專題24圓的有關計算與證明

一、單選題

（2024?安徽?中考真題）

1.若扇形AO3的半徑為6,ZAOB=120°,則AB的長為（）

A.2%B.3%C.4〃D.6冗

（2024.貴州.中考真題）

2.如圖，在扇形紙扇中，若ZAOB=150。，（24=24,則A8的長為（）

A.30兀B.25兀C.207rD.10兀

（2024?云南?中考真題）

3.某校九年級學生參加社會實踐，學習編織圓錐型工藝品.若這種圓錐的母線長為40厘米,

底面圓的半徑為30厘米，則該圓錐的側面積為（）

A.700兀平方厘米B.900兀平方厘米

C.1200兀平方厘米D.1600兀平方厘米

（2024?四川甘孜?中考真題）

4.如圖，正六邊形ABCDE/內接于OA=1,貝！MB的長為（）

A.2B.叢C.1D.—

2

（2024.廣東廣州.中考真題）

5.如圖，圓錐的側面展開圖是一個圓心角為72。的扇形，若扇形的半徑/是5,則該圓錐的

體積是（）

721

C.2A/6TT

（2024?四川遂寧?中考真題）

6.工人師傅在檢查排污管道時發現淤泥堆積.如圖所示，排污管道的橫截面是直徑為2米

的圓，為預估淤泥量，測得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬A3為1米，請計算出淤泥橫截

面的面積（）

C.—n-y/3D.—it——

3

（2024?四川廣安?中考真題）

7.如圖，在等腰三角形A3C中，AB=AC=10,ZC=70°,以A3為直徑作半圓，與AC,

8c分別相交于點。，E,則OE的長度為（）

（2024?山東威海?中考真題）

8.如圖，在扇形493中，NAOB=90。，點C是AO的中點.過點C作CELAO交相于點

E,過點E作垂足為點。.在扇形內隨機選取一點P,則點P落在陰影部分的

概率是（）

2_

D.

仁I

二、填空題

（2024?四川成都?中考真題）

ZA(9B=120°,則A8的長為.

（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）

10.若圓錐的底面半徑是1cm,它的側面展開圖的圓心角是直角，則該圓錐的高為cm.

（2024.吉林?中考真題）

11.某新建學校因場地限制，要合理規劃體育場地，小明繪制的鉛球場地設計圖如圖所示,

該場地由。。和扇形OBC組成，OBOC分別與。。交于點A,D.OA=lm,OB=10m,

ZAOD=40°,則陰影部分的面積為m?（結果保留兀）.

C

（2024.內蒙古呼倫貝爾?中考真題）

12.為了促進城鄉協調發展，實現共同富裕，某鄉鎮計劃修建公路.如圖、A8與是公

路彎道的外、內邊線，它們有共同的圓心。，所對的圓心角都是72。，點A,C,。在同一

條直線上，公路彎道外側邊線比內側邊線多36米，則公路寬AC的長是一米.（兀取3.14,

計算結果精確到0.1）

（2024?江蘇鹽城?中考真題）

13.已知圓錐的底面圓半徑為4,母線長為5,則圓錐的側面積是.

（2024?江蘇揚州?中考真題）

14.若用半徑為10cm的半圓形紙片圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐底面圓的半徑為—cm.

（2024?四川自貢?中考真題）

15.龔扇是自貢“小三絕”之一.為弘揚民族傳統文化，某校手工興趣小組將一個廢棄的大紙

杯側面剪開直接當作扇面，制作了一個龔扇模型（如圖）.扇形外側兩竹條AB,AC夾角為

120°.A3長30cm,扇面的邊長為18cm,則扇面面積為cm?（結果保留左）.

