與集19幾何徐合止柚集

5年考情?探規(guī)律

考點(diǎn)五年考情(2020-2024)命題趨勢

2024?廣東卷：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、外角定理、相似三角形的判定

與性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形本題型是中

2023?廣東卷：矩形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、含3。度角的直角三角形的考的幾何壓

廣東卷性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、中位線的性質(zhì)定理、角平分線的判軸大題，是

定定理對學(xué)生所學(xué)

2021?廣東卷：等腰三角形等腰對等角、梯形中位線定理、割補(bǔ)法求四邊形知識(shí)的靈活

的面積、圓的切線的證明方法運(yùn)用及分析

2024?廣州卷：軸對稱的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、圓問題解決問

周角定理的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用、切線的性質(zhì)題能力的全

2023?廣州卷：正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、軸面考察，知

對稱的性質(zhì)識(shí)點(diǎn)范圍

廣州卷

2022?廣州卷：菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、廣，綜合性

三角形的重心、解直角三角形等強(qiáng)，難度系

2021?廣州卷：菱形的性質(zhì)、平行四邊形及相似三角形的判定與性質(zhì)數(shù)較大，既

2020?廣州卷：圓與正多邊形的綜合以及動(dòng)點(diǎn)問題能考察基礎(chǔ)

2024?深圳卷：垂中平行四邊形的定義、平行四邊形的性質(zhì)與判定、相似三知識(shí)和基本

角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、尺規(guī)作圖、等腰三角形的判定與性質(zhì)技能，又考

2023?深圳卷：相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角查數(shù)學(xué)思想

形、矩形的性質(zhì)方法和數(shù)學(xué)

2022?深圳卷：圓的性質(zhì)、弧長公式、勾股定理、中位線、利用銳角三角函能力，區(qū)分

數(shù)值解三角函數(shù)度較大，同

深圳卷

2022?深圳卷：四邊形的綜合、全等三角形的判定、相似三角形的判定與性學(xué)們在復(fù)習(xí)

質(zhì)、三角形角平分線的性質(zhì)、勾股定理及應(yīng)用時(shí)，要注重

2021?深圳卷：相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、等腰直角總結(jié)常考的

三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)幾何模型，

2020?深圳卷：正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定舉一反三。

與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)

1

5年真題?分點(diǎn)精準(zhǔn)練

廣東卷

1.（2024?廣東?中考真題）【知識(shí)技能】

（1）如圖1,在V/3C中，DE是V4BC的中位線.連接。，將△ADC繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到

^A'DC.當(dāng)點(diǎn)￡的對應(yīng)點(diǎn)Q與點(diǎn)N重合時(shí)，求證：AB=BC.

【數(shù)學(xué)理解】

（2）如圖2,在VN3c中（43<BC）,DE是V4BC的中位線.連接CD,將△/DC繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)，得到AHOC',連接48,CC，作的中線。廠.求證：2DFCD=BDCC'.

【拓展探索】

432

（3）如圖3,在V/3C中，tan8=1,點(diǎn)。在48上，AD=—.過點(diǎn)。作DEL3C,垂足為￡,BE=3,

32

CE=3.在四邊形4DEC內(nèi)是否存在點(diǎn)G,使得乙46。+/。6石=180。？若存在，請給出證明；若不存在,

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證明；

（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、外角定理、中位線的性質(zhì)證明后即可證明；

（3）通過解直角三角形得到。E=4,BD=5,過點(diǎn)C作O6于點(diǎn)易證ABDES^BCM,得到

—=—=—,即可求得，進(jìn)而從而點(diǎn)”是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作DP〃8C,

BCCMBM552

交CM于點(diǎn)、P,連接/尸，CP,EP,根據(jù)三線合一得=證明△尸。

2

即可求的尸。=匕，過點(diǎn)尸作PN,5c于點(diǎn)N,則四邊形。硒P是矩形，得到EN=￥=《EC,因此點(diǎn)N

332

是石。的中點(diǎn)，amZEPN=ZCPN=-ZEPC,再證△尸瓦中-血尸M,得到/￡尸N=/尸。”，根據(jù)

2

/MPD+/PDM=900,即可推出/EPC+/4P0=18O。，因此當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)尸重合時(shí)，滿足

ZAGD+ZCGE=\S00.

2

【詳解】證明：（1）DE是V4BC的中位線,

DE^-BCS.AD=DB=-AB.

22

又??,AADC繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到^A'DC

DE=AD

AB=BC.

