4<08三含形及公等三廊形

■

5年考情?探規律

考點五年考情（2020-2024）命題趨勢

2022?廣東卷：三角形中位線

2023?廣州卷：角平分定理，勾股定理

2021,廣州卷：線段垂直平分線的性質，直角三角

考點1三角形

形30度角的性質

基礎

2021?深圳卷：角平分線的性質、直角三角形的性

（5年5考）

質、垂直平分線的性質

2023?廣東卷:勾股定理及其逆定理的應用和等腰

三角形的性質

2023?深圳卷：解直角三角形，折疊的性質，全等

三角形的判定與性質，角平分線的性質，勾股定三角形是基礎幾何圖形之一，中考

考點2三角形理等知識命題點側重于對基礎概念、命題的

與折疊變換2021,深圳卷：折疊的性質，三角形外角的性質，理解和運用，包括三角形內角和、

（5年5考）平行線的判定和性質，等腰三角形的判定和性質三角形三邊關系、三角形中重要線

2021?廣州卷：軸對稱、等腰三角形及平行線的性段、三角形面積、特殊三角形、勾

質、全等三角形的判定與性質股定理、尺規作圖、全等三角形的

2024?廣州卷：等腰直角三角形的性質，三角形全判定和性質等。中考復習需注重對

等的性質與判定幾何定義、定理的理解與運用。

2023?廣州卷：全等三角形的判定與性質

2022?廣州卷：三角形全等的判定，等腰三角形的

考點3全等三

判定

角形的判定和

2021?廣州卷：全等三角形的判定與性質

性質

2020?廣州卷：三角形的內角和定理，全等三角形

（5年3考）

的判定及性質

2022?廣東卷：三角形全等的判定

2020?廣東卷：等腰三角形的判定，解題的關鍵是

熟知全等三角形的判定與性質

5年真題?分點精準練

考點1三角形基礎

1.（2022?廣東?中考真題）如圖，在一ABC中，BC=4,點D,E分別為A5,AC的中點，則。石=（）

11

A.-B.-C.1D.2

42

【答案】D

【分析】利用中位線的性質：平行三角形的第三邊且等于第三邊的一半即可求解.

【詳解】回￡＞、E分別為AB、AC的中點，

EIOE為0ABC的中位線，

SDE=-BC,

2

0BC=4,

M）E=2,

故選：D.

【點睛】本題考查了中位線的判定與性質，掌握中位線的判定與性質是解答本題的關鍵.

2.（2023?廣東廣州?中考真題）如圖，已知AD是一ABC的角平分線，DE,分別是△A3。和ACD

的高，AE=12,DF=5,則點￡到直線AD的距離為.

【解析】

【分析】根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質可得點。到AC的距離等于點。到A3的距離

OE的長度，然后根據勾股定理求出AD，最后根據等面積法求解即可.

【詳解】解：：是的角平分線，DE,分別是△A8D和ACD的高，DF=5,

：.DE=DF=5,

又AE=12,

AD=^AE~+DE2=13，

設點E到直線AD的距離為x,

,/-ADx=-AEDE,

22

AEDE60

,.x=-------二—?

AD13

故答案為：—.

13

【點睛】本題考查了角平分定理，勾股定理等知識，掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的

關鍵.

3.（2021?廣東廣州?中考真題）如圖，在RtABC中，ZC=90°,ZA=30°,線段A8的垂直平分線分別交

AC、A8于點。、E,連結若8=1,則的長為.

【答案】2

【分析】根據線段垂直平分線的性質得到^ABD=ZA=30°,求得NCBD=30。，即可求出答案.

【詳解】解：EZC=90°,

EBA+E1ABC=9O°,

回線段A2的垂直平分線分別交AC、AB于點。、E,

^AD=BD,

00AB￡）=ZA=3O°,

0ZCBD=30°,

0CD=1,

SAD=BD=2CD=2,

故答案為：2.

【點睛】此題考查線段垂直平分線的性質，直角三角形30度角的性質，熟記線段垂直平分線的性質是解題

的關鍵.

4.（2021?廣東深圳?中考真題）如圖，已知的C=60。，AD是角平分線且AD=10,作的垂直平分線交AC

于點F作。E/AC,則DEF周長為.

【答案】5+56

【分析】知道"40=60。和AD是角平分線，就可以求出NZME=30。，AD的垂直平分線交AC于點F可以

得到A代陽，在直角三角形中30。所對的邊等于斜邊的一半，再求出DE,得到

C/\DEF=DE+EF+AF-AE+DE.

【詳解】解：AO的垂直平分線交AC于點孔

DF=AF（垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等）

團C/^DEF=DE+EF+AF—AE+DE

iaza4c=60。，AD是角平分線

0ZZME=3O°

0AD=1O

EIOE=5,AE=5拒

0CAnFF=5+5A/3

【點睛】此題考查角平分線的性質、直角三角形的性質、垂直平分線的性質的綜合題，掌握運用三者的性

質是解題的關鍵.