（2024.甘肅.中考真題）

16.甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術，是第一批國家級非物質文化遺產.如

圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設計圖如圖2,其中扇形08C和扇形Q4D有

相同的圓心。，且圓心角/。=100。，若。4=120cm,03=60cm,則陰影部分的面積是_

cm?.（結果用力表示）

O

（2024.黑龍江綏化?中考真題）

17.用一個圓心角為126。，半徑為10cm的扇形作一個圓錐的側面，這個圓錐的底面圓的半

徑為cm.

（2024?廣東深圳?中考真題）

18.如圖，在矩形中，BC=yf2AB,。為2C中點，OE=AB=4,則扇形EOP的面

積為.

19.一塊含30。角的直角三角板ABC按如圖所示的方式擺放，邊A3與直線/重合，

AB=12cm.現將該三角板繞點B順時針旋轉，使點C的對應點C落在直線/上，則點A經

過的路徑長至少為cm.（結果保留萬）

（2024?江蘇蘇州?中考真題）

20.鐵藝花窗是園林設計中常見的裝飾元素.如圖是一個花瓣造型的花窗示意圖，由六條等

弧連接而成，六條弧所對應的弦構成一個正六邊形，中心為點。，AB所在圓的圓心C恰好

是AABO的內心，若AB=2/，則花窗的周長（圖中實線部分的長度）=.（結果保留兀）

（2024?甘肅臨夏?中考真題）

21.如圖，對折邊長為2的正方形紙片ABC。，為折痕，以點。為圓心，為半徑作

弧，分別交AD,BC于E,尸兩點，則斯的長度為（結果保留兀）.

AED

（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）

22.若圓錐的底面半徑為3,側面積為36兀，則這個圓錐側面展開圖的圓心角是

（2024.吉林長春.中考真題）

23.如圖，A8是半圓的直徑，AC是一條弦，。是AC的中點，DEJ.AB于點、E,交AC于

點F,交AC于點G,連結AE>.給出下面四個結論:

①ZABD二NDAC；

②AF=FG；

③當。G=2,G3=3時，FG=—；

2

④當BD=2AD，AB=6時，ADFG的面積是百.

上述結論中，正確結論的序號有.

（2024?廣東?中考真題）

24.綜合與實踐

【主題】濾紙與漏斗

【素材】如圖1所示：

①一張直徑為10cm的圓形濾紙；

②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過濾漏斗.

b-7cm-d

圖1

【實踐操作】

步驟1:取一張濾紙；

步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；

步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；

步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中.

【實踐探索】

（1）濾紙是否能緊貼此漏斗內壁（忽略漏斗管口處）？用你所學的數學知識說明.

⑵當濾紙緊貼漏斗內壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積.（結果保留兀）

（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）

25.如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標系中,

VABC的三個頂點坐標分別為川-2,3）,C（-5,2）.

（1）畫出VABC關于y軸對稱的△44G,并寫出點耳的坐標;

⑵畫出VABC繞點A逆時針旋轉90。后得到的AA&C2,并寫出點鳥的坐標;

⑶在（2）的條件下，求點B旋轉到點的過程中所經過的路徑長（結果保留兀）

（2024.山東?中考真題）

26.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,DAB=60°,AB=BC=2AD=2.以點A為

圓心，以AD為半徑作￡）E交AB于點E,以點8為圓心，以8E為半徑作所所交BC于點尸，

連接ED交所于另一點G,連接CG.

⑴求證：CG為所所在圓的切線;

（2）求圖中陰影部分面積.（結果保留乃）

（2024?福建?中考真題）

27.如圖，在VABC中，/BAC=9（r,AB=AC,以A3為直徑的交BC于點D,AE_LOC,

垂足為E,BE的延長線交A。于點尸.

（3）求證：AD與斯互相平分.