(2)由題意可知：DC=DC,DA=DA,NCDC=ZADAL

作DG1CC,貝l|CG=C'G=-CCS.ZCDG=ZC'DG=-ZCDC,

22

又BD=DA=DA',

■.NA'BD=ZBA'D.

根據(jù)外角定理

NA'DA=ZA'BD-ZBA'D,

ZBA'D=-ZA'DA,

2

ZBA'D=ZC'CG.

又DB=DA,。歹是的中位線，

DF1A'B,

ZA'FD=90°,

△AFDMDGC',

.DFA'D

"'CG~'CD，

DFBD

.?七F，

2

2DFCD=BD-CC.

(3)存在點(diǎn)G使得N/GD+NCGE=180。.

；DE1BC,

：.ZDEB=90°,

4

???在月中，DE=BE-tanB=3x-=4,

3

BD=YIBE2+DE2=A/32+42=5

過點(diǎn)。作〃1AB于點(diǎn)、M,

：./CMB=/DEB=90。，

*.*/B=/B,

：.小BDEs小BCM

543

BDDE翁即

3+衛(wèi)CMBM，

BCCMT

41

:,BM=—

5

：.DM=BM-BD=—-5=—

55

32

AD=—

5

：.DM^-AD,

2

???點(diǎn)M是/。的中點(diǎn),

JCM是AD的垂直平分線,

過點(diǎn)。作。?〃BC,交CM于點(diǎn)P,連接4P,CP,EP

：.PA=PD,

：.根據(jù)三線合一得ZDPM=NAPM,

?:DP〃BC,

：.ZMDP=AB,

ZPMD=/DEB,

:.APDMSADBE,

16

,PD器，即如

5，

DB

53

4

過點(diǎn)P作尸于點(diǎn)N,則四邊形。￡NP是矩形,

EN=DP=PN=DE=4

3

32

???EC=——

3

：.EN=-EC,

2

.??點(diǎn)N是EC的中點(diǎn),

/.PN垂直平分EC,

：.PE=PC,

.??ZEPN=ZCPN=-ZEPC,

2

?N_4_3

DMBE_3

V￡7V_16"4，

PM-DE-4’

T

.PNDM

?,EN~PM，

又/PNE=/DMP=90。,

：./\PEN^/\DPM,

：.ZEPN=ZPDMf

ZMPD+ZPDM=180°-ZPMD=90°,

NMPD+NEPN=90。

即；/￡750+；//P0=90。，

：.ZEPC+ZAPD=1SO°f

：.當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)P重合時(shí)，滿足/AGD+ZCGE=180。.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、外角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解直

角三角形，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)以及靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?廣東?中考真題）綜合探究

如圖1,在矩形Z5CQ中（々＞4。），對角線4G3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)A關(guān)于助的對稱點(diǎn)為4,連接44,交

BD于點(diǎn)E,連接CH.

5

圖1圖2圖3

(1)求證：AA'1CA'；

(2)以點(diǎn)。為圓心，。￡為半徑作圓.

①如圖2,O。與CD相切，求證：AA，=辰才;

②如圖3,與。，相切，AD=\,求。。的面積.

【答案】⑴見解析

⑵①見解析；②"0兀

【分析】(1)由點(diǎn)A關(guān)于8。的對稱點(diǎn)為4可知點(diǎn)E是力4的中點(diǎn)，44￡0=90。，從而得到OE是的

中位線，繼而得到OE〃/'C,從而證明/4LC4；

(2)①過點(diǎn)。作。尸，于點(diǎn)R延長尸。交CD于點(diǎn)G,先證明AOCG也AO4F(AAS)得到OG=O尸，由

O。與CD相切，得到OG=OE,繼而得到OE=OF,從而證明/O是/區(qū)4尸的角平分線，即

ZOAE=ZOAF=x,求得/ZOE=2x,利用直角三角形兩銳角互余得到N/OE+NCUE=90。，從而得到

ZOAE=30°,即N4NC=30。，最后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出44,=；

②先證明四邊形/'夙陽是正方形，得到。￡==,再利用OE是A/C4'的中位線得到OE=；/'C,

從而得到OH=CH,ZOCH=45°,再利用平行線的性質(zhì)得到/49E=45。，從而證明△/￡(?是等腰直角三

角形，AE=OE,設(shè)4E=OE=r,求得。E=(夜一l)r,在RL/DE中，/爐+。爐=/》即

r2+(V2-l)2r2=l2,解得，=32,從而得到。。的面積為5=42=后◎萬.

