+5=0(1<x<4),

則言的取值范圍為

【變式2-1]4.(多選)(2021上?河北邢臺?高二統考階段練習)某縣相鄰兩鎮在一平面直角坐標系下的坐標

分別為4(-3,-4),B(6,3),交通樞紐C(0,-1)，計劃經過C修建一條馬路1(1看成一條直線,1的斜率為k),

則下列說法正確的是()

A.若A,B兩個鎮到馬路I的距離相等，貝必=全垮

B.若A,B兩個鎮到馬路I的距離相等，則k=；或|

C.若A,B兩個鎮位于馬路的兩側，則k的取值范圍為(|,1)

D.若A,B兩個鎮位于馬路的兩側，則k的取值范圍為u(1,+8)

【變式2-1J5.(2023上?全國?高二專題練習)直線x+a2y+6=。和(a-2)x+3ay+2a=。無公共點，

則a的值為()

A.-1或2B.0或3

C.-1或0D.-1或3

題型3混淆斜率與傾斜角的關系

【例題3](2023上?遼寧?高二遼寧實驗中學校考期中)設直線/的方程為x-ysine-2=0,則直線珀勺傾

斜角a的范圍是()

A.[0,TT]B.。圖

<=.[得

【變式3-1]1.(2023上?山東?高二校聯考階段練習)直線sin60)+cos30>+2=0的傾斜角是()

A.30°B.60°C.135°D.150°

【變式3-1]2.（2023上河北石家莊?高二石家莊二中校考期中）直線（4a2-2比-2y+3=0（a為常數）

的傾斜角的取值范圍是（）

A/詞U&郡.[嶗u皆可

C?[詞u管，n）D-[°-3u[?-n）

【變式3-1]3.（2020上浙江紹興?高二統考競賽）已知點4（cos70o,sin70。），B（cos20。,sin20。），則直線

的傾斜角a=

【變式3-1]4.（2022?高二課時練習）已知點Q（-2,0）,A（1,V3）,B（1,-㈣，P為動點.當點P

在線段AB上運動時，求直線PQ的傾斜角的取值范圍.

題型4截距式忽視過原點

【例題4】（多選）（2023上?陜西西安?高二校考期中）下列命題正確的是（）

A.任何直線方程都能表示為一般式

B.直線x+2y-4=0與直線2x-y+2=0的交點坐標是（0,2）

C.兩條直線相互平行的充要條件是它們的斜率相等

D.直線方程ax+（a+l）y=a（a+1）可化為截距式為忘+^=1

【變式4-1】1.（多選）（2023上?安徽銅陵?高二校聯考期中）過點P（2,l）且在兩坐標軸上的截距的絕對值

相等的直線方程為（）

A.x+y—3=0B.Jt+y+3=0C.x—y—1=0D.x—2y—0

【變式4-1]2.（多選）（2023上?浙江?高二校聯考期中）直線I經過點（2,-3）,且在兩坐標軸上的截距

的絕對值相等，則直線I的方程可能是（）

A.3x+2y=0B.2x+3y=0C.x—y—5=0D.x+y+l=0

【變式4-1]3.（2023上湖北?高二那陽中學校聯考期中）已知直線I：（a+2）x+（1-a）y+a-7=0,

aeR.

⑴證明：直線I過定點P,并求出P點的坐標；

(2)直線I與坐標軸分別交于點A,B,當截距相等時，求直線I的方程.

【變式4-1]4.(2023上?黑龍江哈爾濱?高二黑龍江省哈爾濱市雙城區兆麟中學校考期中)已知(2,m)為直

線dx+y+l=0的方向向量，,A為MN的中點.

