專題4-1抽象函數七大題型匯總

。常考題型目錄

題型1抽象函數的定義域........................................................................1

題型2抽象函數求值............................................................................2

題型3抽象函數解不等式........................................................................3

題型4抽象函數求解析式........................................................................4

題型5抽象函數的值域..........................................................................5

題型6抽象函數的單調性........................................................................6

題型7抽象函數的奇偶性........................................................................8

U題型分類

題型1抽象函數的定義域

【方法總結】

對于抽象函數定義域原則為括號里范圍相同。

【例題1】（2023上?甘肅白銀?高一甘肅省靖遠縣第一中學校考期末）已知函數y=/（%）的定義域是[-1,3],

則y=/（2x-1）的定義域是（）

A.[0,2]B.[-1,3]C.[0,4]D.[-j.o]

【變式1-1】L（2022上?北京?高一北京市第一六一中學校考階段練習）已知f（x）的定義域為[1,2],則f（團）

的定義域為

【變式1-1]2.（2023上?安徽阜陽?高一阜陽市第三中學校考期中）若函數八久）的定義域為[0,4],則函數

gO）=/（k-1|）+/弄勺定義域為

【變式1-1]3.（2023上河南?高一校聯考期中）已知函數/⑺的定義域為[0,4],則函數y=/（/）的定義

域為

【變式1-1J4.（2023上?山東濰坊?高一統考期中）已知函數y=/㈤的定義域為[-2,5],則函數y=

x-1

的定義域為

題型2抽象函數求值

【方法總結】

抽象函數大題，基本技巧是賦值，有如下規律技巧：

1.第一層次賦值：常常令字母取o,-1,1.

2.第二層次賦值：若題中有條件f(X。)=t,則再令字母取X。.

3.第三層次賦值：拆分賦值.根據抽象式子運算，把賦值數拆成某兩個值對應的和與積(較

多)或者差與商(較少).如4=2X2,8=4X2;拆成和，3=1+2=1+1+2等等

【例題2】(2021?全國?高一專題練習)已知函數/'(%)滿足f(孫)=f(x)+“y)且％,yeR，則6)+/(|)+f

(1)+/(2)+/(3)=()

A.0B.1C.-2D.5

【變式2-1]1.(2015上?上海徐匯?高一位育中學校考期中)對％eR,y6R,已知/0+y)=/(x)./(y),

且"1)=2則?+?+/+…+"2。15)"2016)的彳百為

日八),人Jf⑴十f⑵十f(3)十十八2014)+f(2015)HM旦刀,

【變式2-1]2.(2020上?安徽安慶?高一安徽省懷寧中學校考階段練習)若對任意的居yGR,有八龍)+

/(y)-/(%+y)=3,函數g(x)=品+f(x),則g⑵+g(-2)的值為

【變式2-1J3.(2018?重慶?高一重慶南開中學校考期中)已知函數;'(X)對任意的實數x,y都滿足f(x+y)+

f(x-y)=2f(x)/(y)且f(1)=則f(2)+f(-2)的值為

【變式2-l】4(2020?高一課時練習波偶函數f(x)滿足:/(1)=2目當時町豐0時/("可)=黑券,

八町十八刃

則八一5)=

【變式2-1]5.(2020上?高一課時練習)已知定義在R上的函數/(%)，其值域也是R，并且對任意比,y&R,

都有〃獷(y))=xy，則|/(2017)|等于()

A.0B.1C.20172D.2017

【變式2-l】6.(2023上?山東濟寧?高一嘉祥縣第一中學校考階段練習股函數y=f(久)的定義域為(0,+8),

f(xy)=+/(y),若/(8)=6,則/'(a)等于()

A「”.lC.|D.i

【變式2-1]7.(2023上?安徽阜陽?高一阜陽市第三中學校考期中)已知函婁好3滿足：f(x)豐0,且對任

意的非零實數,都有/'(x+y)=?+成立，/(1)=2.若/(7?)=/(n+I),??eZ,則

n=.

題型3抽象函數解不等式

【方法總結】

簡單概括為f的"穿"、"脫”問題。將函數符號加上即為"穿"、將函數符號去掉即為"脫"，

根據函數值相等——先"穿"，根

據函數的單調性----后"脫"。

【例題3](2023上?湖南?高三湖南省祁東縣第一中學校聯考階段練習)已知定義在R上的函數人光)在[0,+8)

上是增函數，且對任意的x,y,都有f(盯)=/(%)/(y),若f(-1)=1,則f(x)<1的解集為.