5.（2023,廣東?中考真題）綜合與實踐

主題：制作無蓋正方體形紙盒

素材：一張正方形紙板.

步驟1：如圖1,將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；

步驟2：如圖2,把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒.

猜想與證明：

c

圖1圖2

⑴直接寫出紙板上/ABC與紙盒上NA4G的大小關系;

（2）證明（1）中你發現的結論.

【答案】（I）/ABC=/A4G

⑵證明見解析.

【分析】（I）"RC和。與G均是等腰直角三角形，/ABC=/A瓦G=45。；

（2）證明MC是等腰直角三角形即可.

【詳解】（1）解：ZABC=ZA1B,C1

（2）證明：連接AC,

設小正方形邊長為1,則===#>，AB=Vl2+32=A/10>

QAC2+BC2=5+5=回2,

.1ABC為等腰直角三角形，

團AG-4G=1，AG-LB]C],

團A耳G為等腰直角三角形，

,/ABC=NA與G=45。，

故ZABC=NA4cl

【點睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應用和等腰三角形的性質，熟練掌握其性質是解答此題的關鍵.

考點2三角形與折疊變換

3

6.（2。23?廣東深圳?中考真題）如圖‘在旗C中'M=AC,ta“二，點。為小上一動點，連接AD,

s

將△ABD沿AD翻折得到VADE,DE交AC于點G,GE<DG,且AG:CG=3:1,則-°E=_____

3三角形A￡>G

【分析】41/，瓦＞于點/，ANIDE于點、N,則AM=4V,過點G作GPL5C于點尸，設A〃=12a,根

據tanB=4^=1?得出曲1=16。，繼而求得二二=《AM?+BM?=20a，CG=5a,AG=15a,再利用

BM4

tanC=tanB=||=|,求得62=340=4。，利用勾股定理求得GV=JAG?-4V?=9a，

EN7AE。-AN。=16a，故EG=EN-GN=1a,

【詳解】由折疊的性質可知，D4是/3DE的角平分線，AB=AE,用HL證明AWM/AWN,從而得

至ljDM=ZW,設DM=DN=x,則DG=x+9a,DP=12a-x,利用勾股定理得到。產+G產=/x」即

1275

(12a-x)-+(3a)-=(x+9a),化簡得了=了。，從而得出DG=1a,利用三角形的面積公式得到：

S三角形AGE；EG.ANEG7。「49

S三角形ADG-DGANDG—a75

27

作于點M,AN上DE于點、N,則AM=AN,

過點G作GPL3c于點尸，

AM3

團tanBn=-----=—,

BM4

設W2a,則5A/=16Q,AB=yjAM2+BM2=20a，

又E)AB=AC,AM±BD,

^CM=AM=\2a,AB=AC=20a,ZB=NC,

團AG:CG=3:1,即CG=』AC,

4

團CG=5a,AG=15a,

在RtAPCG中，CG=5a,tanC=tanB=——=-,

CP4

設GP=3m,則CP=4m,CG=\IGP2+CP2=5m

^\m=a

團GP=3a,CP=4a,

BAG=15a,AM=AN=12a,ANIDE,

國GN=1AG-AN2=9a，

團AB=AE=20a,AN=12afANIDE

^EN=y/AE2-AN2=16a，

@EG=EN-GN=Qa,

團AD=AD,AM=AN9AMLBD,ANIDE,

團△ADM經△ADN（HL）,

⑦DM=DN,

設DM=DN=x,則OG=DN+G/V=x+9a,DP=CM-CP-DM=16a-4a-x=12a-x,

在RtAPDG中，DP2+GP2=DG2,即（12a—xj+（3〃）？=（%+9〃）2,

化簡得：%=?12,

75

團DG=%+9〃=—a,

7

■三角衫AGE；EGANEG7。_49

DG75

S三角衫ADG』DG-AN—a

27

49

故答案是：

【點睛】本題考查解直角三角形，折疊的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，勾股定理等

知識，正確作出輔助線并利用勾股定理列出方程是解題的關鍵.

7.（202”廣東深圳?中考真題）如圖，在ASC中，D,E分別為BC,AC上的點，將—CDE沿DE折疊，得

到VEDE,連接8尸，CF,/BFC=90。,若EFHAB,AB=4也,EF=10,則AE的長為.

A

E

【答案】10-473

【分析】延長皮>,交CF于點、G,由折疊，可知OGLCF,可得ED//BF,延長￡4,FB,交于點M,結

合AB//EF,可得NAf=N3FE=(z,ZM=ZABM=a,進而即可求解.