(1)求出點A的坐標；

(2)若直線1過點A,且在y軸上的截距是在x軸上的截距的[,求直線廠的方程；

題型5平行問題忽視重合

【例題5](2023上?四川涼山?高二統考期中)直線4：2x+ay+2=0：3—l)x+y—2=0,貝!J"a=

2"是7坨”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【變式5-1]1.(2023上?山東濰坊?高二統考期中)已知直線匕：(m+l)x+y+m=04：%+O+l)y-

2=0,則下列結論正確的是()

A.若人與%相交，貝!H-2B.若二與L平行，貝U血=-2

C.若%與%垂直，則爪=-1D.若。與%重合，則爪=0

【變式5-1J2.(2023上福建泉州?高二泉州市城東中學校聯考期中汜知直線"：x-(a-l)y-a-2=0

與0:a比一2y-2=。平行，貝！Ja的值是()

A.1B.2C.1或2D.-1或2

【變式5-1]3.(2023上?河南?高二校聯考期中)"a=4"是"直線%:(a+2沈+即+2=0和直線

%：(a-l)x+(a-2)y-1=0平行"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式5-1]4.（2023上?江蘇徐州?高二統考期中）已知直線%：x+（m+l）y+m-2=0,Z2：2mx+4y+

16=。平行，則這兩條平行直線之間的距離為

【變式5-1]5.（多選）（2023上?四川涼山?高二寧南中學校聯考期中）已知直線+（a-l）y+1=0,

直線%:ax+2y+2=0,則下列結論正確的是（）

A4在x軸上的截距為-1B.1恒過定點（。，-1）

C.若hIIG，貝必=T或a=2D.若"1%,則a=|

【變式5-1J6.（2022上?安徽黃山?高二校聯考期中圮知直線4：（2a+1）尤-（a+2）y+3=0，直線式（a-

l）x+2y+2=0.

⑴若“/%，求實數a的值；

（2）若h112,求實數a的值.

題型6平行線距離公式忽視系數統一

【例題6]（2023上?四川涼山?高二寧南中學校聯考期中）兩條平行直線x+2y-1=0與奴+4y-3=0

之間的距離為（）

A.—B.—C.-D.-

55102

【變式6-1]1.（2023上?四川涼山?高二統考期中）已知點P是直線I：3x-y-6=0與x軸的交點，直

線I繞點P逆時針方向旋轉45。得到直線%,則直線人與直線4久+2y+l=0之間的距離為（）

AYB.迪cdD.迪

551010

【變式6-1J2.（多選I2023上?云南昆明?高一校考期中）已知直線匕：ax+y-1=0,%=2x+（a+l）y-

2a=0：,且IJ/1?1則（）

A.a=—2B.a=1

C4與直線X+2y=0垂直D.4與％與間的距離為言

【變式6-1】3.（多選）（2023上?廣東廣州?高二校聯考期中）已知aeR,直線匕：x+ay-a=0,直線

/2:a%—（2a—3）y+CL—2=0,貝[|（）

A.若,則a=1或一3B.若,則11與小間距離為誓

C.若h1I2,則a=0或2D.若"在x軸和y軸上的截距相等，則a=1

【變式（上貴州高二校聯考期中已知兩條平行直線

6-1J4.2023??）k：2x+y+l=0,l2：ax+2y+c=0

間的距離為有,則a+c=.

【變式6-1]5.（2023上?四川內江?高二校考期中）兩平行直線匕：2久+y+1=0,%：3+2y+3=0的

距離為

題型7半圓問題忽視范圍

【例題7]（2023上?江蘇無錫?高二校聯考期中）若直線y=-x+6與曲線x=7T二記恰有一個公共點，

則b的取值范圍是（）

A.[-V2]B.[-1,V2]C.[—1,1）u{V2}D.1,1]u{-V5}

【變式7-1]1.（2023上?廣東廣州?高二校聯考期中）已知直線y=fc（x+1）與曲線y=，4一（x-21有兩

個交點，則實數k的取值范圍為（）

A.[。呼）B.（吟）

c-（-￥-v）D-（-￥-°]