【詳解】(1).??點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)為4,

...點(diǎn)￡是441的中點(diǎn)，ZAEO=90°,

又???四邊形/BCD是矩形，

二。是4c的中點(diǎn)，

.?.OE是AZCH的中位線，

OE//A'C

：.ZAA'C=ZAEO=90P,

6

AA'1CA'

(2)①過點(diǎn)。作。尸，于點(diǎn)R延長尸。交CD于點(diǎn)G,則/*=90。,

?.,四邊形N2C。是矩形，

AAB//CD,AO=BO=CO=DO,

：.NOCG=NOAF,NOGC=NOFA=90°.

?：NOCG=NOAF,NOGC=NOFA=90°,AO=CO,

：.AOCG^AOAF(AAS),

OG=OF.

與CD相切，OE為半徑，ZOGC=90°,

：.OG=OE,

：.OE=OF

又：Z/1EO=90。即OE_L/E,OFLAB,

4。是/E/F的角平分線，即/O/E=/O4F,

設(shè)/O/E=NO/尸=x,貝U/OCG=NO/尸=尤，

又：CO=DO

/.NOCG=20DG=x

：.AAOE=ZOCG+NODG=2x

又：N4EO=90°,即是直角三角形，

/.ZAOE+ZOAE=9Q°,即2x+x=90°

解得：尤=30°,

二ZOAE=30°,即ZA'AC=30°,

在Rt^H/C中，ZA'AC=30°,ZAA'C=90°,

AC=2CA',

22,2,2

AA'=^AC-CA'=A/(2C4)-C4=辰A;

②過點(diǎn)。作于點(diǎn)”，

7

A'

H

,?OO與。，相切，

OE=OH,ZA/HO=90°

'：ZAA'C=NAEO=ZA'EO=ZA'HO=90°

，四邊形HEOH是矩形，

又：OE=OH,

，四邊形4EOH是正方形，

：.OE=OH=A'H,

又「OE是的中位線，

OE=-A'C

2

A'H=CH=-AC

2

OH=CH

又：ZA'HO=90°,

ZOCH=45°

又，：OE〃AC,

：.ZAOE=45°

又?.?/4EO=90°,

.?.△/EO是等腰直角三角形，AE=OE,

^AE=OE=r,則/o=DO=J/爐+。爐=揚(yáng)

DE=DO-OE=^2r-r=[41-^r

在Rt"DE中，AE2+DE2=AD2，AD=1

即戶+(百一1『戶=]2

2112+J2

?y-----------------------—---------

1+(V2-1)24-264

；?QO的面積為：S=nr'=2+亞式

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)

與判定，中位線的性質(zhì)定理，角平分線的判定定理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)并正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

8

3.（2021?廣東?中考真題）如圖，在四邊形/BCL（中，ABUCD,ABCD,NABC=90°,點(diǎn)E、廠分別在線

段8C、上，S.EF//CD,AB=AF,CD=DF.

（1）求證：CFLFB-,

（2）求證：以為直徑的圓與8C相切；

（3）若EF=2,NDFE=120°,求V/OE的面積.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）|V3

【分析】（1）設(shè)尸C=c,進(jìn)而求得乙42尸=乙4用=90。-。，再由

ZCFB=180°-ZCFD-ZBFA=90°即可求得CF工FB；

⑵取4D中點(diǎn)過點(diǎn)。作OMLBC,由梯形中位線定理得到OM=；（NB+CD）,利用/尸=48,DF=DC

得到AD=2OA,進(jìn)而OA=OM=OD,由此即可證明；

EF2I-

⑶過點(diǎn)。，點(diǎn)4分別向所作垂線交所于點(diǎn)N,得到△斯o+S△所）,分別求出5月=耳=§6,

CE=6EF=28再代入求解即可.

【詳解】解：（1）?.?=Q產(chǎn)，設(shè)/DCF=/DFC=a,

：.ZFDC=lS00-2a,

■:CD〃AB,

：.ZBAF=180°-（180°-2a）=2a,

又,:AB=AF,

182a

：.ZABF=ZAFB=0°~=90°-a

2f

ZCFB=180。—ZCFD-ZBFA=180。一a-（90。—a）=90°,

：.CFLBF.

（2）如圖，取4。中點(diǎn)O,過點(diǎn)。作。

9

?；CD〃AB,ZABC=90°,

：.ZDCB=90。,

又???(W_L3C,

：.OM〃AB,

???M為5c中點(diǎn),

：.OM=^[AB+CD},

,/AD=AF+DF,

又「AF=AB,DF=DC,

AD=AB+CD=2OM,

又「AD=20A,

：.OA=OM=OD,

???以4。為直徑的圓與BC相切.