【詳解】解：如圖，延長ED,交CF于點G,

M

設/BFE=a

由折疊，可知。GLC廠,

田BF上CF,

⑦EDI/BF,

團ZFED=ZBFE=a,

延長K4,FB,交于點

SAB//EF,

SZBAC=ZFEC=1a,ZABM=ZBFE=a,

^ZM=Z.BAC-ZABM=a,

SZM=ZBFE=a,ZM=ZABM=a,

0EM=EF=10,AM=AB=4上,

SAE=EM-AM=10-4y/3.

【點睛】本題主要考查折疊的性質，三角形外角的性質，平行線的判定和性質，等腰三角形的判定和性質,

添加合適的輔助線，構造等腰三角形，是解題的關鍵.

8.（2021,廣東廣州?中考真題）如圖，在ASC中，AC^BC,/3=38。，點。是邊AB上一點，點8關于

直線CZ）的對稱點為當BN>〃AC時，則ZBC。的度數為

c

【答案】33°

【分析】如圖，連接C3',根據軸對稱的性質及全等三角形的判定與性質可得NQ=/B=38。，

NDCB=ZDCB',并由平行線的性質可推出NACE==38°,最后由等腰三角形的性質及三角形內角和

定理即可求得結果.

【詳解】解：如圖，連接CM

回點8關于直線的對稱點為？，

BCB=CB',DB=DB'.

0CD=CD,

^ADCB^ADCB'.

0ZB,=ZB=38°,ZDCB=ZDCB'.

^B'DUAC,

^ZACB'=ZB'=3^.

^AC=BC,

0ZA=ZB=38°.

0ZACB=180°-2ZB=104°.

國ZACB=ZACB'+ADCB+ZDCB'=ZACB'+2ZDCB=104°.

02ZDCB=104°-ZACB'=66".

0ZZ)CB=33".

故答案為:33°.

【點睛】本題考查了軸對稱、等腰三角形及平行線的性質等知識，熟練掌握軸對稱、等腰三角形的性質及

全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

考點3全等三角形的判定和性質

9.（2024,廣東廣州?中考真題）如圖，在ABC中，ZA=90°,AB=AC=6,。為邊的中點，點E,F

分別在邊AB,AC上，AE=CF,則四邊形AEDF的面積為（）

A.18B.9A/2C.9D.6叵

【答案】C

【分析】本題考查等腰直角三角形的性質以及三角形全等的性質與判定，掌握相關的線段與角度的轉化是

解題關鍵.連接AD,根據等腰直角三角形的性質以及AE=CF得出VADE■2VCD廣，將四邊形AED9的面

積轉化為三角形APC的面積再進行求解.

【詳解】解：連接AD,如圖：

0ZR4C=9O°,AB=AC=6,點。是中點，AE=CF

BZBAD=ZB=ZC=45°,AD=BD=DC

0YADEACDF,

團S四邊形AEDF=S公AED+^^ADF=+^^ADF=^AADC=/Z^ABC

又團SMC=6x6x；=18

回S四邊形AEOF=萬SABC=9

故選：c

10.（2023?廣東廣州?中考真題）如圖，5是的中點，BC//DE,5C=D￡.求證：/C=/E.

B,

DE

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據已知條件證得AB=BD,ZABC^ZD,然后證明一ABC-5DE（SAS）,應用全等三角形

的性質得到NC=NE.

【詳解】證明：是AD的中點，

/.AB=BD,

BC//DE,

：.ZABC^ZD,

在「ABC和△BQE中，

AB=BD

<ZABC=ND

BC=DE

,ABCoo、BDE（SAS）,

：.ZC=ZE.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵.

U（2022?廣東廣州?中考真題）如圖，點，E在0ABe的邊8C上，0B=0C,BD=CE,求證：0ABD00ACE

【答案】證明見解析

【分析】由等腰三角形的判定得出AC=A8,再利用SAS定理即可得出結論.

【詳解】證明：

在"8D和AACE中，

0AB=AC,0B=fflC,BD=CE,

EEL4BO0aAeE(SAS)

【點睛】本題考查三角形全等的判定，等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵.

12.(2021?廣東廣州?中考真題)如圖，點E、F在線段BC上，AB//CD,ZA=ZD,3E=b，證明：AE=DF.

【答案】見解析

【分析】利用A4S證明財BBaaOCF,即可得到結論.

【詳解】證明：BAB//CD,

aaB=iac,

^ZA=ZD,BE=CF,

EEA8EH3DC尸(AAS),

^AE=DF.

【點睛】此題考查全等三角形的判定及性質，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵.

13.（2020?廣東廣州?中考真題）如圖，AB=AD,ABAC=ADAC=25°,NO=80。.求NBC4的度數.

【答案】75。.