【變式7-l】2.（2021?高二課時練習港直線kx-y-2=0與曲線C:Jl-（y-1尸=x-1有兩個交點，

則實數k的取值范圍是（）

B4D+

A.（Q]'（?）C-[-2-9U（?2]-（?°°）

【變式7-1]3.（2023上?河北保定?高二統考期中）已知直線上依-y-3k+4=。與曲線y=7§=正有

且只有一個公共點，則k的取值范圍為

【變式7-1]4.（2023上?甘肅白銀?高二校考期中）關于x的方程0=正-kx+k-1^。有兩個不等的

實數根，則實數k的取值范圍為

題型8圓的一般方程忽視成立條件

【例題8]（2023上河北?高二校聯考期中）若方程/+y2+4x+2y-m=0表示一個圓，則m的取值

范圍是（）

A.（—8,—5）B.（—5,+8）C.（—8,5）D.（5,+8）

【變式8-1】1.（2023上?湖北武漢?高二華中師大一附中校考期中）2>4〃是〃方程%2+了2+依+（左—

2）y+5=。表示圓的方程”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式8-1】2.（2023上?北京豐臺?高二統考期中圮知圓C：/+y2_mx+3y+3=o關于直線/：皿+y一

m=。對稱，則實數a=（）

A.-V3B.-1C.3D.-1或3

【變式8-1]3.（多選）（2023上?江蘇徐州?高二統考期中）已知曲線C：mx2+ny2=l（其中爪,n為

參數），下列說法正確的是（）

A.若m=幾>0,則曲線C表示圓

B.若nrn>0,則曲線C表示橢圓

C.若mn<0,則曲線C表示雙曲線

D.若nm=0,m+n>0,則曲線C表示兩條直線

【變式8-1]4.（多選）（2023上?廣東江門?高二校考期中）若方程a?/+①+6）y2+2ax=0表示一個

圓，貝！la的取值可能為（）

A.3B.2C.—2D.—3

【變式8-1]5.（多選）（2023上?河南?高二校聯考期中）若關于"的方程/+4y2+（1一M）到+x-y-

2=0表示的曲線為C，則（）

A.當4=一1時，C表示雙曲線

B.當2=0時，C表示兩條直線

C.當4=1時，C表示圓

D.當4=2時，C表示關于坐標軸對稱的橢圓

22

【變式8-1]6.(2023上?甘肅白銀?高二甘肅省靖遠縣第一中學校聯考期中)已知圓C:x+y+aX-2y+

a=0.

(1)求a的取值范圍；

(2)若傾斜角為60。的直線=kx與圓C相交于A,B兩點，S.\AB\=V3,求a.

題型9圓的切線方程忽視斜率不存在

【例題9](多選)(2023上福建廈門?高二校考期中)過點P(2,4)作圓(x-I)2+(y-l)2=1的切線,

則切線方程為()

A.3%+4y—4=0B.4%—3y+4=0

C.x=2D.y=2

【變式9-1]1.(2023上?陜西西安?高三長安一中校考開學考試)已知圓C的方程為/+y2=1.

⑴求過點P(l,2)且與圓C相切的直線珀勺方程；

⑵直線小過點P(l,2),且與圓C交于4,B兩點，若|48|=V2,求直線小的方程.

【變式9-1J2.(2023上?江蘇宿遷?高二統考期中)已知圓C：(久-a)2+(y-2尸=4直線2比一y+3=0,

1與圓C相交于4,B兩點，|4B|=2/.

(1)求實數a的值；

(2)當a＞。時，求過點(-1,6)并與圓C相切的直線方程.

【變式9-1]3.(2023上?河北唐山?高二校聯考期中)已知點M在圓D:/+必+2x-3=0上運動，點

N(4,0),P為線段MN的中點，設點P的軌跡為曲線C,

⑴求曲線C的軌跡方程.

⑵過點Q(*2)作曲線C的切線/,求切線帕勺方程.

【變式9-1]4.(2023上?天津?高二天津市第一百中學校聯考期中)已知圓心為C的圓經過點4(1,-1)和

5(4,2),且圓心C在直線x-y+l=0±,

Q)求圓C的標準方程.

(2)過點M(-2,1)作圓的切線，求切線方程

⑶求x軸被圓所截得的弦長|MN|

【變式9-1]5.(2023上?北京順義?高二校考期中)已知圓C：x2+y2-2%-4y+l=0

Q)求圓的圓心和半徑；

(2)求經過點(3,-2)的圓C的切線方程；

⑶求直線I：2x-y+2=。被圓C截得的弦長.

題型10圓與圓相切時忽視內切外切

【例題101(2023上?四川內江?高二四川省內江市第六中學校考期中)已知兩個圓/