(3)VZDFE=120°fCD〃EF〃AB,

：.ZCDA=60°,ZBAD=nO°,ZAFE=60°,

又「DC=DF

「?△OC/為等邊三角形，NDFC=/FCD=6。。，

,:CD〃EF,

：.ZCFE=/FCD=60°,

由(2)得：/CFB=90。，

：./EFB=30。，

：.ZBFA=ZFBA=30°,

,:EF=2,在RtABFE中,三邊之比為1：Q：2,

???田篝=|5

在RMCEF中,三邊之比為1:6:2,

:?CE=y5EF=2區(qū)

10

如圖，過點(diǎn)。，點(diǎn)/分別向E尸作垂線交所于點(diǎn)N,

DCEM=￡EMD=￡ECD=90°,

四邊形CWE為矩形，

???CE=DM=26，

同理，四邊形BENA為矩形，

BE=AN=-V3,

3

S.DE=SAEFD+S-EFA=--EF-DM+--EF-AN

=~EF\DM+AN)

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形等腰對等角、梯形中位線定理、割補(bǔ)法求四邊形的面積、圓的切線的證明

方法等，熟練掌握各圖形的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

廣州卷

4.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，在菱形N2CZ）中，NC=120。.點(diǎn)E在射線8C上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)8,點(diǎn)

C重合），即關(guān)于/E的軸對稱圖形為△/￡1尸.

（1）當(dāng)/A4尸=30。時(shí)，試判斷線段/尸和線段ND的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由;

（2）若48=6+66，。。為廠的外接圓，設(shè)。。的半徑為，J

①求，的取值范圍；

11

②連接心，直線ED能否與。。相切？如果能，求BE的長度；如果不能，請說明理由.

【答案】（1）/尸=/￡>,AF1AD

⑵①北3+3內(nèi)且rw2G+6;②能，BE=12

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得NB/O=NC=120。，AB=AD,再結(jié)合軸對稱的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）①如圖，設(shè)△/￡下的外接圓為。。，連接4C交AD于連接CM,0E,OF,OC,證明V4BC為

等邊三角形，4EI,C共圓，ZAOE=2ZAFE=120°,。在3。上，//E。=/瓦4。=3（F,過。作OJ_L/￡

于J,當(dāng)ZE_LBC時(shí)，/E最小，則/。最小，再進(jìn)一步可得答案；②如圖，以A為圓心，NC為半徑畫圓,

可得民C/,。在。/上，延長C4與。/交于連接ZU,證明/。尸。=180。-30。=150。，可得/OFC=60。，

△OCF為等邊三角形，證明NA4尸=120。-30。=90。，可得：NBAE=NFAE=45。,BE=EF,過￡作

瓦欣_1/萬于可，再進(jìn)一步可得答案.

【詳解】（1）解：AF=AD,AFA.AD；理由如下：

:在菱形N8CA中，ZC=120°,

ABAD=ZC=120°,AB=AD,

:ZBAF=30°,

：.ZFAD=nO°-30°=90°,

AFLAD,

由對折可得：AB=AF,

：.AF=AD

（2）解：①如圖，設(shè)△/好的外接圓為OO,連接/C交AD于H.連接OE,OF,OC,

:四邊形NBC。為菱形，/BCD=120°,

：.AC1BD,ABCA=60°,BA=BC,

.?.V4BC為等邊三角形，

/.NABC=ZAFE=60。=ZACB,

共圓，NAOE=2NAFE=120。，。在8。上,

VAO=OE,

：.ZAEO=NEAO=30P,

過。作OJ_L/E于J,

12

???AJ=EJ,A0=-^—AJ,

3

h

；.AO=—AE,

3

當(dāng)時(shí)，/E最小，則4。最小，

???/B=6+65ZABC=60°,

石=/2與1160。=（6+66）X號(hào)=36+9，

40=學(xué)3用9）=3+36;

,??點(diǎn)￡不與5、C重合，

.?./E29+3百，且/八6+6百，

『的取值范圍為北3+36且rw20+6;