【分析】由三角形的內角和定理求出EIDCA=75。，再證明EIABCEBADC,即可得到答案.

【詳解】0ZZMC=25°,ZD=80°,

EEIDCA=75°,

S\AB=AD,ABAC=ADAC=25°,AC=AC,

aaABCEEADC,

00BCA=0DCA=75°.

【點睛】此題考查三角形的內角和定理，全等三角形的判定及性質，這是一道比較基礎的三角形題.

14.(2022?廣東,中考真題)如圖，已知/AOC=/BOC,點P在。C上，PDLOA,PELOB,垂足分別為

D,E.求證：NOPD^OPE.

【分析】根據題意，用AAS證明尸E.

【詳解】證明：SZAOC=ZBOC,

回0c為的角平分線，

又回點尸在0c上，PD±OA,PELOB,

國NPDO=NPEO=90。

又回PO=PO（公共邊），

0OPD^OPE（AAS）.

【點睛】本題考查全等三角形的判定，利用合適的條件證明三角形全等是本題的關鍵.

15.（2020?廣東?中考真題）如圖，在AASC中，點O,E分別是AB、AC邊上的點，BD=CE,ZABE=ZACD,

物與8相交于點尸，求證：AABC是等腰三角形.

【答案】見解析

【分析】先證明ABDF^ACEF,得到BF=CF,ZFBC=ZFCB,進而得到ZABC=ZACB,故可求解.

【詳解】證明：在ABDF和AC即中

NDFB=NEFC(對頂角相等)

<NFBD=NFCE

BD=CE

0ABDF^ACEF(AAS)

0BF=CF

@/FBC=NFCB

y.SZABE=ZACD

回ZFBC+ZABE=NFCB+ZACD

即NABC=/ACB

團AABC是等腰三角形.

【點睛】此題主要考查等腰三角形的判定，解題的關鍵是熟知全等三角形的判定與性質.

1年模擬?精選模考題

16.(2024?廣東揭陽?一模)如圖，在..ABC中，點。是.ABC內一點，且點。到ABC三邊的距離相等，4=50。,

貝joc=()

A.95°B.115°C.125°D.130°

【答案】B

【分析】本題考查了角平分線的性質，三角形內角和定理的應用.由題意可知點。為，ABC的三條角平分

線的交點，可得=/OCB=g/ACB,根據三角形內角和定理求出NABC+NACB,可得

ZOBC+ZOCB的度數，再根據三角形內角和定理求出ZBOC的度數即可.

【詳解】解：回點。至U.ASC三邊距離相等，

回點。為6ABC的三條角平分線的交點，

0ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

0ZA=5O°,

回ZABC+ZACS=180°—ZA=130°,

ElZOBC+ZOCB=1(ZABC+ZACB)=65°,

0Z.BOC=180。-(NQBC+NOCB)=115°,

故選：B.

17.(2024?廣東梅州?模擬預測)如圖，在ABC中，48=90。,乙肥。=67.5。,。為A3中點，且DESAB交

AC于點E,BC=3,則AC的長為()

B

D

A.3亞B.3+3忘C.6D.572

【答案】B

【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質，三角形內角和定理，勾股定理等，熟記線段垂直平分線的性

質是解題的關鍵.

連接BE,根據三角形內角和定理求出4=22.5。，根據線段垂直平分線的判定與性質求出歷=E4,根據

等腰三角形的性質及三角形外角性質求出ZBEC=45。，根據三角形內角和定理求出NCBE=45。=NBEC,

解直角三角形求出3C=CE=3,BE=3y[2=EA，再根據線段的和差求解即可.

【詳解】解：如圖，連接8E,

二NA=180。—90。—67.5。=22.5°,

。為43中點，且交AC于點E,

.■.DE垂直平分AB,

:.EB=EA,

ZA=ZABE=22.5°,

:./BEC=ZA+ZABE=45°,

:.ZCBE=180。一90。-45。=45。=/BEC,

BC=CE=3,

:.BE=y/2BC=3y/2=EA,

.?.AC=C￡+EA=3+3A/2-

故選：B.

18.（2024?廣東汕頭?二模）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=W,BC=16,將AC繞點C順時針旋

轉90。得到。C,連接8。，則tan/CBD的值為（）

【答案】D

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質、求銳角三角函數值、旋轉的性質等知識過點。作DEL5C

交8C的延長線于點E,過點A作AF13C于點色由旋轉的性質可知AC=8=10,NACD=90。，由等腰

三角形三線合一得到8P=CT=:BC=8,求出==證明IAR?四二CED，貝I

AF=CE=6,CF=DE=8,即可得到BE=3C+CE=22,即可求出tanZCBD.