（2024?陜西?中考真題）

28.問題提出

（1）如圖1,在V45C中，AB=15,NC=30。，作VABC的外接圓00.則ACB的長為

；（結果保留兀）

c

問題解決

（2）如圖2所示，道路A3的一側是濕地.某生態研究所在濕地上建有觀測點Q,E,C,

線段AD,AC和2C為觀測步道，其中點A和點B為觀測步道出入口，已知點E在AC上,

且AE=EC,N7M8=60。，ZABC=120°,AB=1200m,AD=BC=900m,現要在濕地

上修建一個新觀測點P,使"PC=60。.再在線段A3上選一個新的步道出入口點E并修

通三條新步道PF,PD,尸C,使新步道尸尸經過觀測點E,并將五邊形ABCPD的面積平分.

DC

請問：是否存在滿足要求的點P和點F?若存在，求此時PF的長；若不存在，請說明理由.（點

A,B,C,P,。在同一平面內，道路A3與觀測步道的寬、觀測點及出入口的大小均忽略

不計，結果保留根號）

（2024?江蘇連云港?中考真題）

29.【問題情境】

（1）如圖1,圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內接正方形，那么大正方形面

積是小正方形面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉45。（如圖2）,這時候就容易發現大

正方形面積是小正方形面積的倍.由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略;

【操作實踐】

（2）如圖3,圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊。、b、c、1之間存在某種數量關

系.小昕按所示步驟進行操作，并將最終圖形抽象成圖4.請你結合整個變化過程，直接寫

出圖4中以矩形內一點P為端點的四條線段之間的數量關系;

AD

b

①②③④

圖3圖4

【探究應用】

(3)如圖5,在圖3中“④”的基礎上，小昕將△PDC繞點尸逆時針旋轉，他發現旋轉過程

中NZMP存在最大值.若PE=8,PF=5,當NZMP最大時，求的長;

圖5

(4)如圖6,在Rt/VIBC中，NC=90。，點。、E分別在邊AC和BC上，連接。E、AE,

BD.若AC+CD=5,BC+CE=8,求AE+BD的最小值.

圖6

參考答案：

1.C

【分析】此題考查了弧長公式，根據弧長公式計算即可.

【詳解】解：由題意可得，AB的長為號答=4萬，

loU

故選：C.

2.C

【分析】本題考查了弧長，根據弧長公式：/=2三求解即可.

【詳解】解???NAQ3=150。，OA=24,

?AAi/AL1507ix24__

,*AB的長為77T—20兀，

loU

故選：c.

3.C

【分析】本題考查了圓錐的側面積，先求出圓錐底面圓的周長，再根據圓錐的側面積計算公

式計算即可求解，掌握圓錐側面積計算公式是解題的關鍵.

【詳解】解：圓錐的底面圓周長為271x30=60兀厘米，

.,.圓錐的側面積為LX60兀x40=1200兀平方厘米，

2

故選：C.

4.C

【分析】本題考查了正六邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，由正六邊形的性質得到

ZAOB=60°,得到VAOB為等邊三角形，進而得至UQ4==1,判斷出VAO3為等邊三角

形是解題的關鍵.

【詳解】解：*/ABCDEF是正六邊形,

360°

ZAOB二60。，

6

9：OA=OB,

???VAOB為等邊三角形,

OA=AB=1,

故選：C.

5.D

【分析】本題考查了弧長公式，圓錐的體積公式，勾股定理，理解圓錐的底面周長與側面展

開圖扇形的弧長相等是解題關鍵，設圓錐的半徑為「，則圓錐的底面周長為2萬廠，根據弧長

公式得出側面展開圖的弧長，進而得出廠=1,再利用勾股定理，求出圓錐的高，再代入體

積公式求解即可.

【詳解】解：設圓錐的半徑為小則圓錐的底面周長為2",

圓錐的側面展開圖是一個圓心角為72。的扇形，且扇形的半徑/是5,

，扇形的弧長為79繪77"X好S=2萬，

180

???圓錐的底面周長與側面展開圖扇形的弧長相等，

2兀丫=2〃,

二.尸=1,

■■■圓錐的高為存二F=2?，

二圓錐的體積為工41"2?=友"，

33

故選：D.