②。尸能為。。的切線，理由如下：

如圖，以A為圓心，/C為半徑畫圓，

,?AB=AC=AF=AD,

：.尻C/,。在。/上，

延長C4與。/交于人連接“，

同理可得A/C￡＞為等邊三角形,

ZCAD=60°,

ZCLD=30°,

ZCFD=180°-30°=150°,

13

???￡）尸為。。的切線，

ZOFD=90°,

???NOFC=60。,

?.?OC=OFf

：.ZiOCF為等邊三角形，

???ZCOF=60°f

：.ZCAF=-ZCOF=30P,

2

???/ZU尸=60。-30。=30。，

ZBAF=120°-30°=90°f

由對折可得：/BAE=/FAE=45。,BE=EF,

過E作尸于M,

：.^AM=EM=x,

???ZEFM=60°,

：.FM=—EM=—X，

33

x+^-x=6+6A/3，

3

解得：x=6G，

：.FM=—x6yfi=6,

3

JBE=EF=2FM=12.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，銳角

三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，本題難度很大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

5.（2023?廣東廣州?中考真題）如圖，在正方形48CD中，￡是邊4D上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)4,。重合）.邊3C

關(guān)于對稱的線段為AF，連接

AED

BC

（1）若/48￡=15。，求證：2XAS廠是等邊三角形；

（2）延長E4,交射線于點(diǎn)G；

①4BG歹能否為等腰三角形？如果能，求此時(shí)的度數(shù)；如果不能，請說明理由;

②若AB=^+a，求b面積的最大值，并求此時(shí)/￡的長.

14

【答案】（1）見解析⑵①ABGE能為等腰三角形，/ABE=225°；②AE=#）

【解析】

【分析】（1）由軸對稱的性質(zhì)得到AF=5。，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到乙46c=90。，求得NCS￡=75。，

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到ZFBE=ZCBE=75°，根據(jù)等邊三角形的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）①根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到=根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BC=48,得到切<5￡<5G,推

出點(diǎn)3不可能是等腰三角形BGF的頂點(diǎn)，若點(diǎn)F是等腰三角形BGF的頂點(diǎn)，則有

ZFGB=ZFBG=ZCBG,此時(shí)E與。重合，不合題意，于是得到只剩下GE=G8了，連接CG交

于H,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FG=CG,得到ABG尸為等腰三角形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

AAHG=ZBCG,求得NBGF=ZBGC=-ZFGH=45°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到

2

ZGBC=ZGCB=1（180°-ZBGC）=67.5°,于是得到

ZABE=ZABC-ZGBC=90°-67.5°=22.5°；

②由①知，ACBGWFBG,要求ABG尸面積的最大值，即求ABGC面積的最大值，在ABGC中，底邊

是定值，即求高的最大值即可，如圖2,過G作GPL5c于尸，連接/C,取ZC的中點(diǎn)連接GM,

作MN1BC于N,設(shè)AB=2x,則AC=2瓜，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到

====推出尸GWGM+上加=（行+1）%，當(dāng)當(dāng)G,M,N三點(diǎn)共線時(shí)，

取等號(hào)，于是得到結(jié)論；如圖3,設(shè)尸G與/。交于。，則四邊形ZAP。是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到

AQ=PB=x,PQ=AB=2x,求得QM=MP=x,GM=gx，于是得到結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：由軸對稱的性質(zhì)得到BF=BC,

?.?四邊形48CD是正方形，

ZABC=90°,

???ZABE=15。,

：.ZCBE=75°,

VBC于BE對稱的線段為BF，

ZFBE=NCBE=75°,

ZABF=ZFBE-ZABE=60°,

zX/B/是等邊三角形；

【小問2詳解】

①???5C于8E對稱的線段為BF，

二BF=BC

15

?.?四邊形48CD是正方形，

BC=AB,

：.BF=BC=BA,

；E是邊4D上一動(dòng)點(diǎn)，

BA<BE<BG,

；?點(diǎn)B不可能是等腰三角形的頂點(diǎn)，

若點(diǎn)尸是等腰三角形BGF的頂點(diǎn)，

則有ZFGB=ZFBG=ZCBG,

此時(shí)￡與D重合，不合題意，

只剩下Gb=G8了，連接CG交幺。于H,

BC=BF,ZCBG=ZFBG,BG=BG

AC5G包FSG(SAS)