【詳解】解：過點。作。交的延長線于點過點A作Ab/BC于點R

^\AB=AC=10,BC=16,AF1BC

團BF=CF」BC=8,

2

國AF=，AB2-BF2=6,

^ZACD=90°f

國ZACF+/DCE=90。,

團NACF+NC4F=90。，

?NDCE=/CAF,

^ZAFC=ZCED=90°

團AC=CD

團AFCMCED,

?AF=CE=6,CF=DE=8,

⑦BE=BC+CE=22

DF84

mmZCBD=——,

BE2211

故選：D

19.（2024?廣東深圳?二模）數學活動課上，小亮同學用四根相同的火柴棒A3,BC,CD,OE在桌面上擺

成如圖所示的圖形，其中點A,C,E在同一直線上，BC1CD,若AE=10,則點8,。到直線AE的距離

之和為（）

B

ACE

A.5B.276C.5A/2D.10

【答案】A

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質,，點到直線的距離，作物于

DNLAE^N,由等腰三角形的性質推出CM=，AC,CN=-CE,由余角的性質推出"CV=NCBM,

22

由AAS證明DCN^CBM,得到DN=CM,BM=CN,于是得到

BM+ON=CM+CN=#C+CE)=*=*0=5.

【詳解】解：作于M,DNLAE^N,

回AB=BC,

^\CM=-AC,

2

同理：CN=-CE,

2

國BC上CD,

也/BCD=90。,

團ZDCN+ZBCM=180。一90°=90°,

團/BCM+/CBM=90。,

@ZDCN=/CBM,

^ZDNC=ZBMC=90°,

團DC=BC,

0DCTV^CBM(AAS),

出DN=CM,BM=CN,

回……+34R俎“卜0=5

團點2,￡）到直線AE的距離之和為5.

故選：A.

20.（2024?廣東東莞?三模）如圖，將以。為中心點的量角器與含30。角的直角三角板緊靠著放在同一平面內，

此時點。，C,8在同一條直線上，且L>C=23C.過點A作量角器圓弧所在圓的切線，切點為E,則點E

在量角器上所對應的銳角度數是（）

DB

A.30°B.45°C.50°D.60°

【答案】D

【分析】此題考查了切線的性質、全等三角形的判定與性質以及垂直平分線的性質.此題難度適中，解題

的關鍵是掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用.設半圓的圓心為。，連接。4,由題意易得AC

是線段的垂直平分線，即可求得NAOC=NABC=60。，又由AE是切線，證明Rt.AOE絲RtAOC,繼

而求得上4OE的度數，則可求得答案.

【詳解】解：設半圓的圓心為。，連接Q4,

SOC=BC,

0ZACB=90°,即AC_LO3,

BOA^BA,

^ZAOC^ZABC,

13NS4c=30。，

0ZAOC=ZABC=60°,

I3AE是切線，

EINAEO=90°,

SZAEO=ZACO=90°,

在RtZ\AOE和RtAOC中，

fOA=OA

[OE=OC'

0RtAOE^RtAOC(HL),

SZAOE=ZAOC=60°,

0ZAOD=180°-60°-60°=60°,

即點E在量角器上所對應的銳角度數是60。.

故選：D.

3

2一2。24?廣東深圳?模擬預測）如圖'在.ABC中'M=AC=6,tan4AC="點。是AC邊上任意一

點，連接3。，將△■BCD沿著5。翻折得△BCD,且CD_LAB且交AB于點E,則Z)E=1

【答案】I9

【分析】本題考查了折疊的性質，全等三角形的判定與性質，三角函數，解題的關鍵是掌握相關的知識.作

，AC于點H,則ZAHB=ZBHC=90°,根據三角函數值可設設BH=3x,則AH=4x,得到AB=5x=6,

求出==y,CH=|,證明二2&BDE,得到==最后根據三角函數即可求

解.

【詳解】解：如圖，作于點H,則NAHB=/3HC=90。，

?,?設BH=3x,則AH=4x,

AB=5x=6,

6

??x=—,

AH=4x=,BH=3x=—,

246

...CH=AC-AH=6——=

55

在ABDH和ABDE中,

ZBDH=ZBDE

</BHD=/BDE=90。,

BD=BD

BDHmABDE(AAS),

1Q

...BE=BH=—,

5

AE=AB-BE=6——=—,

55

?DE3

tanNBAC-——,

AE4

39

..?DE=—?AE=—,

45

9

故答案為：—.

22.（2024?廣東深圳?模擬預測）如圖，三角形ABC中，=點。在A5上，Z4CD=45。，點E在5c

的延長線上，^.ZBAE=3ZBCD,若4）=5,CE=1,則跖的長為.