6.A

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，求不規則圖形的面積，

過點。作于。，由垂徑定理得===由勾股定理得?！?gt;=且01,

222

又根據圓的直徑為2米可得。4=03=AB,得到VAO8為等邊三角形，即得NAO3=60。，

再根據淤泥橫截面的面積=$扇形A。"-S.AOB即可求解，掌握垂徑定理及扇形面積計算公式是解

題的關鍵.

【詳解】解：過點。作ODLAB于。，則AO=8D=gA3=gni,ZADO90°,

:圓的直徑為2米,

OA=OB=1m,

出

...在比AAOD中，ODZOA1-AD。==——m，

2

OA=OB=AB,

???VAO6為等邊三角形，

???ZAOB=60°,

2

.、跖汨拄并右.石訪c_60Kxl1V31612

xx

??淤泥橫截面的面積=s扇形AOB-SAAO5=1^-^—='兀--—m,

JOUZ2（。4J

故選：A.

7.C

【分析】本題考查了求弧長.根據等腰三角形的性質和三角形的內角和定理求得NA的度數,

證明O石〃AC,再由Q4=OD,再由等腰三角形的性質和平行線的性質求得Z.DOE的度數，

利用弧長公式即可求解.

【詳解】解：連接OO,OE,

AB=AC,

：.ZABC=ZC=70°f

'：OE=OB,

：.ZOEB=ZB=70°,

：./OEB=/C=7。。

：.OE//AC,

在VABC中，ZA+Zz4BC+ZC=180°,

???ZA=180°-ZABC-ZC=180°-70°-70°=40°,

5LOA=OD=-AB=5,

2

?.?OE\\AC

：.ZA=ZADO=40°=ZDOE,

,DE的長度為^^二亍，

故選：c.

8.B

【分析】本題考查的是求不規則圖形的面積，幾何概率，根據陰影部分面積等于扇形O3E的

面積，即可求解.

【詳解】解：VZAOB=9Q°,CELAO,EDVOB

四邊形OCDE是矩形，

,?S&OCE=S—DE

=

,?S陰影部分=OOE+SBDES扇形OBE

???點。是AO的中點

OC=-OE=DE

2

..ED_1

??sin/EOD=----=一

OE2

???ZEOD=3Q0

._30KxAO2_7ixAO2_90KXAO2_KxAO2

=

,?3陰影部分=MODE+，BDE3扇形-記。=~，白扇形人在=記°="

TIXAO2

點尸落在陰影部分的概率是售畦=―^=;

?扇形A05兀義5

4

故選：B.

9.4兀

【分析】此題考查了弧長公式，把已知數據代入弧長公式計算即可.

【詳解】解：由題意得A5的長為

mtr1207ix6.

---=-------=471,

180180

故答案為：4兀

10.y/15

【分析】本題考查了圓錐的計算.設圓錐的母線長為R,根據圓錐的側面展開圖為一扇形,

這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到

271-1=^-,然后解方程即可得母線長，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可?

180

【詳解】解：設圓錐的母線長為R,

根據題意得2萬」=為黑，

lot)

解得：R=4.

即圓錐的母線長為4cm,

圓錐的高=J42—F=

故答案是：厲.

11.1U

【分析】本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關鍵.

利用陰影部分面積等于大扇形減去小扇形面積，結合扇形面積公式即可求解.

【詳解】解：由題意得：s1M,=4。)(1。--「)=11萬,

陰影360

故答案為：11%.

12.28.7

【分析】本題考查了弧長公式，解一元一次方程等知識，利用弧長公式并結合題意可得出

72wfA~72wfC=36，進而得出72：￥=36,然后解方程并按要求取近似數即可.

lol)loUlot)

?、“左力.b.734?口4?口口占土/日772^-OA772TT?OC

【詳解】解：根據題思，侍&,=，/8=，

loUloU

???公路彎道外側邊線比內側邊線多36米，

.72^-OA727roe

??—36,

180180

...72*。A-。C).G,即生絲二36

180180

9090

1^^AC=----28.7,

it3.14

故答案為：28.7.