FG=CG,

：.BG=CG,

ABGR為等腰三角形，

BA=BC=BF,

：.NBFA=NBAF,

,:ACBGQNFBG,

ZBFG=/BCG

：.AD//BC

ZAHG=ZBCG

：.ZBAF+/HAG=ZAHG+/HAG=18。。一/BAD=90°

ZFGC=180°-/HAG-ZAHG=90°,

ZBGF=ZBGC=-ZFGH=45°

2

GB=GC

：.ZGBC=ZGCB=1(180°-NBGC)=67.5°

ZABE=ZABC-ZGBC=90°-67.5°=22.5°；

16

②由①知，.CBGaFBG

要求ABG尸面積的最大值，即求ABGC面積的最大值，

在ABGC中，底邊5C是定值，即求高的最大值即可，

如圖2,過G作GPLBC于尸，連接/C,取/C的中點(diǎn)M,連接G/,作MN-LBC千N,

圖2

設(shè)/8=2x,則/C=2缶，

VZAGC=90°,河是ZC的中點(diǎn)，

：.GM=-AC=42x,MN=-AB=x,

22

，PG<GM+MN=(y/2+l)x，

當(dāng)G,M,N三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，

：,ABGF面積的最大值，

△5Gb的面積二L5。尸G

2

=(行+1卜之

=1(V2+l)x(V3+V6)2

_21+15近

"4

如圖3,設(shè)PG與40交于。，

G

A.^t/\\HD

Iri\I

BP(N)C

圖3

則四邊形ABPQ是矩形，

AQ=PB=x,PQ=AB=2x,

QM=MP=x,GM=瓜，

17

G2=1(V2-1),

?/QE+AE-AQ=x,

.AQV2+1

??=,

AE2

【點(diǎn)睛】此題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對稱

的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6（2022?廣東廣州?中考真題）如圖,在菱形48c。中,ZBAD=120°,63=6,連接8。.

⑴求8。的長；

⑵點(diǎn)E為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)2,。重合），點(diǎn)尸在邊/。上，且BE=dDF,

①當(dāng)C￡_LN3時(shí)，求四邊形的面積；

②當(dāng)四邊形ABE尸的面積取得最小值時(shí)，CE+百CF的值是否也最小？如果是，求CE+百。尸的最小值；如

果不是，請說明理由.

【答案】（1）8。=6百；

（2）①四邊形環(huán)的面積為76；②最小值為12

【分析】（1）證明是等邊三角形，可得8。=33，即可求解；

（2）過點(diǎn)E作4D的垂線，分別交4D和3c于點(diǎn)N,根據(jù)菱形的面積可求出,設(shè)BE=x,

貝i|￡N='x,從而得至1]￡70=叱-￡'=3右一!工，再由2￡=百。/，可得￡）尸=曲》，從而得到四邊形的

223

面積s=S/8。-斯=^|卜_36『+三8,①當(dāng)CE_L/2時(shí)，可得點(diǎn)E是重心，從而得到

22

BE=CE=-50=-x3V3=2V3,即可求解；②作于，，可得當(dāng)點(diǎn)￡和尸分別到達(dá)點(diǎn)。和點(diǎn)〃位置

18

時(shí)，CF和C￡分別達(dá)到最小值；再由s=*1-36）2+^^,可得當(dāng)x=3。，即班=36時(shí)，S達(dá)到最

小值，從而得到此時(shí)點(diǎn)￡恰好在點(diǎn)。的位置，而點(diǎn)尸也恰好在點(diǎn)"位置，即可求解.

【詳解】（1）解：連接/C,設(shè)NC與8。的交點(diǎn)為。，如圖，

?.?四邊形/BCD是菱形，

J.ACLBD,OA=OC,AB//CD,4c平分ND4B,

/BAD=120。,

：.ZCAB=60°,

**.AABC是等邊三角形，

50=4841160。=6xy=35

2

：.BD=2BO=6y[3;

(2)解：如圖，過點(diǎn)E作/。的垂線，分別交4D和3C于點(diǎn)“，N,

,**4ABe是等邊二角形，

：.AC=AB=6,

由(1)得：BD=6y/3;

菱形中，對角線5。平分N45C,AB//CD,BC=AB=6,

:?MN工BC,

,/ZBAD=120\

：.ZABC=60°,

：.ZEBN=30°；

19

：.EN=-BE

2

'-SMCD-^AC-BD^MN-BC,

:.MN=30

設(shè)BE-x,則EN--尤，

2

：.EM=MN-EN=3y/3--x,

2

*/S菱彩ABCD=AD~MN=6x36=1873,

；.SAABD=；S./ABCD=9也，

■:BEfDF,

.eBE_y/3

63

2

/.SADEF=-DF-EM=--—xf3V3-=-^x+-x,

223(1)122

記四邊形的面積為s,

2

5=S^ABD-SADEF=9A/3-(-—x+-x)=—(x-3^+^^,

122121'4

?.?點(diǎn)E在上，且不在端點(diǎn)，：.0<BE<BD,即0〈尤<66；

①當(dāng)CELAB時(shí)，

'JOBLAC,

...點(diǎn)E是△/BC重心，

BE=CE=-B0=-x3>/3=2>/3,

33

此時(shí)5=言(2指=7粗,

：.當(dāng)CELAB時(shí)，四邊形ABE尸的面積為;