【答案】11

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質、勾股定理、等腰三角形的判定和性質等知識，

過點A作AGL5C于點G,交CD于點H,過點A作A方，CD于點尸，交BE于點T,過點H作“K,AC于

點K.設/3=2tz,得到/BCD=45。-0,得至叱石=45。+。，證明,AFD烏CFT（ASA）,進一步得到

AD=CT=5,/ZMF=/OCB=45。—。，則得到ZA7E=N8+/ZMT=45o+tz,證明AT=A￡,則TG=GE,

由CT=5,CE=1得到ET=6,則GT=GE=3,CG=GE—CE=2,得到AD=AH=5,由等積法求出

AC=線，得到CK=HK,在RtAA2中，由勾股定理得到長〃=巫，進一步得到=應陋=百，

KH2

由勾股定理得到GH=VE7二濤=1，得到AG=AH+GH=6,在RtAABG中，由勾股定理得到3G=8,

即可得到答案.

【詳解】解：如圖，過點A作AGL3C于點G,交CD于點H,過點A作A尸LCD于點凡交BE于點T,

過點//作“，AC于點K.

設ZB=2a,

國BA=BC,

^ZBAC=ZACB=^(180°-2a)=90°-a,

團NACE)=45。，

國/BCD=45°—a,

⑦NBAE=3NBCD,

團NE=180。—2。-3(45°-％)=45。+。，

SAFICD,

回NAFC=90。,

ZFAC=ZFCA=45°f

^FA=FC,

⑦/DAF=/TCF,

國ZAFD=NCFT,

0AFD^CFT(ASA),

國AD=CT=5,ZDAF=ZDCB=45°-a,

^ZATE=ZB+ZDAT=45O+a,

^ZATE=ZE,

BAT=AEf

EAGLET,

國TG=GE,

團CT=5,CE=1,

團ET=6,

出GT=GE=3,CG=GE-CE=2,

國ZAFH=NCGH=90。,ZAHF=NCHG,

?NGCH=ZHAF=/DAF,

^\ZADF+ZDAF=9Q°,ZAHF+ZHAF=90°,

⑦ZADF=ZAHF,

國AD=AH=5,

團sACH=-AHCG=-ACHK,

AC"22

團AC」,

KH

。,

⑦/HKC=90ZHCK=45°f

?CK=HK,

在RtAAK”中，則有5?=8片+（處-"］，

解得，KH=叵或2下,

2

S--KH>0,

KH

SHK2<10，

QKH=2也不符合題意舍去，

EIK”=巫，

2

SCH=42KH=45,

^GH=y/CH2-CG2=1>

I3AG=AH+G"=6,

在RtaABG中，貝I］有AB2=AC2=AG2+8G2,

0（BG+2）2^62+BG2,

0BG=8,

SBE=BG+GE=n,

故答案為：IL

23.（2024?廣東廣州?二模）如圖，在ABC中，ZC=90°,AD是/BAC的平分線，若8=2,AD=BD,

則△AB。的面積為.

【答案】4指

【分析】此題考查角平分線的性質定理，等腰三角形三線合一，直角三角形的性質以及勾股定理.直角三

角形30度角所對直角邊長度是斜邊的一半，角平分線上的點到角兩邊的距離相等，綜合運用以上知識是解

題的關鍵.

先過。點作DE2AB于E,再利用角平分線的性質定理得DE=DC,然后根據等腰三角形的性質得到

ZDAB=ZB,計算得出NC4￡>=NA4B=N3=30。，得到AD的長，再由勾股定理得到AE的長，即可求解.

【詳解】解：過。點作■上AB于E,如圖所示，

D

ZC=90°,

B

DC±ACf

又DELAB,是NBA。的角平分線，CD=2,

/.DE=DC=2f

0AD=BD,

回AE=BE,

團NDAB=NB,

團NC=90。，

ZCAD=ZDAB=ZB=30°f

⑦AD=2DE=4,

^AE=ylAD2-DE2=2A/3>

0AB=4^

S=-AB-DE=-X4^X2=4A/3；

ZMVLRDZnJ22

故答案為：4A/3.

24.（2024?廣東廣州?二模）如圖，在等腰ABC中，AB=AC,延長邊48到點。，延長邊C4到點E,連接

DE,若AD=BC=CE=DE,則N3AC=.

【答案】100。/100度

【分析】過點。作。尸〃BC,CF//BD,易得四邊形。3cp為平行四邊形，進而得到。歹=8。,8。=。尸,

證明」./ME絲ECF,推出,，。即為等邊三角形，設N54C=a,根據等邊對等角，表示出NAOE,乙4。尸，

根據N4DE+ZADF=60。，列出方程進行求解即可.