13.20%

【分析】結合題意，根據圓錐側面積和底面圓半徑、母線的關系式計算，即可得到答案.

【詳解】解：：圓錐的底面圓半徑為4,母線長為5

圓錐的側面積S=)x4x5=20萬

故答案為：20萬.

【點睛】本題考查了圓錐的知識，解題的關鍵是熟練掌握圓錐的性質，從而完成求解.

14.5

【分析】本題考查了圓錐的計算.用到的知識點為：圓錐的側面展開圖弧長等于底面周長.

根據題意得圓錐的母線長為10cm,以及圓錐的側面展開圖的弧長，也就是圓錐的底面周長，

除以2%即為圓錐的底面半徑.

【詳解】解：圓錐的側面展開圖的弧長為2;rxl0+2=10%(cm),

，圓錐的底面半徑為10萬+2萬=5(cm),

故答案為：5.

15.252萬

【分析】根據扇形公式進行計算即可.本題考查了扇面面積計算，掌握扇面面積等于兩個扇

形面積相減是解題的關鍵.

【詳解】解：扇面面積=扇形54C的面積-扇形D4E的面積

_120x^-x30*2*7120x^-x(30-18)2

—360360

=300乃一48萬

二252?(cm2),

故答案為：252萬.

16.30001

【分析】根據扇形面積公式計算即可.本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是

解題的關鍵.

【詳解】???圓心角NO=100。，0A=120cm,06=60cm,

2

.°口目八.=工r曰100X?X12()2100X^-X60

??陰影部分的面積是------------------------

360360

=3000萬cm2

故答案為：3000萬.

17.-

2

【分析】本題考查了弧長公式，根據圓錐的底面圓的周長等于側面的弧長，代入數據計算,

即可求解.

【詳解】解：設這個圓錐的底面圓的半徑為Rem,由題意得，黑又觸兀=2位

lol)

7

解得：R=；

7

故答案為：—.

18.4%

【分析】本題考查了扇形的面積公式，解直角三角形.利用解直角三角形求得4OE=45。,

ZCOF=45°,得到NEOF=90。，再利用扇形的面積公式即可求解.

【詳解】解：：BC=^A5,鉆=4,

‘BC=4四，

為BC中點，

：.OB=OC=LBC=2四,

2

OE=4,

在RJO5石中，cosZBOE=—=^=—,

OE42

：./BOE=45°,

同理NCOb=45。，

???ZEOF=180°-45°-45°=90°,

Q0-7-.42

扇形EOF的面積為=4萬，

360

故答案為：47r.

19.87r

【分析】本題主要考查了旋轉的性質、弧長公式等知識點，掌握弧長公式成為解題的關鍵.

由旋轉的性質可得/鉆。=44'3。=60。,即//的=120。，再根據點A經過的路徑長至少為

以B為圓心，以A3為半徑的圓弧的長即可解答.

【詳解】解：??.將該三角板繞點8順時針旋轉，使點C的對應點C'落在直線/上，

ZABC=ZA'BC=60°,即ZJBA=120°,

P00.TT-12

點A經過的路徑長至少為一m=87t.

lot)

故答案為：871.

20.87r

【分析】題目主要考查正多邊形與圓，解三角形，求弧長，過點C作CELAB,根據正多

邊形的性質得出NAOB為等邊三角形，再由內心的性質確定ZCAO=ZCAE=NCBE=30°,

得出-48=120。，利用余弦得出AC=)5=2,再求弧長即可求解，熟練掌握這些基礎

cos30

知識點是解題關鍵.