②作CH_L4D于"，如圖，

20

,：COLBD,CHLAD,而點(diǎn)E和尸分別在和4D上，

當(dāng)點(diǎn)E和尸分別到達(dá)點(diǎn)。和點(diǎn)7/位置時(shí)，C尸和CE分別達(dá)到最小值;

在菱形N8CZ）中，AB//CD,AD=CD,

ZBAD=120°,

：.ZADC=60°,

：.△NC￡?是等邊三角形，

：.AH=DH=3,

:.CH=36,

.?.當(dāng)X=3A/L即3￡=36時(shí)，s達(dá)到最小值，

■:BE=6DF,

:.DF=3,

此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)。的位置，而點(diǎn)尸也恰好在點(diǎn)〃位置，

...當(dāng)四邊形斯面積取得最小值時(shí)，CE和CF也恰好同時(shí)達(dá)到最小值，

：.CE+y/3CF的值達(dá)到最小，

其最小值為。。+祈08=3+6x36=12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直

角三角形等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解

直角三角形等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?廣東廣州?中考真題）如圖，在菱形A8CD中，ZDAB=60°,N3=2,點(diǎn)E為邊A3上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

延長BA到點(diǎn)F,使/尸=/E,且CF,DE相交于點(diǎn)G

（2）當(dāng)CG=2時(shí)，求4B的長；

（3）當(dāng)點(diǎn)￡從點(diǎn)/開始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3時(shí)，求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長度.

21

42i-

【答案】(1)見解析；(2)—；(3)—yjl.

33

【分析】(1)根據(jù)E為45中點(diǎn)可得川=/5,再由菱形的性質(zhì)推出CD"45,CD=AB,則跖二C。，即

可證明結(jié)論；

(2)過點(diǎn)。作交EB的延長線于點(diǎn)〃，利用菱形及直角三角形的性質(zhì)可求出88=18C=1,并由

勾股定理求得CH=IBC-B/地，再根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)可證得跖=FG,設(shè)/￡=x,則

EF=2x,可表示出廠〃=3+尤，CF=2+2x,即可由CWz+尸尸=建立關(guān)于工的方程，求解后可得出

NE的長；

(3)連接NG并延長交CO于點(diǎn)河，連接8D交于點(diǎn)N,并連接W,首先由菱形的性質(zhì)得出為

Ap4E

等邊三角形，貝！,再由CD〃AB,得△4FG?△MCG,"EGfMDG,由此可證得——=——,

MCMD

再結(jié)合4E=/尸得出MC=MD=1,則由等腰三角形性質(zhì)推出期_LC。，并分別求出8M=6，

AM=^AM2+BM2=V7-最后根據(jù)題意可得點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長度為線段/N的長，由平行線分線段成比

例性質(zhì)可得出AN=2MN,此題得解.

【詳解】(1)證明：為48中點(diǎn)，

AF=AE=-AB.

2

/.EF=AB.

:四邊形/BCD是菱形，

:.CD〃AB,CD=AB.

：.EF=CD.

...四邊形DFEC是平行四邊形；

(2)解：如圖，過點(diǎn)C作交E8的延長線于點(diǎn)〃,

22

???四邊形45。是菱形，AB=2,

；?AD〃BC,AB=BC=CD=2.

：.ZCBH=ZDAB=6(F.

??.ZBCH=30°.

：.BH=-BC=\,

2

貝I由勾股定理得=J5c=6.

?:CD〃AB,

???△CQGs△月EG.

.CDCG

**'

CD=CG=2,

：.EF=FG.

設(shè)Z￡=x,貝U￡F=2x.

/.FH=3+x,CF=2+2x.

在中，由勾股定理得：CH2+FH2=CF2,

：.(V3)2+(3+X)2=(2+2X)2.

4

解得%=-2(不合題意，舍去).

4

?*AE的長為彳；

3

(3)如圖，連接4G并延長交CD于點(diǎn)連接8。交4M于點(diǎn)N,并連接

???四邊形45CQ是菱形，ZDAB=60°,

AB=AD,ZDCB=ZDAB=60°.