【詳解】解：過點。作。w〃BC,CF//BD,連接E尸，

則：四邊形D8CF為平行四邊形,

mDF=BC,BD=CF,

SAD=BC=CE=DE,AB=AC,

^AD-AB=CE-AC,DE=DF,

團AE—BD,

團AE—CF,

團CF〃AD,

⑦NECF=NEAD,

團DAE會ECF,

國DE=EF,

⑦DE二DF,

⑦DE=EF=DF,

團,DEF為等邊三角形，

回/EZ加=60°,

設NR4C=c,貝i|：ZADF=ZABC=1(180°-a),ZZME=180°-a,

0ZADE=180°-2ZZ14E=2?-180°,

0ZEDF=ZADE+ZADF=2a-180°+1(180°-?)=60°,

解得：a=100°,

0Z&4C=1OO°；

故答案為：100。.

【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形

的判定和性質等知識點，解題的關鍵是添加輔助線構造全等三角形和特殊圖形.

25.(2024?廣東廣州?一模)如圖，已知AD是ABC的角平分線，DE,。尸分別是和,、ACD的高，

四邊形AED尸的面積為60,DF=5,則VADE中AD邊上的高為.

【答案】

【分析】本題主要考查角平分線性質定理以及三角形面積公式，根據角平分線性質定理得出

DE=DF,/DAE=ZDAF,證明絲△的衣，得出5人加=30,由面積公式求出A尸=12,再根據勾

股定理得出">=13,最后再根據面積公式求出VADE中AD邊上的高.

【詳解】解：團AO是ASC的角平分線，且DE,。尸分別是△ABD和，ACO的高，

BDE=DF,ZDAE=ZDAF,ZDEA=ZDFA=90°,

團DEA^.DFA,

=

回SDEASDFA'

又S四邊形AEOF=SDEA+SDFA~6°,

回SDFA~/S四邊形AEDF=3°，

即b.。尸=30,

2

團DF=5,

團AF=12,

在RtAN中，由勾股定理得，AD=ylAF2+DF2=V122+52=13-

設VADE中AD邊上的高為〃，則有：—xl3x/z=3O,

2

解得，h=^,

即VADE中A。邊上的高為,

故答案為：魯,

26.（2024?廣東珠海?一模）如圖，將，ASC繞點C順時針旋轉，使點8落在A8邊上的點。處，點A落在點

E處，DE與AC相交于點居若ABIICE,DE1AC,AD=2,則A3的長為.

【答案】2+20

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，勾股定理，通過題意構造輔助線是解題的

關鍵.

如圖，過點C作，4?于點證明RtCMB=RtCMD,得到=BM=DM，再證明

CDMCDF,得到==D尸，由ABCE及旋轉可得到NA=45。，由勾股定理得到

DF=BM=DM=3，即可求出A3長.

【詳解】解：如圖，過點C作1四于點”，

AE

由旋轉可知：CB=CD,ZB=ZCDE,ZA=ZE,

CMLAB,

.\ZCMB=ZCMD=90°,

CB=CD,CM=CM,

/.RtCMB^RtCMD(HL),

.\ZB=ZCDM,BM=DM,

:./CDM=/CDF,

DELAC,

;./CFD=/CFE=ZAFD=9。。,

，/CFD=/CMD,

在VCDAf和4a*中，

ZCMD=ZCFD

<ZCDM=/CDF,

CD=CD

:_CDM-CDF(AAS),

:.DM=DF,

:.BM=DM=DF,

ABCE,

:.ZA=ZACE,

:.ZACE=ZEf

ZCFE=90°,

\1ACEIE45?,

.?.NA=45。，

:.AF=DF,

AD=2,

???A尸尸2=4，

/.AF=DF=①,

BM=DM=6,

???AB=2+應+0=2+20,

故答案為：2+20.

27.（2024?廣東廣州二模）如圖：小文在一個周長為22cm的；ABC中，截出了一個周長為14cm的八4￡＞。,

發現點D剛好落在A3的垂直平分線上，請問AB的長是cm.

【答案】8

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質、三角形的周長等知識點，掌握線段垂直平分線的性質成

為解題的關鍵.

根據線段垂直平分線的性質可得BD=AD,再根據三角形周長公式可得AD+DC+AC=22cm、

AB+BC+AC=22cm,AB+BD+DC+AC=22cm,然后將AB+3C+AC=22cm整體代入即可解答.

【詳解】解：國點。剛好落在的垂直平分線上，

0BD=AD,

團AADC的周長為14cm,

BAD+DC+AC-22cm,

團.ABC的周長為22cm,

0AB+BC+AC=22cm,即AB+BD+DC+AC^22cm,

SAB+AD+DC+AC=22cm,即AB+（+DC+AC）=22cm

0AB=22cm-AD+DC+AC）=22cm-14cm=8cm.

故答案為：8.