【變式3-1]1.(2023?重慶統考一模)已知定義域為(0,+8)的減函數了(比)滿足/(盯)=/(%)+/(y),且

f(2)=-1，則不等式/(%+2)+/(%+4)>一3的解集為

【變式3-1]2.(2022上?河北唐山?高一灤南縣第一中學校考期中)定義在(0,+8)上的/(%)同時滿足以下

三個條件:①f⑵=2；②/(久)為單調函數；③對任意的x,y￡(0,+8)，總有f(盯)=f(x)+f(y)一1,則

關于x的不等式外切>3的解的集合是

【變式3-1]3.(2023上?安徽?高一校聯考期中)已知f(x)是定義在R上的減函數，且對于任意eR,

總有/(x)+/(y)=/(x+y)+2,若使-ax)+f(x-a)>4成立的解集中恰有兩個整數,則實數a的

取值范圍為

【變式3-1J4.(2021上?四川?高一四川省峨眉第二中學校校考階段練習)設/(切為定義在R上的增函數,

且/"(%)ho,對任意%i，久2eR都有fCq+久2)=fOi)/(久2).

(1)求證：f(x)>o;

(2)求證：/(%1-X2)f(X2)=f01)；

(3)若/⑴=3,解不等式外4式)>9/(%).

【變式3-1】5(2021上?寧夏中衛?高一中衛一中校考階段練習定義在R上的函數f(X),當X>0時-久)>1,

且對任意的x,y6R,有/(%+y)=/(x)-/(y),/(I)=2.

(1)求/(0)的值；

(2)求證：對任意x6R,都有f(久)>0；

(3)解不等式/(4一2x)>4.

題型4抽象函數求解析式

【例題412021上?江蘇南京?高一南京外國語學校校考期中匿函數/(久)滿足eZ?,/(xy)=,

寫出一個符合要求的解析式f。)=

【變式4-1]1.(2022上?江蘇蘇州?高一南京航空航天大學蘇州附屬中學校考階段練習)請寫出一個滿足

f(xy)=f(x)+/(y)的增函數fO)=.

【變式4-1]2.(2023上?湖南衡陽?高三衡陽市田家炳實驗中學校考階段練習)Vx>0,Vy>0,f(孫)=

f(x)+/1(y),當0cx<l,/(x)<0;x>l,/(x)>0,則/(x)=

【變式4-l】3.(2021上?全國?高三校聯考階段練習塔定義在R上的函數f(x)滿足①對于任意的eR,

都有f(*y)=-/(x)/(y)；②"久)為奇函數.則函數/0)的一個解析式可以是

【變式4-1】4.(2021?江蘇南通?統考模擬預測)已知;'(%)在(0,+8)上是減函數，且f(x)+/(y)=f(孫)+1

對任意的％G(0,+8)都成立，寫出一個滿足以上特征的函婁妤Q)=

【變式4-1]5.(多選)(2023上?浙江?高一校聯考期中)已知函數f⑺定義域為R,且/(久)=G)(xe

(-00,0)U(0,+00)),/(X)+((y)+xy=f(x+y)，則下列說法正確的是()

A./(O)=0B./(3)=3

2

c./(X)-f(—x)=xD.f(x)=手

【變式4-1]6.(2023?全國?高三專題練習)設/(%)是定義在實數集R上的函數，且對任意實數x,y滿足

f(x-y)=/(無)+/(y)+xy-1恒成立.

(1)求f(0),f⑴;

(2)求函數f(x)的解析式；

(3)若方程(2x)]=k恰有兩個實數根在(-2,2)內，求實數k的取值范圍.

【變式4-1]7.(2022上?江蘇淮安?高一江蘇省洪澤中學校聯考期中)某問題的題干如下："已知定義在R

上的函數滿足：①對任意比、y6R，均有2f(盯)=/(%)?/(y)；②當x>0時,/(%)>0;③f(2)=16：

某同學提出一種解題思路，構造/'(>)=a?/(a力0),使其滿足題干所給條件.請按此同學的思路，解決以

下問題.

(1)求"久)的解析式；

2

(2)若方程f(%)=豈恰有3個實數根，求實數m的取值范圍.

題型5抽象函數的值域

【例題5](2019上?河南?高一校聯考階段練習)定義在R上的函數/(久)對一切實數x、y都滿足九久)豐0,

且f0+y)=/O)"(y),已知“乃在(0,+8)上的值域為(0,1),則/(X)在R上的值域是()

A.RB.(0,1)C.(0,4-00)D.(0,1)u(1,+oo)

【變式5-1]1.(2019上?河北保定?高一統考期中)已知函數/⑺對于任意實數"GR總有/⑶+/(y)=

f(x+y),當x>0時f(久)<0,/(I)=-|.