J△45。為等邊三角形.

23

同理可證：△5CZ）為等邊三角形.

：.BD=AB=BC.

■:CD〃AB,

:?&AFGfMCG,^AEGfMDG.

.AF_AGAG_AE

MC~詬，MG~MD'

.AFAE

MC~MD

*：AE=AF,

：.MC=MD=-CD=\

2

BMLCD.

則由勾股定理得：BM=4BC1-CM1=V3，

AM=YIAM2+BM2=V7.

當(dāng)點(diǎn)￡從/出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3時(shí)，點(diǎn)G始終在直線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，

當(dāng)點(diǎn)E與4重合時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)/重合，

當(dāng)點(diǎn)E與3重合時(shí)，點(diǎn)G為AD與41/的交點(diǎn)N,

/.點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長度為線段AN的長，

,:CD〃AB,

.ANAB

：.AN=2MN.

點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長度為AN=-AM=-V7.

33

【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形的綜合問題，考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)

點(diǎn)，熟練掌握所學(xué)知識(shí)并靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

8.（2020?廣東廣州?中考真題）如圖，OO為等邊△力BC的外接圓，半徑為2,點(diǎn)。在劣弧凝上運(yùn)動(dòng)（不與

點(diǎn)48重合），連接DB,DC.

24

(1)求證：OC是/4D2的平分線；

(2)四邊形/DBC的面積S是線段。C的長x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請說明理

由；

(3)若點(diǎn)分別在線段C/,CS上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn))，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置，

AWN的周長有最小值乙隨著點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)，/的值會(huì)發(fā)生變化，求所有，值中的最大值.

【答案】⑴詳見解析；⑵是，S=^X2(2V3<X<4)；(3)4^

【分析】⑴根據(jù)等弧對等角的性質(zhì)證明即可；

(2)延長DA到E,讓AE=DB,證明△EAC^^DBC,即可表示出S的面積；

⑶作點(diǎn)D關(guān)于直線BC、AC的對稱點(diǎn)Di、D2,當(dāng)DI、M、N、D共線時(shí)△DMN取最小值，可得QD1D2,有對

稱性推出在等腰4DiCDz中齊后，D與0、C共線時(shí)1取最大值即可算出.

【詳解】⑴:△ABC為等邊三角形,BC=AC,

就=而，都為g圓，

二NAOC=NBOC=120°,

NADC=NBDC=60°,

；.DC是NADB的角平分線.

⑵是.

如圖，延長DA至點(diǎn)E,使得AE=DB.

連接EC,則/EAC=18(T—NDAC=NDBC.

：AE=DB,NEAC=/DBC,AC=BC,

.?.△EACg△DBC(SAS),

ZE=ZCDB=ZADC=60°,

故4EDC是等邊三角形，

???DC=x,???根據(jù)等邊三角形的特殊性可知DC邊上的高為由工

2

S=S.DBC+S-DC=SAEAC+SAADC=SACDE=2(2任XV4).

25

⑶依次作點(diǎn)D關(guān)于直線BC、AC的對稱點(diǎn)Di、D2,根據(jù)對稱性

C/iDMN=DM+MN+ND=DiM+MN+ND2.

ADi，M、N、D共線時(shí)△DMN取最小值"此時(shí)占D1D2,

由對稱有DiC=DC=DzC=x,ZDICB=ZDCB,ND2cA=NDCA,

ZDICD2=ZD1CB+ZBCA+ZD2cA=ZDCB+60°+ZDCA=120".

AZCDID2=ZCD2DI=60",

在等腰ADICDZ中，作CH±D1D2,

則在RtADiCH中，根據(jù)30。特殊直角三角形的比例可得D1H="C2

212

同理D2H=YIC"=巫》

22

.,.?=DID2=V3￡>C=V3X.

取最大值時(shí)/取最大值.

即D與0、C共線時(shí)t取最大值,x=4.

所有;值中的最大值為4G.

2

【點(diǎn)睛】本題考查圓與正多邊形的綜合以及動(dòng)點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于結(jié)合題意作出合理的輔助線轉(zhuǎn)移已知量.

深圳卷

9.（2024?廣東深圳?中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個(gè)頂點(diǎn)作關(guān)于不相鄰的

兩個(gè)頂點(diǎn)的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點(diǎn)是這條邊的中點(diǎn)，則該平行四邊形是“垂中平行

四邊形”.

26

（1）如圖1所示，四邊形45co為“垂中