【詳解】解：如圖所示：過點C作CELAB,

AEB

V

o

V六條弧所對應的弦構成一個正六邊形,

ZAOB=60°,OA=OB,

為等邊三角形，

:圓心C恰好是AABO的內心，

ZC\O=ZCAE=/CBE=30°,

：.^ACB=120°,

AB=26,

AE=BE=5

??2/IL，

120X2XK4

的長為:------——兀，

AB1803

4

花窗的周長為:一兀x6=8兀,

3

故答案為：87r.

2萬2

21.——##~71

33

【分析】本題主要考查了弧長的計算、正方形的性質及翻折變換（折疊問題），解直角三角

形，熟知正方形的性質、圖形翻折的性質及弧長的計算公式是解題的關鍵.

由對折可知，ZEOM=ZFOMf過點E作的垂線，進而可求出NEOM的度數，則可得

出ZEOF的度數，最后根據弧長公式即可解決問題.

【詳解】解：:?折疊，且四邊形ABCD是正方形

四邊形是矩形，ZEOM=ZFOM,

貝UOA/=AD=2,DM=-CD=\.

2

過點E作于P,

則E尸=。"=工。。=1,

2

\-OE=OM=AD=2,CD=AD=2,

:.EP=-OE.

2

EP1

在RtEOP中，sin/EOP=——=—,

AOE2

二.NEO尸=30。，

則N￡O尸=30°x2=60。,

60?2_2萬

：.EF的長度為:180-T

故答案為：—.

22.90

【分析】此題主要考查了圓錐的側面積公式以及與展開圖扇形面積關系，求出圓錐的母線長

是解決問題的關鍵.根據圓錐的側面積公式3=兀〃求出圓錐的母線長，再結合扇形面積公

式即可求出圓心角的度數.

【詳解】根據圓錐側面積公式：S=7trl,可得冗x3x/=36兀

解得：1=12,

解得〃=90,

?二側面展開圖的圓心角是90。.

故答案為：90.

23.①②③

【分析】如圖：連接。C,由圓周角定理可判定①；先說明N&)E=NAG。、ZADE=ZDAC

可得DF=FG、AF=FD,即AF=FG可判定②；先證明AADG-ABZM可得絲=型，即

BDAD

代入數據可得A￡>=W，然后運用勾股定理可得AG=J五，再結合

河=所即可判定③；如圖：假設半圓的圓心為O,連接ORCO,CZ),易得

ZAOD=ZDOC=60°,從而證明AA。。,AODC是等邊三角形，即ADCO是菱形，然后得到

ZDAC=ZOAC=30°,再解直角三角形可得￡>G=2A/L根據三角形面積公式可得

S.=6遭，最后根據三角形的中線將三角形平分即可判定④.

【詳解】解：如圖：連接OC,

???。是AC的中點，

?**AD=DC9

：.ZABD=ZDAC,即①正確；

丁AB是直徑，

：.ZADB=90°,

：.ZZMC+ZAG￡)=90°,

*.*DE_LAB

：.?BDE1ABD90?,

ZABD=NDAC,

：.ZBDE=ZAGD,

：.DF=FG,

■:?BDE?ABD90?,ZBDE+ZADE=9b。,

:.ZADE=ZABD,

9：ZABD=ZDAC,

：.ZADE=ZDACf

：.AF=FD,

???”=FG,即②正確；

在△ADG和△8DA,

AADG=ZBDA=90°

NDAG=/DBA

小ADg^BDA,

.ADGDADGD

??-,即nn----------=

BDADDG+BGAD

AG=^ACr+DG1=V14，

:AF=FG,

：.FG=-AG=—,即③正確；

22

如圖：假設半圓的圓心為O,連接ORCO,C￡),

：2￡>=2A。，AB=6,。是AC的中點，

AD=DC=AB,

：.ZAOD=ZDOC=60°,

?；OA=OD=OC,

AAOD,AODC是等邊三角形，

Q4=AD=C￡)=OC=OD=3,即ADCO是菱形，

ADAC=ZOAC=-ZDAO=30°,

2

?；ZADB=90°,

/.tanZ￡>AC=tan30°=—,即立=%,解得：DG=B

AD33

?■-Sj0GqAD.DG=卜乂6=當，

u：AF=FG

故答案為：①②③.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定與性質、勾股定理、

菱形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵.