28.（2024?廣東東莞?一模）畢達哥拉斯樹，也叫"勾股樹"，是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可

以無限重復的樹形圖形.歐幾里得在《幾何原本》中曾對該圖做了深入研究，如圖，在ASC中，ZACB-90°,

分別以ABC的三條邊為邊向外作正方形，連接BF,CD,過點C作。0_LDE于點若=3,ZFBA=30°,

則的面積為__________.

【答案】乎

【分析】本題主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性質定理，含30度角直角三角形的性質，解

題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.

先由已知條件利用SAS的三角形全等的判定定理證出，E4B絲CAD,然后得到NFB4=/aM=30。，

13

BF=CD=3,進而得到/OQ0=NADC=3O。，DM=—CD=—,然后利用勾股定理求出

22

CMNcA-DM?=空,最后利用三角形面積公式求解即可.

2

【詳解】解：回四邊形ACG尸和四邊形ABED是正方形

回NE4C=NSAD=90。，FA=CA,BA=DA,

⑦/FAC+NBAC=ZBAD+ZBAC,

^ZFAB=ZCADf

,在，和CAD中，

AF=AC

</FAB=ACAD,

AB=AD

:.^FAB^_CAD（SAS）,

/.ZFBA=ZCDA=30°fBF=CD=3f

^1AD//CM,

^\ZDCM=ZADC=30°,

aCMIDE,

13

團DM=—CD=—,

22

BCM=yJCD2-DM2

2

^NCDM的面積==』乂3義速=型.

22228

故答案為：迎.

8

29.（2024?廣東廣州?三模）如圖，點AE,F,5在直線/上，AE=BF,AC//BD,且AC=5Q,求證：

ZC=ZD.

【答案】證明見解析

【分析】本題考查了平行線的性質，全等三角形的判定和性質，由鉆=8b可得=由AC〃刖可

得/CAF=/DBE,即可由SAS證明△ACF絲△DBE,掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵.

【詳解】證明：回點AE,F,B在直線/上，AE=BF,

SAE+EF=BF+EF,

即AF=BE,

^AC//BD,

SZCAF=ZDBE,

5l^AC=BD,

0ACF^DBE(SAS),

0ZC=ZD.

30.(2024?廣東河源?一模)如圖，在ASC中，ZC=90°,AD=AC,DE=CE,試猜想與A8的位置關

系，并說明理由.

【答案】DEJ.AB,理由見解析.

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質.證明.ADE絲ACE(SSS),推出NADE=NACE=90。，可得

結論.

【詳解】解：結論：DEJ.AB,

理由：連接AE.

在，ADE與ACE1中,

AD=AC

■DE=CE,

AE=AE

ADE^ACE(SSS),

ZADE=ZACE=90°,

:.AD±DE,即

31.(2024?廣東廣州?二模)如圖，A、。、B、廠在一條直線上，DE//CB,BC=DE,AD=BF.求證:

△ABCmAFDE.

【答案】見詳解

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，先根據兩直線平行得出內錯角相等，再結合線段和的關系

得出=即可證明△ABC四△fDE(SAS).

【詳解】解：QDE/ICB,

0NCBD=NEDB,

SAD=BF,

^\AD+BD=BF+BD,

即AB=RD,

0BC=DE,

0△ABC絲△FDE(SAS).

32.(2024?廣東東莞?一模)如圖，在ABC中，Z1=Z2,Z3=Z4,證明：四△ACD.

【答案】證明見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定，等角對等邊，先證明3ACD,再根據"SAS"進行證明即可.

【詳解】證明：回/3=/4,

BBD=CD,

在△ABD和，ACD中,

AD=AD

<Z1=Z2,

BD=CD

回△ABD且zXACD(SAS).

33.(2024?廣東廣州?二模)如圖，8、C、E三點在同一直線上，AC//DE,AC=CE,=.求證：AB=CD.

【答案】證明見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，平行線的性質，也考查了三角形內角和定理.根據平行的性

質可得/4CB=ZE,再根據三角形內角和定理可以得到NA="CE,即可證明ACB名CED,故得證.

【詳解】證明：SAC//DE,

SZA+ZB+ZACB=ZE+ZD+ZDCE=180°,ZD=NB,

0ZA=ZDCE,

又回AC=CE,

0ACB空CED（ASA）,

SAB=CD.

34.（2024?廣東廣州?二模）古人詩云："草長鶯飛二月天，拂堤楊柳醉春煙.兒童散學歸來早，忙趁東風放

紙鶯."紙鶯，又稱風箏，其制作技藝是我國民間的傳統工藝，某班數學興趣小組根據風箏的形狀畫出圖形

（如圖所示），已知AB=3C,ZABD=NCBD,求證：AD=CD.

【答案】證明見解析

【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質，熟練掌握三角形全等的判定和性質是解題的關鍵.根據

AB=BC,ZABD=NCBD,BD=BD,利用SAS