Q)求/⑺在[-3,3]上的最大值和最小值

(2)若f(%)+f(x-2)<4有成立，求x的取值范圍.

【變式5-112.(2021?高一單元測試)函數〃久)的定義域為(0,+8),且對任意%>0,y>0都有f6)=

f(x)-f(y)+1,且f(2)=2,當久>1時，有f(x)>1.

(1)求/⑴，f⑷的值；

(2)判斷以久)的單調性并加以證明；

(3)求f(比)在［1,16］上的值域.

【變式5-1］3.(2023上?廣東東莞?高一校考期中)已知函數f⑺，對于任意的居yeR,都有/(x+y)=

f(x)+f(y),當x>0時,f(x)<0,且/⑴=-|.

(1)求f(0),f(3)的值；

(2)當-8<x<10時，求函數f(x)的最大值和最小值；

(3)設函數g(X)=/(x2-m)-2/(|x|),若方程g(x)=0有4個不同的解，求m的取值范圍.

【變式5-1】4.(2018上?河北保定?高一校聯考期中)已知函數f(%)的定義域為(0,+8)目對一切久>0,

y>0者B有/'(%y)=/(%)+/(y),當％>1時，有〃久)>0.

(1)判斷/(%)的單調性并加以證明；

(2)若〃4)=2,求/(%)在［1,8］上的值域.

題型6抽象函數的單調性

【方法總結】

在證明抽象函數的單調性時的方法時需要構造的數量關系是久然后靈活運用題

2=%1X1--,

目的法則進行求解證明是關鍵，在證明過程中題目中的每一句都要進行靈活運用，類似單

調性定義證法作差，化簡，定號.本題有難度，需要在平常學習過程中多積累，多思考，

多運用方法解題.

【例題6］(2022上福建廈門?高一廈門一中校考期中淀義在區間(-1,1)上的函數/⑴滿足:/(%)-/(y)=

/(奇),x6(T0)時<0，若a=/(<+/0，b=,c=/(0),則?=,三個實數

a,b,c最大的為

【變式6-1]1.(2023上?北京?高一北京市十一學校校考期末)已知函數f(x)的定義域為(0,+8),滿足對

任意居yG(0,+co),都有f(孫)=/(x)-/(y)-/(x)-f(y)+2,且x>1時,/(%)>2.則下列說法正確的

是.

①/(I)=2；②/(I)=1；③當x6(0,1)時J(x)<2；④/(x)在(1,+8)上是減函數；⑤存在實數k使得函

數y=1/(%)+刈在(0,1)上是減函數.

【變式6-1】式2020?高一課時練習)已知定義域為R的函數f(x)滿足f(x+y)=f(x>f(y),當%>0時,fW>l.

(1)求詢；

(2)求證：f(x-丫)=篇;

(3)判斷f(x)的單調性.

【變式6-1]3.(2023上?河南駐馬店?高一校聯考階段練習)已知定義在(0,+8)上的函數/(久)對于Vx,ye

(0,+8),都滿足+((y)=f(xy)+3,且當x6(0,1)時,/(%)<3.

(1)求f(1)的值；

(2)根據定義，研究/(%)在(0,+8)上的單調性.

【變式6-1]4.(2023上?山東德州?高一校考階段練習)函數/⑺滿足對一切〃久+y)+2=/(%)+f(y),

且/⑴=0；當久>1時,有/(為<0.

⑴求了(一1)的值；

(2)判斷并證明/(比)在R上的單調性；

(3)解不等式[/(——3%)]2+4/(%2—3%+2)+4<0.

【變式6-1]5.(2023上?重慶沙坪壩?高一重慶南開中學校考期中)已知“切為定義在(0,+8)上不恒為0的

函數，對定義域內任意％,y滿足：2/(xy)=/(x)/(y),/(I)=2.且當久<1時，0</(%)<2.

Q)證明:/(%)>0；

⑵證明：f(X)在(0,+8)單調遞減；

(3)解關于久的不等式：-2)>4.

題型7抽象函數的奇偶性

【方法總結】

證明奇偶性，實質就是賦值.如下常見證明奇偶性的賦值規律：

I.可賦值，得到一些特殊點函數值，如f(0),f(l)等，

2.嘗試適當的換元字母，構造出x和-x，如f(x+y),可令y=-x,f(xy),可令y=-1

等等

3.通過各類抽象函數式子，來積累一定的賦值技巧.

實際授課，是實驗探索第2條來推導賦值第1條

2

【例題7](多選X2023上?湖北?高一校聯考期中)已知函數f⑺的定義域為R久)+x/(y),

則()

A./(0)=0B.Al)=0C.f(x)是奇函數D.