24.⑴能,見解析

【分析】本題考查了圓錐，解題的關鍵是：

(1)利用圓錐的底面周長=側面展開扇形的弧長求出圓錐展開圖的扇形圓心角，即可判斷；

(2)利用圓錐的底面周長=側面展開扇形的弧長，求出濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑，利

用勾股定理求出圓錐的高，然后利用圓錐體積公式求解即可.

【詳解】⑴解:能，

理由：設圓錐展開圖的扇形圓心角為〃。，

根據題意，得需=7兀，

lol)

解得〃=180?,

???將圓形濾紙對折，將其中一層撐開，圍成圓錐形，此時濾紙能緊貼此漏斗內壁；

(2)解:設濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑為rem,高為/?cm,

根據題意，得2療=18哈,

.,.圓錐的體積為工萬戶x—A/3=y/Snem3.

33224

25.⑴作圖見解析，4(2,3)

⑵作圖見解析，與(-3,0)

⑶爭

【分析】本題考查了利用旋轉變換作圖，軸對稱和扇形面積公式等知識，熟練掌握網格結構

準確找出對應點的位置是解題的關鍵.

(1)根據題意畫出即可；關于y軸對稱點的坐標橫坐標互為相反數，縱坐標不變；

(2)根據網格結構找出點8、C以點A為旋轉中心逆時針旋轉90。后的對應點，然后順次

連接即可；

(3)先求出AB=6,再由旋轉角等于90。，利用弧長公式即可求出.

【詳解】(1)解：如圖，44瓦C為所求；點耳的坐標為(2,3),

(2)如圖，AAB2G為所求；B2(-3,0),

(3)AB=正+22=&，

點B旋轉到點B2的過程中所經過的路徑長90x岔%=17.

1802

26.⑴見解析

⑵工下

【分析】本題考查平行四邊形的性質和判定，圓的性質，扇形面積，等邊三角形的性質等知

識點，證明四邊形AM是平行四邊形是解題關鍵.

(1)根據圓的性質，證明3尸=3E=AD==CF,即可證明四邊形ABFD是平行四邊形，

再證明△所G是等邊三角形，再根據圓的切線判定定理即可證得結果.

(2)先求出平行四邊形的高根據扇形面積公式三角形面積公式，平行四邊形面積公

式求解即可.

【詳解】(1)解：連接8G如圖，

D

AEB

根據題意可知：AD=AE,BE=BF

又???AB=BC,

：.CF=AE=AD,

9：BC=2AD,

:.BF=BE=AD=AE=CF,

u：AD//BC,

???四邊形ABFD是平行四邊形，

：.ZBFD=ZDAB=60°,

,:BG=BF,

???△BFG是等邊三角形，

GF=BF,

:?GF=BF=FC,

???G在以3c為直徑的圓上，

,ZBGC=90°,

???CG為斯所在圓的切線.

(2)過。作于點H,

由圖可得：S陰影"SnA5F￡)—S扇AED—S扇8EG—8逆產G,

在Rt&4/TO中，AD=1,/ZM5=60。，

DH=ADsmZDAB=lx—=—,

22

:.SARFD=ABDH=2X是=6,

cjAHrL)2Y

由題可知：扇形AC也和扇形BGE全等,

.__rnir160TT(AD)260xxI27i

**扇也一扇KE-360——360———360一—

等邊三角形5FG的面積為：LGFDH=LX1速力,

2224

,C_C_C_C_C_C兀冗_3A/^冗

?.3陰影_JgABFD_3扇AEO一)扇BEG_J.BFG-§

27.(1)|

⑵證明見解析

(3)證明見解析

AC

【分析】(1)先證得AC=2AO,再在R^AOC中，tanZAOC=——=2.在RtZkAOE中,

AO

4FAF

tanZAOC=—,可得==2,再證得結果；

OE0E

(2)過點5作BA/〃AE,交￡。延長線于點M,先證明△〃?￡必△5OM,可得

AE=BM,OE=OM,再證得44E=NCBE,再由相似三角形的判定可得結論；

(3)如圖，連接。瓦。尸，由(2)AAEB^ABEC,可得

把=黑='=把,NE4O=NE5。，從而得出△AO￡s△瓦汨，得出

BEBC2BDBD

NBED=ZAEO=90。,得出NAFB=NDEF,再由平行線判定得出AF/ZDE1,AE//FD,

從而得出四邊形血衣是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質可得結果.

【詳解】(1)\AB=AC,且A5是0。的直徑,

:.AC=2AO.

vZB4C=90°,

?，?在RIAAOC中，tanNAOC=.6=2.

\-AE.LOC,

AE

??.在石中，tanZAOC=——.

OE

.??絲=2,

OE

.OE_1

*AE-2；

(2)過點/作風0〃AE,交石。延長線于點M.

c

/.ZBAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90°

???AO=BO,

:.LAOEmABOM,

:.AE=BM,OE=OM.

OE1

,~AE~29

:.BM=2OE=EM,

NMEB=/MBE=45°,

ZAEB=ZAEO+ZMEB=135。,ZBEC=180°-ZMEB=135°,

.\ZAEB=ZBEC.

AB=AC,ZBAC=90°,

:.ZABC=45°,

:.ZABM=ZCBE,

:.ZBAE=/CBE,

/.ZADB=ZAFB=90。,AB=2AO.

?.?AB=AC,ZBAC=90°,

:.BC=2BD,ZDAB=45°.

由（2）知，AAEB^ABEC,

需患聾=黑"°=?'

:./\AOE^ABDE,

ABED=ZAEO=90°.

:.ZDEF^90°.

:.ZAFB=ZDEF,

:.AF//DE.

由（2）知，ZAEB=135°,

ZAEF=180°-ZAEB=45°.

?:NDFB=ZDAB=45°,

:.ZDFB=ZAEF,

:.AE//FD,

.1四邊形AEDF是平行四邊形,

二AD與E產互相平分.

【點睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質、銳角三角函數、全等三角形的

判定與性質、相似三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、

圓的基本性質等基礎知識，考查推理能力、幾何直觀、運算能力、創新意識等，熟練掌握相

關圖形的性質定理是關鍵.

28.(1)25萬；(2)存在滿足要求的點尸和點F此時尸產的長為(300瓶+1200)m.

【分析】(1)連接。4、OB,證明△OAB等邊三角形，再利用弧長公式計算即可求解;

(2)點尸在以。為圓心，圓心角為120。的圓上，如圖，由題意知直線PF必經過CO的中點

M,得到四邊形AKWD是平行四邊形，求得月0=">=900111,作CNLPF于點、N,解直

角三角形求得CN和的長，再證明利用相似三角形的性質求得

PC2=720000,據此求解即可.

【詳解】解：(1)連接。4、OB,

ZC=30°,

：.ZAOB=60°,

?；OA=OB,

/.△OAB等邊三角形,

AB=15,

：.OA=OB=15,

故答案為：25萬；

(2)存在滿足要求的點P和點凡此時尸尸的長為卜00下+1200)m.理由如下,

解：：N7MB=60。，ZABC=120°,

ZDAB+ZABC=180°,

,AD//BC,

VAD=BC=900m,

四邊形ABC。是平行四邊形，

,/要在濕地上修建一個新觀測點尸，使ZDPC=60°,

...點P在以。為圓心，C￡＞為弦，圓心角為120。的圓上，如圖，

經過點E